資源簡介

素養提升課(三)　光的折射與全反射的綜合應用
[學習目標]　1．知道不同色光各物理量的變化情況，進一步運用平面幾何知識分析求解光的折射和全反射問題。2．理解玻璃磚、液體對光路的控制及其應用。3．會運用平面幾何知識分析光的折射與全反射的臨界問題。
　折射時的色散
1．光的色散
(1)光的顏色由光的頻率決定，由λ＝可知，不同顏色的光，波長不同。
(2)光的色散：含有多種顏色的光被分解為單色光的現象。
2．白光通過棱鏡時的色散
實驗表明，白光發生色散時，紅光的偏向角最小，紫光的偏向角最大，如圖所示。這說明同一介質對不同色光的折射率是不同的，波長λ越小，折射率n越大。由v＝，可知不同顏色的光在相同的介質中光速不同。
3．各種色光的比較
色光 紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫
波長λ 依次減小 由真空進入介質后，波長減小，λ＝
頻率f 依次增大 由真空進入介質后，頻率不變
介質中的波速v 依次減小 由真空進入介質后，波速減小，v＝
同一介質對其的折射率n 依次增大，偏折程度逐漸明顯
【典例1】　(2024·廣東卷)如圖所示，紅、綠兩束單色光同時從空氣中沿同一路徑以θ角從MN面射入某長方體透明均勻介質。折射光束在NP面發生全反射。反射光射向PQ面。若θ逐漸增大，兩束光在NP面上的全反射現象會先后消失。已知在該介質中紅光的折射率小于綠光的折射率。下列說法正確的是(　　)
A．在PQ面上，紅光比綠光更靠近P點
B．θ逐漸增大時，紅光的全反射現象先消失
C．θ逐漸增大時，入射光可能在MN面發生全反射
D．θ逐漸減小時，兩束光在MN面的折射角逐漸增大
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　折射現象兩類典型問題
1．玻璃磚對光的折射問題
(1)半圓柱體玻璃磚。若光線從半圓面射入，且其方向指向圓心，則其光路圖如圖所示，光線只發生一次偏折。
(2)兩個折射面相互平行的長方體玻璃磚，其折射光路如圖甲所示，光線經過兩次折射后，出射光線與入射光線的方向平行，但發生了側移。物點通過玻璃磚成虛像，圖乙為其示意圖。
　畫光路圖時應注意的問題：
(1)光路是可逆的。
(2)垂直界面入射的光線，折射光線與入射光線在同一直線上。
(3)過半圓形玻璃磚圓心的光線在圓弧面處不偏折。
【典例2】　透明半球體的截面如圖所示，O點為半球的球心，虛線OO′表示光軸(過球心O與半球底面垂直的直線)。已知半球體的半徑為R，距光軸的一條光線垂直入射到半球體的底面上，經球面折射后與光軸的交點到球心O點的距離為R(不考慮被半球體的內表面反射后的光線)，則該透明半球體的折射率為(　　)
A．　　B．　　C．3　　D．2
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2．視深與物體實際深度的關系
(1)“視深”：當視線垂直于透明介質的界面時看到介質內部某點的像到界面的距離。
(2)“視深”公式：h＝
①各量的意義：h為“視深”，H為實際深度，n為透明介質的折射率。
②適用條件：視線垂直于介質的界面觀察。
③公式推導：如圖所示，光源S點到界面的距離為H，當人的眼睛沿著界面的法線方向去觀察介質內S點時，眼睛實際看到的是S點的像S′。S′應是從S點發出的光線垂直水面射出的SO與某條光線SO1的折射光線反向延長線的交點。因一般人的瞳孔的線度為2～3 mm，光線SO1與SO間的夾角很小，可知θ1、θ2均很小。
由數學知識知sin θ1≈tan θ1＝，sin θ2≈tan θ2＝，由折射定律得n＝＝，可得h＝，即為“視深”公式。
　當視線不垂直于介質的界面觀察時，“視深”公式h＝不成立，而且看到的物體的像不在物體的“正上方”，而是在物體的“斜上方”，如圖所示。
【典例3】　公園里的水池為了增加夜晚的觀賞性，水池底部一般安裝上許多彩色燈泡，給游玩的人們一種美艷的視覺美景。已知水對不同色光的折射率如表所示：
色光 紅光 黃光 綠光 紫光
折射率 1.331 1 1.333 0 1.337 1 1.342 8
經測量發現其中一只黃光彩燈所在處水的深度為1.333 0 m。(已知在角度很小時，可以認為該角度的正弦值和正切值相等)
(1)若從彩燈的正上方觀察，黃光彩燈的深度為多少？
(2)為了使人們從彩燈的正上方觀察到各種不同顏色的彩燈的深度都與黃光彩燈的深度相同，需要將不同色光的彩燈安裝到不同的深度，則在如表所示四種不同色光的彩燈中哪種彩燈安裝的最淺？安裝最深的彩燈比安裝最淺的彩燈深多少？
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　光的折射與全反射的臨界問題
解答此類問題的基本思路：
(1)確定光是由光密介質進入光疏介質，還是由光疏介質進入光密介質；如果光是由光密介質進入光疏介質，根據sin C＝確定臨界角，判斷是否發生全反射。
