資源簡(jiǎn)介

/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
05 二次函數(shù)的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的應(yīng)用
1. 用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
1）審：仔細(xì)審題，理清題意；
2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題；
5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.
【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問(wèn)題結(jié)論．
2. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的常見類型
常見的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等，對(duì)此類問(wèn)題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.
【即時(shí)訓(xùn)練】
1．（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．
(1)請(qǐng)?jiān)谑疽鈭D中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過(guò)？
2．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期末）一超市銷售某種水果，收集每日該水果所得的利潤(rùn)（元）與售出質(zhì)量（）的數(shù)據(jù)，并描點(diǎn)如圖所示，發(fā)現(xiàn)與滿足函數(shù)關(guān)系式．
(1)求，的值．
(2)當(dāng)每日售出多少該水果時(shí)，所得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？
3．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，小明的爸爸要用一堵長(zhǎng)為4m的墻和長(zhǎng)為18m的籬笆圍一個(gè)小型養(yǎng)雞場(chǎng)，要求：①墻和籬笆全部利用；②圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大．圖1是小明的爸爸把墻體全部利用起來(lái)圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)，圖2是小明把墻體向外用籬笆延伸了一段長(zhǎng)，然后用剩余的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)．
(1)請(qǐng)計(jì)算小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積；
(2)請(qǐng)計(jì)算小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)比爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積大多少？
4．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）國(guó)慶期間某旅游點(diǎn)一家商鋪銷售一批成本為每件50元的商品，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）．
(1)請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式 ．
(2)設(shè)該商鋪銷售這批商品獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)＝總銷售額﹣總成本）為w元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，可獲得的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？
(3)若該商鋪要保證銷售這批商品的利潤(rùn)不能低于4000元，則銷售單價(jià)x（元）的取值范圍是 ．（直接寫答案）
5．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）綜合與實(shí)踐
素材1：一年一度的科技節(jié)即將到來(lái)，小明所在的科技小組研制了一種航模飛機(jī)．通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)的水平飛行距離（單位：）與相對(duì)應(yīng)的飛行高度（單位：）的數(shù)據(jù)（如表）
飛行水平距離（單位：） 0 20 40 60 80 100 …
飛行高度（單位：） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛航模飛機(jī)，已知航模的飛行高度（單位：）與水平飛行距離（單位：）滿足二次函數(shù)關(guān)系．
任務(wù)1：請(qǐng)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不用寫自變量的取值范圍），并求出航模的最遠(yuǎn)飛行距離；
任務(wù)2：在安全線上設(shè)置回收區(qū)域，點(diǎn)的右側(cè)為回收區(qū)域（包括端點(diǎn)），．若飛機(jī)落在回收區(qū)域內(nèi)，求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度．
6．（2024·浙江臺(tái)州·一模）圖1是城市人行天橋的效果圖，天橋頂部由四段完全相同的拋物線形鋼架構(gòu)成．可以把天橋單側(cè)的兩段鋼架抽象成如圖2所示兩段拋物線，并建立如圖平面直角坐標(biāo)系．已知天橋總長(zhǎng)50米，并在人行道兩側(cè)各均勻分布著6根鋼柱，其中 米， 米．

(1)如果拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)剛好落在點(diǎn)F．求該拋物線的解析式；
(2)在（1）的條件下求單側(cè)6根鋼柱的總長(zhǎng)度；
(3)現(xiàn)需要修改鋼架結(jié)構(gòu)，將拋物線頂點(diǎn)移到EF右側(cè)，到EF水平距離為1米，且使拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) F，與鋼柱AB有交點(diǎn)，求此時(shí)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)k的取值范圍．
【題型1 圖形問(wèn)題】
1．為了深入推進(jìn)勞動(dòng)教育，開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，某校打算建一個(gè)如圖所示的矩形菜地．菜地的一面利用學(xué)校邊墻（墻長(zhǎng)），其他三面用柵欄圍住，但要開一扇寬的進(jìn)出口（不需要柵欄），已知柵欄的總長(zhǎng)度為，求矩形菜地的面積最大為多少平方米（柵欄的寬度忽略不計(jì)）
2．某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻，墻的長(zhǎng)度為13m，另外三面用棚欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為m（如圖）．
(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為，求此時(shí)x的值；
(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？
3．學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)，籬笆長(zhǎng)．設(shè)垂直于墻的邊為．
(1)圍成的矩形花圃的面積能否為？若能，求出x的值；若不能，說(shuō)明理由；
(2)圍成的矩形花圃的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)x的值；若不存在，說(shuō)明理由．
4．如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不超過(guò)），用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料），設(shè)，矩形的面積為．
(1)請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
(2)怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為？
(3)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大為多少？
5．九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課余時(shí)間里，利用一面學(xué)校的墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為15米)，現(xiàn)用長(zhǎng)為34米柵欄（安裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐．設(shè)矩形菜地垂直于墻的柵欄邊AB長(zhǎng)為x米，面積為S平方米．
(1)直接寫出S與x間的函數(shù)解析式（不要求寫x的取值范圍）；
(2)圍成的菜地面積能達(dá)到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)當(dāng)x的值是多少時(shí)，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？
【題型2 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】
6．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么的面積隨出發(fā)時(shí)間如何變化？
(1)用含的式子表示：
___________，___________，___________．
(2)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍．
7．如圖，已知等腰直角的直角邊長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)均為厘米，與在同一條直線上，開始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合，讓以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動(dòng)，最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，求重疊部分的面積y（平方厘米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式．
8．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為.
(1)求隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.
(2)當(dāng)為時(shí)，的值時(shí)多少？
(3)當(dāng)取何值時(shí)，面積最大，最大是多少？
9．如圖，在中，，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題，并寫出探索的主要過(guò)程．
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為？
(3)請(qǐng)用配方法說(shuō)明，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形的面積最小？最小面積是多少？
10．如圖，矩形的兩邊長(zhǎng)，，點(diǎn)、分別從A、B同時(shí)出發(fā)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)，、停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為．
(1)填空： ， （用含的代數(shù)式表示）；
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)當(dāng)為何值時(shí)，的面積的最大，最大值是多少？
【題型3 拱橋問(wèn)題】
11．如圖的一座拱橋，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面，已知橋洞的拱形是拋物線的一部分，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若有一艘船準(zhǔn)備從橋下穿過(guò)，船艙頂部為矩形，船比水面高出，當(dāng)船的寬度小于多少米時(shí)，船能安全穿過(guò)橋洞．（船艙頂部矩形的寬所在的邊始終與平行）
12．鄉(xiāng)村振興關(guān)鍵在產(chǎn)業(yè)．近年來(lái)，某縣區(qū)通過(guò)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化大棚，種植圣女果、普羅旺斯西紅柿、草莓等，讓大棚產(chǎn)業(yè)照亮農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)致富路，實(shí)現(xiàn)村民穩(wěn)定增收．如圖2，某農(nóng)戶的大棚截面上半部分可近似看作拋物線，下半部分可看作矩形，以所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚棚頂最高點(diǎn)E到地面的距離為7米，米，棚寬米．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)為了加固棚頂，現(xiàn)需在上方的拋物線部分加裝一根橫梁（點(diǎn)P、Q均在拋物線上），且，若橫梁與地面的距離是米，則橫梁的長(zhǎng)度是多少米？
13．陜北部分區(qū)域的居民冬天為了便于儲(chǔ)存糧食，會(huì)在山上開鑿?fù)粮G洞，這種方式能保護(hù)糧食不會(huì)凍壞，而且糧食也不會(huì)因?yàn)闊岫l(fā)芽變質(zhì)．如圖，在山上開鑿一個(gè)底部寬為3米（米）、形狀接近于拋物線的窯洞，窯洞頂部到地面的最大高度為米，洞口部分用磚頭砌墻保護(hù)，正中間安裝一個(gè)正方形的雙開門．若以O(shè)為原點(diǎn)，為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)若安裝的門的上端和窯洞相接，底邊在x軸上，求門的面積．
14．周末，小明跟父母去寧強(qiáng)網(wǎng)紅打卡地玩耍，小明的爸爸在樹蔭下將吊床綁在距離為米的樹與樹之間（米），兩邊拴繩的地方、距地面的高度均為米（米），吊床形狀近似呈拋物線形，此時(shí)吊床最低點(diǎn)離地面的高度為米．已知，，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．以樹與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面上所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)?shù)醮采夏程庪x地面高度為米時(shí)，求吊床上該處離右邊樹的距離．
15．開封是我國(guó)西瓜三大主產(chǎn)區(qū)之一，西瓜種植歷史悠久，始于五代，廣種于宋，已有1000多年栽培歷史，南宋詩(shī)人范成大曾在他的《西瓜園》一詩(shī)中云：“碧蔓凌霜臥軟沙，年來(lái)處處食西瓜”．圖1是某瓜農(nóng)種植的吊籃西瓜．為了提供更好的生長(zhǎng)環(huán)境，促進(jìn)西瓜生長(zhǎng)、豐產(chǎn)，該瓜農(nóng)搭建了西瓜大棚，其橫截面可模擬為拋物線．如圖2是大棚的橫截面，大棚在地面上的寬度是，最高點(diǎn)C距地面的距離為．以水平地面為x軸，的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)根據(jù)圖2，若一位身高的瓜農(nóng)想要在大棚內(nèi)站直行走，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該瓜農(nóng)站直行走的橫向距離是否超過(guò)．
【題型4 銷售問(wèn)題】
16．在杭州舉辦的亞運(yùn)會(huì)令世界矚目，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”家喻戶曉，其相關(guān)產(chǎn)品成為熱銷產(chǎn)品．某商店購(gòu)進(jìn)了一批吉祥物毛絨玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)30元．若毛絨玩具每個(gè)的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個(gè)；若每個(gè)售價(jià)提高1元，則每天少賣2個(gè)．
(1)設(shè)該吉祥物毛線玩具每個(gè)售價(jià)定為元，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若獲利不得高于進(jìn)價(jià)的，每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售玩具所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
17．抖音直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．為提高我縣特產(chǎn)紅富士蘋果的影響力，某電商在抖音平臺(tái)上對(duì)我縣紅富士蘋果進(jìn)行直播銷售．已知蘋果的成本價(jià)為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可售出160千克.通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每千克蘋果售價(jià)增加1元，日銷售量減少20千克．若想通過(guò)漲價(jià)增加每日利潤(rùn)，設(shè)漲價(jià)后的售價(jià)為元，每日獲得的利潤(rùn)為元.
