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四川省眉山市2025中考真題數學試題
一、選擇題：本大題共12個小題，每小項4分，共48分．在每個小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把答題卡上相應題目的正確選項涂黑．
1．（2025·眉山）2025的相反數是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知識點】求有理數的相反數的方法
【解析】【解答】解：的相反數是，
故答案為：B．
【分析】只有符號不同的兩個數是互為相反數，正數的相反數是負數，0的相反數是0，負數的相反數是正數，據此解答即可.
2．（2025·眉山）剪紙是我國傳統的民間藝術．下列剪紙作品中屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：B，C，D選項中的圖形不都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的圖形能找到這樣的兩條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故答案為：A.
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.
3．（2025·眉山）在《哪吒之魔童鬧海》等影片的帶動下，今年的中國電影市場火熱開局，一季度的中影票房達到244億元.244億用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 244億用科學記數法表示為 ，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時， n是正整數；當原數的絕對值 時， n是負整數.
4．（2025·眉山）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：與 不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
故B不符合題意；
故C不符合題意；
故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據同底數冪的除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法運算法則進行計算即可.
5．（2025·眉山）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位到點B，則點B的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解： 點向右平移2個單位到點B，則點B的坐標為
故答案為：C.
【分析】根據平移規律“左減右加，上加下減”解答即可.
6．（2025·眉山）如圖，直線l與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別交于點M、N，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】正多邊形的性質
【解析】【解答】解：，
，
故答案為：C.
【分析】首先根據正多邊形內角和公式確定進而可得 的值，再根據對頂角相等的性質可知 即可獲得答案.
7．（2025·眉山）如圖，在的方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，將以點O為位似中心放大后得到，則與的周長之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】A字型相似模型；位似圖形的性質
【解析】【解答】解：∵ 將以點O為位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 則與的周長之比是1：2，
故答案為：B.
【分析】根據位似三角形的周長比等于對應邊的比解答即可.
8．（2025·眉山）如圖，在四邊形ABCD中，，，．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CG的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案為：A.
【分析】根據作圖可得∠BAG=∠DAG，然后根據平行線可得∠DAG=∠AGB，進而得到∠BAG=∠AGB，根據等角對等邊得到BG=BA=6，然后根據線段的和差解答即可.
9．（2025·眉山）我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，問甜果苦果各買幾個？若設買甜果x個，苦果y個，根據題意可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由題意得：
故答案為：C.
【分析】根據九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個，列出關于x、y的二元一次方程組即可.
10．（2025·眉山）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則向量，已知，，若，則與互相垂直．下列選項中兩向量互相垂直的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知識點】無理數的混合運算
【解析】【解答】解：A：由于，則 則與不垂直；
B：由于， 則與不垂直；
C：由于，則與不垂直；
D：由于，則與互相垂直；
故答案為：D.
【分析】根據互相垂直的運算法則逐項判斷解答即可.
11．（2025·眉山）若關于x的不等式組至少有兩個正整數解，且關于x的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為（　　）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【知識點】已知分式方程的解求參數；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式組 可得，
∵不等式組 至少有兩個正整數解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x為正整數，
∴a>2且的偶數，
即a的值為6或8，
∴ 整數a的值之和為6+8=14，
故答案為：B.
【分析】根據不等式組的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶數，然后得到整數a的值，求和計算解題.
12．（2025·眉山）如圖1，在中，，點D在AC上，，動點P在的邊上沿C→B→A方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF．設點P的運動時間為t秒，正方形DPEF的面積為S．當點P由點B運動到點A時，如圖2，S是關于t的二次函數．在3個時刻，，對應的正方形DPEF的面積均相等．下列4個結論：①當時，；②點P在線段BA上時；③；④．其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】動點問題的函數圖象；二次函數的實際應用-幾何問題；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：當t=1時，，故①正確；
由圖可得：當點 P 運動到點 B 處時，
當點 P 運動到點A 處時， 拋物線的頂點坐標為(4，2)，
故③錯誤；
∴M(2，6)，
設 將 M(2，6)代入，得 解得
故②錯誤；
如圖，則
即
∵存在3個時刻 對應的正方形 DPEF 的面積均相等，
在 和 中，
故④正確；
正確結論為：①④；
故答案為：B.
【分析】當t=1時，根據勾股定理求出S值判斷①；根據點P在點A和B的位置時的函數值求出BC和AD長，判斷③；然后求出函數關系式即可判斷②；根據求出BH長，然后證明根據對應邊相等得到判斷④解答即可.
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案直接填寫在答題卡相應的位置上．
13．（2025·眉山） 的立方根是　 　．
【答案】-3
【知識點】立方根及開立方
【解析】【解答】∵-3的立方等于-27，
∴-27的立方根等于-3.
故答案為：-3.
【分析】（-3）3=-27根據立方根的概念求解即可.
14．（2025·眉山）某校以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓練．已知某次訓練中7名男生引體向上的成績為：7，8，5，8，9，10，6．這組數據的中位數是　 　．
【答案】8
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：把這組數據排列5，6，7，8，8，9，10，居于中間的數值為8，
∴中位數為8，
故答案為：8.