(2)畫出光線發生折射、反射的光路圖；如果發生全反射，關鍵要畫出入射角等于臨界角的“臨界光路圖”。
(3)根據光的反射定律、折射定律及臨界角公式等規律結合幾何關系進行分析與計算。
【典例4】　(多選)如圖所示，一束光由空氣射到透明介質球的A點，入射角為i，則(　　)
A．當i足夠大時，在A點將發生全反射
B．當i足夠大時，光從球內向外射出時將發生全反射
C．無論i多大，在A點都不會發生全反射
D．無論i多大，光從球內向外射出時，都不會發生全反射
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1．C　[由題意可知，光從棱鏡射向空氣中時，入射角θ1＝30°，折射角θ2＝60°，則棱鏡的折射率n＝，故選C。]
2．D　[從題中光路圖可以發現光線1的偏折更明顯，說明其折射率更大，可知光線1的頻率更大，A錯誤；不同頻率的光在真空中傳播速度是相同的，B錯誤；折射率越大越容易發生全反射，故光線1更容易發生全反射，D正確；由v＝知光線1在雨滴中傳播速度更小，C錯誤。]
3．ACD　[由題圖結合光路可逆原理知，玻璃磚對B光的折射程度大，則nB>nA，故B光的頻率較大，A、C正確；由v＝知，在玻璃磚中vB4．B　[由于井口邊沿的約束，而不能看到更大的范圍，據此作出邊界光線如圖所示。
由圖可看出α>γ，所以枯井中的青蛙覺得井口大些；β>α，所以水井中的青蛙能看到更多的星星，故B正確，A、C、D錯誤。]
5．AD　[光線射入玻璃面的入射角i＝90°－θ＝53°，射入玻璃的折射角為r，根據光的折射定律可得n＝，解得sin r＝，故A正確，B錯誤； 如圖所示，
由光路的可逆性可知，空氣中的光線都是平行的，玻璃中的光線也是平行的，設光線通過第一塊玻璃的偏移量為Δx1，光線通過第二塊玻璃的偏移量為Δx2，根據光路圖中的幾何關系可得Δx1＝Δx2，則出射光線相對于入射光線的偏移量Δx＝2Δx1＝2sin (i－r)＝d，故C錯誤，D正確。故選AD。]
6．A　[作出光路圖如圖所示，設在A點入射后折射角為r，因為△AOB是等腰三角形，所以∠OBA＝r，由光路可逆知，在B點出射光線的出射角為60°，由幾何關系知2r＝60°，得r＝30°，由折射定律有n＝，故選A。]
7．D　[根據折射定律和反射定律作出光路圖如圖所示，由圖可知，乙光在棱鏡中偏轉后的折射角較小，根據折射定律可知乙光的折射率大于甲光的折射率，則乙光的頻率高于甲光的頻率，故A、C錯誤；不同頻率的光在真空中的傳播速度是一樣的，在真空中甲光和乙光的傳播速度相同，故B錯誤；根據幾何關系可知光在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大，故D正確。故選D。]
8．AD　[光由空氣射入水中，折射時折射角小于入射角，設入射點為O1，畫出光的光路圖如圖所示，可知入射點在O點左側，故A正確；根據v＝可知，黃光從空氣中射入水中時，傳播速度減小，頻率不變，根據v＝λf可知，波長變短，故B錯誤；該光路與魚看人的光路相似，人的像偏高，故C錯誤；若入射光是一束紅光，水對紅光的折射率小于黃光的折射率，根據折射定律可知，紅光的偏折程度小于黃光的偏折程度，則折射光線有可能通過B點正上方的D點，故D正確。故選AD。]
9．解析：如圖所示，設小魚在S處，從魚身上反射的光線SO垂直水面射出，反射出的另一條光線SO1與SO間的夾角很小，則θ2、θ1為一組對應的入射角和折射角，θ1、θ2均很小。由數學知識可知
sin θ1≈tan θ1＝
sin θ2≈tan θ2＝
由折射定律得n＝，則h＝。
答案：
10．解析：(1)結合題意，作光路圖如圖所示。單色光平行于OM，∠AOM＝30°，則θ＝60°
O1M平行于OB，則∠OMO1＝30°
所以γ＝30°，n＝。
(2)如圖所示，設光在O3點恰好發生全反射，則有臨界角的正弦值sin C＝＝
由幾何知識得∠OO2O3＝120°
在三角形OO2O3中，由正弦定理得＝
解得OO2＝
由△MO1O是等腰三角形得OO1＝
所以入射點需沿OA面向上移動的距離
d＝OO2－OO1＝R。
答案：(1)　(2)R
11．解析：(1)光路圖如圖所示。
設折射角為r，根據折射定律n＝，解得r＝45°，由幾何關系可知兩個光斑之間的距離PQ＝PA＋AQ＝R tan 45°＋R tan 60°＝9cm。
(2)設光斑離A點的最大距離為x，入射角增大的過程中，當發生全反射時屏幕MN上只剩一個光斑，此光斑離A最遠時，恰好發生全幕反射，入射角等于臨界角，即sin C＝，解得C＝45°，則光斑離A點的最大距離x＝R tan 45°＝9 cm。
答案：(1)見解析圖　9cm　(2)9 cm素養提升練(三)　光的折射與全反射的綜合應用
1．如圖所示，有一個玻璃三棱鏡ABC，角A為30°，一束光a垂直于AB射入棱鏡，由AC邊射出進入空氣，測得折射光線與入射光線間的夾角為30°，則該玻璃三棱鏡的折射率大小為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．如圖所示為陽光射入球形雨滴經過折射形成彩虹的示意圖。關于圖中光線1和光線2的說法正確的是(　　)