(1)漲價(jià)后每日銷量將減少______件（用含的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，每日獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？
18．禧愛花店以元/盆的價(jià)格新購(gòu)進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價(jià)，調(diào)查了附近五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價(jià)與日銷售量情況，并記錄如下：
售價(jià)（元/盒） 18 20 22 26 30
日銷售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可知日銷售量是售價(jià)的一次函數(shù)，求日銷售量與售價(jià)之間的關(guān)系式；
(2)根據(jù)以上信息，禧愛花店將售價(jià)定為多少時(shí)，每天能夠獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
19．某文具店購(gòu)進(jìn)一批毛筆，每支進(jìn)價(jià)為10元，出于營(yíng)銷考慮，要求每支毛筆的售價(jià)不低于10元且不高于14元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該毛筆每周的銷售量y（支）與每支毛筆的售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系；當(dāng)銷售單價(jià)為11元時(shí)，銷售量為18支；當(dāng)銷售單價(jià)為12元時(shí)，銷售量為16支．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)該文具店每周銷售這種毛筆所獲得的利潤(rùn)為w元，將該毛筆銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使文具店銷售該毛筆所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
20．網(wǎng)絡(luò)直播銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式．某公司在一銷售平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售某種產(chǎn)品．已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為6元/千克，每日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于30元/千克．設(shè)該公司銷售這種產(chǎn)品的日獲利為（元）．
（元/千克） 7 8 9
（千克） 4300 4200 4100
(1)直接寫出日銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量的取值范圍）；
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司銷售這種產(chǎn)品日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？
(3)請(qǐng)直接寫出當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該公司日獲利不低于43500元？
【題型5 投球問(wèn)題】
21．?dāng)S沙包是一種傳統(tǒng)兒童游戲，投擲者用內(nèi)裝谷粒或者沙子的布包向遠(yuǎn)處的目標(biāo)進(jìn)行投擲，以投中目標(biāo)為勝，沙包的飛行軌跡近似拋物線．設(shè)沙包飛行的水平距離為（單位：m），相對(duì)應(yīng)的飛行高度為（單位：m）．李華在處以跪蹲姿勢(shì)向遠(yuǎn)處的布幔投擲沙包，沙包飛行軌跡的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，為拋物線的頂點(diǎn)，已知布幔垂直于軸，且，布幔上的目標(biāo)與的距離為0.26米．
(1)求沙包飛行軌跡拋物線的解析式 （無(wú)需寫出自變量的取值范圍）；
(2)為了擊中目標(biāo)，應(yīng)將布幔向前或后移動(dòng)多少米？
22．如圖1所示的是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器——發(fā)石車．將發(fā)石車置于山坡底部處，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將某發(fā)射出去的石塊看作一個(gè)點(diǎn)，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分．山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，垂直距離為．已知發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該石塊能否飛越防御墻．
23．打乒乓球是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，能提升反應(yīng)速度、增強(qiáng)體力、釋放壓力、改善視力……乒乓球桌的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為，小浩從球桌邊沿正上方擊打乒乓球向正前方運(yùn)動(dòng)，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線近似是拋物線的一部分．以球桌面所在直線為軸、所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，乒乓球擊打后的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系．
(1)此次擊打乒乓球運(yùn)行的最大豎直高度是多少？
(2)擊打后乒乓球能過(guò)球桌正中間的網(wǎng)（網(wǎng)高），并落到對(duì)方桌面上，算擊打成功．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷這次乒乓球擊打是否成功．
24．再一次校運(yùn)會(huì)上，一名男同學(xué)仍鉛球時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為如圖所示的一條拋物線，已知仍出鉛球時(shí)，鉛球距離男同學(xué)的水平距離長(zhǎng)為x（單位：m），距離地面高度為y（單位：m）滿足下表關(guān)系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
(1)求出鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；
(2)若鉛球落地的沙坑低于水平面，沙坑邊緣與男同學(xué)的距離，計(jì)算裁判員測(cè)量的鉛球落地位置G到F的距離；
(3)為了使鉛球拋出距離更遠(yuǎn)，該男同學(xué)計(jì)劃讓鉛球扔出后，達(dá)到的最大高度在B的下方米處，試計(jì)算說(shuō)明，該男同學(xué)的拋出的鉛球距離是增大還是減少？增大（或減少）多少．
25．為迎接學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)研究了每位同學(xué)擲實(shí)心球的訓(xùn)練情況，下面是對(duì)小宇同學(xué)某次擲球的研究．根據(jù)實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的路線，發(fā)現(xiàn)其行進(jìn)路線是拋物線的一部分．如圖，以過(guò)點(diǎn)O水平方向的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O豎直方向的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
1 2 4 6 7 …
2.25 3 2.25 …
(1)求實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫自變量的取值范圍）
(2)求實(shí)心球出手時(shí)（即與y軸交點(diǎn)）的高度；
(3)當(dāng)實(shí)心球落地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離超過(guò)時(shí)，得分為滿分．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小宇此次擲球是否得到滿分．
【題型6 噴水問(wèn)題】
26．【問(wèn)題情境】如圖是噴水管從點(diǎn)A向四周噴出水花的噴泉截面示意圖，噴出的水花是形狀相同的拋物線．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C，D為水花的落水點(diǎn)且在x軸上，其中右側(cè)拋物線的解析式為，噴水管的高度為．
【問(wèn)題解決】
(1)求a的值；
(2)現(xiàn)重新改建噴泉，降低噴水管，使落水點(diǎn)與噴水管的水平距離為9m，求噴水管要降低的高度．
27．某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河河邊打造噴水景觀，如圖①，為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中．圖②是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，當(dāng)水柱離噴水口處水平距離為2米時(shí)，水柱離地面的垂直距離最大，其最大值為4米．以為原點(diǎn)，直線為軸，垂直于路面方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)出于安全考慮，在河道的壩邊處豎直向上安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.2米，判斷水柱是否會(huì)噴射到護(hù)欄上，并說(shuō)明理由．
28．如圖，公園的花壇正中間有一個(gè)噴灌嘴，將開關(guān)開至最大時(shí)，噴出的水流形狀接近于拋物線．當(dāng)水流距離地面時(shí)，距噴灌嘴的水平距離為，水流落地點(diǎn)距噴灌嘴的水平距離．
(1)求水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)為了給公園增添藝術(shù)氛圍，園林部門計(jì)劃在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度為，求與噴灌嘴的水平距離在多大范圍內(nèi)時(shí)，雕塑不會(huì)被水流直接噴到；
②若在距噴灌嘴水平距離為處有一高度為的雕塑，請(qǐng)判斷該雕塑是否會(huì)被水流直接噴到？
29．學(xué)科實(shí)踐：
任務(wù)背景
“碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景區(qū)不僅是一條岸綠水清、鳥語(yǔ)花香的生態(tài)走廊，更是一條展現(xiàn)厚重城市底蘊(yùn)的文化長(zhǎng)廊、一條展現(xiàn)城水相融、人水相親的幸福長(zhǎng)廊．
研究素材
圖1是景區(qū)中的一個(gè)噴灌設(shè)備，圖2是該設(shè)備噴灌時(shí)的示意圖，已知高為米，噴出水柱可以近似得看作一條拋物線，該拋物線最高點(diǎn)距離地面米，距離的水平距離為米．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
問(wèn)題解決
(1)以水平地面為軸，以噴水裝置所在直線為軸，在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)求該噴灌設(shè)備能夠灌溉的點(diǎn)到噴灌裝置的最大水平距離（精確到1米）．
(3)若給該噴灌設(shè)備安裝一個(gè)可自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴頭，噴灑區(qū)域是一個(gè)以點(diǎn)為圓心的圓，求噴灑區(qū)域的面積（精確到1平方米）？
30．某小區(qū)有一個(gè)噴水池，噴水池的中心有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心處達(dá)到最大高度，水柱落地點(diǎn)到水池中心的水平距離為，以水平方向?yàn)檩S，噴水池中心為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
(1)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為________、__________；
(2)求水柱所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(3)王師傅在噴水池維修設(shè)備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為的地方，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明身高的王師傅是否會(huì)被淋濕？
【題型7 增長(zhǎng)率問(wèn)題】
31．某超市1月份的營(yíng)業(yè)額為100萬(wàn)元，第一季度的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，如果每月平均增長(zhǎng)率為，那么與的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A． B．
C． D．
32．某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為10萬(wàn)元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
33．某印刷廠10月份印書20萬(wàn)冊(cè)，如果第四季度從11月份起，每月的印書量的增長(zhǎng)率都為，如果設(shè)12月份比10月份多印了萬(wàn)冊(cè)，那么關(guān)于的函數(shù)解析式是 ．（不寫定義域）
34．某市今年第一季度的專項(xiàng)教育投入為億元，第二季度比第一季度增長(zhǎng)的百分比為，第三季度增長(zhǎng)的百分比是第二季度增長(zhǎng)百分比的倍，則第三季度專項(xiàng)教育投入（億元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為 ．（不要求寫自變量的取值范圍）
35．某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為，預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率為，設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．
(1)求與的關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)，求今年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？
【題型8 其他問(wèn)題】
36．在某次科技活動(dòng)中，小明利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)借助打印設(shè)備制作了兩款水杯（分別記為1號(hào)杯和2號(hào)杯），并對(duì)兩款水杯所盛水的水面高度與體積之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析：
1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系如表：
0.1 0.3
2 6
水面高度與體積近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系．
2號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖所示：
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)求1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求2號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式．
37．“動(dòng)若脫兔”是一個(gè)漢語(yǔ)成語(yǔ)，這個(gè)成語(yǔ)的含義是：在行動(dòng)時(shí)變得敏捷迅速，就像脫逃的兔子一樣．野兔跳躍時(shí)的空中運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．
(1)野兔一次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為米，最大豎直高度為米，以其起跳點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求滿足條件的拋物線的解析式；（無(wú)需寫出取值范圍）
(2)若距野兔起跳點(diǎn)2米處有一個(gè)高度為米的樹樁，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明野兔是否能成功越過(guò)木樁；若不能，野兔至少需要再向前走多遠(yuǎn)開始起跳才可成功越過(guò)木樁？
38．如圖，某汽車停車棚的棚頂?shù)臋M截面可以看作拋物線的一部分．棚頂?shù)呢Q直高度（）與距離停車棚支柱的水平距離（）近似滿足函數(shù)．立柱的長(zhǎng)為，棚頂?shù)耐舛说呢Q直高度為，到立柱的水平距離為．一廂式貨車的截面看作矩形，長(zhǎng)為，高為，試判斷貨車能否完全停在車棚內(nèi)．
39．“城市軌道交通是現(xiàn)代大城市交通的發(fā)展方向，發(fā)展軌道交通是解決大城市病的有效途徑．”如圖，這是2024年南昌地鐵（）線路圖．小華了解到地鐵1號(hào)線列車從萬(wàn)壽宮站開往秋水廣場(chǎng)站時(shí)，在距離停車線256米處開始減速．他想知道列車從減速開始，經(jīng)過(guò)多少秒停下來(lái)，以及最后三秒滑行的距離．為了解決這些問(wèn)題，小華通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)描述列車離停車線的距離s（米）與滑行時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用該函數(shù)解決相應(yīng)的問(wèn)題．
(1)建立模型
①收集數(shù)據(jù)
t/秒 0 4 8 12 16 20 24
s/米 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐標(biāo)系
為了觀察s（米）與t（秒）的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；
③描點(diǎn)連線
請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中將表中未描出的點(diǎn)補(bǔ)充完整，并用平滑的曲線依次連接；
④選擇函數(shù)模型
觀察這條曲線的形狀，它可能是 函數(shù)的圖象；
⑤求函數(shù)解析式
請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出s關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)應(yīng)用模型
列車從減速開始經(jīng)過(guò)多少秒，列車停止；最后三秒鐘，列車滑行的距離為多少米．
40．汽車行駛在高速公路上遇到意外情況時(shí)，緊急停車需要經(jīng)歷反應(yīng)（反應(yīng)時(shí)間為秒）和制動(dòng)兩個(gè)過(guò)程，反應(yīng)距離和制動(dòng)距離分別記為和（單位：），停車距離為．（參考數(shù)據(jù)：）
汽車在反應(yīng)過(guò)程保持原速度勻速運(yùn)動(dòng)，制動(dòng)過(guò)程中的路程與行駛速度關(guān)系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制動(dòng)距離（） 0 2 8 18 32 …
(1)將表格中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，并求出與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)行駛速度為時(shí)，求剎車距離S；
(3)疲勞駕駛會(huì)導(dǎo)致司機(jī)制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間增加，反應(yīng)時(shí)間為正常時(shí)間的3倍，當(dāng)疲勞駕駛停車距離比正常情況下增加時(shí)，求汽車原速度為多少．
【拓展訓(xùn)練一 二次函數(shù)的存在性問(wèn)題】
41．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形的面積最大，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
42．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，的長(zhǎng)為l，請(qǐng)寫出l關(guān)于m的表達(dá)式，當(dāng)l取最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P為拋物線上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)P使得，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
43．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式：
(2)連接，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交線段于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段有最大值？請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和的最大值；
(3)連接，若關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形是，是否存在點(diǎn)D，使得四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
44．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為常數(shù)，且與直線交于兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拖物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
45．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．
(1)求拋物線關(guān)系式．
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)D，E分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
【拓展訓(xùn)練二 二次函數(shù)的含參式應(yīng)用題】
46．“六一”兒童節(jié)期間，某超市以元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)入一批兒童禮品．在銷售前，銷售經(jīng)理進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研．
調(diào)研數(shù)據(jù)：下表是日銷售數(shù)量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的部分調(diào)研數(shù)據(jù)：
銷售單價(jià)x/元 … …
日銷售數(shù)量y/個(gè) … …
建立模型：（1）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函數(shù)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_________．
問(wèn)題解決：（2）兒童禮品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）若該超市決定每銷售一個(gè)兒童禮品就向兒童福利院捐贈(zèng)m元，捐贈(zèng)后，該兒童禮品日銷售最大利潤(rùn)為元，求m的值．
47．如圖，2020年是脫貧攻堅(jiān)決勝年．某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過(guò)測(cè)算為20元，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)的銷售單價(jià)p（元）與時(shí)間 t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，且其日銷售量與時(shí)間t（天）的關(guān)系是 天數(shù)為整數(shù)．
(1)試求銷售單價(jià)p（元）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)問(wèn)哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？
(3)在實(shí)際銷售的前30天中，公司決定每銷售水果就捐贈(zèng)n元利潤(rùn) 給“精準(zhǔn)扶貧“對(duì)象．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前30天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求n的取值范圍．
48．某公司推出一款產(chǎn)品，成本價(jià)元/千克，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，該產(chǎn)品的日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，該產(chǎn)品的日銷售量與銷售單價(jià)之間的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：
銷售單價(jià)（元/千克）
日銷售量（千克）
注：日銷售利潤(rùn)日銷售量（銷售單價(jià)成本單價(jià)）
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出的取值范圍）；
(2)當(dāng)銷售價(jià)格為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元；
(3)該公司決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐贈(zèng)元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象，為了保證捐贈(zèng)后每天的剩余利潤(rùn)不低于元，請(qǐng)直接寫出該產(chǎn)品銷售單價(jià)的范圍_________．
49．某玩具店銷售一款玩具，已知該玩具成本為20元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該玩具每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式：，為了保證利潤(rùn)，規(guī)定．
(1)當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，該玩具每天的銷售額為多少？（銷售額銷售量銷售單價(jià)）
(2)求銷售該玩具每天的利潤(rùn)w（元）的最大值．
(3)該店為響應(yīng)“助力防控，回饋社會(huì)”活動(dòng)，決定每賣出一個(gè)玩具就捐贈(zèng)a元（），若每天扣除捐款后仍可獲最大利潤(rùn)196元，則a的值為多少？
50．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂40元，售價(jià)為每頂68元，平均每周可售出100頂，商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，每頂售價(jià)不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，平均每周可多售出20頂．
(1)若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少？
(2)商店降價(jià)銷售后，決定每銷售1頂頭盔，就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（m為整數(shù)，且），幫助做“交通安全”宣傳，捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大，求m的值．
【拓展訓(xùn)練三 二次函數(shù)的倍角計(jì)算問(wèn)題】
51．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，存在，求出的值；
(3)在拋物線上取點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)，問(wèn)是否存在以、、、為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
