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微專題4　帶電粒子在電場中運動的綜合問題
探究點一　帶電粒子在交變電場中的運動
1．此類問題中，帶電粒子進入電場時初速度為零，或初速度方向與電場方向平行，帶電粒子在交變靜電力的作用下，做加速、減速交替的直線運動．
2．該問題通常用動力學知識分析求解．重點分析各段時間內的加速度、運動性質、每段時間與交變電場的周期T間的關系等．
常用v t圖像來處理此類問題，通過畫出粒子的v t圖像，可將粒子復雜的運動過程形象、直觀地反映出來，便于求解．
例1 如圖甲所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖乙所示的交變電壓，一重力可忽略不計的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處．若在t0時刻由靜止釋放該粒子，關于該粒子的運動正確的是(　　)
A．一開始向左運動，最后打到A板上
B．一開始向右運動，最后打到A板上
C．一開始向左運動，最后打到B板上
D．一開始向右運動，最后打到B板上
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如圖甲所示，在y＝0和y＝2 m之間有沿著x軸方向的勻強電場，MN為電場區域的上邊界，在x軸方向范圍足夠大．電場強度的變化如圖乙所示，取x軸正方向為電場正方向．現有一個帶負電的粒子，粒子的比荷＝1.0×10－2 C/kg，在t＝0時刻以速度v0＝5×102 m/s從O點沿y軸正方向進入電場區域，不計粒子重力作用．求：
(1)粒子通過電場區域的時間；
(2)粒子離開電場的位置坐標；
(3)粒子通過電場區域后沿x軸方向的速度大小．
[試答]
練1　(多選)勻強電場的電場強度E隨時間t變化的圖像如圖所示．當t＝0時，在此勻強電場中由靜止釋放一個帶電粒子，設帶電粒子只受電場力的作用，則下列說法中正確的是(　　)
A．帶電粒子將始終向同一個方向運動
B．2 s末帶電粒子回到原出發點
C．3 s末帶電粒子的速度為零
D．0～3 s內，電場力做的總功為零
練2　(多選)如圖甲所示，平行金屬板中央有一個靜止的電子(不計重力)，兩板間距離足夠大．當兩板間加上如圖乙所示的交變電壓后，選項圖中反映電子速度v、位移x和加速度a隨時間t的變化規律圖像，可能正確的是(　　)
探究點二　帶電粒子在電場中的圓周運動
解決電場(復合場)中的圓周運動問題，關鍵是分析向心力的來源，向心力的來源有可能是重力和電場力的合力，也有可能是單獨的電場力．
題型1　僅在電場力作用下的勻速圓周運動
例3 如圖所示，真空中固定著兩個等量同種點電荷A、B，AB連線的中點為O.在過O點并且垂直于AB連線的平面內，a、b兩個相同的帶電粒子，僅在電場力的作用下，以O點為圓心做半徑不同的勻速圓周運動．已知a的半徑小于b的半徑，不計兩個粒子之間的相互作用，則下列說法正確的是(　　)
A．a粒子的動能一定比b粒子的動能小
B．a粒子的動能一定比b粒子的動能大
C．a粒子的電勢能一定比b粒子的電勢能小
D．a粒子的電勢能一定比b粒子的電勢能大
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題型2　帶電物體(計重力)在勻強電場中的圓周運動
例4 如圖所示，長為l的絕緣細線一端系在O處，另一端系一個質量為m、帶電量為＋q(q>0)的小球(可視為質點)，O處固定一個帶電量為－Q(Q>0)的點電荷，同時空間存在水平向右的勻強電場，電場強度大小為，在豎直方向最低點給小球一個水平向右的初速度，小球恰好可以完成圓周運動．靜電力常量為k，重力加速度為g，空氣阻力不計，則小球獲得的初動能至少為(　　)
A．mgl＋ B．mgl
C．mgl＋ D．mgl
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題型3　利用“等效重力”法處理帶電體在復合場中的圓周運動(1)“等效重力”及“等效重力加速度”：在勻強電場中，將重力與電場力合成，如圖所示，
則F合為“等效重力場”中的“等效重力”，g′＝為“等效重力場”中的“等效重力加速度”，F合的方向為“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向．
(2)等效最“高”點與最“低”點的確定方法
例5如圖所示，空間有一水平向右的勻強電場，半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，O是圓心，AB是豎直方向的直徑．一質量為m、電荷量為＋q(q＞0)的小球套在圓環上，并靜止在P點，OP與豎直方向的夾角θ＝37°.不計空氣阻力，已知重力加速度為g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)電場強度E的大小；
(2)若要使小球從P點出發能做完整的圓周運動，小球初速度的大小應滿足的條件．
[試答]
練3(多選)如圖所示，長為L的細線拴一個帶電荷量為＋q、質量為m的小球，重力加速度為g，球處在豎直向下的勻強電場中，電場強度為E，小球恰好能夠在豎直平面內做圓周運動，則(　　)
A．小球在最高點的速度大小為
B．當小球運動到最高點時電勢能最小
C．小球運動到最低點時，機械能最大
D．小球運動到最低點時，動能為(mg＋qE)L
　
1．(多選)如圖所示，用絕緣細線拴一帶負電小球，在豎直平面內做圓周運動，勻強電場方向豎直向下，則(　　)
A．當小球運動到最高點a時，線的張力一定最小
B．當小球運動到最低點b時，小球的速度一定最大
C．當小球運動到最高點a時，小球的電勢能最小
D．小球在運動過程中機械能不守恒
2．如圖(a)，一平行板電容器兩板間的距離為d，在左板內側附近有一帶電量為q，質量為m的離子，不計重力，為使離子能在兩板間往復運動而不碰到兩板，在兩板間加上如圖(b)所示的交變電壓，則此交變電壓的周期最大為(　　)
A．d B．2d
C．4d D．d
3.如圖所示，一半徑為R的絕緣圓形軌道豎直放置，圓軌道最低點B點與一條水平軌道相連，軌道是光滑的，軌道所在空間存在水平向右、場強為E的勻強電場，從水平軌道上的A點由靜止釋放一質量為m帶正電的小球，設A、B間的距離為s.已知小球受到的靜電力大小等于小球重力的倍，C點為圓形軌道上與圓心O的等高點．(重力加速度為g)
(1)若s＝2R，求小球運動到C點時對軌道的壓力大小；
(2)為使小球剛好在圓軌道內完成圓周運動，求s的值．
溫馨提示：請完成分層訓練素養提升(十四)
單元素養檢測(二)(第十章)
微專題4　帶電粒子在電場中運動的綜合問題
導學　掌握必備知識　強化關鍵能力
探究點一