A．光線1的頻率更小
B．光線1在真空中傳播速度更小
C．光線2在雨滴中傳播速度更小
D．光線1從雨滴進入空氣時更容易發生全反射
3．(多選)如圖所示，兩束單色光A、B分別沿半徑方向由空氣射入半圓形玻璃磚，出射時合成一束復色光P，下列說法正確的是(　　)
A．玻璃磚對A光的折射率小于對B光的折射率
B．在玻璃磚中A光的傳播速度小于B光的傳播速度
C．A光的頻率小于B光的頻率
D．兩束單色光由玻璃磚射向空氣時，A光的臨界角較大
4．如圖所示，井口大小和深度均相同的兩口井，一口是枯井(圖甲)，一口是水井(圖乙，水面在井口之下)，兩井底部各有一只青蛙，下列說法正確的是(　　)
A．水井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
B．枯井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
C．水井中的青蛙覺得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星
D．兩只青蛙覺得井口一樣大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
5．(多選)為取得良好的保溫效果，一窗戶安裝了雙層平行玻璃，雙層玻璃由厚度均為d的單層玻璃組成，兩玻璃平行且中間有空氣。如圖所示，一束光線從窗外射入室內，入射光線與玻璃面的夾角θ＝37°，光線通過雙層玻璃后出射光線與入射光線會有一個偏移量(兩光線的垂直距離)，玻璃的折射率n＝，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
A．這束光進入玻璃后折射角的正弦值為
B．這束光進入玻璃后折射角的正弦值為
C．這束光從室外到室內的偏移量為d
D．這束光從室外到室內的偏移量為d
6．一束光線射到玻璃球過球心O的截面上，入射角為60°。光線的傳播路徑如圖，出射光線恰好與AO平行，則該光線在玻璃中的折射率為(　　)
A．　　　 B．
C．2 　 D．1.5
7．如圖所示，等腰三角形△abc為一棱鏡的橫截面，ab＝ac；一平行于bc邊的細光束從ab邊射入棱鏡，在bc邊反射后從ac邊射出，出射光分成了不同顏色的兩束，甲光的出射點在乙光的下方，不考慮多次反射。下列說法正確的是(　　)
A．甲光的頻率比乙光的高
B．在真空中的傳播速度，甲光比乙光的大
C．該棱鏡對甲光的折射率大于對乙光的折射率
D．在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大
8．(多選)如圖所示，一束黃光自空氣射入水中，入射光線經過A點，折射光線經過B點，入射點沒有畫出，實線以上為空氣，實線以下為水，A、B連線與實線交于O點，下列說法正確的是(　　)
A．入射點在O點左側
B．黃光從空氣中射入水中時，波長變長
C．該光路與魚看人的光路相似，人的像偏低
D．若入射光是一束紅光，則折射光線有可能通過B點正上方的D點
9．河中有條小魚，某時刻小魚的實際深度為H，一人從水面正上方往水中看，他感覺到的小魚的深度為多深？(設水的折射率為n)
10．如圖所示，扇形AOB為透明柱狀介質的橫截面，扇形的半徑大小為R，OM為扇形的角平分線，∠AOM＝∠BOM＝30°。一束平行于角平分線OM的單色光由OA面射入介質，折射光線與OB平行且恰好打到圓弧面上的M點。
(1)求介質對單色光的折射率；
(2)若使折射光線在圓弧面上恰好發生全反射，求平行于OM的單色光在OA面上的入射點需沿OA面向上移動的距離。
11．如圖所示，半圓玻璃磚的半徑R＝9 cm，折射率n＝，直徑AB與水平屏幕MN垂直并接觸于A點，激光a以入射角i＝30°射向半圓玻璃磚的圓心O，結果在屏幕MN上出現了兩個光斑。
(1)在圖中畫出光路圖，并求出兩個光斑之間的距離；
(2)改變入射角，使屏幕MN上只剩一個光斑，求此光斑離A點的最大距離。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)素養提升課(三)　光的折射與全反射的綜合應用
[學習目標]　1．知道不同色光各物理量的變化情況，進一步運用平面幾何知識分析求解光的折射和全反射問題。2．理解玻璃磚、液體對光路的控制及其應用。3．會運用平面幾何知識分析光的折射與全反射的臨界問題。
　折射時的色散
1．光的色散
(1)光的顏色由光的頻率決定，由λ＝可知，不同顏色的光，波長不同。
(2)光的色散：含有多種顏色的光被分解為單色光的現象。
2．白光通過棱鏡時的色散
實驗表明，白光發生色散時，紅光的偏向角最小，紫光的偏向角最大，如圖所示。這說明同一介質對不同色光的折射率是不同的，波長λ越小，折射率n越大。由v＝，可知不同顏色的光在相同的介質中光速不同。
3．各種色光的比較