52．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值；
②該拋物線上存在點(diǎn)P，使得，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．
53．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接、．
(1)求：，的值；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，求出的值；
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展訓(xùn)練四 二次函數(shù)的面積問(wèn)題】
54．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，軸，交直線于點(diǎn)D，求線段的最大值．
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)q的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
55．如圖， 拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)且 時(shí)：
求的取值范圍；
若 ，直接寫出的值．
56．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．且該拋物線的對(duì)稱軸為直線．
(1)求該拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展訓(xùn)練五 二次函數(shù)的新定義問(wèn)題】
57．定義：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，若該三角形的重心恰好在x軸上，則稱此三角形為“平穩(wěn)三角形”．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，A是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A在第三象限．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若為“平穩(wěn)三角形”，中線AD交x軸于點(diǎn)G，求的面積．
58．定義：已知平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），，且軸，若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則稱拋物線是線段的“共弦拋物線”．
(1)若，，線段的一條“共弦拋物線”的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求這個(gè)拋物線的解析式；
(2)在（）的條件下，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，求的面積；
(3)若，線段的“共弦拋物線”和的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且點(diǎn)，距線段的距離之和為，求的值．
59．定義：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，它的頂點(diǎn)為，若，，三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)，我們把這樣的拋物線叫作“至美拋物線”．
理解：（1）下列拋物線是“至美拋物線”的是_____．（填序號(hào)）
① ② ③
應(yīng)用：（2）若“至美拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，求該拋物線的解析式．
拓展：（3）若“至美拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，與軸的交點(diǎn)為．
①若“至美拋物線”可以由拋物線平移得到，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
②已知點(diǎn)，，若是等腰三角形，直接寫出的值．
1．一個(gè)小球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過(guò)（秒）時(shí)球距離地面的高度（米）適用公式，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間（秒）和彈起的最高高度（米）分別是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
2．我們知道，兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)就是相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，反之我們還可以通過(guò)圖像法求得二元一次方程組的解．比如：一次函數(shù)與反比例的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)可由方程求得，那么請(qǐng)你推斷：方程中m的范圍比較合理的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：）與水平距離x（單位：）之間的關(guān)系式為：．有下列結(jié)論；
①該男生推鉛球出手時(shí)，鉛球的高度為；
②鉛球飛行至水平距離4米時(shí)，到達(dá)最大高度，最大高度為；
③鉛球落地時(shí)的水平距離為．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．“科技點(diǎn)亮未來(lái)，創(chuàng)新成就夢(mèng)想”，在坪山區(qū)某九年一貫制學(xué)校2025年的科技節(jié)活動(dòng)中，水火箭這一匯聚了物理智慧與巧妙構(gòu)思的科技作品，閃耀著耀眼的光芒，水火箭從地面豎直向上彈出，其初始速度為20米/秒．水火箭在空中的高度（米）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為．當(dāng)水火箭達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
5．若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：）與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有以下結(jié)論：
①小球在空中經(jīng)過(guò)的路程是40；
②與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
③小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6；
④當(dāng)小球的高度時(shí)，．以上結(jié)論中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
6．一個(gè)重物從高處做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若不考慮空氣阻力，它的速度會(huì)因地心引力而均勻加速，速度（v）與時(shí)間（t）的函數(shù)圖象如圖①，下降的距離會(huì)隨時(shí)間的增加而增加，距離（s）與時(shí)間（t）的函數(shù)圖象如圖②．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．該重物在秒時(shí)，速度為3米/秒
B．該重物在秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離與在秒時(shí)間段內(nèi)下降的距離相同
C．時(shí)間每增加1秒，該重物的速度增加米/秒
D．當(dāng)秒時(shí)，該重物下降距離為米
7．湖西橋是濟(jì)南大明湖景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為，正常水位時(shí)水面寬為，當(dāng)水位上升時(shí)水面寬為 ．
8．如圖，硬葉柳是楊柳科柳屬直立灌木，在海拔到的高山環(huán)境下，其葉片長(zhǎng)度與海拔滿足關(guān)系式：．若，則硬葉柳生長(zhǎng)的海拔為 ．
9．如圖，張爺爺計(jì)劃在一邊靠墻處，用一段長(zhǎng)度為的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，設(shè)邊長(zhǎng)為，菜園面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系為 ．
10．甘肅天水不僅是古絲綢之路必經(jīng)之地，也是古代兵家必爭(zhēng)之地．如圖1所示的投石機(jī)是古代戰(zhàn)爭(zhēng)中的攻城首選．已知投石機(jī)投出的石塊的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看作拋物線，如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，石塊飛行過(guò)程中的飛行高度（）和水平距離（）具有函數(shù)關(guān)系．當(dāng)石塊飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行的水平距離是 ．
11．如圖1，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)，出發(fā)以的速度沿折線方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．表示與之間關(guān)系的圖象如圖2所示，則當(dāng)面積時(shí)，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值是 ．
12．如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．
（1）該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
（2）點(diǎn)C是上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接，，則面積的最大值為 ．
13．某商店銷售一種新型智能水杯，進(jìn)價(jià)為每個(gè)40元，若售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每天可售出200個(gè)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少5個(gè)；售價(jià)每下降1元，每天銷售量增加10個(gè)．設(shè)售價(jià)為每個(gè)x元，每天的銷售利潤(rùn)為y元．
(1)求售價(jià)定為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大；
(2)若商店希望每天的利潤(rùn)不低于4000元，直接寫出售價(jià)x的取值范圍．
14．某校興趣小組在廣場(chǎng)進(jìn)行無(wú)人機(jī)飛行表演，一架無(wú)人機(jī)的飛行線路是一條拋物線，其飛行高度（）與水平距離（）滿足二次函數(shù)關(guān)系．
(1)用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并說(shuō)明其頂點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義．
(2)若距飛行起始點(diǎn)正前方10處有一個(gè)16高的大型廣告牌，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷該無(wú)人機(jī)在飛行過(guò)程中，是否存在與廣告牌發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)．
15．某公司根據(jù)往年市場(chǎng)行情得知，某種商品從5月1日起的300天內(nèi)，該商品每件市場(chǎng)售價(jià)y（元）與上市時(shí)間t（天）的關(guān)系用圖1的折線表示；每件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（天）的關(guān)系用圖2的一部分拋物線表示．
(1)每件商品在第50天出售時(shí)的利潤(rùn)是______元；
(2)求圖1表示的商品售價(jià)y（元）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)若該公司從銷售第1天至第200天預(yù)計(jì)每天可以售出此種商品2000件，請(qǐng)你計(jì)算第1天至第200天該公司哪一天利潤(rùn)最高，最高是多少元？
16．某文體超市銷售一種哪吒網(wǎng)紅兒童玩具，每件成本為10元，物價(jià)部門規(guī)定每件利潤(rùn)率不得超過(guò)60%，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量（件）與每件售價(jià)（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中為整數(shù)）．當(dāng)每件售價(jià)為12元時(shí)，每天的銷售量為100件；當(dāng)每件售價(jià)為14元時(shí)，每天的銷售量為90件．
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若該超市銷售這種兒童玩具每天獲得元的利潤(rùn)，則每件兒童玩具的售價(jià)為多少元？
(3)該超市銷售這種兒童玩具能否每天獲利元，若可以，請(qǐng)求出每件兒童玩具的售價(jià)為多少元，若不能，則說(shuō)明理由．
17．鎂在燃燒時(shí)發(fā)出耀眼的白光．某興趣小組在操場(chǎng)上做鎂球的發(fā)射與燃燒實(shí)驗(yàn)：質(zhì)量、大小均相同的鎂球從發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計(jì)）中豎直向上發(fā)射（鎂球離開發(fā)射器即開始燃燒），以下是鎂球發(fā)射后的相關(guān)數(shù)據(jù)：
發(fā)射時(shí)間 …
離地面的高度 …
已知鎂球到達(dá)最高處后再過(guò)會(huì)燃燒完．
(1)與之間的函數(shù)關(guān)系是___________（填“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”或“二次函數(shù)”）．
求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)直接寫出發(fā)射時(shí)間為多少秒時(shí)，鎂球到達(dá)最高處．
(3)已知每個(gè)鎂球發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)軌跡均相同．該小組先后連續(xù)發(fā)射了個(gè)鎂球，第個(gè)鎂球燃燒完時(shí)，第個(gè)鎂球在第個(gè)鎂球下方，且這個(gè)鎂球與地面的高度差為，求這個(gè)鎂球發(fā)射時(shí)間相隔多少秒．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)在軸上，，．拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)如圖，若拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，在（）的條件下，連接，線段與拋物線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；
(3)用含的式子表示頂點(diǎn)坐標(biāo)；
若拋物線與正方形恰有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
05 二次函數(shù)的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)1：二次函數(shù)的應(yīng)用
1. 用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
1）審：仔細(xì)審題，理清題意；
2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；
3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題；
5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.
【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對(duì)稱軸一側(cè)的增減性探討問(wèn)題結(jié)論．
2. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的常見類型
常見的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等，對(duì)此類問(wèn)題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標(biāo)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.
【即時(shí)訓(xùn)練】
1．（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．
(1)請(qǐng)?jiān)谑疽鈭D中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過(guò)？
【答案】(1)作圖見解析，
(2)能通過(guò)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，熟練掌握待定系數(shù)法．
（1）先建立平面直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）把代入拋物線解析式，求出，然后作出判斷即可．
【詳解】（1）解：按如圖方式建立直角坐標(biāo)系（答案不唯一），
設(shè)拋物線解析式為：，
把代入，得，
解得：，
．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
能通過(guò)．
2．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期末）一超市銷售某種水果，收集每日該水果所得的利潤(rùn)（元）與售出質(zhì)量（）的數(shù)據(jù)，并描點(diǎn)如圖所示，發(fā)現(xiàn)與滿足函數(shù)關(guān)系式．
(1)求，的值．
(2)當(dāng)每日售出多少該水果時(shí)，所得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？
【答案】(1)
(2)當(dāng)每日售出該水果時(shí)，所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用二次函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．
【詳解】（1）解：圖像過(guò)點(diǎn)，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為．
答∶ 當(dāng)每日售出該水果時(shí)，所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
3．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，小明的爸爸要用一堵長(zhǎng)為4m的墻和長(zhǎng)為18m的籬笆圍一個(gè)小型養(yǎng)雞場(chǎng)，要求：①墻和籬笆全部利用；②圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大．圖1是小明的爸爸把墻體全部利用起來(lái)圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)，圖2是小明把墻體向外用籬笆延伸了一段長(zhǎng)，然后用剩余的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)．
(1)請(qǐng)計(jì)算小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積；
(2)請(qǐng)計(jì)算小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)比爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積大多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確地理解題意，列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為，則寬為，圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積為，根據(jù)題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，
答：小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為；
（2）解：設(shè)小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為，則寬為，圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積為，
根據(jù)題意得，，
小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積為，
∴，
答：小明圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)比爸爸圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積大．
4．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）國(guó)慶期間某旅游點(diǎn)一家商鋪銷售一批成本為每件50元的商品，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）．
(1)請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式 ．
(2)設(shè)該商鋪銷售這批商品獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)＝總銷售額﹣總成本）為w元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，可獲得的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？
(3)若該商鋪要保證銷售這批商品的利潤(rùn)不能低于4000元，則銷售單價(jià)x（元）的取值范圍是 ．（直接寫答案）
【答案】(1)；
(2)70元時(shí)，最大總利潤(rùn)是6000元；
(3)．
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（2）利用總利潤(rùn)＝總銷售額﹣總成本，進(jìn)而得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出最值；
（3）利用二次函數(shù)的增減性得出x的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴，
解得：．
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
故答案為：；
（2）解：由題意可得出：
，
自變量取值范圍：．
∵，．
∴函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸是直線．
∵，此時(shí)y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，；
故當(dāng)銷售單價(jià)為70元時(shí)，可獲得的總利潤(rùn)最大；最大總利潤(rùn)是6000元；
（3）解：由，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)增減性等知識(shí)，利用函數(shù)增減性得出是解題關(guān)鍵．
5．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）綜合與實(shí)踐
素材1：一年一度的科技節(jié)即將到來(lái)，小明所在的科技小組研制了一種航模飛機(jī)．通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)的水平飛行距離（單位：）與相對(duì)應(yīng)的飛行高度（單位：）的數(shù)據(jù)（如表）
飛行水平距離（單位：） 0 20 40 60 80 100 …
飛行高度（單位：） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛航模飛機(jī)，已知航模的飛行高度（單位：）與水平飛行距離（單位：）滿足二次函數(shù)關(guān)系．
任務(wù)1：請(qǐng)求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不用寫自變量的取值范圍），并求出航模的最遠(yuǎn)飛行距離；
任務(wù)2：在安全線上設(shè)置回收區(qū)域，點(diǎn)的右側(cè)為回收區(qū)域（包括端點(diǎn)），．若飛機(jī)落在回收區(qū)域內(nèi)，求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度．
【答案】任務(wù)1：，航模的最遠(yuǎn)飛行距離為；任務(wù)2：發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度為
【分析】本題主要查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
任務(wù)1：根據(jù)題意可得頂點(diǎn)為．故可設(shè)拋物線為，再把代入解答，即可求解；
任務(wù)1：設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為，可得飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度為：，再由當(dāng)時(shí)，，即可求解．
【詳解】任務(wù)一：解：由題意，根據(jù)所給表格數(shù)據(jù)，可得拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴頂點(diǎn)為．
故可設(shè)拋物線為，
又拋物線過(guò)，
∴，
∴，
∴所求拋物線為，
又令，
∴，
∴（舍去）或，
故航模的最遠(yuǎn)飛行距離為；
任務(wù)2：設(shè)發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為，
飛機(jī)相對(duì)于安全線的飛行高度為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴，解得，
∴發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的最低高度為．
6．（2024·浙江臺(tái)州·一模）圖1是城市人行天橋的效果圖，天橋頂部由四段完全相同的拋物線形鋼架構(gòu)成．可以把天橋單側(cè)的兩段鋼架抽象成如圖2所示兩段拋物線，并建立如圖平面直角坐標(biāo)系．已知天橋總長(zhǎng)50米，并在人行道兩側(cè)各均勻分布著6根鋼柱，其中 米， 米．

(1)如果拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)剛好落在點(diǎn)F．求該拋物線的解析式；
(2)在（1）的條件下求單側(cè)6根鋼柱的總長(zhǎng)度；
(3)現(xiàn)需要修改鋼架結(jié)構(gòu)，將拋物線頂點(diǎn)移到EF右側(cè)，到EF水平距離為1米，且使拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) F，與鋼柱AB有交點(diǎn)，求此時(shí)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)米
(3)
【分析】對(duì)于（1），解： 由頂點(diǎn)F的坐標(biāo)設(shè)頂點(diǎn)式，再將代入得出關(guān)系式即可；
對(duì)于（2），由題意可得米，將代入關(guān)系式，再結(jié)合題意求出答案；
對(duì)于（3），由題意可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入用含有k的代數(shù)式表示a，再根據(jù)拋物線與鋼柱有交點(diǎn)得出不等式，進(jìn)而求出范圍．
【詳解】（1）解： 由題意可得頂點(diǎn)F的坐標(biāo)是．
設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴將代入得，，解得，
∴；
（2）解： 由題意可得米，
將代入，
解得，
∴6根鋼柱總長(zhǎng)
(米)；
（3）解：由題意設(shè)修改鋼架后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴拋物線解析式為.
