資源簡介

第4節　科學測量:用單擺測量重力加速度
(實驗課——基于經典科學探究)
一、實驗裝置
二、實驗原理
　　單擺做簡諧運動時,由周期公式T=2π,可得g=。因此,測出單擺擺長和振動周期,便可計算出當地的重力加速度。
用秒表測量30~50次全振動的時間,計算平均做一次全振動的時間,得到的便是振動周期。
一、實驗步驟
1.做單擺:將長約1 m的線的一端連接小球,然后把線的上端用鐵夾固定于鐵架臺上,讓擺球自由下垂,在平衡位置處做上標記。
2.測擺長:用毫米刻度尺測出擺線長度l線,用游標卡尺測量出小球的直徑d,則單擺的擺長l=l線+。測量多次,取平均值。
3.測周期:將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5°的位置,由靜止釋放小球,當單擺振動穩定后,從小球經過平衡位置時開始用秒表計時,測量N次(一般取30~50次)全振動的時間t,則周期T=。多次測量,取平均值。
4.改變擺長:將單擺的擺長變短(或變長),重復實驗多次,測出相應的擺長l和周期T。
二、數據處理
1.公式法:每改變一次擺長,將相應的l和T代入公式g=中求出g值,最后求出g的平均值。
實驗次數 擺長l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.圖像法:由T=2π得T2=l,作出T2 l圖像,即以T2為縱軸,以l為橫軸。其斜率k=,由圖像的斜率即可求出重力加速度g。
[關鍵點反思]
1.組成單擺的材料有什么要求
2.在做“用單擺測量重力加速度”的實驗中,請思考以下問題:
(1)單擺的擺長是指哪一段
(2)測量時間的開始位置選哪個地方最好 為什么
3.在“用單擺測量重力加速度”的實驗中,某同學發現他測出的重力加速度值總是偏小,可能有哪些原因
考法(一)　實驗基本操作
　　[例1]　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中:
(1)小博同學制作了如圖所示的甲、乙、丙三個單擺,你認為他應選用　　　　單擺來做實驗。
(2)實驗過程中小博同學分別用了圖(a)、(b)所示的兩種不同方式懸掛小球,你認為圖　　[選填“(a)”或“(b)”]懸掛方式較好。
(3)某同學用秒表測得單擺完成40次全振動的時間如圖(c)所示,則單擺的周期為　　　　s。
(4)若單擺在任意擺角θ時的周期公式可近似為T=T0,式中T0為擺角趨近于0°時的周期,a為常數。為了用圖像法驗證該關系式,需要測量的物理量有　　　;某同學在實驗中得到了如圖(d)所示的圖線,則圖線的斜率表示　　　　。
考法(二)　數據處理和誤差分析
　　[例2]　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中,由單擺做簡諧運動的周期公
式得到g=,只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T,作出T2 l圖像,就可以求出當地的重力加速度。理論上T2 l圖線是一條過坐標原點的直線,某同學根據實驗數據作出的圖像如圖所示。
(1)造成圖線不過坐標原點的原因可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
(2)由圖像求出的重力加速度g=　　　　m/s2(取π2=9.87)。
(3)如果測得的g值偏小,可能的原因是　　　。
A.測擺長時擺線拉得過緊
B.擺線上端懸點未固定,振動中出現松動,使擺線長度增加了
C.開始計時時,秒表過遲按下
D.實驗時誤將49次全振動數為50次
[微點撥]
圖像法求重力加速度
(1)圖像法處理數據既直觀又方便,同時也能最大限度地減小偶然誤差對實驗結果造成的影響。
(2)由于T l的圖像不是直線,不便于進行數據處理,所以采用T2 l的圖像,目的是將曲線轉換為直線,便于利用直線的斜率計算重力加速度。
考法(三)　源于經典實驗的創新考查
　　[例3]　現代智能手機自帶了許多傳感器,利用智能手機軟件能夠采集傳感器記錄的數據。某同學在家根據軟件界面提示的原始傳感器,給出了2種測量重力加速度的方案:
方案1:使用“含(g)的加速度”模塊,令手機靜置在桌面上20 s,直接讀出重力加速度(圖一);
方案2:使用“擺”功能,該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺、長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖,制成一個單擺,于小角度釋放。輸入擺長后,利用手機讀取周期,手機將計算出重力加速度(圖二)。
回答下列相關問題:
(1)根據方案2,可知手機計算重力加速度的表達式為g=　　　　　　(用π、T、L表示)。
(2)與方案1測得的重力加速度g相比,方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差,產生誤差的主要原因為　　　　。(填選項字母)