色光 紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫
波長λ 依次減小 由真空進入介質后，波長減小，λ＝
頻率f 依次增大 由真空進入介質后，頻率不變
介質中的波速v 依次減小 由真空進入介質后，波速減小，v＝
同一介質對其的折射率n 依次增大，偏折程度逐漸明顯
【典例1】　(2024·廣東卷)如圖所示，紅、綠兩束單色光同時從空氣中沿同一路徑以θ角從MN面射入某長方體透明均勻介質。折射光束在NP面發生全反射。反射光射向PQ面。若θ逐漸增大，兩束光在NP面上的全反射現象會先后消失。已知在該介質中紅光的折射率小于綠光的折射率。下列說法正確的是(　　)
A．在PQ面上，紅光比綠光更靠近P點
B．θ逐漸增大時，紅光的全反射現象先消失
C．θ逐漸增大時，入射光可能在MN面發生全反射
D．θ逐漸減小時，兩束光在MN面的折射角逐漸增大
B　[由題知紅光的折射率小于綠光的折射率，在MN面，入射角相同，根據折射定律n＝，可知綠光在MN面的折射角較小，根據幾何關系可知綠光比紅光更靠近P點，故A錯誤；根據sin C＝可知紅光發生全反射的臨界角較大，θ逐漸增大時，折射光線與NP面的交點左移過程中，在NP面的入射角先小于紅光發生全反射的臨界角，所以紅光的全反射現象先消失，故B正確；在MN面，光是從光疏介質到光密介質，無論θ多大，在MN面都不可能發生全反射，故C錯誤；根據折射定律n＝可知，θ逐漸減小時，兩束光在MN面的折射角逐漸減小，故D錯誤。故選B。]
　折射現象兩類典型問題
1．玻璃磚對光的折射問題
(1)半圓柱體玻璃磚。若光線從半圓面射入，且其方向指向圓心，則其光路圖如圖所示，光線只發生一次偏折。
(2)兩個折射面相互平行的長方體玻璃磚，其折射光路如圖甲所示，光線經過兩次折射后，出射光線與入射光線的方向平行，但發生了側移。物點通過玻璃磚成虛像，圖乙為其示意圖。
　畫光路圖時應注意的問題：
(1)光路是可逆的。
(2)垂直界面入射的光線，折射光線與入射光線在同一直線上。
(3)過半圓形玻璃磚圓心的光線在圓弧面處不偏折。
【典例2】　透明半球體的截面如圖所示，O點為半球的球心，虛線OO′表示光軸(過球心O與半球底面垂直的直線)。已知半球體的半徑為R，距光軸的一條光線垂直入射到半球體的底面上，經球面折射后與光軸的交點到球心O點的距離為R(不考慮被半球體的內表面反射后的光線)，則該透明半球體的折射率為(　　)
A．　　B．　　C．3　　D．2
A　[
設光線在A點射出半球體，與光軸相交于B點，如圖所示，光線在A點的入射角為i，折射角為r。根據幾何知識可知sin i＝＝，得i＝30°，因為 OA cos ∠AOB＝R cos 30°＝R＝OB，所以AO＝AB，r＝2∠AOB＝2×30°＝60°，故該透明半球體的折射率為n＝＝＝，A正確，B、C、D錯誤。]
2．視深與物體實際深度的關系
(1)“視深”：當視線垂直于透明介質的界面時看到介質內部某點的像到界面的距離。
(2)“視深”公式：h＝
①各量的意義：h為“視深”，H為實際深度，n為透明介質的折射率。
②適用條件：視線垂直于介質的界面觀察。
③公式推導：如圖所示，光源S點到界面的距離為H，當人的眼睛沿著界面的法線方向去觀察介質內S點時，眼睛實際看到的是S點的像S′。S′應是從S點發出的光線垂直水面射出的SO與某條光線SO1的折射光線反向延長線的交點。因一般人的瞳孔的線度為2～3 mm，光線SO1與SO間的夾角很小，可知θ1、θ2均很小。
由數學知識知sin θ1≈tan θ1＝，sin θ2≈tan θ2＝，由折射定律得n＝＝，可得h＝，即為“視深”公式。
　當視線不垂直于介質的界面觀察時，“視深”公式h＝不成立，而且看到的物體的像不在物體的“正上方”，而是在物體的“斜上方”，如圖所示。
【典例3】　公園里的水池為了增加夜晚的觀賞性，水池底部一般安裝上許多彩色燈泡，給游玩的人們一種美艷的視覺美景。已知水對不同色光的折射率如表所示：
色光 紅光 黃光 綠光 紫光
折射率 1.331 1 1.333 0 1.337 1 1.342 8
經測量發現其中一只黃光彩燈所在處水的深度為1.333 0 m。(已知在角度很小時，可以認為該角度的正弦值和正切值相等)
(1)若從彩燈的正上方觀察，黃光彩燈的深度為多少？
(2)為了使人們從彩燈的正上方觀察到各種不同顏色的彩燈的深度都與黃光彩燈的深度相同，需要將不同色光的彩燈安裝到不同的深度，則在如表所示四種不同色光的彩燈中哪種彩燈安裝的最淺？安裝最深的彩燈比安裝最淺的彩燈深多少？
[解析]　(1)設彩燈實際深度為H，從正上方觀察到的深度為h，從正上方觀察彩燈光路圖如圖所示。
根據折射定律可知＝n
從正上方觀察，角度i和r都很小，可以認為＝＝n
而tan i＝，tan r＝
聯立可得＝n
代入數據得h＝1.0 m。
(2)根據＝n，可得H＝nh。可知，h相同，n越小，H就越小，故紅光彩燈安裝實際深度最淺。