[例1]　解析：粒子帶正電，在t0時刻由靜止釋放該粒子，粒子在t0～向右加速運動，在～向右減速運動，～T向左加速運動，此后重復運動，最終打到B板上．
答案：D
[例2]　 (1)因粒子初速度方向垂直勻強電場，在電場中做類平拋運動，所以粒子通過電場區域的時間t＝＝4×10－3 s.
(2)粒子沿x軸負方向先加速后減速，加速時的加速度大小為a1＝＝4 m/s2，
減速時的加速度大小為a2＝＝2 m/s2，
由運動學規律得x方向上的位移為
x＝a1＋a1－a2＝2×10－5 m，
因此粒子離開電場時的位置坐標為(－2×10－5 m，2 m)．
(3) 解析：粒子通過電場區域后沿x方向的速度為vx＝a1·－a2·＝4×10－3 m/s.
(1) 4×10－3 s　
(2) (－2×10－5 m，2 m)
　 (3) 答案：4×10－3 m/s
練1　解析：設第1 s內粒子的加速度為a1，第2 s內的加速度為a2，由a＝可知，a2＝2a1，可見粒子第1 s內向負方向運動，1.5 s末粒子的速度為零，然后向正方向運動，至3 s末回到原出發點，粒子的速度為零，v t圖像如圖所示，由動能定理可知，此過程中電場力做的總功為零，綜上所述，可知C、D正確．
答案：CD
練2　解析：在平行金屬板之間加上題圖乙所示的交變電壓時，電子在平行金屬板間所受的電場力大小始終不變，F＝，由牛頓第二定律F＝ma可知，電子的加速度大小始終不變，電子在第一個內向B板做勻加速直線運動，在第二個內向B板做勻減速直線運動，在第三個內反向做勻加速直線運動，在第四個內向A板做勻減速直線運動，所以a?t圖像應如圖D所示，v?t圖像應如圖A所示，A、D正確，C錯誤；又因勻變速直線運動位移x＝v0t＋at2，所以x?t圖像應是曲線，B錯誤．
答案：AD
探究點二
[例3]　解析：a、b做勻速圓周運動，向心力為 Fa＝，Fb＝，同時Fa＝2F1cos α，Fb＝2F2cos β，a、b是相同粒子，a離場源電荷近，根據庫侖力公式F＝，可知F1>F2，但α>β，可得cos α則a、b為負電荷，因為φ＝，q為負電，則φ與Ep成負相關，由電場線方向可知φa>φb，沿電場線方向電勢降低，則Epa答案：C
[例4]　解析：小球在圓周上運動，點電荷Q對小球的庫侖力不做功，重力和電場力的合力做功．小球恰好完成圓周運動，表示小球在所受合力最大位置，其合力恰好等于圓周運動的向心力．勻強電場的電場力F＝Eq＝mg，重力與電場力的合力F1＝＝mg，小球所受最大合力Fm＝mg＋，其等于圓周運動的向心力F向＝Fm＝mg＋＝，得mgl＋，位置在過O點45°角圓周頂部，根據動能定理有l，所以得到mgl＋.
答案：A
[例5]解析：(1)當小球靜止在P點時，小球的受力情況如圖所示，
則有＝tan θ，所以E＝.
(2)小球所受重力與電場力的合力F＝＝mg.
當小球做圓周運動時，可以等效為在一個“重力加速度”為g的“重力場”中運動．
若要使小球能做完整的圓周運動，則小球必須能通過圖中的Q點．
設當小球從P點出發的速度為vmin時，小球到達Q點時速度為零，在小球從P運動到Q的過程中，
根據動能定理有
－mg·2r＝，
所以vmin＝，即小球的初速度應不小于.
(1)答案：　(2)不小于
練3　解析：小球恰好能夠在豎直平面內做圓周運動，則在最高點由重力和靜電力的合力提供向心力，則有mg＋Eq＝m，解得v＝ ，故A錯誤；小球向上運動時，靜電力做負功，電勢能增加，當小球運動到最高點時電勢能最大，故B錯誤；小球向下運動時，靜電力做正功，機械能增大，運動到最低點時，小球的機械能最大，故C正確；從最高點到最低點的過程中，根據動能定理得Ek－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得Ek＝(mg＋Eq)L，故D正確．
答案：CD
導練　落實創新應用　提升學科素養
1．解析：若qE＝mg，小球做勻速圓周運動，球在各處對細線的拉力一樣大，若qE＜mg，球在a處速度最小，若qE＞mg，球在a處速度最大，故A、B錯誤；a點電勢最高，負電荷在電勢最高處電勢能最小，故C正確；小球在運動過程中除重力外，還有靜電力做功，機械能不守恒，D正確．
答案：CD
2．解析：假設t＝0時刻左極板的電勢高于右極板的電勢，根據圖(b)可知交變電壓的周期為T，根據圖像中電壓的變化，若一正離子從左極板向右運動，先做的勻加速運動，再做的勻減速運動，到達右極板時速度恰好為零，而加速和減速的加速度大小相同，則位移相同，是完全對稱的運動，其加速度大小為a＝，設加速階段的最大速度為v，則有v＝a·＝·，在速度達到最大或由最大減為零的過程中，由動能定理可得qU＝mv2，解得T＝4d ，因此，為使該離子能在兩極間來回振動而不撞在兩極板上，則T<4d，故選項 C正確．
答案：C
3．解析：(1)當小球從A點釋放，在靜電力作用下運動，從A到C點靜電力做正功，重力做負功，
應用動能定理得qE·3R－mgR＝
到達C點時，小球受到的支持力和靜電力提供向心力，即：FN－qE＝，
由牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小與小球受到的支持力大小相等，則FN′＝FN＝.
(2)為了使小球剛好在圓周軌道內運動，小球到達D點時恰好僅受重力和靜電力，如圖所示，
此時有F＝＝mg，
F＝m，tan θ＝＝，則θ＝37°
從A點到D點時根據動能定理有
qE(s－R sin θ)－mgR(1＋cos θ)＝mv2，
則可以計算得s＝.
答案：(1)　(2)
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微專題4　帶電粒子在電場中運動的綜合問題
核 心 素 養 學 習 目 標
物理觀念 進一步強化對電場這一概念的理解．
科學思維 (1)會分析帶電粒子在交變電場中的運動．
(2)會應用運動和力、功和能的關系分析帶電粒子在復合場中的運動問題．
(3)會應用運動和力、功和能的關系分析帶電粒子在復合場中的圓周運動問題．
科學態度與責任 通過思維方法的應用及學科素養的提升，提升學生主動探索自然的欲望．
探究點一　帶電粒子在交變電場中的運動
1．此類問題中，帶電粒子進入電場時初速度為零，或初速度方向與電場方向平行，帶電粒子在交變靜電力的作用下，做加速、減速交替的直線運動．
2．該問題通常用動力學知識分析求解．重點分析各段時間內的加速度、運動性質、每段時間與交變電場的周期T間的關系等．
常用v t圖像來處理此類問題，通過畫出粒子的v t圖像，可將粒子復雜的運動過程形象、直觀地反映出來，便于求解．
答案：D
(1)粒子通過電場區域的時間；
答案：4×10－3 s　
(2)粒子離開電場的位置坐標；
答案：(－2×10－5 m，2 m)
(3)粒子通過電場區域后沿x軸方向的速度大小．
答案：4×10－3 m/s