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得．
當(dāng)時(shí)，．
∵拋物線與鋼柱有交點(diǎn)，
∴．
將代入， 可得，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的應(yīng)用題目，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)與不等式，求二次函數(shù)值等，求出二次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【題型1 圖形問(wèn)題】
1．為了深入推進(jìn)勞動(dòng)教育，開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，某校打算建一個(gè)如圖所示的矩形菜地．菜地的一面利用學(xué)校邊墻（墻長(zhǎng)），其他三面用柵欄圍住，但要開一扇寬的進(jìn)出口（不需要柵欄），已知柵欄的總長(zhǎng)度為，求矩形菜地的面積最大為多少平方米（柵欄的寬度忽略不計(jì)）
【答案】矩形菜地的面積最大為平方米
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出二次函數(shù)表達(dá)式．設(shè)菜地垂直于墻的一邊長(zhǎng)是x米，則平行于墻的一邊是米，面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：設(shè)菜地垂直于墻的一邊長(zhǎng)是米，則平行于墻的一邊是米，
面積，
∵
解得：，
，對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，最大（平方米），
答：矩形菜地的面積最大為平方米．
2．某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻，墻的長(zhǎng)度為13m，另外三面用棚欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為m（如圖）．
(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為，求此時(shí)x的值；
(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？
【答案】(1)此時(shí)x的值為2
(2)當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大面積為
【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為，長(zhǎng)為，可得，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是，根據(jù)墻的長(zhǎng)度為13m，可得，而，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意知：較大矩形的寬為，長(zhǎng)為，
，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，不符合題意，舍去，
，
答：此時(shí)x的值為2；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是，
墻的長(zhǎng)度為13m，
，
根據(jù)題意得：，
，
當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為48，
答：當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大面積為
3．學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)，籬笆長(zhǎng)．設(shè)垂直于墻的邊為．
(1)圍成的矩形花圃的面積能否為？若能，求出x的值；若不能，說(shuō)明理由；
(2)圍成的矩形花圃的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)x的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)圍成的矩形花圃的面積能為，此時(shí)x的值為25
(2)圍成的矩形花圃的面積存在最大值，最大值為，此時(shí)x的值為20
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用（與圖形有關(guān)的問(wèn)題），二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（圖形問(wèn)題），讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出函數(shù)解析式或方程是解題的關(guān)鍵．
（2）根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列一元二次方程，判斷此方程有解，然后再解方程即可；
（3）先列函數(shù)關(guān)系式，將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值即可．
【詳解】（1）解：圍成的矩形花圃的面積能為．
∵平行于墻的邊，
而，且，
∴．
由題意，得．
解得（舍去）或．
答：圍成的矩形花圃的面積能為，此時(shí)x的值為25．
（2）解：設(shè)圍成的矩形花圃的面積為．
由題意，得．
∵，且，
∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值800．
答：圍成的矩形花圃的面積存在最大值，最大值為，此時(shí)x的值為20．
4．如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不超過(guò)），用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料），設(shè)，矩形的面積為．
(1)請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
(2)怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為？
(3)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大為多少？
【答案】(1)，；
(2)當(dāng)，時(shí)面積等于；
(3)當(dāng)x為時(shí)，矩形的面積最大，最大值為
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解不等式組，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，根據(jù)面積公式列式計(jì)算，即可作答．
（2）把代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．
（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，因?yàn)椋瑒t函數(shù)的開口向下，故在對(duì)稱軸處取得最大值，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，∵，且籬笆長(zhǎng)為以及寬建造一扇門，
∴，
∴，
∵墻的長(zhǎng)度不超過(guò)44，
∴，
即；
（2）解：依題意，，
，（舍）
當(dāng)，時(shí)面積等于；
（3）解：∵，
∴函數(shù)的開口向下，故在對(duì)稱軸處取得最大值，
則在取值范圍之內(nèi)，
把代入，解得，
答：當(dāng)x為時(shí)，最大值為．
5．九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課余時(shí)間里，利用一面學(xué)校的墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為15米)，現(xiàn)用長(zhǎng)為34米柵欄（安裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗），圍成中間隔有一道柵欄的矩形菜地，在菜地的前端各設(shè)計(jì)了兩個(gè)寬1米的小門，供同學(xué)們進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐．設(shè)矩形菜地垂直于墻的柵欄邊AB長(zhǎng)為x米，面積為S平方米．
(1)直接寫出S與x間的函數(shù)解析式（不要求寫x的取值范圍）；
(2)圍成的菜地面積能達(dá)到81平方米嗎？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)當(dāng)x的值是多少時(shí)，圍成菜地的面積S最大？最大面積是多少平方米？
【答案】(1)
(2)能，
(3)時(shí)，圍成菜地的面積最大，最大面積是105平方米
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；
（1）由題意易得該圖形的長(zhǎng)為米，然后根據(jù)面積公式可進(jìn)行求解；
（2）由題意易得，然后進(jìn)行求解方程即可；
（3）由題意易得，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由題意得：；
（2）解：依題意得：，整理得：，
解得：；
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
∴當(dāng)時(shí)，圍成的菜地面積為81平方米．
（3）解：∵墻的最大可用長(zhǎng)度為15米，
∴，即，
解得，
根據(jù)題意得：，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為105，
∴時(shí)，圍成菜地的面積最大，最大面積是105平方米．
【題型2 圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】
6．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么的面積隨出發(fā)時(shí)間如何變化？
(1)用含的式子表示：
___________，___________，___________．
(2)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）根據(jù)題意直接列式即可作答；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，結(jié)合三角形的面積公式即可作答．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意有：，，
∵，，
∴，
故答案為：，，；
（2）解：∵，，
∴根據(jù)題意有：，
∵，，
∴，
故關(guān)于的函數(shù)解析式為．
7．如圖，已知等腰直角的直角邊長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)均為厘米，與在同一條直線上，開始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合，讓以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動(dòng)，最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，求重疊部分的面積y（平方厘米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】
【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象二次函數(shù)解析式的知識(shí)．根據(jù)是等腰直角三角形，則重疊部分也是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，
，，
∴重疊部分也是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴．
8．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、兩點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為.
(1)求隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.
(2)當(dāng)為時(shí)，的值時(shí)多少？
(3)當(dāng)取何值時(shí)，面積最大，最大是多少？
【答案】(1)；
(2)或；
(3)當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為．
【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則即可；
（2）當(dāng)時(shí)，列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式，最后求出最值即可；
本題考查了列函數(shù)關(guān)系式，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，則，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，
∴，解得，，
∴的值為或；
（3），
∴當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為．
9．如圖，在中，，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題，并寫出探索的主要過(guò)程．
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為？
(3)請(qǐng)用配方法說(shuō)明，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形的面積最小？最小面積是多少？
【答案】(1)1
(2)2或1.5
(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，四邊形的面積最小，最小面積是
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理：
（1）根據(jù)題意可得，再根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得到關(guān)于t的方程，即可求解；
（3）根據(jù)四邊形的面積為，進(jìn)而求出四邊形的面積最小值．
【詳解】（1）解： 根據(jù)題意得：，
∵P、Q兩點(diǎn)的距離為，且，
∴，
解得：或（不合題意，舍去）；，
即當(dāng)t為1時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為；
（2）解：根據(jù)題意得：，
∵的面積為
∴，
解得：或1.5，
即當(dāng)t為2或1.5時(shí)，的面積為；
（3）解：根據(jù)題意得：，
∴的面積為，
∴四邊形的面積為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，最大值為．
即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，四邊形的面積最小，最小面積是．
10．如圖，矩形的兩邊長(zhǎng)，，點(diǎn)、分別從A、B同時(shí)出發(fā)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)，、停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為．
(1)填空： ， （用含的代數(shù)式表示）；
(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)當(dāng)為何值時(shí)，的面積的最大，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)；
(3)的最大面積是．
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)題意表示出、的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意表示出、的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）把函數(shù)關(guān)系式整理成頂點(diǎn)式解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．
【詳解】（1）解：由題意得，，
故答案為：，；
（2）解：∵，，，
∴，
即；
（3）解：由（2）知，，
∴，
∵，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
而，
∴當(dāng)時(shí)，，
即的最大面積是．
【題型3 拱橋問(wèn)題】
11．如圖的一座拱橋，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面，已知橋洞的拱形是拋物線的一部分，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若有一艘船準(zhǔn)備從橋下穿過(guò)，船艙頂部為矩形，船比水面高出，當(dāng)船的寬度小于多少米時(shí)，船能安全穿過(guò)橋洞．（船艙頂部矩形的寬所在的邊始終與平行）
【答案】(1)
(2)6米
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線的解析式為，
把代入，得，
解得，
∴拋物線的解析式為
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴當(dāng)船的寬度小于米時(shí)，船能安全穿過(guò)橋洞．
12．鄉(xiāng)村振興關(guān)鍵在產(chǎn)業(yè)．近年來(lái)，某縣區(qū)通過(guò)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化大棚，種植圣女果、普羅旺斯西紅柿、草莓等，讓大棚產(chǎn)業(yè)照亮農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)致富路，實(shí)現(xiàn)村民穩(wěn)定增收．如圖2，某農(nóng)戶的大棚截面上半部分可近似看作拋物線，下半部分可看作矩形，以所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚棚頂最高點(diǎn)E到地面的距離為7米，米，棚寬米．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)為了加固棚頂，現(xiàn)需在上方的拋物線部分加裝一根橫梁（點(diǎn)P、Q均在拋物線上），且，若橫梁與地面的距離是米，則橫梁的長(zhǎng)度是多少米？
【答案】(1)
(2)橫梁PQ的長(zhǎng)度是9米
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的關(guān)系式，已知函數(shù)值求自變量，
對(duì)于（1），根據(jù)矩形的性質(zhì)及已知條件得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再將點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式可得答案；
對(duì)于（2），令，求出x的值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，米，
∴點(diǎn)（米）.