設紅光折射率為n1，彩燈實際安裝的深度最淺為H1，紫光折射率為n2，彩燈實際安裝的深度最深為H2，深度差為ΔH，則有ΔH＝H2－H1，H1＝n1h，H2＝n2h
聯立并代入數據可得ΔH＝0.011 7 m。
[答案]　(1)1.0 m　(2)紅光　0.011 7 m
　光的折射與全反射的臨界問題
解答此類問題的基本思路：
(1)確定光是由光密介質進入光疏介質，還是由光疏介質進入光密介質；如果光是由光密介質進入光疏介質，根據sin C＝確定臨界角，判斷是否發生全反射。
(2)畫出光線發生折射、反射的光路圖；如果發生全反射，關鍵要畫出入射角等于臨界角的“臨界光路圖”。
(3)根據光的反射定律、折射定律及臨界角公式等規律結合幾何關系進行分析與計算。
【典例4】　(多選)如圖所示，一束光由空氣射到透明介質球的A點，入射角為i，則(　　)
A．當i足夠大時，在A點將發生全反射
B．當i足夠大時，光從球內向外射出時將發生全反射
C．無論i多大，在A點都不會發生全反射
D．無論i多大，光從球內向外射出時，都不會發生全反射
CD　[
光從光密介質射向光疏介質時才可能發生全反射，因此光在A點由空氣進入介質球時，肯定不能發生全反射；如圖所示，光從介質球向外射出的入射角i′是隨著i的增大而增大的，且i′的增大只是逐漸接近臨界角，不可能大于或等于臨界角，原因如下，對于球上任意一點，球面法線一定過球心O，設r為光從A點射入時的折射角，則r和i′為等腰三角形的兩底角，因此有i′＝r，根據折射定律n＝，得sin r＝，即隨著i的增大，r增大，但顯然r不可能大于或等于臨界角，故i′也不可能大于或等于臨界角，即光從B點射出時，也不可能發生全反射，在B點的反射光射向D點，同樣在D點也不會發生全反射。故選CD。]
【教用·備選例題】　超強超短光脈沖產生方法曾獲諾貝爾物理學獎，其中用到的一種脈沖激光展寬器截面如圖所示。在空氣中對稱放置四個相同的直角三棱鏡，頂角為θ。一細束脈沖激光垂直第一個棱鏡左側面入射，經過前兩個棱鏡后分為平行的光束，再經過后兩個棱鏡重新合成為一束，此時不同頻率的光前后分開，完成脈沖展寬。已知相鄰兩棱鏡斜面間的距離d＝100.0 mm，脈沖激光中包含兩種頻率的光，它們在棱鏡中的折射率分別為n1＝和n2＝。取sin 37°＝，cos 37°＝＝1.890。
(1)為使兩種頻率的光都能從左側第一個棱鏡斜面射出，求θ的取值范圍；
(2)若θ＝37°，求兩種頻率的光通過整個展寬器的過程中，在空氣中的路程差ΔL(保留2位有效數字)。
[解析]　(1)設C是全反射的臨界角，光線在第一個三棱鏡右側斜面上恰好發生全反射時，根據折射定律得sin C＝ ①
代入較大的折射率得C＝45° ②
所以頂角θ的取值范圍為0<θ<45°。 ③
(2)脈沖激光從第一個三棱鏡右側斜面射出時發生折射，設折射角分別為α1和α2，由折射定律得
n1＝ ④
n2＝ ⑤
設兩束光在前兩個三棱鏡斜面之間的路程分別為L1和L2，則L1＝ ⑥
L2＝ ⑦
ΔL＝2(L1－L2) ⑧
聯立④⑤⑥⑦⑧式，代入數據得
ΔL≈14 mm。 ⑨
[答案]　(1)0<θ<45°　(2)14 mm
素養提升練(三)　光的折射與全反射的綜合應用
1．如圖所示，有一個玻璃三棱鏡ABC，角A為30°，一束光a垂直于AB射入棱鏡，由AC邊射出進入空氣，測得折射光線與入射光線間的夾角為30°，則該玻璃三棱鏡的折射率大小為(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[由題意可知，光從棱鏡射向空氣中時，入射角θ1＝30°，折射角θ2＝60°，則棱鏡的折射率n＝＝，故選C。]
2．如圖所示為陽光射入球形雨滴經過折射形成彩虹的示意圖。關于圖中光線1和光線2的說法正確的是(　　)
A．光線1的頻率更小
B．光線1在真空中傳播速度更小
C．光線2在雨滴中傳播速度更小
D．光線1從雨滴進入空氣時更容易發生全反射
D　[從題中光路圖可以發現光線1的偏折更明顯，說明其折射率更大，可知光線1的頻率更大，A錯誤；不同頻率的光在真空中傳播速度是相同的，B錯誤；折射率越大越容易發生全反射，故光線1更容易發生全反射，D正確；由v＝知光線1在雨滴中傳播速度更小，C錯誤。]
3．(多選)如圖所示，兩束單色光A、B分別沿半徑方向由空氣射入半圓形玻璃磚，出射時合成一束復色光P，下列說法正確的是(　　)
A．玻璃磚對A光的折射率小于對B光的折射率
B．在玻璃磚中A光的傳播速度小于B光的傳播速度
C．A光的頻率小于B光的頻率
D．兩束單色光由玻璃磚射向空氣時，A光的臨界角較大
ACD　[由題圖結合光路可逆原理知，玻璃磚對B光的折射程度大，則nB>nA，故B光的頻率較大，A、C正確；由v＝知，在玻璃磚中vB4．如圖所示，井口大小和深度均相同的兩口井，一口是枯井(圖甲)，一口是水井(圖乙，水面在井口之下)，兩井底部各有一只青蛙，下列說法正確的是(　　)
A．水井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