練1　(多選)勻強電場的電場強度E隨時間t變化的圖像如圖所示．當t＝0時，在此勻強電場中由靜止釋放一個帶電粒子，設帶電粒子只受電場力的作用，則下列說法中正確的是(　　)
A．帶電粒子將始終向同一個方向運動
B．2 s末帶電粒子回到原出發點
C．3 s末帶電粒子的速度為零
D．0～3 s內，電場力做的總功為零
答案：CD
練2　(多選)如圖甲所示，平行金屬板中央有一個靜止的電子(不計重力)，兩板間距離足夠大．當兩板間加上如圖乙所示的交變電壓后，選項圖中反映電子速度v、位移x和加速度a隨時間t的變化規律圖像，可能正確的是(　　)
答案：AD
探究點二　帶電粒子在電場中的圓周運動
解決電場(復合場)中的圓周運動問題，關鍵是分析向心力的來源，向心力的來源有可能是重力和電場力的合力，也有可能是單獨的電場力．
題型1　僅在電場力作用下的勻速圓周運動
例3 如圖所示，真空中固定著兩個等量同種點電荷A、B，AB連線的中點為O.在過O點并且垂直于AB連線的平面內，a、b兩個相同的帶電粒子，僅在電場力的作用下，以O點為圓心做半徑不同的勻速圓周運動．
已知a的半徑小于b的半徑，不計兩個粒子之間的相互作用，則下列說法正確的是(　　)
A．a粒子的動能一定比b粒子的動能小
B．a粒子的動能一定比b粒子的動能大
C．a粒子的電勢能一定比b粒子的電勢能小
D．a粒子的電勢能一定比b粒子的電勢能大
答案：C
答案：A
(2)等效最“高”點與最“低”點的確定方法
例5如圖所示，空間有一水平向右的勻強電場，半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，O是圓心，AB是豎直方向的直徑．一質量為m、電荷量為＋q(q＞0)的小球套在圓環上，并靜止在P點，OP與豎直方向的夾角θ＝37°.不計空氣阻力，已知重力加速度為g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)電場強度E的大小；


