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(共72張PPT)
第一章　運動的描述 勻變速直線運動
思維進階課一　運動圖像和追及相遇問題
[學習目標]　1．掌握圖像的意義，會利用其截距、斜率、面積等，確定物體運動情況，解決物體運動問題。
2．掌握運動學圖像間的相互轉化。
3．熟練運用運動學公式及運動學圖像解決追及相遇的綜合問題。
x-t圖像 v-t圖像
圖像
意義 傾斜直線表示勻速直線運動；曲線表示變速直線運動 傾斜直線表示勻變速直線運動；曲線表示變加速直線運動
進階1　運動學中的兩種典型圖像
1．x-t圖像與v-t圖像的比較
x-t圖像 v-t圖像
特別之處 兩條圖線的交點表示相遇 圖線與時間軸所圍面積表示位移，斜率表示加速度
運動情況 甲做勻速直線運動，乙做速度逐漸減小的直線運動 丙做勻加速直線運動，丁做加速度逐漸減小的變加速直線運動
x-t圖像 v-t圖像
位移 0～t1時間內甲、乙位移相等 0～t2時間內丁的位移大于丙的位移
平均速度 0～t1時間內甲、乙平均速度相等 0～t2時間內丁的平均速度大于丙的平均速度
2．x-t圖像與v-t圖像的說明
(1)x-t圖像與v-t圖像都只能描述直線運動，且均不表示物體運動的軌跡。
(2)分析圖像要充分利用圖像與其所對應的物理量的函數關系。
(3)識圖方法：一軸、二線、三斜率、四面積、五截距、六交點。
角度1　x-t圖像
[典例1]　(多選)一輛汽車在教練場上沿著平直道路行駛，以x表示它相對于出發點的位移，如圖為汽車在t＝0到t＝40 s這段時間的x-t圖像。下列分析正確的是(　　)
A．汽車離出發點最遠的距離為30 m
B．汽車在10～20 s內勻速運動
C．汽車在40 s末回到出發點
D．汽車在20～40 s內加速度為1.5 m/s2
√
√
AC　[汽車在0～10 s內勻速駛離出發點，10～20 s內靜止，20～40 s內勻速駛回出發點，離出發點最遠的距離為30 m，40 s末回到出發點，故A、C正確，B錯誤；汽車在20～40 s內做勻速直線運動，加速度a＝0，故D錯誤。]
角度2　v-t圖像
[典例2]　(2024·廣東佛山一模)跳板跳水是我國的奧運強項，從運動員離開跳板開始計時，其v-t圖像如圖所示，圖中僅0～t2段為直線，不計空氣阻力，則由圖可知(　　)
A．0～t1段運動員做加速運動
B．0～t2段運動員的加速度保持不變
C．t3時刻運動員剛好接觸到水面
D．t3～t4段運動員的加速度逐漸增大
√
B　[由題圖可知，0～t1段運動員向上做勻減速運動，選項A錯誤；根據v-t圖像斜率表示加速度結合題意可知，0～t2段運動員的加速度保持不變，選項B正確；由題意可知0～t2段運動員的加速度為重力加速度，t2時刻運動員剛好接觸水面，t3時刻運動員速度達到最大，運動員受到合力為零，故C錯誤；根據v-t圖像斜率表示加速度可知，t3～t4段運動員的加速度先增大后減小，故D錯誤。]
角度3　運動圖像間的轉換
[典例3]　某駕校學員在教練的指導下沿直線路段練習駕駛技術，汽車的位置x與時間t的關系如圖所示，則汽車行駛速度v與時間t的關系圖像可能正確的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
A　[x-t圖像斜率的物理意義是速度，在0～t1時間內，x-t圖像斜率增大，汽車的速度增大；在t1～t2時間內，x-t圖像斜率不變，汽車的速度不變；在t2～t3時間內，x-t圖像的斜率減小，汽車做減速運動，綜上所述可知A中v-t圖像可能正確，故選A。]
規律方法　“三步”巧解運動學圖像問題
進階2　運動學中的非常規圖像
1．勻變速直線運動的四類非常規圖像
(1)a-t圖像：由v＝v0＋at可知圖像與時間軸所圍面積表示速度變化量Δv，如圖甲所示。
(2)-t圖像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，圖像的斜率為a，縱截距為v0，如圖乙所示。
(3)v2-x圖像：由＝2ax可知v2＝＋2ax，圖像斜率為2a，縱截距為，如圖丙所示。
(4)a-x圖像：由＝2ax可知ax＝，圖像與x軸所圍面積表示速度平方的變化量的一半，如圖丁所示。
2．解題技巧
(1)用函數思想分析圖像：圖像反映了兩個變量(物理量)之間的函數關系，因此要由運動學公式推導出兩個物理量間的函數關系，來分析圖像的意義。
(2)要注意應用解析法和排除法，兩者結合會提高選擇題圖像類題型的解題準確率和解題速度。
角度1　a-t圖像的應用