B．枯井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
C．水井中的青蛙覺得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星
D．兩只青蛙覺得井口一樣大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
B　[由于井口邊沿的約束，而不能看到更大的范圍，據此作出邊界光線如圖所示。
由圖可看出α>γ，所以枯井中的青蛙覺得井口大些；β>α，所以水井中的青蛙能看到更多的星星，故B正確，A、C、D錯誤。]
5．(多選)為取得良好的保溫效果，一窗戶安裝了雙層平行玻璃，雙層玻璃由厚度均為d的單層玻璃組成，兩玻璃平行且中間有空氣。如圖所示，一束光線從窗外射入室內，入射光線與玻璃面的夾角θ＝37°，光線通過雙層玻璃后出射光線與入射光線會有一個偏移量(兩光線的垂直距離)，玻璃的折射率n＝，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
A．這束光進入玻璃后折射角的正弦值為
B．這束光進入玻璃后折射角的正弦值為
C．這束光從室外到室內的偏移量為d
D．這束光從室外到室內的偏移量為d
AD　[光線射入玻璃面的入射角i＝90°－θ＝53°，射入玻璃的折射角為r，根據光的折射定律可得n＝，解得sin r＝＝，故A正確，B錯誤； 如圖所示，
由光路的可逆性可知，空氣中的光線都是平行的，玻璃中的光線也是平行的，設光線通過第一塊玻璃的偏移量為Δx1，光線通過第二塊玻璃的偏移量為Δx2，根據光路圖中的幾何關系可得Δx1＝Δx2，則出射光線相對于入射光線的偏移量Δx＝2Δx1＝2sin (i－r)＝d，故C錯誤，D正確。故選AD。]
6．一束光線射到玻璃球過球心O的截面上，入射角為60°。光線的傳播路徑如圖，出射光線恰好與AO平行，則該光線在玻璃中的折射率為(　　)
A．　　　 B．
C．2 　 D．1.5
A　[
作出光路圖如圖所示，設在A點入射后折射角為r，因為△AOB是等腰三角形，所以∠OBA＝r，由光路可逆知，在B點出射光線的出射角為60°，由幾何關系知2r＝60°，得r＝30°，由折射定律有n＝＝＝，故選A。]
7．如圖所示，等腰三角形△abc為一棱鏡的橫截面，ab＝ac；一平行于bc邊的細光束從ab邊射入棱鏡，在bc邊反射后從ac邊射出，出射光分成了不同顏色的兩束，甲光的出射點在乙光的下方，不考慮多次反射。下列說法正確的是(　　)
A．甲光的頻率比乙光的高
B．在真空中的傳播速度，甲光比乙光的大
C．該棱鏡對甲光的折射率大于對乙光的折射率
D．在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大
D　[
根據折射定律和反射定律作出光路圖如圖所示，由圖可知，乙光在棱鏡中偏轉后的折射角較小，根據折射定律可知乙光的折射率大于甲光的折射率，則乙光的頻率高于甲光的頻率，故A、C錯誤；不同頻率的光在真空中的傳播速度是一樣的，在真空中甲光和乙光的傳播速度相同，故B錯誤；根據幾何關系可知光在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大，故D正確。故選D。]
8．(多選)如圖所示，一束黃光自空氣射入水中，入射光線經過A點，折射光線經過B點，入射點沒有畫出，實線以上為空氣，實線以下為水，A、B連線與實線交于O點，下列說法正確的是(　　)
A．入射點在O點左側
B．黃光從空氣中射入水中時，波長變長
C．該光路與魚看人的光路相似，人的像偏低
D．若入射光是一束紅光，則折射光線有可能通過B點正上方的D點
AD　[光由空氣射入水中，折射時折射角小于入射角，設入射點為O1，畫出光的光路圖如圖所示，可知入射點在O點左側，故A正確；根據v＝可知，黃光從空氣中射入水中時，傳播速度減小，頻率不變，根據v＝λf可知，波長變短，故B錯誤；該光路與魚看人的光路相似，人的像偏高，故C錯誤；若入射光是一束紅光，水對紅光的折射率小于黃光的折射率，根據折射定律可知，紅光的偏折程度小于黃光的偏折程度，則折射光線有可能通過B點正上方的D點，故D正確。故選AD。]
9．河中有條小魚，某時刻小魚的實際深度為H，一人從水面正上方往水中看，他感覺到的小魚的深度為多深？(設水的折射率為n)
[解析]　如圖所示，設小魚在S處，從魚身上反射的光線SO垂直水面射出，反射出的另一條光線SO1與SO間的夾角很小，則θ2、θ1為一組對應的入射角和折射角，θ1、θ2均很小。由數學知識可知
sin θ1≈tan θ1＝
sin θ2≈tan θ2＝
由折射定律得n＝＝＝，則h＝。
[答案]　
10．如圖所示，扇形AOB為透明柱狀介質的橫截面，扇形的半徑大小為R，OM為扇形的角平分線，∠AOM＝∠BOM＝30°。一束平行于角平分線OM的單色光由OA面射入介質，折射光線與OB平行且恰好打到圓弧面上的M點。
(1)求介質對單色光的折射率；