A.鐵鎖的重心不方便確定,所以擺長測量不準
B.測量擺長的刻度尺量程太小,測擺長時多次移動產生了一定的誤差
C.鐵鎖質量過大,導致g測量誤差較大
(3)方案2重力加速度g計算結果誤差較大,該同學想到一個修正方案(如圖三):實驗時,可以在細線上的A點做一個標記,使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程;保持該標記以下的細線長度不變,通過改變OA間細線長度以改變擺長,當OA間細線長度分別為L1、L2時,測得相應單擺的周期為T1、T2,由此可測得重力加速度g的數值,此方案計算g的表達式為　　　　(填選項字母)。
A.g=
B.g=
C.g=
D.g=
[創新分析]
(1)利用現代智能手機自帶傳感器測量重力加速度。
(2)利用鐵鎖替代金屬小球測量當地的重力加速度,并通過修正方案提高測量g的精確度。
1.為了用單擺測量重力加速度g的值,有下列可供選擇的儀器:
A.米尺;
B.長約為1 m的細線且系直徑為1.8 cm的小鋼球;
C.長度為30 cm左右的細線且系直徑為1.8 cm 的塑料球;
D.秒表;
E.打點計時器(包括紙帶、重錘、復寫紙);
F.學生電源;
G.蓄電池;
H.鐵架臺;
I.天平。
(1)從上面所列的儀器中挑選必需的儀器有　　　　　(用符號表示)。
(2)實驗中,要求在小球通過　　　　　(填“最高點”或“最低點”)時開始計時。
(3)若小球直徑為d,懸線長度為L,N次全振動的總時間為t,請寫出重力加速度的表達式g=　　　　　。
(4)某個同學忘記測量小球直徑,他以懸線的長度L作為橫坐標、以T2作為縱坐標建立坐標系并描繪出多組數據點,如圖,請回答下列問題:
①畫出T2 L圖線;
②根據圖像,得到該圖線的斜率k=　　　s2/m(結果保留2位有效數字);
③請給出計算當地重力加速度的表達式為g=　　　　　(用含k的表達式)。
2.(2023·新課標卷)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先,調節螺旋測微器,擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時,發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊,如圖(a)所示,該示數為　　 　mm;螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示,該示數為　　　　 　mm,則擺球的直徑為　　　　 　mm。
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示,其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處,擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方,則擺線在角度盤上所指的示數為5°時,實際擺角　　　 　5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm,則擺長為　　　　 　cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60 s,則此單擺周期為　　　　 　s,該小組測得的重力加速度大小為　　　　 　m/s2。(結果均保留3位有效數字,π2取9.870)
3.(2025年1月·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有:鐵架臺、
細線、擺球、秒表、卷尺等。完成下列問題:
(1)實驗時,將細線的一端連接擺球,另一端固定在鐵架臺上O點,如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置,使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°),由靜止釋放擺球,讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差,應該在擺球擺至　　　　(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時,測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長,求得重力加速度大小為　　　　　m/s2(取π2=9.870,結果保留3位有效數字)。