【分析】根據數據從小到大排列后居于中間的一個數或兩個數的平均是中位數解答即可.
15．（2025·眉山）已知方程的兩根分別為，，則的值為　 　．
【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的兩個根，
∴，，
∴，
故答案為：-2.
【分析】根據根與系數的關系得到，，然后整體代入計算解題即可.
16．（2025·眉山）人字梯為現代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當時，人字梯頂端離地面的高度是　 　m．（結果精確到0.1m，參考依據：，，）
【答案】1.8
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，
∵AB=AC=2m，
∴，
故答案為：1.8.
【分析】過點A作AD⊥BC于點D，根據正弦的定義計算解題即可.
17．（2025·眉山）如圖，在平面直角坐標系中，用12個以點O為公共頂點的相似三角形組成形如海螺的圖案，若，，則點G的坐標為　 　
【答案】
【知識點】解直角三角形—邊角關系；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：由題可知∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，
∴OB=，
OC=，
……，
∴OG=，
又∵點G在x軸的負半軸上，
∴點G的坐標為，
故答案為：.
【分析】由題可得∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，然后根據余弦的定義依次計算求出OG長，再根據點的位置得到坐標即可.
18．（2025·眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上運動（不與點A、D重合），，點F在射線DP上，且，連接BF，交CD于點G，連接EB、EF、EG．下列結論：
①；②；③的面積最大值是2；④若，則點G是線段CD的中點．其中正確結論的序號是　 　．
【答案】①③④
【知識點】二次函數的最值；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：如圖所示，在AB上截取AH=AE，連接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正確；
如圖2， 延長DA到K， 使得AK=CG，連接BK，
則△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②錯誤；
設AE=x， 則
時，△AEF的面積的最大值為2， 故③正確；
當 時， 設CG=a， 則
在 Rt△AEG中， 則有 解得 故④正確.
故答案為：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，連接EH.根據SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 進而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判斷①；設AE=x， 則得到的面積 關于x的二次函數，配方找到最大值即可判斷③； 延長DA到K， 使得AK=CG，連接BK，則有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后證明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判斷②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG長判斷④解答即可.
三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應的位置上．
19．（2025·眉山）
（1）計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式=2-3=-1
（2）解：去括號得2x-2=2+x
移項得2x-x=2+2
合并同類項得x=4
【知識點】解含括號的一元一次方程；無理數的混合運算
【解析】【分析】（1）先運算算術平方根和絕對值，然后運算減法解題即可；
（2）利用去括號、移項、合并同類項解一元一次方程即可.
20．（2025·眉山）先化簡，再求值：．其中x、y滿足．
【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】先把括號內的分式通分，然后把除法化為乘法，約分化簡，然后根據非負性求出x和y的值，代入計算解答即可.
21．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界．某校社團開展以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、D，每個學生可選擇其中1類學習使用．為了解學生對軟件的使用情況，隨機抽取部分學生進行調查統計，并根據統計結果繪制成如圖所示的兩幅不完整統計圖：
請根據圖中信息，完成下列問題：
（1）這次抽取的學生總人數為 ▲ 人；扇形統計圖中A類軟件所占圓心角為 ▲ 度；
（2）補全條形統計圖；
（3）社團活動中表現最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用B類軟件，現準備從這4名學生中隨機選擇2人進行學習成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率．
【答案】（1）200，144
（2）解： A類軟件的數量為200-80-20-40=60人，
補全條形統計圖為：
（3）解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽中 使用A、B兩類軟件各1人的有6種，
∴ 恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率為
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A類軟件所占圓心角為，
故答案為：200，144；
【分析】（1）根據使用D軟件的人數除以占比求出總人數，然后利用A軟件人數占比乘以360°計算圓心角即可；
（2）求出B軟件的人數，補全條形統計圖即可；
（3）畫樹狀圖得到所有等可能的結果，然后找出符合要求的結果數，根據概率公式計算解答即可.
22．（2025·眉山）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于點D，過點B作，交⊙O于點E，連接AE、AC．
（1）求證：；
（2）若，⊙O的半徑為2，求AC的長．
【答案】（1）證明：連接OC交BE于點F，
∵CD是 ⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知識點】垂徑定理；切線的性質
【解析】【分析】（1）連接OC交BE于點F，即可根據切線得到∠OCD=90°，然后根據平行得到∠OFB=90°，再根據垂徑定理得到結論即可；
（2）根據直徑可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行線得到∠D=30°，進而求出CD長，然后根據等弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠D，再根據等角對等邊解答即可.
23．（2025·眉山）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于、兩點，與x軸交于點C，點D與點A關于點O對稱，連接AD．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式：
（2）點P在x軸的負半軸上，且與相似，求點P的坐標．
【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函數解析式為，
把B(4，m)代入得m=1，
∴點B的坐標為(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函數的解析式為
（2）解：令y=0，則-x+5=0，解得x=5，
∴點C的坐標為(5，0)，即OC=5，
∵點A的坐標為(1，4)，且 點D與點A關于點O對稱，
∴，
當△AOC∽△POD時，
則，即，
解得OP=，
∴點P的坐標為；
當△AOC∽△DOP時，
則，即，
解得OP=5，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）求出點C的坐標，即可得到OC=5，然后根據勾股定理求出OA=OD的長，再分為△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP兩種情況，利用對應邊成比例解答即可.