根據(jù)題意得，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，
把點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式可得，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：由題意知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
∴橫梁的長(zhǎng)度是9米．
13．陜北部分區(qū)域的居民冬天為了便于儲(chǔ)存糧食，會(huì)在山上開鑿?fù)粮G洞，這種方式能保護(hù)糧食不會(huì)凍壞，而且糧食也不會(huì)因?yàn)闊岫l(fā)芽變質(zhì)．如圖，在山上開鑿一個(gè)底部寬為3米（米）、形狀接近于拋物線的窯洞，窯洞頂部到地面的最大高度為米，洞口部分用磚頭砌墻保護(hù)，正中間安裝一個(gè)正方形的雙開門．若以O(shè)為原點(diǎn)，為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)若安裝的門的上端和窯洞相接，底邊在x軸上，求門的面積．
【答案】(1)
(2)4平方米
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，，由此列式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
由對(duì)稱性可得，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴米，
∴門的面積為4平方米．
14．周末，小明跟父母去寧強(qiáng)網(wǎng)紅打卡地玩耍，小明的爸爸在樹蔭下將吊床綁在距離為米的樹與樹之間（米），兩邊拴繩的地方、距地面的高度均為米（米），吊床形狀近似呈拋物線形，此時(shí)吊床最低點(diǎn)離地面的高度為米．已知，，圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi)．以樹與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面上所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)?shù)醮采夏程庪x地面高度為米時(shí)，求吊床上該處離右邊樹的距離．
【答案】(1)
(2)米或米
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，根據(jù)函數(shù)值求自變量的值的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）將代入解得，，由此即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入，
得，
解得，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：將代入得，
解得，，
當(dāng)時(shí)，（米），
當(dāng)時(shí)，（米），
∴吊床上該處離右邊樹的距離為米或米．
15．開封是我國(guó)西瓜三大主產(chǎn)區(qū)之一，西瓜種植歷史悠久，始于五代，廣種于宋，已有1000多年栽培歷史，南宋詩(shī)人范成大曾在他的《西瓜園》一詩(shī)中云：“碧蔓凌霜臥軟沙，年來(lái)處處食西瓜”．圖1是某瓜農(nóng)種植的吊籃西瓜．為了提供更好的生長(zhǎng)環(huán)境，促進(jìn)西瓜生長(zhǎng)、豐產(chǎn)，該瓜農(nóng)搭建了西瓜大棚，其橫截面可模擬為拋物線．如圖2是大棚的橫截面，大棚在地面上的寬度是，最高點(diǎn)C距地面的距離為．以水平地面為x軸，的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)根據(jù)圖2，若一位身高的瓜農(nóng)想要在大棚內(nèi)站直行走，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該瓜農(nóng)站直行走的橫向距離是否超過(guò)．
【答案】(1)
(2)不超過(guò)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）先分析題干的條件，得拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，故設(shè)拋物線的解析式為．然后運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可作答．
（2）理解題意，則把代入，得出，再求出，即可作答．
【詳解】（1）解：由題意得，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為．
將代入解析式，得．
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：該瓜農(nóng)站直行走的橫向距離不超過(guò)，理由如下：
令，
即，
解得，
瓜農(nóng)站直行走的橫向距離是．
，
瓜農(nóng)站直行走的橫向距離不超過(guò)．
【題型4 銷售問(wèn)題】
16．在杭州舉辦的亞運(yùn)會(huì)令世界矚目，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”家喻戶曉，其相關(guān)產(chǎn)品成為熱銷產(chǎn)品．某商店購(gòu)進(jìn)了一批吉祥物毛絨玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)30元．若毛絨玩具每個(gè)的售價(jià)是40元時(shí)，每天可售出80個(gè)；若每個(gè)售價(jià)提高1元，則每天少賣2個(gè)．
(1)設(shè)該吉祥物毛線玩具每個(gè)售價(jià)定為元，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若獲利不得高于進(jìn)價(jià)的，每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售玩具所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)
(2)當(dāng)每個(gè)毛絨玩具的售價(jià)定為54元，每天最大利潤(rùn)是1248元
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，
對(duì)于（1），先表示出上漲的價(jià)格，進(jìn)而得出銷售量與售價(jià)的關(guān)系式；
對(duì)于（2），根據(jù)單件利潤(rùn)乘以銷售量等于總利潤(rùn)列出關(guān)系式，再根據(jù)自變量取值范圍討論極值即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得；
（2）解：設(shè)總利潤(rùn)為w，根據(jù)題意，得，且，
∵，，
∴拋物線的開口向下，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，（元）．
所以每個(gè)毛絨玩具售價(jià)定為54元，每天銷售玩具所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1248元．
17．抖音直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．為提高我縣特產(chǎn)紅富士蘋果的影響力，某電商在抖音平臺(tái)上對(duì)我縣紅富士蘋果進(jìn)行直播銷售．已知蘋果的成本價(jià)為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可售出160千克.通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每千克蘋果售價(jià)增加1元，日銷售量減少20千克．若想通過(guò)漲價(jià)增加每日利潤(rùn)，設(shè)漲價(jià)后的售價(jià)為元，每日獲得的利潤(rùn)為元.
(1)漲價(jià)后每日銷量將減少______件（用含的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，每日獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)售價(jià)為12元時(shí)，每日獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為720元
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是利用代數(shù)式表示其中的量，并會(huì)通過(guò)二次函數(shù)頂點(diǎn)解析式求出最值．
（1）根據(jù)題意用含的代數(shù)式表示出每日銷售量減少的件數(shù)即可；
（2）根據(jù)題意列出關(guān)于的二次函數(shù)，并利用頂點(diǎn)解析式求出最值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)漲價(jià)后的售價(jià)為元，則每日銷量減少：件，
故答案為：；
（2）解：設(shè)每日獲的利潤(rùn)為元，
由題意可得：
，
整理得：，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為720，
當(dāng)售價(jià)為12元時(shí)，每日獲的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為720元．
18．禧愛花店以元/盆的價(jià)格新購(gòu)進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價(jià)，調(diào)查了附近五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價(jià)與日銷售量情況，并記錄如下：
售價(jià)（元/盒） 18 20 22 26 30
日銷售量（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可知日銷售量是售價(jià)的一次函數(shù)，求日銷售量與售價(jià)之間的關(guān)系式；
(2)根據(jù)以上信息，禧愛花店將售價(jià)定為多少時(shí)，每天能夠獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2)售價(jià)定為30元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為450元
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)變量變化規(guī)律判斷函數(shù)類型，并利用待定系數(shù)法求其函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)“每天的利潤(rùn)=（售價(jià)進(jìn)價(jià)）日銷售量”將每天的利潤(rùn)表示出來(lái)，并確定當(dāng)x為何值時(shí)每天的利潤(rùn)取最大值即可．
【詳解】（1）解：由題意可設(shè)，
把，代入得：，
解得：，
；
（2）設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為元，
由題意得，
，當(dāng)時(shí)，取最大值450，
售價(jià)定為30元時(shí)，每天能夠獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為450元．
19．某文具店購(gòu)進(jìn)一批毛筆，每支進(jìn)價(jià)為10元，出于營(yíng)銷考慮，要求每支毛筆的售價(jià)不低于10元且不高于14元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該毛筆每周的銷售量y（支）與每支毛筆的售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系；當(dāng)銷售單價(jià)為11元時(shí)，銷售量為18支；當(dāng)銷售單價(jià)為12元時(shí)，銷售量為16支．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)該文具店每周銷售這種毛筆所獲得的利潤(rùn)為w元，將該毛筆銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使文具店銷售該毛筆所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)
(2)該毛筆銷售單價(jià)定為14元時(shí)，才能使文具店銷售該毛筆所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是48元
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)y與x的關(guān)系式為，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出，即可作答．
（2）先整理得，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，設(shè)y與x的關(guān)系式為，
把與代入，
得：，
解得：，
∵求每支毛筆的售價(jià)不低于10元且不高于14元，
∴，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意可得：，
∵每支毛筆的售價(jià)不低于10元且不高于14元，
∴，
∵，
∴拋物線開口向下，，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，w最大，，
答：該毛筆銷售單價(jià)定為14元時(shí)，才能使文具店銷售該毛筆所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是48元．
20．網(wǎng)絡(luò)直播銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式．某公司在一銷售平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售某種產(chǎn)品．已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為6元/千克，每日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于30元/千克．設(shè)該公司銷售這種產(chǎn)品的日獲利為（元）．
（元/千克） 7 8 9
（千克） 4300 4200 4100
(1)直接寫出日銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量的取值范圍）；
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司銷售這種產(chǎn)品日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？
(3)請(qǐng)直接寫出當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)時(shí)，該公司日獲利不低于43500元？
【答案】(1)
(2)28元；48400元
(3)當(dāng)銷售單價(jià)在時(shí)，該公司日獲利不低于43500元
【分析】本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)，不等式的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入計(jì)算即可；
（2）銷售單價(jià)為元/千克，成本價(jià)為6元/千克，則每件利潤(rùn)為元，且銷售量為，由此列式得，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法即可求解；
（3）結(jié)合（2）的解析式，當(dāng)時(shí)，解得，，由此即可求解．
【詳解】（1）解：每日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)一次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
解得，，
∴日銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
（2）解：銷售單價(jià)為元/千克，成本價(jià)為6元/千克，
∴每件利潤(rùn)為元，且銷售量為，
∴，
∵，
∴函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元；
（3）解：∵，日獲利不低于43500元，
∴當(dāng)時(shí)，，
整理得，，
∴，
解得，，
∵銷售單價(jià)不低于成本價(jià)且不高于30元/千克，
∴當(dāng)銷售單價(jià)在時(shí)，該公司日獲利不低于43500元．
【題型5 投球問(wèn)題】
21．?dāng)S沙包是一種傳統(tǒng)兒童游戲，投擲者用內(nèi)裝谷粒或者沙子的布包向遠(yuǎn)處的目標(biāo)進(jìn)行投擲，以投中目標(biāo)為勝，沙包的飛行軌跡近似拋物線．設(shè)沙包飛行的水平距離為（單位：m），相對(duì)應(yīng)的飛行高度為（單位：m）．李華在處以跪蹲姿勢(shì)向遠(yuǎn)處的布幔投擲沙包，沙包飛行軌跡的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，為拋物線的頂點(diǎn)，已知布幔垂直于軸，且，布幔上的目標(biāo)與的距離為0.26米．
(1)求沙包飛行軌跡拋物線的解析式 （無(wú)需寫出自變量的取值范圍）；
(2)為了擊中目標(biāo)，應(yīng)將布幔向前或后移動(dòng)多少米？
【答案】(1)
(2)前移動(dòng)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）由頂點(diǎn)式，可設(shè)拋物線的解析式為，再把代入求出a的值即可；
（2）求出時(shí)，即可解得．
【詳解】（1）解：由題意可知拋物線頂點(diǎn)為．
故可設(shè)拋物線的解析式為，
又拋物線過(guò)，
，
，
解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，
即
（舍），，
，
應(yīng)將布幔向前移動(dòng)．
22．如圖1所示的是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器——發(fā)石車．將發(fā)石車置于山坡底部處，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將某發(fā)射出去的石塊看作一個(gè)點(diǎn)，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分．山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，垂直距離為．已知發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該石塊能否飛越防御墻．
【答案】(1)
(2)能，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)值求函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)石塊在空中飛行的最大高度為 10 米，得到拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，求得，即得拋物線解析式為；
（2）根據(jù)墻寬米，與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為25米、垂直距離為 5米，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為27，當(dāng)時(shí)，，得到石塊能飛越防御墻．
【詳解】（1）解：發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為，
．
石塊運(yùn)行的函數(shù)解析式為．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石塊能飛越防御墻．
理由如下：
點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為，墻寬，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
把代入，
得
點(diǎn)與點(diǎn)的垂直距離為與軸平行，
點(diǎn)與點(diǎn)的垂直距離也為．
，
該石塊能飛越防御墻．
23．打乒乓球是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，能提升反應(yīng)速度、增強(qiáng)體力、釋放壓力、改善視力……乒乓球桌的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為，小浩從球桌邊沿正上方擊打乒乓球向正前方運(yùn)動(dòng)，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線近似是拋物線的一部分．以球桌面所在直線為軸、所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，乒乓球擊打后的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系．
(1)此次擊打乒乓球運(yùn)行的最大豎直高度是多少？
(2)擊打后乒乓球能過(guò)球桌正中間的網(wǎng)（網(wǎng)高），并落到對(duì)方桌面上，算擊打成功．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷這次乒乓球擊打是否成功．
【答案】(1)此次擊打乒乓球運(yùn)行的最大豎直高度是
(2)這次乒乓球擊打不成功
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將二次函數(shù)由一般式化為頂點(diǎn)式．
（1）通過(guò)將二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，再求出最大值；
（2）求出當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與比較后得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
∵二次項(xiàng)系數(shù)為，∴拋物線的開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值．
（2）∵乒乓球桌的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為，
∴球桌正中間，
當(dāng)時(shí)，，
∴這次乒乓球擊打不成功．
24．再一次校運(yùn)會(huì)上，一名男同學(xué)仍鉛球時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為如圖所示的一條拋物線，已知仍出鉛球時(shí)，鉛球距離男同學(xué)的水平距離長(zhǎng)為x（單位：m），距離地面高度為y（單位：m）滿足下表關(guān)系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
(1)求出鉛球的運(yùn)動(dòng)軌跡的解析式；
(2)若鉛球落地的沙坑低于水平面，沙坑邊緣與男同學(xué)的距離，計(jì)算裁判員測(cè)量的鉛球落地位置G到F的距離；
(3)為了使鉛球拋出距離更遠(yuǎn)，該男同學(xué)計(jì)劃讓鉛球扔出后，達(dá)到的最大高度在B的下方米處，試計(jì)算說(shuō)明，該男同學(xué)的拋出的鉛球距離是增大還是減少？增大（或減少）多少．
【答案】(1)
(2)所以G到F的距離
(3)增大，該男同學(xué)成績(jī)?cè)龃?br/>【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得：解答即可；
（2）當(dāng)時(shí)，，解方程求解即可；
（3）設(shè)變化后的二次函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得：；解答即可．
本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的平移，拋物線與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法，解方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由表可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得：；
解得：，
∴，
（2）解：當(dāng)時(shí)，
，
解得：，
，
所以G到F的距離
（3）由題意，變化后的二次函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得：；
解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
所以該男同學(xué)成績(jī)?cè)黾?