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗,相關數據匯總在下表中,在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線,如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設直線斜率為k,則重力加速度可表示為g=　　　　　　(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為　　　　　　m/s2(結果保留3位有效數字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確,原因是　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
4.(2025·漳州高二檢測)某學習小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗裝置如圖甲所示,將小磁鐵吸附在鋼質小球的正下方,當小球靜止時,將傳感器固定于小球正下方的水平桌面上;傳感器與電腦連接,可以將實時測量到的磁感應強度數據傳輸進電腦進行分析。
(1)下列說法正確的是　　　　。
A.小球應選擇體積大的
B.擺線應選擇彈性小、細些的
C.安裝單擺時,可將擺線一端直接纏繞在鐵架臺橫桿上
D.擺動過程中的最大擺角越大越好
(2)學習小組利用刻度尺測量了懸掛點與小球上端的距離l=118.00 cm,用游標卡尺測量小球的直徑如圖乙所示,小球直徑 D=　　　　cm,不吸附小磁鐵時,擺長 L=　　　　cm。
(3)小球擺動穩定后,使傳感器開始工作,利用電腦得出磁感應強度大小B隨時間t變化的圖像如圖丙。此單擺的周期 T=　　　　s。
(4)學習小組利用多組實驗數據繪制了L與T2關系圖像如圖丁,由圖像可計算得到當地的重力加速度 g=　　　　m/s2(結果保留兩位有效數字,π2=9.8)。
(5)小組中有同學提出,小球與小磁鐵整體重心的位置不在小球的球心,這可能會影響到對重力加速度的測量。若僅考慮這一因素,第(4)問得到的g值與實際值相比將　　　(選填“偏大”“偏小”或“相等”)。
第4節　科學測量:用單擺測量重力加速度
2　實驗操作
1.提示:擺線應選擇細且不易伸長的線,長度一般為1 m左右;小球應選用質量大、體積小的金屬球。
2.提示:(1)擺長是指擺線長度加上小球的半徑,即擺長l=l線+;
(2)時間從平衡位置開始最好,因為小球在平衡位置速度快,測量誤差小。
3.提示:根據g=可知,可能的原因有:①擺線的測量值偏小;②擺長未加小球的半徑;③實驗中將全振動數少了,導致周期偏大。
3　實驗考法
[例1]　解析:(1)單擺在擺動過程中,空氣等對它的阻力要盡量小,甚至忽略不計,所以擺球選鐵球;擺線要盡可能細一些,擺長不能過短,一般取1 m左右的細線,故選乙單擺。
(2)如果選題圖(a)所示懸掛方式,擺動過程中,擺長在不斷變化,無法準確測量,故選題圖(b)懸掛方式較好。
(3)由題圖(c)可知,單擺完成40次全振動的時間t=60 s+15.6 s =75.6 s,所以單擺的周期為T= s=1.89 s。
(4)根據T=T0可知,需要測量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0,可得sin2=T-,所以圖線的斜率為。
答案:(1)乙　(2)(b)　(3)1.89　(4)T、θ　
[例2]　解析:(1)T2 l圖線不通過坐標原點,將圖線向右平移1 cm 會通過坐標原點,可知相同的周期下擺長偏小1 cm,故造成圖線不過坐標原點的原因可能是測量擺長時漏掉了擺球的半徑。
(2)由單擺周期公式T=2π,可得T2=l,則T2 l圖像的斜率為k=,由圖像得k= s2·m-1,解得g=9.87 m/s2。
(3)測擺長時擺線拉得過緊,則測量的擺長偏大,測得的重力加速度偏大,A不符合題意;擺線上端懸點未固定,振動中出現松動,使擺線長度增加了,知測量的擺長偏小,則測得的重力加速度偏小,B符合題意;開始計時時,秒表過遲按下,測量的周期偏小,則測得的重力加速度偏大,C不符合題意;實驗時誤將49次全振動數為50次,測量的周期偏小,則測得的重力加速度偏大,D不符合題意。
答案:(1)測量擺長時漏掉了擺球的半徑　(2)9.87　(3)B
[例3]　解析:(1)根據單擺周期公式T=2π,得重力加速度的表達式為g=。
(2)方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差,產生誤差的主要原因有:①鐵鎖的重心不方便確定,所以擺長測量不準;②方案2是用長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖制成一個單擺,而該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺,所以測量擺長的刻度尺量程太小,會導致測擺長時多次移動產生了一定的誤差。鐵鎖質量對重力加速度測量無影響。