24．（2025·眉山）國家衛健委在全民健康調查中發現，近年來的肥胖人群快速增長，為加強對健康飲食的重視，特發布各地區四季健康飲食食譜．現有A、B兩種食品，每份食品的質量為50g，其核心營養素如下：
食品類別 能量（單位：Kcal） 蛋白質（單位：g） 脂肪（單位：g） 碳水化合物（單位：g）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要從這兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質，應運用A、B兩種食品各多少份？
（2）若每份午餐選用這兩種食品共300g，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質總量不低于76g，且能量最低，應選用A、B兩種食品各多少份？
【答案】（1）解：設應運用A、B兩種食品各x份和y份，
，解得，
答：選用A、B兩種食品分別為份和2份
（2）解：設A種食品a份，則B種食品為(6-x)份，攝入能量為wkcal，
則w=240a+280(6-a)=-40a+1680，
∵12a+13(6-a)≥76，
解得a≤2，
∴當a=2時，w最小為1600kcal，
∴ 應選用A、B兩種食品分別為2份和份
【知識點】二元一次方程組的其他應用；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）設應運用A、B兩種食品各x份和y份，根據“ 兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質 ”列方程組解答即可；
（2）設A種食品a份，攝入能量為wkcal，即可得到w關于a的函數解析式，再根據攝入蛋白質的總量求出a的取值范圍，再根據函數的增減性解答即可.
25．（2025·眉山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關于直線對稱，與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線對稱軸上一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉，使點B的對應點D恰好落在拋物線上，求此時點P的坐標；
（3）在線段OC上是否存在點Q，使存在最小值？若存在，請直接寫出點Q的坐標及最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解： ∵拋物線 關于直線x=-3對稱， 與x軸交于A(-1，0)、B兩點，
∴B(-5，0).
∴拋物線的解析式為：
（2）解：∵點P在對稱軸上，設對稱軸與x軸交于點E
∴設P(-3，p)， E(-3，0)；
由旋轉可得，PB=PD，∠BPD=90°.
當點P在x軸上方時，
∵A，B關于對稱軸對稱，
∴PA=PB，
∴當∠APB=90°時， 滿足題意， 此時點D與點A重合，
∵A(-1，0). B(-5，0).
∴AB=4，
∴PE=2.
∴P(-3，2)；
當點P在x軸下方時， 如圖， 作DF⊥對稱軸于點F， 則： ∠DFP=90°=∠BEP=∠BPD.
∴∠BPE=∠PDF=90°-∠DPF.
又∵BP=DP.
∴△BPE≌△PDF.
∴DF=PE，PF=BE.
∵B(-5，0)，E(-3，0)，P(1，p)，
∴DF=PE=-p，PF=BE=2. OE=3.
∴EF=-p+2.
∴D(p-3，p-2).
把D(p-3，p-2)代入 得：
解得： x=-1或x=2 (舍去) ；
∴P(-3，-1)：
綜上： P(-3，2)或P(-3， -1)
（3）解：存在；
在x軸上取點M(5，0)， 連接AC，CM， 過點A作AH⊥CM于點H， 交y軸于過點Q作QG⊥CM于點G， 則：OM=5， ∠QGC=90°，
∴當x=0時， y=5.
∴C(0，5).
∴OC=OM=5.
∴△QGC為等腰直角三角形，
∴當點Q與點Q重合時， 的值最小為2AH的長，
∵A(-1，0).
∴OA=1， AM=6.
的最小值為
在Rt△AHM中， ∠AMH=45°，
∴∠MAH=45°，
∴△OAQ為等腰直角三角形，
∴OQ=OQ=OA=1，
∴Q(0，1)；
綜上：Q(0，1)， 的最小值為
【知識點】旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS；二次函數-線段周長問題
【解析】【分析】(1) 利用待定系數法求二次函數的解析式即可；
(2)設對稱軸與x軸交于點E，設P(-3，p)， E(-3，0)，當點P在x軸上方時，則PA=PB，即∠APB=90°時，點D與A重合，進而求出點P的坐標；當點P在x軸下方時， 如圖， 作DF⊥對稱軸于點F，得到△BPE≌△PDF.即可得到DF=PE，PF=BE.即可得到點D(p-3，p-2)，代入二次函數解析式求出點P的坐標即可；
(3)在x軸上取點M(5，0)， 連接AC，CM， 過點A作AH⊥CM于點H， 交y軸于 過點Q作QG⊥CM于點G， 則：OM=5， ∠QGC=90°，求出點C的坐標，可得即可得到，當點Q與點Q重合時， 的值最小為2AH的長，然后根據三角形的面積求出AH長，進而得到點Q的坐標解答即可.
