資源簡介

10.3　實際問題與二元一次方程組（第1課時）
　　1．能找出實際問題中的已知量和未知量，分析它們之間的數量關系，列方程組求解．
　　2．會用二元一次方程組解決實際問題，掌握列方程組解決實際問題的一般步驟．
　　3．經歷探索用二元一次方程組解決實際問題的過程，進一步提高分析問題、解決問題的能力，體會數學建模思想．
　　探究用二元一次方程組解決實際問題的過程．
　　能尋找相等關系并列出方程組，能用方程組的解解釋實際問題．
知識回顧
　　1．解二元一次方程組的基本思想是 消元 ．
　　2．解二元一次方程組的基本方法有 代入消元法 和 加減消元法 ．
　　3．列一元一次方程解決實際問題的一般步驟：
　　（1）審：弄清題意，分清已知量和未知量，并找出相等關系．
　　（2）設：設未知數，并用含有未知數的式子表示出其他相關量．
　　（3）列：根據相等關系列出方程．
　　（4）解：通過解方程，求出未知數的值．
　　（5）驗：檢驗所得的未知數的值是不是所列方程的解，是否符合題意．
　　（6）答：根據題意寫出答案．
　　【師生活動】教師出示題目，學生獨立作答．
　　【設計意圖】復習學過的解二元一次方程組和列一元一次方程解決實際問題的相關知識，鞏固基礎，引出本節課的學習內容“用二元一次方程組解決實際問題”．
新知探究
一、探究學習
　　【問題】養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675 kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940 kg．飼養員李大叔估計每頭大牛1天需飼料18～20 kg，每頭小牛1天需飼料7～8 kg．你能通過計算檢驗他的估計嗎？
　　【思考】如何理解“通過計算檢驗他的估計”這句話？
　　【師生活動】學生自由發言，教師提示學生：對于估算的結果要通過精確求值來檢驗．學生根據提示補充回答：要想檢驗估計是否準確，需要分別計算出1頭大牛和1頭小牛1天約用的飼料量．
　　【思考】題目中有哪些未知量？
　　【師生活動】師生一起分析題目，找出題目中的未知量：1頭大牛1天約用的飼料量和1頭小牛1天約用的飼料量．
　　【思考】題目中有哪些相等關系？
　　【師生活動】教師引導學生找出題目中的關鍵信息，學生獨立思考，得到答案：
　　30頭大牛1天約用的飼料量＋15頭小牛1天約用的飼料量＝675 kg；
　　(30＋12)頭大牛1天約用的飼料量＋(15＋5)頭小牛1天約用的飼料量＝940 kg．
　　【思考】如何用二元一次方程組表示上面的兩個相等關系？
　　【師生活動】教師給出分析，學生小組討論，完成填空．
　　【分析】設每頭大牛1天約用飼料x kg，每頭小牛1天約用飼料y kg，那么30頭大牛和15頭小牛1天約用飼料 (30x＋15y) kg，(30＋12)頭大牛和(15＋5)頭小牛1天約用飼料 (42x＋20y) kg．
　　用二元一次方程組表示：
　　【設計意圖】通過問題串的形式，引導學生學會分析問題，找出兩個相等關系，并能根據兩個相等關系列出二元一次方程組，讓學生體會方程組在解決實際問題中的工具作用，滲透數學模型的思想．
　　【思考】飼養員李大叔的估計正確嗎？
　　【師生活動】學生獨立解出方程組，教師引導學生對比計算結果和李大叔的估計，得到結論．
　　【答案】解：設每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x kg和y kg．
　　由題意，得方程組
　　化簡，得解得
　　這就是說，每頭大牛1天約需飼料20 kg，每頭小牛1天約需飼料5 kg．
　　因此，飼養員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高．
　　【設計意圖】引導學生用方程組的解分析、解釋實際問題．
　　【追問】列一元一次方程能解決這個問題嗎？
　　【師生活動】學生獨立思考，完成作答．
　　【答案】解：設每頭大牛1天約用飼料x kg，則每頭小牛1天約用飼料 kg．
　　由題意，得方程(30＋12)x＋(15＋5)×＝940．解得x＝20．
　　所以＝＝5．
　　這就是說，每頭大牛1天約需飼料20 kg，每頭小牛1天約需飼料5 kg．
　　因此，飼養員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高．
　　【設計意圖】引導學生對比，發現列二元一次方程組比列一元一次方程簡單，讓學生體會有兩個未知量時，列二元一次方程組更簡單．
　　【問題】隨著養牛場規模逐漸擴大，李大叔需聘請飼養員協助管理現有的42頭大牛和20頭小牛．現有A，B兩種崗位，已知A崗位的飼養員每人負責8頭大牛和4頭小牛，B崗位的飼養員每人負責5頭大牛和2頭小牛，請問李大叔應聘請A，B兩種崗位的飼養員各多少人？
　　【師生活動】學生小組討論，完成作答．
