資源簡介

2025年湖南省長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校中考三模數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．《九章算術》中注“今兩算得失相反，要令正負以名之”意思是：兩數若其意義相反，則分別叫做正數和負數．若氣溫為零上，則記作，則表示氣溫為（ ）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A． B． C． D．
3．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．計算的結果為（ ）
A．0 B． C． D．
5．如圖，在中，下列結論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列四個命題中，真命題是（ ）
A．同位角相等
B．若，那么
C．的立方根是
D．直線向下平移2個單位可得到一次函數的圖象
7．某校收集了寫作興趣小組19名同學2024年這一年的課外閱讀量，并繪制了如圖所示的折線統計圖，這19名學生2024年這一年的課外閱讀量的眾數是（ ）
A．2本 B．3本 C．4本 D．5本
8．如圖，是某正方形的房屋結構平面圖，其中主臥與客臥也都是正方形，它們的邊長分別為m米，n米，則陰影部分面積為（ ）
A．0平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
9．如圖，將繞點逆時針旋轉得到，若于點，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，若直尺寬，則的長為（ ）
A．1.5 B．1 C．0.5 D．
二、填空題
11．若代數式有意義，則實數的取值范圍是 ．
12．若點和是一次函數的圖象上兩點，則與的大小關系為： （填“”，“”或“”）．
13．在“探究杠桿平衡的條件”中，亮亮知道：當阻力和阻力臂一定時，動力與動力臂之間的關系如圖所示，且．若動力為，則動力臂為 m．
14．如圖，一個英文字母對應一個有序數對，例如字母對應，則有序數對，，，，對應的字母恰好為一個英文單詞，這個單詞為 ．
15．某口袋中有紅色、黃色、黑色的小球共個，這些小球除顏色外都相同，通過多次試驗后發現摸到紅色球的頻率穩定在，則袋中紅色球是 個．
16．已知二次函數與軸的交點的橫坐標為，則的值為 ．
三、解答題
17．計算：．
18．先化簡，再求值：，其中．
19．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，請解答下列問題：
(1)若經過平移后得到，已知點的坐標為，請作出；
(2)將繞點A按順時針方向旋轉得到，請作出；
(3)當四邊形為平行四邊形時，請直接寫出點D的坐標．
20．為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》文件精神，東營市某學校舉辦“我參與，我勞動，我快樂，我光榮”活動．為了解學生周末在家勞動情況，學校隨機調查了八年級部分學生在家勞動時間（單位：小時），并進行整理和分析（勞動時間分成五檔：A檔：；B檔：；C檔：；D檔：；E檔：）．調查的八年級男生、女生勞動時間的不完整統計圖如下：
根據以上信息，回答下列問題：
(1)本次調查中，共調查了_______名學生，補全條形統計圖；
(2)調查的男生勞動時間在C檔的數據是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．則調查的全部男生勞動時間的中位數為_______小時．
(3)學校為了提高學生的勞動意識，現從E檔中選兩名學生作勞動經驗交流，請用列表法或畫樹狀圖的方法求所選兩名學生恰好都是女生的概率．
21．如圖，在中，點是邊上一點，且．
(1)求的長．
(2)求的值．
22．某新能源汽車經銷商購進緊湊和中級兩種型號的新能源汽車，據了解3輛中級型汽車、2輛緊湊型汽車的進價共計104萬元；2輛緊湊型汽車比3輛中級型汽車的進價少40萬元．
(1)求中級型和緊湊型汽車兩種型號汽車的進貨單價；
(2)該店準備購進中級型和緊湊型汽車兩種型號的新能源汽車100輛，已知中級型汽車的售價為27萬元/輛，緊湊型汽車的售價為20萬元/輛．根據銷售經驗，購中級型汽車的數量不低于25輛，設購進輛中級型汽車，100輛車全部售完獲利萬元，該經銷商應購進中級型和緊湊型汽車各多少輛．才能使最大？最大為多少萬元？
23．如圖，在中，，，O是上一點，，以O為圓心，長為半徑的圓與相切于點D，與相交于點E，與相交于點F．
(1)求的長；
(2)求陰影部分的面積．
24．我們不妨約定：若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對稱，則把該函數稱之為“函數”，其圖象上關于原點對稱的兩點叫做一對“點”．根據該約定，完成下列各小題．
(1)判斷下列函數是否為“函數”，若是，在括號里打“”；若不是，則打“”．
（ ）；
（ ）；
（ ）．
(2)是否存在，兩點，既是一次函數上的“點”，又是二次函數上的“點”？若存在，求出，的坐標（可用表示）；若不存在，說明理由．
(3)若關于x的二次函數（是常數），同時滿足下列三個條件：，，該函數截x軸得到的線段長度為，證明該函數是“函數”并求出的值．
25．我們規定：中，過任意一邊上一點作另一邊的平行線交第三邊于一點，則稱這兩個點之間的線段為的“等位線”，特殊地：如果這兩個點都是中點，則為C的“中位線”．例如：如圖所示，D為上一點，E為上一點，且，我們稱為的“等位線”．
(1)若且D為的中點，“等位線”，則的長為______；
(2)若，點D以每秒2個單位長度的速度，從點B出發沿向點A運動，記x秒時“等位線”的長度為y，當時，寫出y關于x的函數關系式；
(3)若的“等位線”，連接，設面積為m，的面積為n，求出的最大值及此時D的位置．
《2025年湖南省長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校中考三模數學試題》參考答案
1．D
解：若氣溫為零上，則記作，則表示氣溫為零下．
故選：D．
2．B
解：從上面可看，可得如下圖形：
故選：B．
3．B
A.不是同類項，不能合并，該選項錯誤；
B.，該選項正確；
C. 不是同類項，不能合并，該選項錯誤；
D.，該選項錯誤.