26．（2025·眉山）綜合與實踐
【問題情境】下面是某校數學社團在一次折紙活動中的探究過程．
【操作實踐】如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點B落在AD邊上的點處，折痕交AB于點E，再沿著過點，的直線折疊，使點D落在邊上的點處，折痕交CD于點F．將紙片展平，畫出對應點、及折痕CE、，連接、、．
（1）【初步猜想】確定CE和的位置關系及線段BE和CF的數量關系．
創新小組經過探究，發現，證明過程如下：
由折疊可知，．由矩形的性質，
可知，．① ▲ ．．
智慧小組先測量BE和CF的長度，猜想其關系為② ▲ ．
經過探究，發現驗證BE和CF數量關系的方法不唯一：
方法一：證明，得到，再由可得結論．
方法二：過點作AB的平行線交CE于點G，構造平行四邊形，然后證可得結論．
請補充上述過程中橫線上的內容．
（2）【推理證明】請你結合智慧小組的探究思路，選擇一種方法驗證BE和CF的數量關系，寫出證明過程．
（3）【嘗試運用】如圖2，在矩形ABCD中，，按上述操作折疊并展開后，過點作交CE于點G，連接．當為直角三角形時，求出BE的長．
【答案】（1），
（2）法一： ∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD，
由折疊得∠EBC=∠B=90°，BD=BD'，BC=BC=AD， ∠D=∠BDF=90°，BE=BE，
∴AD-BD=BC-CD，即： AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，
由(1) 知： ∠CBD=∠BCB
又∵∠ABE+∠CBD=180°-∠EBC=90°，∠BCB+∠BCF=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠FCD'，
又∵∠A=∠CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵BE=BE，
∴BE=CF；
法二： 作BG∥AB交CE于點G， 則： BG∥AB∥CD，
∵CE∥BF.
∴四邊形CFBG為平行四邊形，
∴BG=CF.
∵矩形ABCD.
∴AB∥CD.
∴AB∥BG.
∴∠BGE=∠BEC.
由折疊得∠BEC=∠BEC，BE=BE，
∴∠BGE=∠BEC.
∴BE=BG.
∴BE=BE=BG=CF
（3） 解： 作BG∥AB交CE于點G， 則： ∠A=∠GBD=90°.
由(2) 可知： BG=BE=BE=CF，CD'=AB，△ABE≌△DCF，
∴DF=AE，
設BE=x， 則：
如圖，當△BDG為直角三角形時，則：
∴GD'∥AD∥BC，
∴∠DGC=∠ECB.
又∵∠GCD'=∠ECB
∵BG∥AB∥CD，
∴∠GBD=∠FCD'.
∵在Rt△BGD和Rt△CDF中，
即：
∴x(6-x)=12x-36，
解得： 或 (舍去) ；
故
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解： (1)由折疊可知 由矩形的性質，可知AD∥BC.
∴∠DBC=∠BCB.
∴∠ECB=∠FBC.
∴CE∥BF.
智慧小組先測量BE和CF的長度，猜想其關系為BE=CF；
故答案為：，；
【分析】(1)根據折疊的性質和矩形的性質得到∠ECB=∠FBC，即可得到CE∥BF，通過測量得到BE=CF解答即可；
(2)法一：由矩形的性質和折疊的性質得到AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，由（1）得∠CBD=∠BCB，即可得到∠ABE=∠FCD'，進而利用ASA得到△ABE≌△DCF，證明結論；法二： 作BG∥AB交CE于點G，則 BG∥AB∥CD，證明CFBG為平行四邊形，進而得到∠BGE=∠BEC.再根據折疊得到∠BEC=∠BEC，進而得到BE=BG，根據等角對等邊得到列輪即可；
(3)作BG∥AB交CE于點G，即可得到DF=AE，設BE=x， 表示CD'長，然后根據△BDG為直角三角形得到D'G=D'C的長，然后利用正切的定義得到代入數值求出x值即可解題.