25．為迎接學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)研究了每位同學(xué)擲實(shí)心球的訓(xùn)練情況，下面是對(duì)小宇同學(xué)某次擲球的研究．根據(jù)實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的路線，發(fā)現(xiàn)其行進(jìn)路線是拋物線的一部分．如圖，以過(guò)點(diǎn)O水平方向的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O豎直方向的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
1 2 4 6 7 …
2.25 3 2.25 …
(1)求實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫自變量的取值范圍）
(2)求實(shí)心球出手時(shí)（即與y軸交點(diǎn)）的高度；
(3)當(dāng)實(shí)心球落地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離超過(guò)時(shí)，得分為滿分．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小宇此次擲球是否得到滿分．
【答案】(1)；
(2)米；
(3)小宇此次擲球不能得滿分．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法，函數(shù)值、自變量的值的計(jì)算是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)表格得到頂點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）令，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值即可；
（3）令，求自變量的取值即可．
【詳解】（1）解：由題意，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，
∴頂點(diǎn)為，
∴設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，
又∵拋物線過(guò)，
∴．
∴，
∴實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：由題意，結(jié)合（1），令，
∴，
∴實(shí)心球出手時(shí)的坐標(biāo)為，
∴出手時(shí)的高度為米．
（3）解：由題意，令，
∴或（不合題意，舍去），
∴實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離為，
∴小宇此次擲球不能得滿分．
【題型6 噴水問(wèn)題】
26．【問(wèn)題情境】如圖是噴水管從點(diǎn)A向四周噴出水花的噴泉截面示意圖，噴出的水花是形狀相同的拋物線．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C，D為水花的落水點(diǎn)且在x軸上，其中右側(cè)拋物線的解析式為，噴水管的高度為．
【問(wèn)題解決】
(1)求a的值；
(2)現(xiàn)重新改建噴泉，降低噴水管，使落水點(diǎn)與噴水管的水平距離為9m，求噴水管要降低的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）將代入，求出相應(yīng)的a的值即可；
（）先設(shè)噴水管要降低的高度，然后將代入，再求出相應(yīng)的降低的高度即可；
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)平移的特點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【詳解】（1）解：∵將代入中可得，，
解得，
∴a的值為．
（2）解：設(shè)噴水管要降低的高度為，則降低高度后的右側(cè)拋物線的解析式為，
將代入，可得，
解得．
答：噴水管要降低的高度為．
27．某村莊為吸引游客，沿綠道旁的母親河河邊打造噴水景觀，如圖①，為保持綠道地面干燥，水柱呈拋物線狀噴入母親河中．圖②是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，當(dāng)水柱離噴水口處水平距離為2米時(shí)，水柱離地面的垂直距離最大，其最大值為4米．以為原點(diǎn)，直線為軸，垂直于路面方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)出于安全考慮，在河道的壩邊處豎直向上安裝護(hù)欄，若護(hù)欄高度為1.2米，判斷水柱是否會(huì)噴射到護(hù)欄上，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不會(huì)噴射到護(hù)欄上，見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵；
（1）設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得出，即可求解；
（2）將得出，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
，解得．
該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
（2）水柱不會(huì)噴射到護(hù)欄上
理由如下：
當(dāng)時(shí)，
，
水柱不會(huì)噴射到護(hù)欄上
28．如圖，公園的花壇正中間有一個(gè)噴灌嘴，將開關(guān)開至最大時(shí)，噴出的水流形狀接近于拋物線．當(dāng)水流距離地面時(shí)，距噴灌嘴的水平距離為，水流落地點(diǎn)距噴灌嘴的水平距離．
(1)求水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)為了給公園增添藝術(shù)氛圍，園林部門計(jì)劃在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度為，求與噴灌嘴的水平距離在多大范圍內(nèi)時(shí)，雕塑不會(huì)被水流直接噴到；
②若在距噴灌嘴水平距離為處有一高度為的雕塑，請(qǐng)判斷該雕塑是否會(huì)被水流直接噴到？
【答案】(1)
(2)①高度為的雕塑，其與噴灌嘴的水平距離在時(shí)，才不會(huì)被水流直接噴到；②不會(huì)．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)，代入拋物線解析式求解即可；
（2）①令，求出對(duì)應(yīng)的自變量取值，即可求解；②令，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，水流所在拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
將其分別代入得：
，解得，
水流所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
（2）解：①令，則，
解得，，
高度為的雕塑，其與噴灌嘴的水平距離在時(shí)，才不會(huì)被水流直接噴到；
②令，則，
，
不會(huì)被水流直接噴到．
29．學(xué)科實(shí)踐：
任務(wù)背景
“碧波盈盈、流水潺潺”的汾河景區(qū)不僅是一條岸綠水清、鳥語(yǔ)花香的生態(tài)走廊，更是一條展現(xiàn)厚重城市底蘊(yùn)的文化長(zhǎng)廊、一條展現(xiàn)城水相融、人水相親的幸福長(zhǎng)廊．
研究素材
圖1是景區(qū)中的一個(gè)噴灌設(shè)備，圖2是該設(shè)備噴灌時(shí)的示意圖，已知高為米，噴出水柱可以近似得看作一條拋物線，該拋物線最高點(diǎn)距離地面米，距離的水平距離為米．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
問(wèn)題解決
(1)以水平地面為軸，以噴水裝置所在直線為軸，在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)求該噴灌設(shè)備能夠灌溉的點(diǎn)到噴灌裝置的最大水平距離（精確到1米）．
(3)若給該噴灌設(shè)備安裝一個(gè)可自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴頭，噴灑區(qū)域是一個(gè)以點(diǎn)為圓心的圓，求噴灑區(qū)域的面積（精確到1平方米）？
【答案】(1)坐標(biāo)系見解析，
(2)該噴灌設(shè)備能夠灌溉的點(diǎn)到噴灌裝置的最大水平距離為米
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求圓的面積，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而設(shè)拋物線解析式為，代入得，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）令，解方程，即可求解；
（3）根據(jù)圓的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，
依題意，，
設(shè)拋物線解析式為，代入得，
解得：
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
（2）解：當(dāng)時(shí)，
解得：（舍去）或
答：該噴灌設(shè)備能夠灌溉的點(diǎn)到噴灌裝置的最大水平距離為米
（3）解：由（2）可得半徑為米，
∴噴灑區(qū)域的面積為．
答：噴灑區(qū)域的面積為．
30．某小區(qū)有一個(gè)噴水池，噴水池的中心有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心處達(dá)到最大高度，水柱落地點(diǎn)到水池中心的水平距離為，以水平方向?yàn)檩S，噴水池中心為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
(1)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為________、__________；
(2)求水柱所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(3)王師傅在噴水池維修設(shè)備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為的地方，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明身高的王師傅是否會(huì)被淋濕？
【答案】(1)，
(2)
(3)王師傅不會(huì)被淋濕，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）由圖可得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)設(shè)出其頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入計(jì)算即可；
（3）求出時(shí)y的值，與1.85比較大小即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意知拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，
故答案為：，；
（2）解：由題意，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，
解得，
拋物線的表達(dá)式為：；
（3）解：當(dāng)時(shí)，，
．
答：王師傅不會(huì)被淋濕．
【題型7 增長(zhǎng)率問(wèn)題】
31．某超市1月份的營(yíng)業(yè)額為100萬(wàn)元，第一季度的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，如果每月平均增長(zhǎng)率為，那么與的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式即可．
【詳解】解：由題意得，與的函數(shù)解析式為，
故選：D ．
32．某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為10萬(wàn)元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)該廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金及以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比的增長(zhǎng)率，可得出該廠今年二月份、三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金，將該廠今年一、二、三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金相加，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】解：∵該廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為10萬(wàn)元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)率都是x，
該廠今年二月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為萬(wàn)元，三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為萬(wàn)元．
根據(jù)題意得：，
故選：B．
33．某印刷廠10月份印書20萬(wàn)冊(cè)，如果第四季度從11月份起，每月的印書量的增長(zhǎng)率都為，如果設(shè)12月份比10月份多印了萬(wàn)冊(cè)，那么關(guān)于的函數(shù)解析式是 ．（不寫定義域）
【答案】
【分析】本題主要考查了平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題．根據(jù)10月份的印數(shù)表示出12月份的印數(shù)即可表示出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：．
故答案為：．
34．某市今年第一季度的專項(xiàng)教育投入為億元，第二季度比第一季度增長(zhǎng)的百分比為，第三季度增長(zhǎng)的百分比是第二季度增長(zhǎng)百分比的倍，則第三季度專項(xiàng)教育投入（億元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為 ．（不要求寫自變量的取值范圍）
【答案】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，由題意得今年第二季度的專項(xiàng)教育投入為億元，則今年第二季度的專項(xiàng)教育投入為億元，然后化簡(jiǎn)即可，讀懂題意，列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：今年第二季度的專項(xiàng)教育投入為億元，
∴今年第二季度的專項(xiàng)教育投入為億元，
故答案為：．
35．某工廠的前年生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為，預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率為，設(shè)今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．
(1)求與的關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)，求今年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．
【分析】（1）利用增長(zhǎng)率公式即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）代入，求出y值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）依題意得：；
（2）當(dāng)時(shí)，，
答：當(dāng)時(shí)，今年的總產(chǎn)值為萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問(wèn)題，掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題的公式是解題的關(guān)鍵，若起始值為a，經(jīng)過(guò)n年后值為b，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則有．
【題型8 其他問(wèn)題】
36．在某次科技活動(dòng)中，小明利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)借助打印設(shè)備制作了兩款水杯（分別記為1號(hào)杯和2號(hào)杯），并對(duì)兩款水杯所盛水的水面高度與體積之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析：
1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系如表：
0.1 0.3
2 6
水面高度與體積近似地滿足一次函數(shù)關(guān)系．
2號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖所示：
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)求1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求2號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：
（1）設(shè)1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式為，把，；，代入求解即可；
（2）把，代入求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)1號(hào)水杯所盛水的水面高度與體積的函數(shù)關(guān)系式為，
則，
解得，
∴；
（2）解：把，代入，得
，
解得，
∴．
37．“動(dòng)若脫兔”是一個(gè)漢語(yǔ)成語(yǔ)，這個(gè)成語(yǔ)的含義是：在行動(dòng)時(shí)變得敏捷迅速，就像脫逃的兔子一樣．野兔跳躍時(shí)的空中運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．
(1)野兔一次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為米，最大豎直高度為米，以其起跳點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，求滿足條件的拋物線的解析式；（無(wú)需寫出取值范圍）
(2)若距野兔起跳點(diǎn)2米處有一個(gè)高度為米的樹樁，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明野兔是否能成功越過(guò)木樁；若不能，野兔至少需要再向前走多遠(yuǎn)開始起跳才可成功越過(guò)木樁？
【答案】(1)
(2)野兔不能成功越過(guò)木樁，野兔至少需要再向前走開始起跳才可成功越過(guò)木樁
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
（1）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出時(shí)，的值，再根據(jù)比較大小，得到野兔不能成功越過(guò)木樁，然后設(shè)起跳點(diǎn)向前移動(dòng)米，新拋物線為：，要求當(dāng)時(shí)，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意可知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，
∴可設(shè)該拋物線的解析式為，
把代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴野兔不能成功越過(guò)木樁，
設(shè)起跳點(diǎn)向前移動(dòng)米，新拋物線為：，
要求當(dāng)時(shí)，即
化簡(jiǎn)得：，
解得：，
∴由題意得：野兔至少需要再向前走開始起跳才可成功越過(guò)木樁；
38．如圖，某汽車停車棚的棚頂?shù)臋M截面可以看作拋物線的一部分．棚頂?shù)呢Q直高度（）與距離停車棚支柱的水平距離（）近似滿足函數(shù)．立柱的長(zhǎng)為，棚頂?shù)耐舛说呢Q直高度為，到立柱的水平距離為．一廂式貨車的截面看作矩形，長(zhǎng)為，高為，試判斷貨車能否完全停在車棚內(nèi)．
【答案】貨車能完全停在車棚內(nèi)，見解析
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，的值，若此時(shí)的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．
【詳解】以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
∴
解得
∴拋物線的表達(dá)式為
當(dāng)時(shí)，
∴貨車能完全停在車棚內(nèi)．
39．“城市軌道交通是現(xiàn)代大城市交通的發(fā)展方向，發(fā)展軌道交通是解決大城市病的有效途徑．”如圖，這是2024年南昌地鐵（）線路圖．小華了解到地鐵1號(hào)線列車從萬(wàn)壽宮站開往秋水廣場(chǎng)站時(shí)，在距離停車線256米處開始減速．他想知道列車從減速開始，經(jīng)過(guò)多少秒停下來(lái)，以及最后三秒滑行的距離．為了解決這些問(wèn)題，小華通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)描述列車離停車線的距離s（米）與滑行時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用該函數(shù)解決相應(yīng)的問(wèn)題．
(1)建立模型
①收集數(shù)據(jù)
t/秒 0 4 8 12 16 20 24
s/米 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐標(biāo)系
為了觀察s（米）與t（秒）的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系；
③描點(diǎn)連線
請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中將表中未描出的點(diǎn)補(bǔ)充完整，并用平滑的曲線依次連接；
④選擇函數(shù)模型
觀察這條曲線的形狀，它可能是 函數(shù)的圖象；
⑤求函數(shù)解析式
請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出s關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)應(yīng)用模型
列車從減速開始經(jīng)過(guò)多少秒，列車停止；最后三秒鐘，列車滑行的距離為多少米．
【答案】(1)③見解析；④二次；⑤
(2)列車從減速開始經(jīng)過(guò)32秒，列車停止；最后三秒鐘，列車滑行的距離為米
【分析】本題考查了列表、描點(diǎn)、連線，畫二次函數(shù)圖象，待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）③根據(jù)題意連線即可求解；
④根據(jù)曲線判斷函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象；
⑤待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式，當(dāng)時(shí)，解得，進(jìn)而求得當(dāng)，時(shí)的函數(shù)值，即可求解．
【詳解】（1）解：③根據(jù)題意連線如下：
④根據(jù)曲線的形狀，可判斷函數(shù)圖象為二次函數(shù)圖象，
故答案為：二次；
⑤設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意，得：
，
解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：當(dāng)，得，
解得．
當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，，
故（米），
答：列車從減速開始經(jīng)過(guò)32秒，列車停止；最后三秒鐘，列車滑行的距離為米．
40．汽車行駛在高速公路上遇到意外情況時(shí)，緊急停車需要經(jīng)歷反應(yīng)（反應(yīng)時(shí)間為秒）和制動(dòng)兩個(gè)過(guò)程，反應(yīng)距離和制動(dòng)距離分別記為和（單位：），停車距離為．（參考數(shù)據(jù)：）
汽車在反應(yīng)過(guò)程保持原速度勻速運(yùn)動(dòng)，制動(dòng)過(guò)程中的路程與行駛速度關(guān)系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制動(dòng)距離（） 0 2 8 18 32 …
(1)將表格中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，并求出與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)行駛速度為時(shí)，求剎車距離S；
(3)疲勞駕駛會(huì)導(dǎo)致司機(jī)制動(dòng)反應(yīng)時(shí)間增加，反應(yīng)時(shí)間為正常時(shí)間的3倍，當(dāng)疲勞駕駛停車距離比正常情況下增加時(shí)，求汽車原速度為多少．
【答案】(1)圖見解析；
(2)剎車距離為
(3)汽車原速度為