(3)當OA間細線長度分別為L1、L2時,測得相應單擺的周期為T1、T2,設A點到鐵鎖重心的距離為l,根據公式T=2π,可得T1=2π,T2=2π,解得g=。
答案:(1)　(2)AB　(3)A
4　訓練評價
1.解析:(1)實驗需要用到米尺來測量擺長,A符合;實驗過程中擺線需要盡量長一些,同時為了減小空氣阻力的影響,應選密度較大的鋼球,B符合,C不符合;實驗需要用到秒表來記錄時間,D符合;實驗過程不需要打點計時器與電源,E、F、G不符合;實驗過程需要用到鐵架臺來懸掛細線,H符合;實驗中不需要測質量,I不符合。故必需的儀器有A、B、D、H。
(2)實驗中,要求在小球通過最低點時開始計時,因為在最高點計時誤差較大。
(3)單擺的擺長為l=L+,周期T=,由單擺周期公式T=2π,可得重力加速度g=。
(4)①通過描點作圖,使盡可能多的點落在圖像上,不在圖像上的點均勻分布在圖像兩側,圖線如圖所示。
②通過圖像,得該圖線的斜率k= s2/m=4.1 s2/m。
③由單擺周期公式T=2π,得T2=,圖像斜率為k,得當地重力加速度的表達式為g=。
答案:(1)ABDH　(2)最低點　(3)
(4)①見解析圖?、?.1(4.0~4.3均可)　③
2.解析:(1)測量前測微螺桿和測砧相觸時,題圖(a)的示數為d0=0.8×0.01 mm=0.008 mm,螺旋測微器讀數是固定刻度讀數加可動刻度讀數,題圖(b)中讀數為d1=20.0 mm+3.5×0.01 mm =20.035 mm,則擺球的直徑為d=d1-d0=20.027 mm。
(2)角度盤的大小一定,即在規定的位置安裝角度盤,測量的擺角準確,但將角度盤固定在規定位置上方,即角度盤到懸掛點的距離變短,同樣的角度,擺線在角度盤上掃過的弧長變短,故擺線在角度盤上所指的示數為5°時,實際擺角大于5°。
(3)單擺的擺線長度為81.50 cm,則擺長為l=l0+=81.50 cm+cm≈82.5 cm,一次全振動單擺經過最低點兩次,故此單擺的周期為T==s=1.82 s,由單擺的周期公式T=2π,可得重力加速度g=≈9.83 m/s2。
答案:(1)0.008(0.007~0.009均可)　20.035(20.034~20.036均可)　20.027(20.025~20.029均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
3.解析:(1)擺球經過最低點時速度最大,在相等的距離誤差上引起的時間誤差最小,測得周期的誤差最小,所以為了減小計時誤差,應該在擺球擺至最低點時開始計時。
(2)根據題意可知擺球擺動的周期T==2.02 s,根據單擺周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入數據解得g≈9.68 m/s2。
(3)根據單擺周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2圖線的斜率k=,則重力加速度可表示為g=4π2k;由題圖2求得當地的重力加速度大小為g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確,其原因是用圖像法處理數據時,無論是否考慮擺球的半徑,l T2 圖像的斜率均為,對重力加速度g的測量沒有影響。
答案:(1)最低點　(2)9.68　(3)4π2k　9.69　(4)見解析
4.解析:(1)為了盡可能減小空氣阻力對實驗的影響,擺球盡量選擇質量較大、體積較小的,故A錯誤;擺線要選擇較細(盡可能減小空氣阻力對實驗的影響)、伸縮性較小(確保擺球擺動時擺長幾乎不變)、盡可能長一些的(減小擺長測量的相對誤差),故B正確;安裝單擺時,不可將擺線一端直接纏繞在鐵架臺橫桿上,否則擺球運動過程中擺長會發生變化,故C錯誤;只有在擺線相對平衡位置的偏角很小的情況下(通常小于5°),單擺才做簡諧運動,進而才能根據周期公式測量重力加速度,故D錯誤。
(2)小球直徑為D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm,不吸附小磁鐵時,擺長L=l+=119.00 cm。
(3)擺球一個周期內兩次經過最低點,根據題圖丙可知單擺周期為T=2.2 s。
(4)根據單擺周期公式T=2π,變形可得L=T2,可知L T2 圖像斜率為= m/s2,解得g≈9.6 m/s2。
(5) 設小球與小磁鐵整體重心的位置在小球的球心下方r處,根據單擺周期公式可得T=2π,整理得L=T2-r,根據表達式可知不影響所作圖線的斜率,所以由斜率計算出的重力加速度值相比實際值將相等。
答案:(1)B　(2)2.00　119.00　(3)2.2　(4)9.6　(5)相等
8 / 8(共62張PPT)
科學測量：用單擺測量重力加速度 (實驗課——基于經典科學探究)
第 4 節
實驗準備——原理、器材和裝置
實驗操作——過程、細節和反思
01
02
CONTENTS
