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2024-2025學年吳淞中學高一數學5月月考卷
一、填空題（共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）
1.代數式（其中）可化簡為____________
【解析】
已知，，，則　　．
【解析】
已知不等式的解集為，則實數 ．
【解析】3
若，則 　 ．
【解析】
在中，，，，則　　．
【解析】
設a、b∈R，i是虛數單位，則“ab=0”是“復數a+bi為純虛數的”　 ．(填充分不必要條件,必要不充分條件,充分必要條件 ,既不充分也不必要條件)
【解析】必要不充分條件
已知虛數是1的一個四次方根，復數，，用列舉法表示滿足條件的組成的集合為 　　．
【解析】
設,不等式對恒成立,則的取值范圍為____________.
【解析】
9、若定義在區間上的函數對于上的任意個值總滿足，
則稱為上的凸函數，現已知在（0，）上是凸函數，則在銳角中，的最大值是_______
【解析】
10.已知，，且，其中所有正確結論的序號是 ．
1． 2． 3． 4．
【解析】
11.已知函數，，則滿足不等式的實數的取值范圍是
）　　　　　
12.某同學對函數進行研究后,得出以下結論：
①函數的圖像是軸對稱圖形；
②對任意實數,均成立；
③函數的圖像與直線有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等；
④當常數滿足時,函數的圖像與直線有且僅有一個公共點.
其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①②④
二、選擇題（共4題，滿分12分，每題3分）
13.已知集合，，且都是全集的子集，則下圖所示的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）

B． C． D．
【解析】
14.現有下列四個結論：
①對任意向量、，有；②對任意向量，有；
③對任意復數，有；④對任意復數，有．
其中正確的個數為　　故選：．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
15.已知直角坐標平面上的向量和一組互不相等非零向量、、、滿足：，、2、、．若存在，對任意，使得為定值，則滿足要求的的個數最多是　　個．
A．2 B．3 C．4 D．無數
【解析】
16.已知，則方程的實數根個數不可能為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【解析】
解答題（共5題，滿分46分，17題6分，18題8分，19、20題10分，21題12分）
17.已知，其中是虛數單位，為實數．
（1）當為純虛數時，求的值；
（2）當復數在復平面內對應的點位于第二象限時，求的取值范圍．
【解析】
（1）為純虛數，，解得；
（2）在復平面內對應的點位于第二象限，
，解得或．的取值范圍是，，．
18.已知集合，
(1)命題命題，且是的必要不充分條件，求實數的取值范圍；
(2)函數的定義域為，若,實數的取值范圍.
【解析】（1）解不等式，即，則；
解不等式，即，解得.
所以 ．由于p是q的必要非充分條件，則是的真子集，
所以等號不同時成立且，解得，因此，實數的取值范圍是.
（2）因為，在內有解.
，令，
則，所以.
19.已知函數的最小正周期是，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變；再將所得函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，的面積為3，求邊長的值．
【解析】
（Ⅰ）
．
的最小正周期為，且，，．．
將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，
得到函數的圖象，再將所得函數圖象向右平移個單位，
得到函數的圖象，故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，．
的面積為3，，又，，得．
由．得．
20.已知中，過重心的直線交線段于，交線段于，連結并延長交于點，設的面積為，的面積為，．
（1）用表示，并證明為定值；
（2）求的取值范圍．
【解析】
（1）根據題意，；
，，，三點共線，則存在，使得，
即，即，
，整理得，所以為定值；
（2）根據題意，由（1），
，，
，，
則當時，取得最小值，當時，取得最大值，
的取值范圍為．
21.如果函數在其定義域內存在實數，使得成立，那么稱是函數的“階梯點”．
(1)試判斷函數是否有“階梯點”，并說明理由；
(2)判斷函數是否有唯一“階梯點”,并說明理由；
(3)設函數在區間內有“階梯點”，求實數的取值范圍．
【解析】
（1）假設有“階梯點”，則是方程的解，
而方程可化為，該方程無實根，
所以函數無“階梯點”．
（2）假設是的“階梯點”，則是方程的解．方程化為考慮函數，顯然函數是上的單調增函數，且，故有唯一“階梯點”.
（3）綜上所述：的取值范圍是．2024-2025學年吳淞中學高一數學5月月考卷
一、填空題（共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）
1.代數式（其中）可化簡為____________
已知，，，則　　．
已知不等式的解集為，則實數 ．
若，則 　 ．
在中，，，，則　　．
設a、b∈R，i是虛數單位，則“ab=0”是“復數a+bi為純虛數的”　 ．(填充分不必要條件,必要不充分條件,充分必要條件,既不充分也不必要條件)
已知虛數是1的一個四次方根，復數，，用列舉法表示滿足條件的組成的集合為 　　．
設,不等式對恒成立,則的取值范圍為____________.
9、若定義在區間上的函數對于上的任意個值總滿足，
則稱為上的凸函數，現已知在（0，）上是凸函數，則在銳角中，的最大值是_______
10.已知，，且，其中所有正確結論的序號是 ．
1． 2． 3． 4．
11.已知函數，，則滿足不等式的實數的取值范圍是　　
12.某同學對函數進行研究后,得出以下結論：
①函數的圖像是軸對稱圖形；
②對任意實數,均成立；
③函數的圖像與直線有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等；
④當常數滿足時,函數的圖像與直線有且僅有一個公共點.
其中所有正確結論的序號是 ．
二、選擇題（共4題，滿分12分，每題3分）
13.已知集合，，且都是全集的子集，則下圖所示的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）

B． C． D．
14.現有下列四個結論：
①對任意向量、，有；②對任意向量，有；
③對任意復數，有；④對任意復數，有．
其中正確的個數為　　故選：．
A．0 B．1 C．2 D．3
15.已知直角坐標平面上的向量和一組互不相等非零向量、、、滿足：，、2、、．若存在，對任意，使得為定值，則滿足要求的的個數最多是　　個．
A．2 B．3 C．4 D．無數
16.已知，則方程的實數根個數不可能為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
解答題（共5題，滿分46分，17題6分，18題8分，19、20題10分，21題12分）
17.已知，其中是虛數單位，為實數．
（1）當為純虛數時，求的值；
（2）當復數在復平面內對應的點位于第二象限時，求的取值范圍．
18.已知集合，
(1)命題命題，且是的必要不充分條件，求實數的取值范圍；
(2)函數的定義域為，若,實數的取值范圍.
19.已知函數的最小正周期是，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變；再將所得函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，的面積為3，求邊長的值．
20.已知中，過重心的直線交線段于，交線段于，連結并延長交于點，設的面積為，的面積為，．
（1）用表示，并證明為定值；
（2）求的取值范圍．
21.如果函數在其定義域內存在實數，使得成立，那么稱是函數的“階梯點”．
(1)試判斷函數是否有“階梯點”，并說明理由；
(2)判斷函數是否有唯一“階梯點”,并說明理由；
(3)設函數在區間內有“階梯點”，求實數的取值范圍．

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