【分析】此題考查了畫函數(shù)圖象，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求自變量的值，正確掌握函數(shù)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)表格，描點(diǎn)、連線即可得出相應(yīng)圖象；然后設(shè)，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意確定，然后代入求解即可；
（3）根據(jù)題意得出疲勞駕駛下反應(yīng)距離，確定，求解即可．
【詳解】（1）解：圖象如圖所示：
∴設(shè)，將點(diǎn)，代入得：
，
解得
故．
（2）由題意：，
則
當(dāng)時(shí)，．
故剎車距離為．
（3）疲勞駕駛下反應(yīng)距離
由題意：，
解得
故汽車原速度為．
【拓展訓(xùn)練一 二次函數(shù)的存在性問(wèn)題】
41．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形的面積最大，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，12
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及四邊形面積的最值問(wèn)題．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，能根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，以及運(yùn)用分割法求不規(guī)則圖形的面積，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．
（1）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，得到關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組即可求出、的值，從而得到拋物線的解析式．
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線解析式表示出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．通過(guò)分割法，將四邊形的面積表示為與的面積之和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將，代入得：
即
解得 ， ，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：如圖，過(guò)作軸交于點(diǎn)，
對(duì)于，令，則，
∴．
設(shè)．
∵，，．
∴，設(shè)直線為，
∴，
解得，
∴，
∴
，
∴
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，
∴．
42．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，的長(zhǎng)為l，請(qǐng)寫出l關(guān)于m的表達(dá)式，當(dāng)l取最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P為拋物線上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)P使得，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，，或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）根據(jù)題意得：，，從而得到，即可求解；
（3）分兩種情況討論：若點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，若點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，即可求解．
【詳解】（1）解：直線，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
，，
將，代入得：
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：根據(jù)題意得：，，
∴，
，
開口向下，有最大值．
當(dāng)時(shí)，l取最大值．
此時(shí)；
（3）解：分兩種情況討論：
①若點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，

根據(jù)題意得：，，
∴，
，
，
解得：，，
②若點(diǎn)P在x軸下方，如圖2，

，
解得：，（舍）
的值為或或．
43．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式：
(2)連接，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E，交線段于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段有最大值？請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和的最大值；
(3)連接，若關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形是，是否存在點(diǎn)D，使得四邊形為菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，的最大值為4
(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)是
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，由待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為，則，列出關(guān)于函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）連接，交于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得，從而，解方程即可求解．
【詳解】（1）將，分別代入，
得
解這個(gè)方程組，得
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）設(shè)，
由，，可得直線的表達(dá)式為，
則，
∴
當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，的最大值為4．
（3）存在，理由如下：
如圖，連接，交于點(diǎn)M，
設(shè)點(diǎn)，
若四邊形為菱形，
則，，
∴，
∴，即，
解得，
∵點(diǎn)D在第一象限，
故當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是時(shí)，四邊形為菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，以及菱形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
44．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為常數(shù)，且與直線交于兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拖物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連接，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在；或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形，求二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)與一元二次方程，
（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式，求出解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，可得，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出，根據(jù)得出方程，求出解即可．
【詳解】（1）解：將代入，得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
將和代入，
得
解得
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：存在點(diǎn)使得．
過(guò)點(diǎn)作軸交AD于點(diǎn)，
令，則，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
，
，即，
解得，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．
45．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．
(1)求拋物線關(guān)系式．
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)點(diǎn)D，E分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線的對(duì)稱性、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及線段中點(diǎn)公式、勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）求出，得，得出直線交y軸與，求出直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立方程組，求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸，且，連接EF，AF．證明，得，得出，即的最小值為的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)F作軸，交x軸于點(diǎn)G．在中由勾股定理得，從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，
把，，代入，得：
，
解得，，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：存在．
∵，，
∴，
∵是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
∴，
∴直線交y軸與，
設(shè)直線的關(guān)系式為：，
把代入求得．
∴，
∴
解得 （舍）
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
如圖，過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸，且，連接，．
∵平行于x軸，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為的長(zhǎng)．
過(guò)點(diǎn)F作軸，交x軸于點(diǎn)G．
在中，，
∴，
即的最小值為．
【拓展訓(xùn)練二 二次函數(shù)的含參式應(yīng)用題】
46．“六一”兒童節(jié)期間，某超市以元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)入一批兒童禮品．在銷售前，銷售經(jīng)理進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研．
調(diào)研數(shù)據(jù)：下表是日銷售數(shù)量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的部分調(diào)研數(shù)據(jù)：
銷售單價(jià)x/元 … …
日銷售數(shù)量y/個(gè) … …
建立模型：（1）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函數(shù)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_________．
問(wèn)題解決：（2）兒童禮品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）若該超市決定每銷售一個(gè)兒童禮品就向兒童福利院捐贈(zèng)m元，捐贈(zèng)后，該兒童禮品日銷售最大利潤(rùn)為元，求m的值．
【答案】（1）一次，；（2）兒童禮品的銷售單價(jià)定為元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)為元；（3）2
【分析】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，解答關(guān)鍵是列出函數(shù)表達(dá)式再求解．
（1）先判定為一次函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)“利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）設(shè)日銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量銷售量求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】建立模型：
（1）解：一次，設(shè)這個(gè)一次函數(shù)解析式為，
則，解得：，
所以這個(gè)一次函數(shù)解析式為；
故答案為：一次，；
問(wèn)題解決：
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為元．
根據(jù)題意得．
，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
答：兒童禮品的銷售單價(jià)定為元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)為元．
（3）設(shè)捐贈(zèng)后，日銷售利潤(rùn)為元，
根據(jù)題意得．
，
當(dāng)時(shí)，
有最大值，最大值為．
的最大值為，
．
解得，．
當(dāng)時(shí)，，，符合題意．
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，舍去．
答：的值為2．
47．如圖，2020年是脫貧攻堅(jiān)決勝年．某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過(guò)測(cè)算為20元，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)的銷售單價(jià)p（元）與時(shí)間 t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，且其日銷售量與時(shí)間t（天）的關(guān)系是 天數(shù)為整數(shù)．
(1)試求銷售單價(jià)p（元）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)問(wèn)哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？
(3)在實(shí)際銷售的前30天中，公司決定每銷售水果就捐贈(zèng)n元利潤(rùn) 給“精準(zhǔn)扶貧“對(duì)象．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前30天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)第10天時(shí)，最大日銷售利潤(rùn)為1250元；
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解析式；
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，分別求出分段函數(shù)的中w的最大值，即可求解；
（3）先求出每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)與時(shí)間t的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)p（元）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為，
∴，
∴t，
∴pt+30，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：；
（2）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
當(dāng)時(shí)，
，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為1250元，
當(dāng)時(shí)，，
∴第10天時(shí)，最大日銷售利潤(rùn)為1250元；
（3）解：∵，
∴a，
對(duì)稱軸為．
∵每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大,且由于t只取正整數(shù)，
∴，
∴；
48．某公司推出一款產(chǎn)品，成本價(jià)元/千克，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，該產(chǎn)品的日銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，該產(chǎn)品的日銷售量與銷售單價(jià)之間的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：
銷售單價(jià)（元/千克）
日銷售量（千克）
注：日銷售利潤(rùn)日銷售量（銷售單價(jià)成本單價(jià)）
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出的取值范圍）；
(2)當(dāng)銷售價(jià)格為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元；
(3)該公司決定從每天的銷售利潤(rùn)中捐贈(zèng)元給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象，為了保證捐贈(zèng)后每天的剩余利潤(rùn)不低于元，請(qǐng)直接寫出該產(chǎn)品銷售單價(jià)的范圍_________．
【答案】(1)
(2)當(dāng)銷售價(jià)格元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大值是元
(3)
【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，能夠理解題意列出合理的方程和不等式是解題的關(guān)鍵．
（1）從表格中取點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式即可求解；
（2）建立與的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可．
（3）先求捐贈(zèng)后的利潤(rùn)為元時(shí)的銷售單價(jià)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)直接下結(jié)論即可．
【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，
則解得：，，
，
（2）因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，有最大值，
最大值為，
所以當(dāng)銷售價(jià)格元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大值是元；
（3）因?yàn)椋?br/>整理得：，解得：，
所以，當(dāng)時(shí)，捐贈(zèng)后每天的剩余利潤(rùn)不低于1025元
故答案為：．
49．某玩具店銷售一款玩具，已知該玩具成本為20元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該玩具每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式：，為了保證利潤(rùn)，規(guī)定．
(1)當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，該玩具每天的銷售額為多少？（銷售額銷售量銷售單價(jià)）
(2)求銷售該玩具每天的利潤(rùn)w（元）的最大值．
(3)該店為響應(yīng)“助力防控，回饋社會(huì)”活動(dòng)，決定每賣出一個(gè)玩具就捐贈(zèng)a元（），若每天扣除捐款后仍可獲最大利潤(rùn)196元，則a的值為多少？
【答案】(1)該玩具每天的銷售額為600元
(2)銷售該玩具每天的利潤(rùn)最大值為225元
(3)的值為2
【分析】（1）先求出時(shí)y的值，再根據(jù)“銷售額＝銷售量銷售單價(jià)”計(jì)算即可；
（2）根據(jù)“利潤(rùn)=（銷售單價(jià)成本）銷售量”列出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合x的范圍即可求出w的最大值．
（3）設(shè)每天扣除捐款后的利潤(rùn)為, 根據(jù)“利潤(rùn)=（銷售單價(jià)成本）銷售量”列出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可得時(shí)，，結(jié)合a的范圍即可求出a的值．
【詳解】（1）解：當(dāng)元時(shí)，．
．
答：當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，該玩具每天的銷售額為600元．
（2）解：


∵，
∴當(dāng)時(shí)，．
答：銷售該玩具每天的利潤(rùn)最大值為225元．
（3）解：設(shè)每天扣除捐款后的利潤(rùn)為,則
，
當(dāng)時(shí),達(dá)到最大值．將代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
50．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂40元，售價(jià)為每頂68元，平均每周可售出100頂，商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，每頂售價(jià)不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，平均每周可多售出20頂．
(1)若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少？
(2)商店降價(jià)銷售后，決定每銷售1頂頭盔，就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（m為整數(shù)，且），幫助做“交通安全”宣傳，捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大，求m的值．
【答案】(1)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)20元；
(2)或4．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（1）設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)元，則每頂頭盔的銷售利潤(rùn)為元，平均每周的銷售量為頂，根據(jù)每周銷售頭盔獲得的利潤(rùn)每頂頭盔的銷售利潤(rùn)平均每周的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，結(jié)合每頂售價(jià)不高于58元，即可確定的值；
（2）設(shè)每周扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為元，每頂頭盔售價(jià)為元，利用每周銷售頭盔獲得的利潤(rùn)每頂頭盔的銷售利潤(rùn)平均每周的銷售量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合且為整數(shù)，即可得出的值．
【詳解】（1）解：設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)元，則每頂頭盔的銷售利潤(rùn)為元，平均每周的銷售量為頂，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
，
，
．
答：每頂頭盔應(yīng)降價(jià)20元；
（2）解：設(shè)每周扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為元，每頂頭盔售價(jià)為元，
依題意得：．
拋物線的對(duì)稱軸為，開口向下，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大，
，
解得：，
又∵，且為整數(shù)，
或．
【拓展訓(xùn)練三 二次函數(shù)的倍角計(jì)算問(wèn)題】
51．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，存在，求出的值；
(3)在拋物線上取點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)，問(wèn)是否存在以、、、為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在以、、、為頂點(diǎn)且以為邊的矩形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）先根據(jù)求出，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即為3，由此即可得；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：①四邊形是矩形，②四邊形是矩形，先聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】（1）解：一次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，即，
把，代入得，
解得，
則拋物線的解析式為．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即為3，