[典例4]　(多選)(2023·湖北卷)t＝0時刻，質點P從原點由靜止開始做直線運動，其加速度a隨時間t按圖示的正弦曲線變化，周期為2t0。在0～3t0時間內，下列說法正確的是(　　)
A．t＝2t0時，P回到原點
B．t＝2t0時，P的運動速度最小
C．t＝t0時，P到原點的距離最遠
D．t＝t0時，P的運動速度與t＝t0時相同
√
√
BD　[質點在0～t0時間內從靜止出發先做加速度增大的加速運動再做加速度減小的加速運動，此過程一直向前加速運動，t0～2t0時間內加速度和速度反向，先做加速度增大的減速運動再做加速度減小的減速運動，2t0時刻速度減速到零，此過程一直向前做減速運動，2t0～4t0時間重復此過程的運動，即質點一直向前運動，A、C錯誤，B正確；a-t圖像的面積表示速度變化量，～t0內速度的變化量為零，因此時刻的速度與t0時刻的速度相同，D正確。]
角度2　-t與v2-x圖像的應用
[典例5]　(2025·山東濟南高三階段檢測)一個物體在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，從靜止開始做勻加速直線運動，從靜止開始計時的-t圖像如圖甲所示，v2-x圖
像如圖乙所示，據圖像的特點與信息分
析，下列說法正確的是(　　)
A．x＝1 m時物體的速度為8 m/s
B．圖乙的斜率是圖甲的斜率的2倍
C．圖甲中的y＝8 m/s
D．t＝1 s時物體的速度為4 m/s
√
D　[當x＝1 m，由題圖乙可知v2＝8 m2/s2，解得v＝2 m/s，故A錯誤；由初速度為0的勻加速直線運動規律可得x＝at2，則有＝t，可得題圖甲的斜率為k甲＝＝，由v2＝2ax可知，題圖乙的斜率為
k乙＝2a＝8 m/s2，解得a＝4 m/s2，則k乙＝4k甲，題圖甲中的y＝4 m/s，故B、C錯誤；t＝1 s時物體的速度為v′＝at＝4 m/s，故D正確。故選D。]
角度3　a-x圖像的應用
[典例6]　某型無人駕駛的智能汽車，為了增加乘員乘坐舒適性，程序設定汽車制動時汽車加速度大小隨位移均勻變化。某次測試汽車 “a-x” 關系圖像如圖所示，汽車制動距離為 12 m。 則關于該次測試，下列說法中正確的是(　　)
A．汽車做勻減速直線運動
B．汽車開始制動時的速度大小為12 m/s
C．汽車開始制動時的速度大小為6 m/s
D．汽車制動時間為 s
√
C　[汽車制動過程，由題圖可知其加速度a隨位移x均勻增大，故汽車做加速度逐漸增大的減速運動，故A錯誤；根據勻變速運動的速度位移公式＝2ax，可知a-x圖線與x軸所圍圖形的面積表示速度平方變化量的一半，則汽車制動中，有＝2××(－6)×12 (m2/s2)，可得汽車開始制動時的速度大小為v0＝6 m/s，故B錯誤，C正確；剎車過程中最大加速度為6 m/s2，如果一直以最大加速度剎車，所用的時間為t′＝＝ s，實際加速度是逐漸增大的，所以汽車制動時間一定大于 s，故D錯誤。]
進階3　追及相遇問題
1．掌握“一個條件”和“兩個關系”
(1)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
(2)兩個關系：即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫過程示意圖得到。
2．把握“兩種情境”
物體A追物體B，開始二者相距x0，則：
(1)A追上B時，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

(2)兩物體恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。
3．應用“三種方法”
(1)臨界法：尋找問題中隱含的臨界條件，例如，速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，若追不上，則在兩物體速度相等時有最小距離。
(2)函數法：設兩物體在t時刻相遇，然后根據位移關系列出兩物體之間的距離關于t的方程Δx＝f(t)，若方程f(t)＝0無正實數解，則說明這兩個物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實數解，說明這兩個物體能相遇。
(3)圖像法：①若用位移—時間圖像求解，分別作出兩個物體的位移—時間圖像，如果兩個物體的位移—時間圖線相交，則說明兩物體相遇。②若用速度—時間圖像求解，則注意比較速度—時間圖線與時間軸包圍的面積。
角度1　圖像中的追及相遇問題
[典例7]　(多選)(2024·廣西河池一模)甲、乙兩輛車初始時相距