(2)若使折射光線在圓弧面上恰好發生全反射，求平行于OM的單色光在OA面上的入射點需沿OA面向上移動的距離。
[解析]　(1)結合題意，作光路圖如圖所示。單色光平行于OM，∠AOM＝30°，則θ＝60°
O1M平行于OB，則∠OMO1＝30°
所以γ＝30°，n＝＝。
(2)如圖所示，設光在O3點恰好發生全反射，則有臨界角的正弦值sin C＝＝
由幾何知識得∠OO2O3＝120°
在三角形OO2O3中，由正弦定理得＝
解得OO2＝
由△MO1O是等腰三角形得OO1＝
所以入射點需沿OA面向上移動的距離
d＝OO2－OO1＝R。
[答案]　(1)　(2)R
11．如圖所示，半圓玻璃磚的半徑R＝9 cm，折射率n＝，直徑AB與水平屏幕MN垂直并接觸于A點，激光a以入射角i＝30°射向半圓玻璃磚的圓心O，結果在屏幕MN上出現了兩個光斑。
(1)在圖中畫出光路圖，并求出兩個光斑之間的距離；
(2)改變入射角，使屏幕MN上只剩一個光斑，求此光斑離A點的最大距離。
[解析]　(1)光路圖如圖所示。
設折射角為r，根據折射定律n＝，解得r＝45°，由幾何關系可知兩個光斑之間的距離PQ＝PA＋AQ＝R tan 45°＋R tan 60°＝9(1＋)cm。
(2)設光斑離A點的最大距離為x，入射角增大的過程中，當發生全反射時屏幕MN上只剩一個光斑，此光斑離A最遠時，恰好發生全幕反射，入射角等于臨界角，即sin C＝＝，解得C＝45°，則光斑離A點的最大距離x＝R tan 45°＝9 cm。
[答案]　(1)見解析圖　9(1＋)cm　(2)9 cm
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第四章 光
素養提升課(三)　光的折射與全反射的綜合應用
[學習目標]　1．知道不同色光各物理量的變化情況，進一步運用平面幾何知識分析求解光的折射和全反射問題。2．理解玻璃磚、液體對光路的控制及其應用。3．會運用平面幾何知識分析光的折射與全反射的臨界問題。
探究重構·關鍵能力達成
3．各種色光的比較
色光 紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫
波長λ 依次減小
頻率f 依次增大 由真空進入介質后，頻率不變
介質中的波速v 依次減小
同一介質對其的折射率n 依次增大，偏折程度逐漸明顯
【典例1】　(2024·廣東卷)如圖所示，紅、綠兩束單色光同時從空氣中沿同一路徑以θ角從MN面射入某長方體透明均勻介質。折射光束在NP面發生全反射。反射光射向PQ面。若θ逐漸增大，兩束光在NP面上的全反射現象會先后消失。已知在該介質中紅光的折射率小于綠光的折射率。下列說法正確的是(　　)
A．在PQ面上，紅光比綠光更靠近P點
B．θ逐漸增大時，紅光的全反射現象先消失
C．θ逐漸增大時，入射光可能在MN面發生全反射
D．θ逐漸減小時，兩束光在MN面的折射角逐漸增大
√
探究2　折射現象兩類典型問題
1．玻璃磚對光的折射問題
(1)半圓柱體玻璃磚。若光線從半圓面射入，且其方向指向圓心，則其光路圖如圖所示，光線只發生一次偏折。
(2)兩個折射面相互平行的長方體玻璃磚，其折射光路如圖甲所示，光線經過兩次折射后，出射光線與入射光線的方向平行，但發生了側移。物點通過玻璃磚成虛像，圖乙為其示意圖。
特別提醒　畫光路圖時應注意的問題：
(1)光路是可逆的。
(2)垂直界面入射的光線，折射光線與入射光線在同一直線上。
(3)過半圓形玻璃磚圓心的光線在圓弧面處不偏折。
√
【典例3】　公園里的水池為了增加夜晚的觀賞性，水池底部一般安裝上許多彩色燈泡，給游玩的人們一種美艷的視覺美景。已知水對不同色光的折射率如表所示：
經測量發現其中一只黃光彩燈所在處水的深度為1.333 0 m。(已知在角度很小時，可以認為該角度的正弦值和正切值相等)
色光 紅光 黃光 綠光 紫光
折射率 1.331 1 1.333 0 1.337 1 1.342 8
(1)若從彩燈的正上方觀察，黃光彩燈的深度為多少？
(2)為了使人們從彩燈的正上方觀察到各種不同顏色的彩燈的深度都與黃光彩燈的深度相同，需要將不同色光的彩燈安裝到不同的深度，則在如表所示四種不同色光的彩燈中哪種彩燈安裝的最淺？安裝最深的彩燈比安裝最淺的彩燈深多少？
[答案]　(1)1.0 m　(2)紅光　0.011 7 m
【典例4】　(多選)如圖所示，一束光由空氣射到透明介質球的A點，入射角為i，則(　　)
A．當i足夠大時，在A點將發生全反射
B．當i足夠大時，光從球內向外射出時將發生全反射
C．無論i多大，在A點都不會發生全反射
D．無論i多大，光從球內向外射出時，都不會發生全反射
√
√
(1)為使兩種頻率的光都能從左側第一個棱鏡斜面射出，求θ的取值范圍；
(2)若θ＝37°，求兩種頻率的光通過整個展寬器的過程中，在空氣中的路程差ΔL(保留2位有效數字)。
[答案]　(1)0<θ<45°　(2)14 mm
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素養提升練(三)　光的折射與全反射的綜合應用