(2)若要使小球從P點出發能做完整的圓周運動，小球初速度的大小應滿足的條件．
答案：CD
1．(多選)如圖所示，用絕緣細線拴一帶負電小球，在豎直平面內做圓周運動，勻強電場方向豎直向下，則(　　)
A．當小球運動到最高點a時，線的張力一定最小
B．當小球運動到最低點b時，小球的速度一定最大
C．當小球運動到最高點a時，小球的電勢能最小
D．小球在運動過程中機械能不守恒
答案：CD
解析：若qE＝mg，小球做勻速圓周運動，球在各處對細線的拉力一樣大，若qE＜mg，球在a處速度最小，若qE＞mg，球在a處速度最大，故A、B錯誤；a點電勢最高，負電荷在電勢最高處電勢能最小，故C正確；小球在運動過程中除重力外，還有靜電力做功，機械能不守恒，D正確．
答案：C
(1)若s＝2R，求小球運動到C點時對軌道的壓力大小；

(2)為使小球剛好在圓軌道內完成圓周運動，求s的值．

答案：B
2.(多選)如圖所示，在水平向右的勻強電場中，長為L的絕緣細線一端懸于O點，另一端系一質量為m、電荷量為＋q的小球(可視為點電荷)．將小球拉至與O點等高的A點，保持細線繃緊并靜止釋放，小球運動到與豎直方向夾角θ＝30°的P點時速度變為0.已知電場范圍足夠大，重力加速度為g，空氣阻力可忽略．

答案：BCD
答案：D
4.(8分)如圖所示，半徑為R的光滑絕緣圓環豎直置于場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中，質量為m、帶電荷量為＋q的空心小球穿在環上，當小球從頂點A由靜止開始下滑到與圓心O等高的位置B時，求小球對環的壓力．(重力加速度為g)
答案：2mg＋3Eq，方向水平向右
(1)判斷該粒子的電性；
答案：正電




6.在真空中有水平放置的兩個平行、正對金屬平板，板長為l，兩板間距離為d，在兩極板間加一交變電壓如圖乙，質量為m，電荷量為e的電子以速度v從兩極板左端中點沿水平方向連續均勻地射入兩平行板之間．
答案：B
7．(10分)如圖甲所示，熱電子由陰極飛出時的初速度忽略不計，電子發射裝置的加速電壓為U0，電容器板長和板間距離均為L＝10 cm，下極板接地，電容器右端到熒光屏的距離也是L＝10 cm，在電容器兩極板間接一交變電壓，上極板的電勢隨時間變化的圖像如圖乙所示．(每個電子穿過平行板的時間都極短，可以認為電壓是不變的)求：
(1)在t＝0.06 s時刻進入電容器的電子打在熒光屏上的何處；
答案：打在屏上的點位于O點上方，距O點13.5 cm
(2)熒光屏上有電子打到的區間有多長．
答案：30 cm

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