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第05練 平行四邊形
1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2.平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。
3.平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。
4.平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。
5.平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。
6.平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
7.平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
8.平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
9.平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。
（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。
1．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）
A．ABCD，ADBC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，ABCD D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】C
【解析】解：A、根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；B、根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；C、不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；D、根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；故選：C．
2．下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（　　）
A．一組對角相等，一組鄰角互補
B．一組對邊平行，另一組對邊相等
C．兩組對邊相等
D．一組對邊平行，且一條對角線平分另一條對角線
【答案】B
【解析】解：A、能用兩組對角相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；B、不能判定平行四邊形，如等腰梯形；C、能用兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；D、能用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定平行四邊形；故選：B．
3．已知四邊形ABCD中，ABCD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．ADBC D．∠C＋∠D＝180
【答案】B
【解析】解：A、，，四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、，一組對邊平行，另一組對邊相等不能推出四邊形是平行四邊形，符合題意；C、，兩組對邊平行，四邊形是平行四邊形，不符合題意；D、，得出，根據，四邊形是平行四邊形，不符合題意；故選：B．
4．如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A． AB∥CD，AB=CD B． AB∥CD，AD∥BC
C． AB=CD，AD=BC D． AB∥CD，AD=BC
【答案】D
【解析】解：A、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵AB∥CD，AD=BC，不能得出四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．
5．用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角為直角”時，應先作出的假設是（ ）
A．一個三角形中不能有兩個角為銳角 B．一個三角形中不能有兩個角為鈍角
C．一個三角形中能有兩個角為直角 D．一個三角形中能有兩個角為銳角
【答案】C
【解析】解：用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個角是直角”第一步應假設一個三角形中能有兩個角為直角．故選：C．
6．如圖，點E為 ABCD的邊BC上的一點，連接AE，滿足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，則∠ACD的度數為（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BCD＝180°－∠B＝180°－72°＝108°，
∵AB＝BE，
∴，
∵AE＝EC，
∴，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACE＝108°－27°＝81°,
故選：B.
7．如圖，的對角線與相交于點O，，若，則的長為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解： ，，
，
故選C
8．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
【答案】C
【解析】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，
又∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO=BO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項不合題意；∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項不合題意；∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項不合題意；C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：C．
9．在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB＝5，BC＝6，則CE+CF的值為_________________．
【答案】或
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如圖：
由平行四邊形面積公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3，
∴CE＝6+，CF＝3+5，
即CE+CF＝11+，
②如圖：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
∴CE+CF＝1+，
故答案為：11+或1+．
10．在中，周長為20cm，對角線AC交BD于點O，比的周長多4，則邊AB=______．
【答案】7cm
【解析】解：∵△OAB 比 △OBC 的周長多4，
∴（OA+AB+OB）-（OC+OB+BC）=4，
又平行四邊形的對角線互相平分，
∴OA=OC，
∴AB-BC=4，即BC=AB-4，
又 ABCD 的周長為20cm，
∴2（AB+BC）=20，
即AB+AB-4=10，
∴AB=7 cm，
故答案為7cm ．
11．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若△ABC沿射線BC方向平移x個單位得到△DEF，頂點A，B，C分別與D，E，F對應，若以點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形，則x的值是______．
【答案】6或或5
【解析】解：分3種情況討論：
①當DE=AE時，
作EM⊥AD，垂足為M，AN⊥BC于N，則四邊形ANEM是平行四邊形，
∴AM=NE，AM=AD=x，CN=BC=3，
∴x+x=6-（3-x），
∴x=6；②當AD=AE=x時，
∵將△ABC沿射線BC方向平移x個單位得到△DEF，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE=AD=x，
∴NE=x-3，
∵AN2+NE2=AE2，
∴42+（x-3）2=x2，
∴x=．
③DE=DA時，AE=AB=5
綜上所述：當x=6或或5時，△ADE是等腰三角形．
故答案為：6或或5．
12．如圖，是平行四邊形的對角線，點在上，，，則的度數是_____________
【答案】
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180° ∠ABC＝180° 108°，
∴∠BAC＝24°，
故答案為：24°．
13．如圖，已知在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E、F．
(1)求∠EAF的度數；
(2)如果AB＝6，求線段AE的長．
【答案】(1)60°；(2)
【分析】(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵在四邊形AECF中，∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，
∴∠EAF＝60°．
(2)解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝6，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴，
由勾股定理，得
，
∴．
14．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，交于點O．
(1)求證：與互相平分；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析；(2)4