1 / 1四川省眉山市2025中考真題數學試題
一、選擇題：本大題共12個小題，每小項4分，共48分．在每個小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把答題卡上相應題目的正確選項涂黑．
1．（2025·眉山）2025的相反數是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·眉山）剪紙是我國傳統的民間藝術．下列剪紙作品中屬于軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·眉山）在《哪吒之魔童鬧海》等影片的帶動下，今年的中國電影市場火熱開局，一季度的中影票房達到244億元.244億用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·眉山）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·眉山）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位到點B，則點B的坐標為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·眉山）如圖，直線l與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別交于點M、N，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·眉山）如圖，在的方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，將以點O為位似中心放大后得到，則與的周長之比是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·眉山）如圖，在四邊形ABCD中，，，．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G，則CG的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2025·眉山）我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，問甜果苦果各買幾個？若設買甜果x個，苦果y個，根據題意可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·眉山）在平面直角坐標系中，點的坐標為，則向量，已知，，若，則與互相垂直．下列選項中兩向量互相垂直的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·眉山）若關于x的不等式組至少有兩個正整數解，且關于x的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為（　　）
A．8 B．14 C．18 D．38
12．（2025·眉山）如圖1，在中，，點D在AC上，，動點P在的邊上沿C→B→A方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF．設點P的運動時間為t秒，正方形DPEF的面積為S．當點P由點B運動到點A時，如圖2，S是關于t的二次函數．在3個時刻，，對應的正方形DPEF的面積均相等．下列4個結論：①當時，；②點P在線段BA上時；③；④．其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案直接填寫在答題卡相應的位置上．
13．（2025·眉山） 的立方根是　 　．
14．（2025·眉山）某校以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓練．已知某次訓練中7名男生引體向上的成績為：7，8，5，8，9，10，6．這組數據的中位數是　 　．
15．（2025·眉山）已知方程的兩根分別為，，則的值為　 　．
16．（2025·眉山）人字梯為現代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當時，人字梯頂端離地面的高度是　 　m．（結果精確到0.1m，參考依據：，，）
17．（2025·眉山）如圖，在平面直角坐標系中，用12個以點O為公共頂點的相似三角形組成形如海螺的圖案，若，，則點G的坐標為　 　
18．（2025·眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上運動（不與點A、D重合），，點F在射線DP上，且，連接BF，交CD于點G，連接EB、EF、EG．下列結論：
①；②；③的面積最大值是2；④若，則點G是線段CD的中點．其中正確結論的序號是　 　．
三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應的位置上．
19．（2025·眉山）
（1）計算：；
（2）解方程：．
20．（2025·眉山）先化簡，再求值：．其中x、y滿足．
21．（2025·眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界．某校社團開展以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、D，每個學生可選擇其中1類學習使用．為了解學生對軟件的使用情況，隨機抽取部分學生進行調查統計，并根據統計結果繪制成如圖所示的兩幅不完整統計圖：
請根據圖中信息，完成下列問題：
（1）這次抽取的學生總人數為 ▲ 人；扇形統計圖中A類軟件所占圓心角為 ▲ 度；
（2）補全條形統計圖；
（3）社團活動中表現最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用B類軟件，現準備從這4名學生中隨機選擇2人進行學習成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率．
22．（2025·眉山）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于點D，過點B作，交⊙O于點E，連接AE、AC．
（1）求證：；
（2）若，⊙O的半徑為2，求AC的長．
23．（2025·眉山）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于、兩點，與x軸交于點C，點D與點A關于點O對稱，連接AD．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式：
（2）點P在x軸的負半軸上，且與相似，求點P的坐標．
24．（2025·眉山）國家衛健委在全民健康調查中發現，近年來的肥胖人群快速增長，為加強對健康飲食的重視，特發布各地區四季健康飲食食譜．現有A、B兩種食品，每份食品的質量為50g，其核心營養素如下：
食品類別 能量（單位：Kcal） 蛋白質（單位：g） 脂肪（單位：g） 碳水化合物（單位：g）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要從這兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質，應運用A、B兩種食品各多少份？
（2）若每份午餐選用這兩種食品共300g，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質總量不低于76g，且能量最低，應選用A、B兩種食品各多少份？
25．（2025·眉山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關于直線對稱，與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線對稱軸上一點，連接BP，將線段BP繞點P逆時針旋轉，使點B的對應點D恰好落在拋物線上，求此時點P的坐標；
（3）在線段OC上是否存在點Q，使存在最小值？若存在，請直接寫出點Q的坐標及最小值；若不存在，請說明理由．
26．（2025·眉山）綜合與實踐
【問題情境】下面是某校數學社團在一次折紙活動中的探究過程．
【操作實踐】如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點B落在AD邊上的點處，折痕交AB于點E，再沿著過點，的直線折疊，使點D落在邊上的點處，折痕交CD于點F．將紙片展平，畫出對應點、及折痕CE、，連接、、．
（1）【初步猜想】確定CE和的位置關系及線段BE和CF的數量關系．
創新小組經過探究，發現，證明過程如下：
由折疊可知，．由矩形的性質，
可知，．① ▲ ．．
智慧小組先測量BE和CF的長度，猜想其關系為② ▲ ．
經過探究，發現驗證BE和CF數量關系的方法不唯一：
方法一：證明，得到，再由可得結論．
方法二：過點作AB的平行線交CE于點G，構造平行四邊形，然后證可得結論．
請補充上述過程中橫線上的內容．
（2）【推理證明】請你結合智慧小組的探究思路，選擇一種方法驗證BE和CF的數量關系，寫出證明過程．
（3）【嘗試運用】如圖2，在矩形ABCD中，，按上述操作折疊并展開后，過點作交CE于點G，連接．當為直角三角形時，求出BE的長．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】求有理數的相反數的方法
【解析】【解答】解：的相反數是，
故答案為：B．
【分析】只有符號不同的兩個數是互為相反數，正數的相反數是負數，0的相反數是0，負數的相反數是正數，據此解答即可.
2．【答案】A
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：B，C，D選項中的圖形不都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的圖形能找到這樣的兩條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故答案為：A.
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.