1 200 m，甲車在后、乙車在前，乙車在8 s時刻開始運動，它們在同一直線上做勻變速直線運動，速度—時間圖像如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．乙車的加速度大小為0.42 m/s2
B．兩輛車在t＝36 s時速度相等
C．兩輛車可能相撞
D．甲車停下時，乙車在甲車前面391 m處
√
√
BD　[乙車的加速度為a2＝＝ m/s2＝0.5 m/s2, 故A錯誤；甲車加速度a1＝＝＝－1 m/s2，兩車速度相等時，有v1＋a1t＝a2(t－8 s)，可得t＝36 s，故B正確；兩車速度相等時，距離最小，此時甲車的位移為x甲＝＝1 152 m，乙車的位移為x乙＝a2(t－8 s)2＝196 m，兩車之間的最小距離為xmin＝x乙＋x0－x甲＝
244 m，則兩車不相撞，故C錯誤；甲車停下時，位移為x1＝t0＝
1 250 m，此時乙車的位移為x2＝2＝441 m，則兩車之間距離為Δx＝x2＋x0－x1＝391 m，故D正確。]
[典例8]　(多選)如圖甲所示，A車和B車在同一平直公路的兩個平行車道上行駛，該路段限速 54 km/h。 當兩車車頭平齊時開始計時，兩車運動的位移—時間圖像如圖乙所示，0～5 s時間內，A車的圖線是拋物線的一部分，B車的圖線是直線，在兩車不違章的情況下，下列說法正確的是(　　)
A．A車運動的加速度大小為1 m/s2
B．t＝3.5 s時，兩車的速度相同
C．A車追上B車的最短時間為7.2 s
D．兩車相遇兩次
√
√
BC　[由勻變速直線運動規律可知x＝v0t＋at2，由題圖乙可知當t＝2 s時x＝10 m，當t＝5 s時x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A錯誤；由題圖乙可知B車勻速運動的速度vB＝ m/s＝10 m/s, 由勻變速直線運動規律可得vA＝v0＋at，當vA＝vB時，解得t＝3.5 s，故B正確；A車加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做勻速運動，追上B車的時間最短，由vmax＝v0＋at0，可知A車的加速時間t0＝6 s，A車追上B車時滿足vBt＝＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A車速度大于B車，不會再相遇，故C正確，D錯誤。]
角度2　與生活情境結合的追及相遇問題
[典例9]　(一題多法)在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為0、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應滿足什么條件。
思路點撥：要使兩車恰好不相撞，A車追上B車時其速度只能與B車相等。設A、B兩車從相距s到A車追上B車時，A車的位移為sA、末速度為vA、所用時間為t，B車的位移為sB、末速度為vB，兩者的運動過程如圖所示。
[解析]　解法一　臨界法
利用位移公式、速度公式求解
對A車有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
對B車有sB＝at2，vB＝at
對兩車有s＝sA－sB
追上時，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB
聯立以上各式解得v0＝
故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0<。
解法二　函數法
利用判別式求解，由法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
這是一個關于時間t的一元二次方程，當根的判別式(－2v0)2－4×3a×2s<0時，t無實數解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0<。
解法三　圖像法
利用速度—時間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時間圖像，其圖像如圖所示
設經過t′時間兩車剛好不相撞，則對A車有
vA＝v′＝v0－2at′
對B車有vB＝v′＝at′
以上兩式聯立解得t′＝
經t′時間兩車發生的位移大小之差，即原來兩車間的距離s，它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知s＝v0·t′＝v0·＝，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應滿足的條件是v0<。