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2．如圖所示為陽光射入球形雨滴經過折射形成彩虹的示意圖。關于圖中光線1和光線2的說法正確的是(　　)
A．光線1的頻率更小
B．光線1在真空中傳播速度更小
C．光線2在雨滴中傳播速度更小
D．光線1從雨滴進入空氣時更容易發生全反射
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3．(多選)如圖所示，兩束單色光A、B分別沿半徑方向由空氣射入半圓形玻璃磚，出射時合成一束復色光P，下列說法正確的是(　　)
A．玻璃磚對A光的折射率小于對B光的折射率
B．在玻璃磚中A光的傳播速度小于B光的傳播速度
C．A光的頻率小于B光的頻率
D．兩束單色光由玻璃磚射向空氣時，A光的臨界角
較大
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4．如圖所示，井口大小和深度均相同的兩口井，一口是枯井(圖甲)，一口是水井(圖乙，水面在井口之下)，兩井底部各有一只青蛙，下列說法正確的是(　　)
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A．水井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
B．枯井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
C．水井中的青蛙覺得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星
D．兩只青蛙覺得井口一樣大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星
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B　[由于井口邊沿的約束，而不能看到更大的范圍，據此作出邊界光線如圖所示。

由圖可看出α>γ，所以枯井中的青蛙覺得井口大些；β >α，所以水井中的青蛙能看到更多的星星，故B正確，A、C、D錯誤。]
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7．如圖所示，等腰三角形△abc為一棱鏡的橫截面，ab＝ac；一平行于bc邊的細光束從ab邊射入棱鏡，在bc邊反射后從ac邊射出，出射光分成了不同顏色的兩束，甲光的出射點在乙光的下方，不考慮多次反射。下列說法正確的是(　　)
A．甲光的頻率比乙光的高
B．在真空中的傳播速度，甲光比乙光的大
C．該棱鏡對甲光的折射率大于對乙光的折射率
D．在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大
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D　[根據折射定律和反射定律作出光路圖如圖所示，由圖可知，乙光在棱鏡中偏轉后的折射角較小，根據折射定律可知乙光的折射率大于甲光的折射率，則乙光的頻率高于甲光的頻率，故A、C錯誤；不同頻率的光在真空中的傳播速度是一樣的，在真空中甲光和乙光的傳播速度相同，故B錯誤；根據幾何關系可知光在棱鏡內bc邊反射時的入射角，甲光比乙光的大，故D正確。故選D。]
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8．(多選)如圖所示，一束黃光自空氣射入水中，入射光線經過A點，折射光線經過B點，入射點沒有畫出，實線以上為空氣，實線以下為水，A、B連線與實線交于O點，下列說法正確的是(　　)
A．入射點在O點左側
B．黃光從空氣中射入水中時，波長變長
C．該光路與魚看人的光路相似，人的像偏低
D．若入射光是一束紅光，則折射光線有可能通過B點正上方的D點
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9．河中有條小魚，某時刻小魚的實際深度為H，一人從水面正上方往水中看，他感覺到的小魚的深度為多深？(設水的折射率為n)
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10．如圖所示，扇形AOB為透明柱狀介質的橫截面，扇形的半徑大小為R，OM為扇形的角平分線，∠AOM＝∠BOM＝30°。一束平行于角平分線OM的單色光由OA面射入介質，折射光線與OB平行且恰好打到圓弧面上的M點。

(1)求介質對單色光的折射率；
(2)若使折射光線在圓弧面上恰好發生全反射，求平行于OM的單色光在OA面上的入射點需沿OA面向上移動的距離。
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