目錄
實驗考法——基礎、變通和創新
訓練評價——鞏固、遷移和發展
03
04
實驗準備——原理、器材和裝置
一、實驗裝置
二、實驗原理
單擺做簡諧運動時，由周期公式T=2π，可得g=。因此，測出單擺擺長和振動周期，便可計算出當地的重力加速度。
用秒表測量30~50次全振動的時間，計算平均做一次全振動的時間，得到的便是振動周期。
實驗操作——過程、細節和反思
一、實驗步驟
1.做單擺：將長約1 m的線的一端連接小球，然后把線的上端用鐵夾固定于鐵架臺上，讓擺球自由下垂，在平衡位置處做上標記。
2.測擺長：用毫米刻度尺測出擺線長度l線，用游標卡尺測量出小球的直徑d，則單擺的擺長l=l線+。測量多次，取平均值。
3.測周期：將小球從平衡位置拉至一個偏角小于5°的位置，由靜止釋放小球，當單擺振動穩定后，從小球經過平衡位置時開始用秒表計時，測量N次(一般取30~50次)全振動的時間t，則周期T=。多次測量，取平均值。
4.改變擺長：將單擺的擺長變短(或變長)，重復實驗多次，測出相應的擺長l和周期T。
二、數據處理
實驗次數 擺長l/m 周期T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的
平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
1.公式法：每改變一次擺長，將相應的l和T代入公式g=中求出g值，最后求出g的平均值。
2.圖像法：由T=2π得T2=l，作出T2 l圖像，即以T2為縱軸，以l為橫軸。其斜率k=，由圖像的斜率即可求出重力加速度g。
1.組成單擺的材料有什么要求
關鍵點反思
提示：擺線應選擇細且不易伸長的線，長度一般為1 m左右；小球應選用質量大、體積小的金屬球。
2.在做“用單擺測量重力加速度”的實驗中，請思考以下問題：
(1)單擺的擺長是指哪一段
提示：擺長是指擺線長度加上小球的半徑，即擺長l=l線+；
(2)測量時間的開始位置選哪個地方最好 為什么
提示：時間從平衡位置開始最好，因為小球在平衡位置速度快，測量誤差小。
3.在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，某同學發現他測出的重力加速度值總是偏小，可能有哪些原因
提示：根據g=可知，可能的原因有：①擺線的測量值偏小；②擺長未加小球的半徑；③實驗中將全振動數少了，導致周期偏大。
實驗考法——基礎、變通和創新
[例1]　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1)小博同學制作了如圖所示的甲、乙、丙三個單擺，你認為他應選用_____單擺來做實驗。
乙
考法(一)　實驗基本操作
[解析]　單擺在擺動過程中，空氣等對它的阻力要盡量小，甚至忽略不計，所以擺球選鐵球；擺線要盡可能細一些，擺長不能過短，一般取1 m左右的細線，故選乙單擺。
(2)實驗過程中小博同學分別用了圖(a)、(b)所示的兩種不同方式懸掛小球，你認為圖_____[選填“(a)”或“(b)”]懸掛方式較好。
(b)
[解析]　如果選題圖(a)所示懸掛方式，擺動過程中，擺長在不斷變化，無法準確測量，故選題圖(b)懸掛方式較好。
(3)某同學用秒表測得單擺完成40次全振動的
時間如圖(c)所示，則單擺的周期為______s。
1.89
[解析]　由題圖(c)可知，單擺完成40次全振動的時間t=60 s+15.6 s=75.6 s，所以單擺的周期為T= s=1.89 s。
(4)若單擺在任意擺角θ時的周期公式可近似為T=
T0，式中T0為擺角趨近于0°時的周期，a
為常數。為了用圖像法驗證該關系式，需要測量的物理
量有______；某同學在實驗中得到了如圖(d)所示的圖
線，則圖線的斜率表示______。
[解析]　根據T=T0可知，需要測量的物理量有T(或t、n)、θ。由T=T0，可得sin2=T-，所以圖線的斜率為。
T、θ　
[例2]　在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，由單擺做簡諧運動的周期公式得到g=，只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2 l圖像，就可以求出當地的重力加速度。理論上T2 l圖線是一條過坐標原點的直線，某同學根據實驗數據作出的圖像如圖所示。
考法(二)　數據處理和誤差分析
(1)造成圖線不過坐標原點的原因可能是______________________
________。
[解析]　T2-l圖線不通過坐標原點，將圖線向右平移1 cm會通過坐標原點，可知相同的周期下擺長偏小1 cm，故造成圖線不過坐標原點的原因可能是測量擺長時漏掉了擺球的半徑。
測量擺長時漏掉了擺球
的半徑
(2)由圖像求出的重力加速度g=_____m/s2(取π2=9.87)。