　　【答案】解：設李大叔應聘請A崗位的飼養員x人，B崗位的飼養員y人．
　　由題意，得方程組解得
　　答：李大叔應聘請A崗位的飼養員4人，B崗位的飼養員2人．
　　【思考】列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？
　　【師生活動】教師引導學生回顧如何分析數量關系，發現相等關系，選擇適當的未知數，并列出方程組，學生總結列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，教師用框圖補充說明．
　　【新知】列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：
　　（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系．
　　（2）設：恰當地設未知數．
　　（3）列：根據（1）中的相等關系列方程組．
　　（4）解：正確地解方程組．
　　（5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意．
　　（6）答：答案要完整且單位統一．
　　【設計意圖】讓學生經歷列方程組解決實際問題的完整過程，總結運用方程組建立數學模型、解決實際問題的一般步驟．
二、典例分析
　　【例1】《孫子算經》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，則木長多少尺？
　　【師生活動】學生獨立思考，并小組討論，嘗試進行解答，教師給予幫助．
　　【答案】解：設木長x尺，繩子長y尺．
　　由題意，得解得
　　答：木長6.5尺．
　　【歸納】對于二元一次方程組問題，應設兩個未知數，找出兩個相等關系，列兩個方程，組成二元一次方程組計算．
　　【設計意圖】通過例題，讓學生學會用二元一次方程組解決古代數學問題．
　　【例2】已知A，B兩件服裝的成本共500元，某服裝店老板分別以30％和20％的利潤率定價后進行銷售，該服裝店共獲利130元，問A，B兩件服裝的成本各是多少元？
　　【師生活動】學生獨立思考，完成作答，教師講評．
　　【答案】解：設A服裝的成本為x元，B服裝的成本為y元．
　　由題意，得解得
　　答：A服裝的成本為300元，B服裝的成本為200元．
　　【歸納】銷售問題中的利潤和折扣問題的題目背景與現實生活緊密相連，分析題目時應注意：商品的售價＝商品的進價＋利潤＝(1＋利潤率)×進價．因此，解決此類問題時要弄清進價、售價、利潤率、折扣等專業名詞的含義，并按數量關系列出方程組．
　　【設計意圖】通過例題，讓學生學會用二元一次方程組解決銷售問題．
課堂小結
課后任務
　　完成教材第101頁練習第1題．10.3　實際問題與二元一次方程組（第2課時）
　　1．鞏固列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，會用方程組解決幾何問題．
　　2．通過解決開放性問題學會多角度思考問題．
　　3．探究較難的實際問題，提升分析數量關系、解方程組的能力，體會數學建模思想．
　　會用二元一次方程組解決幾何問題，并能用方程組的解解釋實際問題．
　　能尋找相等關系并列出方程組．
新課導入
　　1．列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是什么？
　　【師生活動】教師出示題目，學生獨立作答：
　　列方程組解決實際問題的一般步驟：
　　（1）審：弄清題中的已知量、未知量，找出題中的相等關系．
　　（2）設：恰當地設未知數．
　　（3）列：根據（1）中的相等關系列方程組．
　　（4）解：正確地解方程組．
　　（5）驗：檢驗解是不是原方程組的解且符合題意．
　　（6）答：答案要完整且單位統一．
　　【設計意圖】復習學過的列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，鞏固基礎．
　　2．如圖．（1）將長方形紙片折成面積之比為11的兩個小長方形，有多少種折法？
　　（2）將長方形紙片折成面積之比為12的兩個小長方形，有多少種折法？
　　【師生活動】教師出示題目，學生動手操作，完成作答．
　　【答案】解：（1）如圖，將長方形紙片折成面積之比為11的兩個小長方形，有2種折法．
　　（2）如圖，將長方形紙片折成面積之比為12的兩個小長方形，有4種折法．
　　【設計意圖】讓學生通過動手操作，知道按面積分割長方形的問題可轉化為分割邊長的問題，激發學生的學習興趣，為學習建立二元一次方程組模型解決幾何問題作準備．
新知探究
一、探究學習
　　【問題】據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是12．現要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是34？