3．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 244億用科學記數法表示為 ，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時， n是正整數；當原數的絕對值 時， n是負整數.
4．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：與 不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
故B不符合題意；
故C不符合題意；
故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】根據同底數冪的除法，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法運算法則進行計算即可.
5．【答案】C
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解： 點向右平移2個單位到點B，則點B的坐標為
故答案為：C.
【分析】根據平移規律“左減右加，上加下減”解答即可.
6．【答案】C
【知識點】正多邊形的性質
【解析】【解答】解：，
，
故答案為：C.
【分析】首先根據正多邊形內角和公式確定進而可得 的值，再根據對頂角相等的性質可知 即可獲得答案.
7．【答案】B
【知識點】A字型相似模型；位似圖形的性質
【解析】【解答】解：∵ 將以點O為位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 則與的周長之比是1：2，
故答案為：B.
【分析】根據位似三角形的周長比等于對應邊的比解答即可.
8．【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：由作圖可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案為：A.
【分析】根據作圖可得∠BAG=∠DAG，然后根據平行線可得∠DAG=∠AGB，進而得到∠BAG=∠AGB，根據等角對等邊得到BG=BA=6，然后根據線段的和差解答即可.
9．【答案】C
【知識點】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由題意得：
故答案為：C.
【分析】根據九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個，列出關于x、y的二元一次方程組即可.
10．【答案】D
【知識點】無理數的混合運算
【解析】【解答】解：A：由于，則 則與不垂直；
B：由于， 則與不垂直；
C：由于，則與不垂直；
D：由于，則與互相垂直；
故答案為：D.
【分析】根據互相垂直的運算法則逐項判斷解答即可.
11．【答案】B
【知識點】已知分式方程的解求參數；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式組 可得，
∵不等式組 至少有兩個正整數解，
∴，
解得，
解方程得，
∵方程的解x為正整數，
∴a>2且的偶數，
即a的值為6或8，
∴ 整數a的值之和為6+8=14，
故答案為：B.
【分析】根據不等式組的解集求出，再接分式方程求出a>2且的偶數，然后得到整數a的值，求和計算解題.
12．【答案】B
【知識點】動點問題的函數圖象；二次函數的實際應用-幾何問題；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：當t=1時，，故①正確；
由圖可得：當點 P 運動到點 B 處時，
當點 P 運動到點A 處時， 拋物線的頂點坐標為(4，2)，
故③錯誤；
∴M(2，6)，
設 將 M(2，6)代入，得 解得
故②錯誤；
如圖，則
即
∵存在3個時刻 對應的正方形 DPEF 的面積均相等，
在 和 中，
故④正確；
正確結論為：①④；
故答案為：B.
【分析】當t=1時，根據勾股定理求出S值判斷①；根據點P在點A和B的位置時的函數值求出BC和AD長，判斷③；然后求出函數關系式即可判斷②；根據求出BH長，然后證明根據對應邊相等得到判斷④解答即可.
13．【答案】-3
【知識點】立方根及開立方
【解析】【解答】∵-3的立方等于-27，
∴-27的立方根等于-3.
故答案為：-3.
【分析】（-3）3=-27根據立方根的概念求解即可.
14．【答案】8
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：把這組數據排列5，6，7，8，8，9，10，居于中間的數值為8，
∴中位數為8，
故答案為：8.
【分析】根據數據從小到大排列后居于中間的一個數或兩個數的平均是中位數解答即可.
15．【答案】-2
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的兩個根，
∴，，
∴，
故答案為：-2.
【分析】根據根與系數的關系得到，，然后整體代入計算解題即可.
16．【答案】1.8
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，
∵AB=AC=2m，
∴，
故答案為：1.8.
【分析】過點A作AD⊥BC于點D，根據正弦的定義計算解題即可.
17．【答案】
【知識點】解直角三角形—邊角關系；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：由題可知∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，
∴OB=，
OC=，
……，
∴OG=，
又∵點G在x軸的負半軸上，
∴點G的坐標為，
故答案為：.
【分析】由題可得∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠MON=30°，然后根據余弦的定義依次計算求出OG長，再根據點的位置得到坐標即可.
18．【答案】①③④
【知識點】二次函數的最值；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：如圖所示，在AB上截取AH=AE，連接EH.
∵AE=AH， ∠EAH=90°，
∴EH= AE，
∵DF=AE，
∴DF=EH，
∵∠CDP=∠EHA=45°， ∠ADC=90°，
∴∠FDA=∠EHB=135°，
∵BA =AD， AE=AH，
∴DE=HB，
∴△FDE≌△EHB (SAS)，
∴EF=EB， ∠DEF=∠EBH，
∵∠EBH+∠AEB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠EBF=∠EFB=45°，
∴ ，故①正確；
如圖2， 延長DA到K， 使得AK=CG，連接BK，
則△BAK≌△BCG (SAS)，
∴∠KBA=∠CBG，BK=BG，
∴∠KBG=∠ABC=90°，
∴∠EBG=∠KBE=45°，
∵BE=BE， BK=BG，
∴△BEK≌△BEG (SAS)，
∴EG=KE，
∵EG=AK+AE， CG=AK，
∴EG=AE+CG，
∴，故②錯誤；
設AE=x， 則
時，△AEF的面積的最大值為2， 故③正確；
當 時， 設CG=a， 則
在 Rt△AEG中， 則有 解得 故④正確.