故選：B
4．B
解：原式．
故選：B．
5．A
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
根據四邊形是平行四邊形無法得出，
∴選項B、C、D結論成立，選項A結論不一定成立，
故選：A．
6．C
解：A、兩直線平行，同位角相等，故原命題是假命題；
B、若，那么，故原命題是假命題；
C、的立方根是，故原命題是真命題；
D、直線向下平移2個單位可得到一次函數的圖象，故原命題是假命題；
故選：C
7．C
解：由統計圖可得，閱讀4本的人數最多，
∴這19名學生2024年這一年的課外閱讀量的眾數是4，
故選：C．
8．C
解：由題可得陰影部分面積為：，
故選：C．
9．C
解：由旋轉可得：，
于點，
，
，
故選：C．
10．A
解：由題意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得，
∴
故選：A．
11．
解：∵代數式有意義，
∴
即
故答案為：．
12．
解：一次函數中，，
∴一次函數圖象中隨的增大而減小，
∵，
∴，
故答案為： ．
13．10
解：設該函數的解析式為，將A點代入可得：，解得：，
∴設該函數的解析式為，
當時，．
故答案為：10．
14．
解：∵有序數對對應的字母是，對應的字母是，對應的字母是，對應的字母是，對應的字母是，
∴這個單詞為，
故答案為：．
15．
解：∵通過多次試驗后發現摸到紅色球的頻率穩定在，
∴袋中紅色球是個，
故答案為：．
16．
解：二次函數與軸的交點對應的一元二次方程為，設根為，
∴，，
∴，
故答案為：．
17．
解：原式
．
18．；
解：
．
當時，原式．
19．(1)見解析
(2)見解析
(3)
（1）解；如圖所示，即為所求；
（2）解；如圖所示，即為所求；
（3）解：∵四邊形為平行四邊形，，，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)50，見詳解
(2)2.5
(3)
（1）解：依題意，（名）
∴本次調查中，共調查了50名學生；
則（名）
∴（名）
則檔有名男學生，有名女學生,
補全條形統計圖如圖所示：
（2）解：依題意，
（名）
本次調查的男學生的總人數是23名
∴則調查的全部男生勞動時間的中位數位于第名，
∵
∴第名位于C檔
∵調查的男生勞動時間在C檔的數據是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．
則調查的全部男生勞動時間的中位數為2.5小時，
故答案為2.5；
（3）解：用，表示2名男生，用，表示兩名女生，列表如下：
共有12種等可能的結果，其中所選兩名學生恰好都是女生的結果有2種，
．
21．(1)
(2)
（1）解：∵
∴在中，．
（2）解：∵
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
則．
22．(1)中級型汽車進貨單價為元和緊湊型汽車進貨單價為元
(2)該經銷商應購進中級型汽車輛，緊湊型汽車輛時，最大為萬元
（1）解：設中級型汽車進貨單價為元和緊湊型汽車進貨單價為元，
由題意得，，
解得，
答：中級型汽車進貨單價為元和緊湊型汽車進貨單價為元．
（2）解：由題可得，，
，
，
隨的增大而減小，
當時，有最大值為，
該經銷商應購進中級型汽車輛，緊湊型汽車輛時，最大為萬元．
23．(1)
(2)
（1）連接，，
∵圓與相切于點，
∴．
∴，
∴，
∴．
在中，，，
．
∵，
∴是等邊三角形，
∴．
在中，，
∴．
設，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
∴．
（2）∵是等邊三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，．
在中，，，
∴
∴．
∴．
扇形的圓心角，半徑．
．
陰影部分面積．
24．(1)；；；
(2)不存在，理由見解析；
(3)，證明見解析．
（1）解：設函數圖象上存在兩點，關于原點對稱，
將，分別代入聯立得，
，方程組無解，
故答案為：；
設函數圖象上存在兩點，，顯然兩點關于原點對稱，
∴為“函數”，
故答案為：；
設函數圖象上存在兩點，關于原點對稱，
將，分別代入聯立得，
，方程組無解，
故答案為：；
（2）解：不存在，理由：
設，，分別代入得，，
解得：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴不存在，兩點；
（3）解：∵，
∴，，
令，，設兩個根為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
當時，符合題意；
當時，，與矛盾，不符合題意；
∴關于的二次函數，
設，，
∴，
得：，得，
∴，
∴，或，，
∴該函數是“函數”．
25．(1)
(2)當點E在上時，，當點E在上時，；
(3)的最大值為，此時點D為的中點
（1）解：∵D為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由題意得，，
∴，
∵是的“等位線”，
∴當點E在上時，則，
∴ ，
∴，即，
∴；
當點E在上時，則，
∴，
∴，即，
∴；
綜上所述，當點E在上時，，當點E在上時，；
（3）解：∵，
∴，
∴；
設，則，
∵的面積為n，
∴，
∵，面積為m，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當長度固定，點D在上運動時，當時，有最大值，最大值為；
∴的最大值為，此時點D為的中點．

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