[解析]　由單擺周期公式T=2π，可得T2=l，則T2 l圖像的斜率為k=，由圖像得k= s2·m 1，解得g=9.87 m/s2。
9.87
(3)如果測得的g值偏小，可能的原因是____。
A.測擺長時擺線拉得過緊
B.擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C.開始計時時，秒表過遲按下
D.實驗時誤將49次全振動數為50次
B
[解析]　測擺長時擺線拉得過緊，則測量的擺長偏大，測得的重力加速度偏大，A不符合題意；擺線上端懸點未固定，振動中出現松動，使擺線長度增加了，知測量的擺長偏小，則測得的重力加速度偏小，B符合題意；開始計時時，秒表過遲按下，測量的周期偏小，則測得的重力加速度偏大，C不符合題意；實驗時誤將49次全振動數為50次，測量的周期偏小，則測得的重力加速度偏大，D不符合題意。
[微點撥]
圖像法求重力加速度
(1)圖像法處理數據既直觀又方便，同時也能最大限度地減小偶然誤差對實驗結果造成的影響。
(2)由于T l的圖像不是直線，不便于進行數據處理，所以采用T2 l的圖像，目的是將曲線轉換為直線，便于利用直線的斜率計算重力加速度。
[例3]　現代智能手機自帶了許多傳感器，利用智能手機軟件能夠采集傳感器記錄的數據。某同學在家根據軟件界面提示的原始傳感器，給出了2種測量重力加速度的方案：
方案1：使用“含(g)的加速度”模塊，令手機靜置在桌面上20 s，直接讀出重力加速度(圖一)；
考法(三)　源于經典實驗的創新考查
方案2：使用“擺”功能，該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺、長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，于小角度釋放。輸入擺長后，利用手機讀取周期，手機將計算出重力加速度(圖二)。
回答下列相關問題：
(1)根據方案2，可知手機計算重力加速度的表達式為g=_______ (用π、T、L表示)。
[解析]　根據單擺周期公式T=2π，得重力加速度的表達式為g=。
(2)與方案1測得的重力加速度g相比，方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因為_____。(填選項字母)
A.鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長測量不準
B.測量擺長的刻度尺量程太小，測擺長時多次移動產生了一定的誤差
C.鐵鎖質量過大，導致g測量誤差較大
AB
[解析]　方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因有：①鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長測量不準；②方案2是用長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖制成一個單擺，而該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，所以測量擺長的刻度尺量程太小，會導致測擺長時多次移動產生了一定的誤差。鐵鎖質量對重力加速度測量無影響。
(3)方案2重力加速度g計算結果誤差較大，該同學想到一個修
正方案(如圖三)：實驗時，可以在細線上的A點做一個標記，使得
懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程；保持該標記以下的細
線長度不變，通過改變OA間細線長度以改變擺長，當OA間細線長
度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，由此可測得
重力加速度g的數值，此方案計算g的表達式為_____ (填選項字母)。
A.g= B.g=
C.g= D.g=
A
[解析]　當OA間細線長度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，設A點到鐵鎖重心的距離為l，根據公式T=2π，可得T1=2π，T2=2π，解得g=。
[創新分析]
(1)利用現代智能手機自帶傳感器測量重力加速度。
(2)利用鐵鎖替代金屬小球測量當地的重力加速度，并通過修正方案提高測量g的精確度。
訓練評價——鞏固、遷移和發展
1.為了用單擺測量重力加速度g的值，有下列可供選擇的儀器：
A.米尺；
B.長約為1 m的細線且系直徑為1.8 cm的小鋼球；
C.長度為30 cm左右的細線且系直徑為1.8 cm的塑料球；
D.秒表；
E.打點計時器(包括紙帶、重錘、復寫紙)；
F.學生電源；
G.蓄電池；
H.鐵架臺；
I.天平。
(1)從上面所列的儀器中挑選必需的儀器有________(用符號表示)。
ABDH　