故答案為：①③④.
【分析】在AB上截取AH=AE，連接EH.根據SAS得到△FDE≌△EHB，即可得到EF=EB， ∠DEF=∠EBH， 進而得到∠FEB=90°，即可求出∠EBF=∠EFB=45°， 得到正弦值判斷①；設AE=x， 則得到的面積 關于x的二次函數，配方找到最大值即可判斷③； 延長DA到K， 使得AK=CG，連接BK，則有△BAK≌△BCG，即可得到∠KBA=∠CBG，BK=BG，然后證明△BEK≌△BEG，得到EG=AE+CG， 判斷②；在 Rt△AEG中利用勾股定理求出CG長判斷④解答即可.
19．【答案】（1）解：原式=2-3=-1
（2）解：去括號得2x-2=2+x
移項得2x-x=2+2
合并同類項得x=4
【知識點】解含括號的一元一次方程；無理數的混合運算
【解析】【分析】（1）先運算算術平方根和絕對值，然后運算減法解題即可；
（2）利用去括號、移項、合并同類項解一元一次方程即可.
20．【答案】解：
，
∵ ，
∴x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】先把括號內的分式通分，然后把除法化為乘法，約分化簡，然后根據非負性求出x和y的值，代入計算解答即可.
21．【答案】（1）200，144
（2）解： A類軟件的數量為200-80-20-40=60人，
補全條形統計圖為：
（3）解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽中 使用A、B兩類軟件各1人的有6種，
∴ 恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率為
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】（1）解：40÷20%=200人；A類軟件所占圓心角為，
故答案為：200，144；
【分析】（1）根據使用D軟件的人數除以占比求出總人數，然后利用A軟件人數占比乘以360°計算圓心角即可；
（2）求出B軟件的人數，補全條形統計圖即可；
（3）畫樹狀圖得到所有等可能的結果，然后找出符合要求的結果數，根據概率公式計算解答即可.
22．【答案】（1）證明：連接OC交BE于點F，
∵CD是 ⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直徑，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知識點】垂徑定理；切線的性質
【解析】【分析】（1）連接OC交BE于點F，即可根據切線得到∠OCD=90°，然后根據平行得到∠OFB=90°，再根據垂徑定理得到結論即可；
（2）根據直徑可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行線得到∠D=30°，進而求出CD長，然后根據等弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠D，再根據等角對等邊解答即可.
23．【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函數解析式為，
把B(4，m)代入得m=1，
∴點B的坐標為(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函數的解析式為
（2）解：令y=0，則-x+5=0，解得x=5，
∴點C的坐標為(5，0)，即OC=5，
∵點A的坐標為(1，4)，且 點D與點A關于點O對稱，
∴，
當△AOC∽△POD時，
則，即，
解得OP=，
∴點P的坐標為；
當△AOC∽△DOP時，
則，即，
解得OP=5，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】（1）根據待定系數法求出一次函數和反比例函數的解析式即可；
（2）求出點C的坐標，即可得到OC=5，然后根據勾股定理求出OA=OD的長，再分為△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP兩種情況，利用對應邊成比例解答即可.
24．【答案】（1）解：設應運用A、B兩種食品各x份和y份，
，解得，
答：選用A、B兩種食品分別為份和2份
（2）解：設A種食品a份，則B種食品為(6-x)份，攝入能量為wkcal，
則w=240a+280(6-a)=-40a+1680，
∵12a+13(6-a)≥76，
解得a≤2，
∴當a=2時，w最小為1600kcal，
∴ 應選用A、B兩種食品分別為2份和份
【知識點】二元一次方程組的其他應用；一次函數的實際應用-方案問題
【解析】【分析】（1）設應運用A、B兩種食品各x份和y份，根據“ 兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質 ”列方程組解答即可；
（2）設A種食品a份，攝入能量為wkcal，即可得到w關于a的函數解析式，再根據攝入蛋白質的總量求出a的取值范圍，再根據函數的增減性解答即可.
25．【答案】（1）解： ∵拋物線 關于直線x=-3對稱， 與x軸交于A(-1，0)、B兩點，
∴B(-5，0).
∴拋物線的解析式為：
（2）解：∵點P在對稱軸上，設對稱軸與x軸交于點E
∴設P(-3，p)， E(-3，0)；
由旋轉可得，PB=PD，∠BPD=90°.
當點P在x軸上方時，
∵A，B關于對稱軸對稱，
∴PA=PB，
∴當∠APB=90°時， 滿足題意， 此時點D與點A重合，
∵A(-1，0). B(-5，0).
∴AB=4，
∴PE=2.
∴P(-3，2)；
當點P在x軸下方時， 如圖， 作DF⊥對稱軸于點F， 則： ∠DFP=90°=∠BEP=∠BPD.