　　【思考】如何求甲、乙兩種作物的總產量？
　　【師生活動】學生獨立思考作答：總產量＝單位面積產量×面積．
　　【思考】甲、乙兩種作物的總產量的比與種植面積的比有什么關系？
　　【師生活動】教師帶領學生分析題目的關鍵信息：
　　＝，＝，
　　所以＝，
　　即甲、乙兩種作物的總產量的比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比．
　　【思考】根據上面的分析可知，本題研究的是長方形面積的分割問題，你能畫出示意圖幫助自己理解嗎？
　　【師生活動】學生動手畫出示意圖，與教師展示的圖片對比，教師給出分析．
　　【分析】如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和BCFE．此時設AE＝x m，BE＝y m，根據問題中涉及長度、產量的數量關系，即可列出方程組．
　　【設計意圖】通過問題串的形式，引導學生學會分析幾何問題，找出數量關系．
　　【思考】你能列出方程組，并求出x，y的值嗎？
　　【師生活動】學生獨立列出方程組，并解方程組．
　　【答案】解：如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和BCFE．此時設AE＝x m，BE＝y m．
　　由題意，得方程組
　　化簡，得
　　解得
　　【思考】如何表述你的種植方案？
　　【師生活動】學生自由發言，互相啟發，不斷補充完善種植方案，師生一起總結：
　　過長方形土地的長邊上距一端80 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．
　　【設計意圖】讓學生學會如何利用方程組的解解釋幾何問題．
　　【追問】還有其他設計方案嗎？
　　【師生活動】學生小組討論，完成作答．
　　【答案】解：如圖，另一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形ABFE和EFCD．此時設AE＝x m，DE＝y m．
　　由題意，得方程組
　　化簡，得
　　解得
　　過長方形土地的短邊上距一端40 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．
　　【設計意圖】一題多解，引導學生體會思維的多樣性．
　　【追問】列一元一次方程能解決這個問題嗎？
　　【師生活動】學生獨立思考，完成作答．
　　【答案】解：①如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和BCFE．此時設AE＝x m，則BE＝(200－x)m．
　　由題意，得方程100x[2×100×(200－x)]＝34，
　　解得x＝120．
　　所以200－x＝200－120＝80．
　　過長方形土地的長邊上距一端80 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．
　　②如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形ABFE和EFCD．此時設AE＝x m，則DE＝(100－x)m．
　　由題意，得方程200x[2×200×(100－x)]＝34，
　　解得x＝60．
　　所以100－x＝100－60＝40．
　　過長方形土地的短邊上距一端40 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種甲種作物，較小一塊土地種乙種作物．
　　【問題】你認為列二元一次方程組解決實際問題和列一元一次方程解決實際問題有哪些相同點和不同點？
　　【師生活動】教師引導學生對比總結．
　　【歸納】（1）能列二元一次方程組解決的實際問題，一般都可以列一元一次方程解決．但是，隨著實際問題中未知量的增多和數量關系的復雜化，列方程組更加簡單直接，一般問題中有幾個相等關系就可以列出幾個方程．
　　（2）兩者的相同點是都需要先分析題意，把實際問題轉化為數學問題（設未知數，列方程或方程組），再檢驗解的合理性，進而得到實際問題的解．這一過程就是建模的過程．
　　【設計意圖】讓學生發現列方程組比列一元一次方程簡單，進一步體會建模思想，理解建模的一般步驟．
二、典例分析
　　【例1】某服裝廠用某種布料生產一批某種款式的秋裝，已知2 m布料可做衣身3個或衣袖5只，現計劃用132 m這種布料生產這批秋裝（不考慮布料的損耗），應怎樣分配布料才能使衣身和衣袖恰好配套？
　　【師生活動】學生獨立思考，并小組討論，嘗試進行解答．
　　【答案】解：設用x m布料做衣身，用y m布料做衣袖．
　　由題意，得解得
　　答：用60 m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套．
　　【歸納】用二元一次方程組解決配套問題