解析：實驗需要用到米尺來測量擺長，A符合；實驗過程中擺線需要盡量長一些，同時為了減小空氣阻力的影響，應選密度較大的鋼球，B符合，C不符合；實驗需要用到秒表來記錄時間，D符合；實驗過程不需要打點計時器與電源，E、F、G不符合；實驗過程需要用到鐵架臺來懸掛細線，H符合；實驗中不需要測質量，I不符合。故必需的儀器有A、B、D、H。
(2)實驗中，要求在小球通過_________ (填“最高點”或“最低點”)時開始計時。
最低點
解析：實驗中，要求在小球通過最低點時開始計時，因為在最高點計時誤差較大。
(3)若小球直徑為d，懸線長度為L，N次全振動的總時間為t，請寫出重力加速度的表達式g=_____________。
解析：單擺的擺長為l=L+，周期T=，由單擺周期公式T=2π，可得重力加速度g=。
(4)某個同學忘記測量小球直徑，他以懸線的長度L作為橫坐標、以T2作為縱坐標建立坐標系并描繪出多組數據點，如圖，請回答下列問題：
①畫出T2 L圖線；
②根據圖像，得到該圖線的斜率k=________________s2/m(結果保留2位有效數字)；
③請給出計算當地重力加速度的表達式為g=_____ (用含k的表達式)。
4.1(4.0~4.3均可)
解析：①通過描點作圖，使盡可能多的點落在圖像上，不在圖像上的點均勻分布在圖像兩側，圖線如圖所示。
③由單擺周期公式T=2π，得T2=，圖像斜率為k，得當地重力加速度的表達式為g=。
②通過圖像，得該圖線的斜率k= s2/m=4.1 s2/m。
2.(2023·新課標卷)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑。首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖(a)所示，該示數為_____________________mm；螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示，該示數為__________________
____________mm，則擺球的直徑為_________________________mm。
0.008(0.007~0.009均可)
20.035(20.034~
20.036均可)
20.027(20.025~20.029均可)
解析：測量前測微螺桿和測砧相觸時，題圖(a)的示數為d0=0.8×0.01 mm=
0.008 mm，螺旋測微器讀數是固定刻度讀數加可動刻度讀數，題圖(b)中讀數為d1=20.0 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm，則擺球的直徑為d=d1 d0
=20.027 mm。
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角______5°(填“大于”或“小于”)。
大于
解析：角度盤的大小一定，即在規定的位置安裝角度盤，測量的擺角準確，但將角度盤固定在規定位置上方，即角度盤到懸掛點的距離變短，同樣的角度，擺線在角度盤上掃過的弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角大于5°。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為______cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60 s，則此單擺周期為______s，該小組測得的重力加速度大小為_______m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9.870)
82.5
1.82
9.83
解析：單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為l=l0+=81.50 cm+
cm≈82.5 cm，一次全振動單擺經過最低點兩次，故此單擺的周期為T==s=1.82 s，由單擺的周期公式T=2π，可得重力加速度g=≈9.83 m/s2。
3.(2025年1月·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺
測量當地的重力加速度。實驗器材有：鐵架臺、
細線、擺球、秒表、卷尺等。完成下列問題：
(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在
鐵架臺上O點，如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置，
使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°)，由靜止釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差，應該在擺球擺至_______(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