【分析】(1)證明：如圖，連接，
，
，
，
，
在與中， ，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
(2)解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．如圖，在中，點E是BC邊的中點，連接AE并延長與DC的延長線交于點F．
(1)求證：；
(2)若，，，連接DE，求DE的長．
【答案】(1)見解析；(2)12
【分析】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵點F為DC的延長線上的一點，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E為BC中點，
∴BE＝CE，
則在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD；(2)由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在中，，
∴
16．已知ABCD中，，．
(1)如圖1，對角線AC、BD交于點O，若，求BD的長；
(2)點E是直線CD上的一個動點，直線BE交直線AC于點H，過點A作交直線CD于點F，垂足為點M，連接FH．
①如圖2，當點E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合）時，判斷線段BH、AF、FH的數量關系，并證明．
② 當點E在邊DC的延長線上時，若，判斷線段BH、AF、FH之間的數量關系，在圖3中畫出圖形并直接寫出結論，不需證明．
【答案】(1)BD＝
(2)①BH＝AF＋FH，證明見解析；②畫圖見解析；當時，有AF＝BH＋FH；當45 <∠BEC<90 時，有FH＝BH＋AF；當時，點F不存在
【分析】(1)解：∵ABCD，
∴0C＝， ，
∵AC⊥BC，AC＝BC，BC＝4，
∴OC＝，
在Rt△BCO中，
，
∴BD＝；(2)①BH＝AF＋FH，
證明：延長AF和BC交于點G，
∵AC⊥BC，AF⊥BE，
∴∠HBC＋∠BHC＝∠AHM＋∠HAF＝，
∵∠BHC＝∠AHM，
∴∠HBC＝∠HAF，
在△BCH和△ACG中，
，
∴△BCH≌△ACG(ASA)，
∴BH＝AG，HC＝CG，
在△FCH和△FCG中，
，
∴△FCH≌△FCG(SAS)，
∴HF＝FG，
∴BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ，
②當時，有AF＝BH＋FH，如圖，
理由：延長FH、BC相交于G，連接AG，設AF交BC于N，
∵，
∴∠HBC+∠BHC=90°，
∵，
∴∠HAM+∠BHC=90°，
∴∠HBC=∠HAM，即∠HBC=∠CAN，
在△BCH和△ACN中，
，
∴△BCH≌△ACN(ASA)，
∴CH＝CN，∠BHC=∠ANC，
∵，，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠FCB=∠ABC=45°，∠FCH=∠BAC=45°，
∴∠FCB=∠FCH，
在△FCN和△FCH中，
在△FCN和△FCH中，
，
∴△FCN≌△FCH(SAS)，
∴∠CFN=∠CFH，
∵∠GHC=∠CFG+∠FCH，∠ANC=∠FCN+∠CFN，
∵∠BHC=∠ANC，
∴∠GHC=∠BHC，
在△BCH和△GCH中，
，
∴△BCH≌△GCH(ASA)，
∴GH=BH，BH=CH，∠HBC=∠HGC，
∴CH=AC，∠FAH=∠HGC，
∴∠CAG=∠CGA，
∴∠FAH+∠CAG=∠FGC+∠CHA，即∠FAG=FGA，
∴AF=GF=FH+HG，
∴AF= BH+FH；當時，有FH＝BH＋AF，如圖，
理由：延長AM、CB相交于G，
∵，
∴∠G+∠GAC=90°，
∵，
∴∠BHC+∠GAC=90°，
∴∠G=∠BHC，
在△ACG和△BCH中，
，
∴△ACG≌△BCH(ASA)，
∴AG=BH，CG=CH，
∵，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠ACF=∠BAC=45°，
∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°
∵∠BCH=90°，
∴∠HCF=360°-∠GCF-∠BCH=360°-135°-90°=135°，
∴∠GCF=∠HCF，
在△FCG和△FCH中，
，
∴△FCG≌△FCH(SAS)，
∴FG=FH，
∴FH=AF+AG=AF+BH
當時，則CD⊥BE，因AF⊥BE，所以AFCD，即AF與CD無交點，如圖，所以點F不存在．
綜上，當時，有AF＝BH＋FH；當時，有FH＝BH＋AF；當∠BCE=90° 時，點F不存在．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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1.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2.平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。
3.平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。
4.平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。
5.平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。
6.平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
7.平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
8.平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
9.平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。
（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。
1．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）
A．ABCD，ADBC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，ABCD D．AB＝CD，AD＝BC
2．下列條件中不能判定一定是平行四邊形的有（　　）
A．一組對角相等，一組鄰角互補
B．一組對邊平行，另一組對邊相等
C．兩組對邊相等
D．一組對邊平行，且一條對角線平分另一條對角線
3．已知四邊形ABCD中，ABCD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．ADBC D．∠C＋∠D＝180
4．如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A． AB∥CD，AB=CD B． AB∥CD，AD∥BC
C． AB=CD，AD=BC D． AB∥CD，AD=BC
5．用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角為直角”時，應先作出的假設是（ ）
A．一個三角形中不能有兩個角為銳角 B．一個三角形中不能有兩個角為鈍角
C．一個三角形中能有兩個角為直角 D．一個三角形中能有兩個角為銳角
6．如圖，點E為 ABCD的邊BC上的一點，連接AE，滿足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，則∠ACD的度數為（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
7．如圖，的對角線與相交于點O，，若，則的長為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
8．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
9．在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點A作AE垂直于直線BC于點E，作AF垂直于直線CD于點F，若AB＝5，BC＝6，則CE+CF的值為_________________．
10．在中，周長為20cm，對角線AC交BD于點O，比的周長多4，則邊AB=______．
11．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若△ABC沿射線BC方向平移x個單位得到△DEF，頂點A，B，C分別與D，E，F對應，若以點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形，則x的值是______．
12．如圖，是平行四邊形的對角線，點在上，，，則的度數是_____________
13．如圖，已知在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E、F．
(1)求∠EAF的度數；
(2)如果AB＝6，求線段AE的長．
14．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，交于點O．
(1)求證：與互相平分；
(2)若，求的長．
15．如圖，在中，點E是BC邊的中點，連接AE并延長與DC的延長線交于點F．
(1)求證：；
(2)若，，，連接DE，求DE的長．
16．已知ABCD中，，．
(1)如圖1，對角線AC、BD交于點O，若，求BD的長；
(2)點E是直線CD上的一個動點，直線BE交直線AC于點H，過點A作交直線CD于點F，垂足為點M，連接FH．
①如圖2，當點E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合）時，判斷線段BH、AF、FH的數量關系，并證明．
② 當點E在邊DC的延長線上時，若，判斷線段BH、AF、FH之間的數量關系，在圖3中畫出圖形并直接寫出結論，不需證明．
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