　　生產中的配套問題有很多，例如，螺栓和螺母的配套，桌面與桌腿的配套，衣身與衣袖的配套等；各種配套都有一定的數量比例，在本例中，準確找出相等關系“衣身數量×2＝衣袖數量”是解題的關鍵．
　　【設計意圖】通過例題，讓學生學會用二元一次方程組解決配套問題．
　　【例2】如圖，用10塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，則每塊地磚的長和寬分別是多少？
　　【師生活動】學生獨立思考，完成作答，教師講評．
　　【答案】解：設每塊地磚的長為x cm，寬為y cm．
　　由題意，得解得
　　答：每塊地磚的長為48 cm，寬為12 cm．
　　【歸納】列二元一次方程組解決有關圖形的問題時，常借助數形結合思想，發現各種量之間的關系，找出相等關系，從而列方程組解決問題．
　　【設計意圖】通過例題，讓學生鞏固用二元一次方程組解決幾何問題．
課堂小結
課后任務
完成教材第103頁練習第1~3題．10.3　實際問題與二元一次方程組（第3課時）
　　1．鞏固列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，會用列表的方式分析問題中蘊含的數量關系，能列二元一次方程組解決方案設計類問題．
　　2．在解決問題的過程中，體會列表在正確理解題意、分析較復雜的數量關系、順利列出方程組中的作用，知道有些問題設間接未知數便于分析問題、列方程組，滲透應用意識，體會方程組是解決實際問題的有效工具．
　　會用表格輔助分析問題；能設間接未知數解決實際問題．
　　能分析復雜問題中的數量關系．
知識回顧
如圖，絲路紡織廠與A，B兩地由公路、鐵路相連．這家紡織廠從A地購進一批長絨棉運回工廠，每噸運費29元，再把制成的紡織面料從工廠運到B地銷售，每噸的運費為32元，試求鐵路、公路運價分別為多少元/(t·km)？
　　【師生活動】教師提示：“多少元／(t·km)”指的是“每噸每千米多少元”，學生根據提示獨立思考作答．
　　【答案】解：設鐵路、公路運價分別為x元/(t·km)和y元/(t·km)．
　　由題意，得方程組
　　解得
　　答：鐵路、公路運價分別為0.2元/(t·km)和0.5元/(t·km)．
　　【設計意圖】復習前面學過的列二元一次方程組解決簡單的實際問題，鞏固基礎，激發學生的學習興趣，引出本節課學習的“列二元一次方程組解決復雜的實際問題”．
新知探究
一、探究學習
　　【問題】如圖，絲路紡織廠與A，B兩地由公路、鐵路相連．這家紡織廠從A地購進一批長絨棉運回工廠，制成紡織面料運往B地．已知長絨棉的進價為3.08萬元/t，紡織面料的出廠價為4.25萬元/t，公路運價為0.5元/(t·km)，鐵路運價為0.2元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費5 200元，鐵路運費16 640元．那么這批紡織面料的銷售額比原料費（原料費只計長絨棉的價格）與運輸費的和多多少元？
　　【思考】要求“這批紡織面料的銷售額比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道什么？
　　【師生活動】教師帶領學生分析題目的關鍵信息：銷售額與產品數量有關，原料費與原料數量有關，而公路運費和鐵路運費與產品數量和原料數量都有關．因此，我們必須知道產品數量和原料數量．
　　教師提問：怎樣設未知數？
　　學生獨立思考，設出未知數：設制成x t產品，購買y t原料．
　　教師追問：本題涉及的量較多，這種情況下常用列表的方式分析問題．本題涉及哪兩類量呢？
　　學生小組討論作答：一類是公路運費、鐵路運費、價值；另一類是產品數量、原料數量．
　　【設計意圖】使學生明確在直接設要求的量為未知數不容易列方程組時，應設間接未知數；讓學生認識到，解較復雜的實際問題時，可以用列表的方式分析問題中蘊含的數量關系．
　　【思考】你能根據題中數量關系完成下表嗎？
x t長絨棉 y t紡織面料 合計
公路運費/元
鐵路運費/元
價值/元
　　【師生活動】學生先獨立思考，教師給出題中涉及的數量關系：總價＝單價×數量，運輸費＝數量×運價×距離．
　　學生根據數量關系，小組討論，完成表格：
x t長絨棉 y t紡織面料 合計
公路運費/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y)
鐵路運費/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
價值/元 3.08x 4.25y
　　【思考】你發現相等關系了嗎？如何列方程組并求解？
　　【師生活動】學生獨立思考，列出方程組：
　　【答案】解：設制成x t產品，購買y t原料．
　　由題意，得方程組
化簡，得
解得
　　所以絲路紡織廠從A地購買了4000 t長絨棉，制成320 t紡織面料運往B地．