最低點
解析：擺球經過最低點時速度最大，在相等的距離誤差上引起的時間誤差最小，測得周期的誤差最小，所以為了減小計時誤差，應該在擺球擺至最低點時開始計時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時，測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長，求得重力加速度大小為_____m/s2(取π2=9.870，結果保留3位有效數字)。
解析：根據題意可知擺球擺動的周期T==2.02 s，根據單擺周期公式T=2π，其中L=100.0 cm=1.000 m，代入數據解得g≈9.68 m/s2。
9.68
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數據匯總在下表中，在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線，如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設直線斜率為k，則重力加速度可表示為g=______ (用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為_____m/s2(結果保留3位有效數字)。
4π2k
9.69
解析：根據單擺周期公式T=2π，整理可得l=·T2 r，可知l T2圖線的斜率k=，則重力加速度可表示為g=4π2k；由題圖2求得當地的重力加速度大小為g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，原因是____________________________________________________。
解析：用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，其原因是用圖像法處理數據時，無論是否考慮擺球的半徑，l T2圖像的斜率均為，對重力加速度g的測量沒有影響。
4.(2025·漳州高二檢測)某學習小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗裝置如圖甲所示，將小磁鐵吸附在鋼質小球的正下方，當小球靜止時，將傳感器固定于小球正下方的水平桌面上；傳感器與電腦連接，可以將實時測量到的磁感應強度數據傳輸進電腦進行分析。
(1)下列說法正確的是_____。
A.小球應選擇體積大的
B.擺線應選擇彈性小、細些的
C.安裝單擺時，可將擺線一端直接纏繞在鐵架臺橫桿上
D.擺動過程中的最大擺角越大越好
B
解析：為了盡可能減小空氣阻力對實驗的影響，擺球盡量選擇質量較大、體積較小的，故A錯誤；擺線要選擇較細(盡可能減小空氣阻力對實驗的影響)、伸縮性較小(確保擺球擺動時擺長幾乎不變)、盡可能長一些的(減小擺長測量的相對誤差)，故B正確；安裝單擺時，不可將擺線一端直接纏繞在鐵架臺橫桿上，否則擺球運動過程中擺長會發生變化，故C錯誤；只有在擺線相對平衡位置的偏角很小的情況下(通常小于5°)，單擺才做簡諧運動，進而才能根據周期公式測量重力加速度，故D錯誤。
(2)學習小組利用刻度尺測量了懸掛點與小球上端的距離l=118.00 cm，用游標卡尺測量小球的直徑如圖乙所示，小球直徑 D=_____cm，不吸附小磁鐵時，擺長 L=________cm。
2.00
119.00
解析：小球直徑為D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm，不吸附小磁鐵時，擺長L=l+=119.00 cm。
(3)小球擺動穩定后，使傳感器開始工作，利用電腦得出磁感應強度大小B隨時間t變化的圖像如圖丙。此單擺的周期 T=_____s。
解析：擺球一個周期內兩次經過最低點，根據題圖丙可知單擺周期為T=2.2 s。
2.2
(4)學習小組利用多組實驗數據繪制了L與T2關系圖像如圖丁，由圖像可計算得到當地的重力加速度 g=_____m/s2(結果保留兩位有效數字，π2=9.8)。
9.6
解析：根據單擺周期公式T=2π，變形可得L=T2，可知L T2圖像斜率為= m/s2，解得g≈9.6 m/s2。
(5)小組中有同學提出，小球與小磁鐵整體重心的位置不在小球的球心，這可能會影響到對重力加速度的測量。若僅考慮這一因素，第(4)問得到的g值與實際值相比將_______ (選填“偏大”“偏小”或“相等”)。
相等
解析：設小球與小磁鐵整體重心的位置在小球的球心下方r處，根據單擺周期公式可得T=2π，整理得L=T2 r，根據表達式可知不影響所作圖線的斜率，所以由斜率計算出的重力加速度值相比實際值將相等。

展開更多......

收起↑