當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），
則．
（3）解：存在，求解如下：
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則，
∵直線的解析式為，
∴設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)代入得，
直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（即為點(diǎn)，舍去），
，
②當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或（即為點(diǎn)，舍去），
，
綜上，存在以、、、為頂點(diǎn)且以為邊的矩形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
52．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)點(diǎn)P在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值；
②該拋物線上存在點(diǎn)P，使得，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，解題的關(guān)鍵是需要利用分類討論的思想求解；
（1）將點(diǎn)、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）①利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，根據(jù)，即可求解；
②分點(diǎn)在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)、代入拋物線，
得：，
解得：，
該拋物線的表達(dá)式為：①；
（2）解：①令，得，
解得：，，
點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
直線的解析式為②，
如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
，
，
，
有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為，此時(shí)；
②，
頂點(diǎn)，
設(shè)直線與交于點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，
，
點(diǎn)在的中垂線上，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)該點(diǎn)與垂直的直線的值為，
設(shè)中垂線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)代入上式得，
解得：，
直線中垂線的表達(dá)式為：③，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，
解得：，
直線的解析式為：④，
聯(lián)立③④得：，
解得：，
點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
直線的解析式為：⑤，
聯(lián)立①⑤得，
解得：，（舍去），
故點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，
，
，
則直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得：，
即直線的表達(dá)式為：⑥，
聯(lián)立①⑥并解得：或（舍去，
故點(diǎn)；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
53．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接、．
(1)求：，的值；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，求出的值；
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，2
(2)
(3)存在，點(diǎn)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法求表達(dá)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與角度問(wèn)題等．第（3）問(wèn)關(guān)鍵是構(gòu)造三角全等．
（1）由題意得：，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)，點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）先求出，分點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，兩種情況討論，利用三角形全等的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：由題意得：，
則，則，
拋物線的解析式為：，
則；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)．
由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是2，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，
則，則（舍去），
∴的值為；
（3）解：存在點(diǎn)，理由如下：
∵，，
∴，
，
①當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖，在軸上取點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，
在和中，
，，，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的解析式為，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：，
則（舍去）或，故點(diǎn)；
②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如上圖，作關(guān)于的對(duì)稱，交二次函數(shù)于點(diǎn)，
則，，，
，
，
四邊形是正方形，
，
令中，，則，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在點(diǎn)拋物線上，即點(diǎn)滿足條件，
故存在滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為：或．
【拓展訓(xùn)練四 二次函數(shù)的面積問(wèn)題】
54．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，軸，交直線于點(diǎn)D，求線段的最大值．
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)q的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）令，求出，，求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，則，得，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）作軸交BC于點(diǎn)E，求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，求出，得，，根據(jù)的面積等于3得，解方程即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線，即，
∴，
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，
∴，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：令，解得或，
∵，
∴，，
如圖1，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
由（1）得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴線段有最大值為．
（3）解：如圖2，作軸交BC于點(diǎn)E，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，
解得
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)，
令，解得，
則，
∴，
∴的面積，
∵的面積等于3，
∴，解得或．
55．如圖， 拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)且 時(shí)：
求的取值范圍；
若 ，直接寫出的值．
【答案】(1)；
(2)；或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）設(shè)該拋物線的解析式為，然后把代入求出的值即可；
（）由（）得拋物線的解析式為，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（）由拋物線的解析式，求出，通過(guò) ，則，則有，然后分情況解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)該拋物線的解析式為，
∵與軸交于點(diǎn)，
∴，解得：，
∴該拋物線的解析式為，
（2）解：由（）得拋物線的解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為，
∴的取值范圍；
由拋物線的解析式，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，
解得或（舍去），
∴的值為或．
56．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．且該拋物線的對(duì)稱軸為直線．
(1)求該拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及面積問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
（1）待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而化為頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；
（2）先求得所在直線的表達(dá)式為．得出，根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意，得解得
∴該拋物線的表達(dá)式為，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）存在．
設(shè)所在直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入，得
解得
∴所在直線的表達(dá)式為．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【拓展訓(xùn)練五 二次函數(shù)的新定義問(wèn)題】
57．定義：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，若該三角形的重心恰好在x軸上，則稱此三角形為“平穩(wěn)三角形”．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，A是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A在第三象限．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若為“平穩(wěn)三角形”，中線AD交x軸于點(diǎn)G，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、重心的概念，正確利用中點(diǎn)公式是解題的關(guān)鍵．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）為“平穩(wěn)三角形”，則可得到點(diǎn)，求出直線的表達(dá)式為，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，
得，
解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解： 為“平穩(wěn)三角形”，是的中線，交x軸于G點(diǎn)，
G是的重心，
設(shè)交x軸于點(diǎn)H，
是的中線，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
令，則，解得，（舍去），
．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將與代入，
得，
解得，
所以直線的表達(dá)式為，
令，則，解得，
，
是的中線，
D為的中點(diǎn)，
，
．
58．定義：已知平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），，且軸，若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則稱拋物線是線段的“共弦拋物線”．
(1)若，，線段的一條“共弦拋物線”的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求這個(gè)拋物線的解析式；
(2)在（）的條件下，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，求的面積；
(3)若，線段的“共弦拋物線”和的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且點(diǎn)，距線段的距離之和為，求的值．
【答案】(1)拋物線解析式為；
(2)的面積為；
(3)的值為或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解一元二次方程，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）根據(jù)，，線段的一條“共弦拋物線”，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后代入，求出的值即可；
（）由（）得，這個(gè)拋物線的解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，求出，，然后利用的面積為求解即可；
（）由線段的“共弦拋物線”和，則對(duì)稱軸為直線
，故有，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線的頂點(diǎn)距線段線段的距離為，點(diǎn)距線段的距離為，從而得到拋物線的頂點(diǎn)為或，然后分當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)兩種情況分析即可．
【詳解】（1）解：∵，，線段的一條“共弦拋物線”，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為：，且過(guò)點(diǎn)，
∴，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖，
由（）得，這個(gè)拋物線的解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
∴，，
∴，
∴的面積為；
（3）解：∵線段的“共弦拋物線”和，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵，
∴，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的頂點(diǎn)距線段線段的距離為，
∴點(diǎn)距線段的距離為，
∴拋物線的頂點(diǎn)為或，
當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)，，
將代入得，，
解得：，
當(dāng)頂點(diǎn)為時(shí)，，
將代入得，，
解得：，
∴的值為或．
59．定義：拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，它的頂點(diǎn)為，若，，三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)，我們把這樣的拋物線叫作“至美拋物線”．
理解：（1）下列拋物線是“至美拋物線”的是_____．（填序號(hào)）
① ② ③
應(yīng)用：（2）若“至美拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，求該拋物線的解析式．
拓展：（3）若“至美拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，與軸的交點(diǎn)為．
①若“至美拋物線”可以由拋物線平移得到，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
②已知點(diǎn)，，若是等腰三角形，直接寫出的值．
【答案】（1）①③；（2）；（3）①；②3或4
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵：
（1）分別求出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)新定義，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到對(duì)稱軸，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（3）①根據(jù)平移，得到，同法（2）求出拋物線的解析式即可；②分，，，3種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，則：，
∴，；
故①是“至美拋物線”；
∵，
∴，
故②不是“至美拋物線”；
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，則：，
∴，；
故③是“至美拋物線”；
故答案為：①③；
（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
設(shè)拋物線的解析式為，
把代入，得，解得，
拋物線的解析式為．
（3）①“至美拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，且為整數(shù)，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
“至美拋物線”可以由拋物線平移得到，
，
設(shè)拋物線的解析式為，
把代入，得，解得，
拋物線的解析式為，
∴當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
為整數(shù)，
不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得，
為整數(shù)，
不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得或．
綜上所述，的值為3或4．
1．一個(gè)小球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過(guò)（秒）時(shí)球距離地面的高度（米）適用公式，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間（秒）和彈起的最高高度（米）分別是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
【答案】B
【分析】此題考查了求二次函數(shù)的應(yīng)用．
根據(jù)球彈起后又回到地面時(shí)，得到，解方程即可得到回到地面所花的時(shí)間（秒）．化為頂點(diǎn)式可求出彈起的最高高度（米）．
【詳解】解：球彈起后又回到地面時(shí)，即，
解得（不合題意，舍去），，
∴球彈起后又回到地面所花的時(shí)間（秒）是2．
∵，
∴彈起的最高高度（米）是5．
故選：B．
2．我們知道，兩個(gè)一次函數(shù)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)就是相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，反之我們還可以通過(guò)圖像法求得二元一次方程組的解．比如：一次函數(shù)與反比例的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)可由方程求得，那么請(qǐng)你推斷：方程中m的范圍比較合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)和方程解的關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵在于將方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，通過(guò)代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)值比較函數(shù)值大小來(lái)確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在取值范圍．本題可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)來(lái)確定方程解的范圍．方程的解可看作是函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，可通過(guò)代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)值判斷函數(shù)值大小關(guān)系來(lái)確定范圍．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，對(duì)于，；
對(duì)于，，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于，；
對(duì)于，，此時(shí)． 說(shuō)明當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，即方程的解在這個(gè)區(qū)間內(nèi)．故A項(xiàng)合理；
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，且在內(nèi)，對(duì)于，其值在 ，對(duì)于，兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，故B項(xiàng)不合理；
當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，當(dāng)時(shí)，， ，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，，，兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)．故C不合理；
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，， ，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，，，兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)．故D不合理；
∴方程中的范圍是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
3．如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：）與水平距離x（單位：）之間的關(guān)系式為：．有下列結(jié)論；
①該男生推鉛球出手時(shí)，鉛球的高度為；
②鉛球飛行至水平距離4米時(shí)，到達(dá)最大高度，最大高度為；
③鉛球落地時(shí)的水平距離為．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以分別計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確即可．
【詳解】解：將代入，
得，
解得，，
∴這名男生鉛球推出的水平距離為，
故③正確，符合題意；
∵，
∴鉛球飛行至水平距離4米時(shí)，到達(dá)最大高度，最大高度為，
故②正確，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
故①錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
4．“科技點(diǎn)亮未來(lái)，創(chuàng)新成就夢(mèng)想”，在坪山區(qū)某九年一貫制學(xué)校2025年的科技節(jié)活動(dòng)中，水火箭這一匯聚了物理智慧與巧妙構(gòu)思的科技作品，閃耀著耀眼的光芒，水火箭從地面豎直向上彈出，其初始速度為20米/秒．水火箭在空中的高度（米）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為．當(dāng)水火箭達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．易得拋物線的開口向下，那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即可求得相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
【詳解】解：∵，，
∴當(dāng)秒時(shí)，水火箭達(dá)到最高點(diǎn)．
故選：B．
5．若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：）與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有以下結(jié)論：
①小球在空中經(jīng)過(guò)的路程是40；
②與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
③小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6；
④當(dāng)小球的高度時(shí)，．以上結(jié)論中正確的有（ ）
A．1

展開更多......

收起↑