　　【思考】這批紡織面料的銷售額比原料費與運輸費的和多多少元？
　　【答案】銷售額：4.25y＝4.25×320＝1 360（萬元）；
　　原料費：3.08x＝3.08×400＝1 232（萬元）；
　　運輸費：5 200＋16 640＝21 840（元）；
　　13 600 000－(12 320 000＋21 840)＝1 258 160（元）．
　　這批紡織面料的銷售額比原料費與運輸費的和多1 258 160元．
　　【歸納】從以上探究可以看出，方程組是解決含有多個未知數問題的重要工具．用方程組解決問題時，要根據問題中的數量關系列出方程組，求出方程組的解后，應進一步考慮它是否符合問題的實際意義．
　　若在直接設要求的量為未知數不容易列方程（組）時，應設間接未知數，求得未知數的值后再計算要求的量．
　　【設計意圖】通過問題，引導學生學會利用表格分析復雜問題，找出兩個相等關系，并能根據兩個相等關系列出二元一次方程組，讓學生體會列表在正確理解題意、分析較復雜的數量關系、順利列出方程組中的作用，加深對數學建模思想的理解．
　　【問題】一個農機服務隊有技術員工和輔助員工共15人，技術員工人數是輔助員工人數的2倍．服務隊計劃對員工發放獎金共計20 000元．按每名技術員工A元和每名輔助員工B元兩種標準發放，其中A，B均不小于800，且A不小于B，并且A，B都是100的整數倍．（注：農機服務隊是一種農業機械化服務組織，為農民提供耕種、收割等有償服務．）
　　（1）求該農機服務隊中技術員工和輔助員工的人數；
　　（2）求本次獎金發放的具體方案．
　　【師生活動】教師給出分析，學生獨立思考，完成填空．
　　【分析】（1）①由“服務隊有技術員工和輔助員工共15人”得相等關系：　技術員工人數＋輔助員工人數＝15　．由“技術員工人數是輔助員工人數的2倍”得相等關系：　技術員工人數＝輔助員工人數×2　．
　　②設該農機服務隊有技術員工x人，輔助員工y人，根據①中的相等關系可列方程組 解得 即該農機服務隊有技術員工　10　人，輔助員工　5　人．
　　（2）①由“服務隊計劃對員工發放獎金共計20 000元”得相等關系：　技術員工總獎金＋輔助員工總獎金＝20 000元　．據此可列出關于A，B的二元一次方程：　10A＋5B＝20 000　．
　　②因為A≥B≥800，且A，B都是100的整數倍，
　　所以當B＝800時，A＝　1 600　；
　　當B＝900時，A＝　1 550　（A不是100的整數倍，舍去）；
　　當B＝1 000時，A＝　1 500　；
　　當B＝1 100時，A＝　1 450　（A不是100的整數倍，舍去）；
　　當B＝1 200時，A＝　1 400　；
　　當B＝1 300時，A＝　1 350　（A不是100的整數倍，舍去）；
　　當B＝1 400時，A＝　1 300　（A＜B，舍去）；
　　由此再取下去都不符合題意．
　　所以本次獎金發放的具體方案有3種：
　　方案1：技術員工每人　1 600　元，輔助員工每人800元；
　　方案2：技術員工每人　1 500　元，輔助員工每人1 000元；
　　方案3：技術員工每人　1 400　元，輔助員工每人1 200元．
　　【歸納】要求兩個量，且已知兩個相等關系，一般列二元一次方程組即可求解；若要求兩個量，且只知一個相等關系，則一般列二元一次方程，然后根據問題的實際情況討論得出符合題意的結果．
　　【設計意圖】讓學生體會列二元一次方程組解決方案設計類問題的一般步驟．
二、典例分析
　　【例題】某工廠去年的總產值比總支出多500萬元．由于今年總產值比去年增加15％，總支出比去年節約10％，因此，今年總產值比總支出多950萬元．今年的總產值和總支出各是多少萬元？
　　【師生活動】學生獨立思考，并小組討論，嘗試進行解答，教師給予指導．
　　【分析】解決此類問題要先明確幾個基本關系：（1）增長量＝原有量×增長率；
（2）原有量＝現有量－增長量；（3）現有量＝原有量×(1＋增長率)．再根據相等關系列方程組．
　　【答案】解：設去年總產值是x萬元，總支出是y萬元，列表如下：
總產值/萬元 總支出/萬元 差/萬元
去年 x y 500
今年 (1＋15％)x (1－10％)y 950
　　由題意，得
　　解得
　　所以(1＋15％)x＝2 300，(1－10％)y＝1 350．
　　答：今年的總產值是2 300萬元，總支出是1 350萬元．
　　【歸納】畫表格巧解增長率問題
　　在此類數量關系比較復雜的增長率題目中，僅靠想象尋找相等關系或列方程組，難免會出現顧此失彼的情況，如果能借助表格分析，將會更容易理清解題思路，從而列出方程組．
　　【設計意圖】通過例題，讓學生掌握用列表的方式分析問題中蘊含的數量關系，鞏固列二元一次方程組解決復雜的問題的一般步驟．
課堂小結
課后任務
　　完成教材第104頁練習第1~3題．

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