∴∠BPE=∠PDF=90°-∠DPF.
又∵BP=DP.
∴△BPE≌△PDF.
∴DF=PE，PF=BE.
∵B(-5，0)，E(-3，0)，P(1，p)，
∴DF=PE=-p，PF=BE=2. OE=3.
∴EF=-p+2.
∴D(p-3，p-2).
把D(p-3，p-2)代入 得：
解得： x=-1或x=2 (舍去) ；
∴P(-3，-1)：
綜上： P(-3，2)或P(-3， -1)
（3）解：存在；
在x軸上取點M(5，0)， 連接AC，CM， 過點A作AH⊥CM于點H， 交y軸于過點Q作QG⊥CM于點G， 則：OM=5， ∠QGC=90°，
∴當x=0時， y=5.
∴C(0，5).
∴OC=OM=5.
∴△QGC為等腰直角三角形，
∴當點Q與點Q重合時， 的值最小為2AH的長，
∵A(-1，0).
∴OA=1， AM=6.
的最小值為
在Rt△AHM中， ∠AMH=45°，
∴∠MAH=45°，
∴△OAQ為等腰直角三角形，
∴OQ=OQ=OA=1，
∴Q(0，1)；
綜上：Q(0，1)， 的最小值為
【知識點】旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS；二次函數-線段周長問題
【解析】【分析】(1) 利用待定系數法求二次函數的解析式即可；
(2)設對稱軸與x軸交于點E，設P(-3，p)， E(-3，0)，當點P在x軸上方時，則PA=PB，即∠APB=90°時，點D與A重合，進而求出點P的坐標；當點P在x軸下方時， 如圖， 作DF⊥對稱軸于點F，得到△BPE≌△PDF.即可得到DF=PE，PF=BE.即可得到點D(p-3，p-2)，代入二次函數解析式求出點P的坐標即可；
(3)在x軸上取點M(5，0)， 連接AC，CM， 過點A作AH⊥CM于點H， 交y軸于 過點Q作QG⊥CM于點G， 則：OM=5， ∠QGC=90°，求出點C的坐標，可得即可得到，當點Q與點Q重合時， 的值最小為2AH的長，然后根據三角形的面積求出AH長，進而得到點Q的坐標解答即可.
26．【答案】（1），
（2）法一： ∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD，
由折疊得∠EBC=∠B=90°，BD=BD'，BC=BC=AD， ∠D=∠BDF=90°，BE=BE，
∴AD-BD=BC-CD，即： AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，
由(1) 知： ∠CBD=∠BCB
又∵∠ABE+∠CBD=180°-∠EBC=90°，∠BCB+∠BCF=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠FCD'，
又∵∠A=∠CDF，AB=CD，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∵BE=BE，
∴BE=CF；
法二： 作BG∥AB交CE于點G， 則： BG∥AB∥CD，
∵CE∥BF.
∴四邊形CFBG為平行四邊形，
∴BG=CF.
∵矩形ABCD.
∴AB∥CD.
∴AB∥BG.
∴∠BGE=∠BEC.
由折疊得∠BEC=∠BEC，BE=BE，
∴∠BGE=∠BEC.
∴BE=BG.
∴BE=BE=BG=CF
（3） 解： 作BG∥AB交CE于點G， 則： ∠A=∠GBD=90°.
由(2) 可知： BG=BE=BE=CF，CD'=AB，△ABE≌△DCF，
∴DF=AE，
設BE=x， 則：
如圖，當△BDG為直角三角形時，則：
∴GD'∥AD∥BC，
∴∠DGC=∠ECB.
又∵∠GCD'=∠ECB
∵BG∥AB∥CD，
∴∠GBD=∠FCD'.
∵在Rt△BGD和Rt△CDF中，
即：
∴x(6-x)=12x-36，
解得： 或 (舍去) ；
故
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解： (1)由折疊可知 由矩形的性質，可知AD∥BC.
∴∠DBC=∠BCB.
∴∠ECB=∠FBC.
∴CE∥BF.
智慧小組先測量BE和CF的長度，猜想其關系為BE=CF；
故答案為：，；
【分析】(1)根據折疊的性質和矩形的性質得到∠ECB=∠FBC，即可得到CE∥BF，通過測量得到BE=CF解答即可；
(2)法一：由矩形的性質和折疊的性質得到AB=CD， ∠CDF=90°=∠A，由（1）得∠CBD=∠BCB，即可得到∠ABE=∠FCD'，進而利用ASA得到△ABE≌△DCF，證明結論；法二： 作BG∥AB交CE于點G，則 BG∥AB∥CD，證明CFBG為平行四邊形，進而得到∠BGE=∠BEC.再根據折疊得到∠BEC=∠BEC，進而得到BE=BG，根據等角對等邊得到列輪即可；
(3)作BG∥AB交CE于點G，即可得到DF=AE，設BE=x， 表示CD'長，然后根據△BDG為直角三角形得到D'G=D'C的長，然后利用正切的定義得到代入數值求出x值即可解題.
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