[答案]　v0<
思維進階特訓(一)
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1．(2024·新課標卷)一質點做直線運動，下列描述其位移x或速度v隨時間t變化的圖像中，可能正確的是(　　)
√
C　[任何時刻質點的速度與位移都是唯一的，C可能正確，A、B、D錯誤。]
題號
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2．(2024·安徽合肥三模)A、B兩個質點在同一地點沿同一方向運動，運動的位移x隨時間t變化的規律如圖所示，A的圖像為拋物線，B的圖像為傾斜直線，兩圖像相切于P點，則0～3 s內，A、B兩質點的最大距離為(　　)
A．4.5 m B．6 m
C．9 m D．13.5 m
√
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A　[由題圖可知，A做的是初速度為零的勻加速直線運動，B做的是勻速直線運動，t＝3 s時A、B的速度大小相等，為v＝ m/s＝12 m/s，A的加速度a＝＝4 m/s2，由于t＝3 s前，A的速度總比B的速度小，因此t＝1.5 s時，A、B間的距離最大，即最大距離xm＝×4×1.52 m＝4.5 m，故選A。]
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3．(2024·河北卷)籃球比賽前，常通過觀察籃球從一定高度由靜止下落后的反彈情況判斷籃球的彈性。某同學拍攝了該過程，并得出了籃球運動的v -t圖像，如圖所示。圖像中a、b、c、d四點中對應籃球位置最高的是(　　)
A．a點 B．b點
C．c點 D．d點
√
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A　[由題意可知題圖中v<0表示籃球在向下運動，v>0表示籃球在向上運動，由v-t圖像與直線v＝0所圍圖形的面積表示位移大小可知，v＝0上方的圖像面積S上減去v＝0下方的圖像面積S下的值越大，對應的籃球位置越高，結合題圖可知a、b、c、d四點中對應籃球位置最高的是a點，A正確。]
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4．(2024·貴州黔東南三模)兩輛可視為質點的小汽車a、b從同一地點出發，它們的v-t圖像如圖所示。下列說法正確的是(　　)
A．b車啟動時，a車在其前方2 m處
B．b車啟動后經過3 s追上a車
C．在b車追上a車之前，3 s時兩車相距最遠
D．b車追上a車后，兩車可能會再次相遇
√
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C　[由題圖可知，t＝2 s時b車啟動，v-t圖像與時間軸圍成的面積代表位移，可知在b車啟動時，a車在其前方的距離超過2 m，A選項錯誤；b車做勻加速直線運動的加速度大小為a＝＝2 m/s2，假設b車啟動后3 s時間追上a車，計算得xb＝8 m，由題圖知xa>8 m，則假設不成立，B選項錯誤；b車追上a車前，兩者速度相等時相距最遠，即t＝3 s，C選項正確；b車超越a車后，b車的速度一直大于a車，則兩車不可能相遇，D選項錯誤。]
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5．一位醫生需坐車去外地，當他趕到汽車站時，車已經沿平直公路駛離車站，聽到呼喊后汽車馬上以 的加速度勻減速剎車，設醫生同時以4 m/s的速度勻速追趕汽車。已知汽車開始剎車時速度為8 m/s，減速前距離醫生12 m，則醫生追上汽車所需的時間為
(　　)
A．6 s B．7 s
C．8 s D．9 s
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B　[假設汽車速度減為0后醫生追上汽車，汽車速度減為0的時間為t1＝＝ s＝4 s，汽車速度減為0的位移為x＝＝ m＝16 m，醫生追上汽車的位移x′＝x0＋x＝(12＋16) m＝28 m，醫生追上汽車的時間t＝＝ s＝7 s>t1，故假設成立，所以醫生追上汽車所需的時間為7 s，故B正確，A、C、D錯誤。]
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6．滑雪運動是冬季奧運會主要的比賽項目。如圖所示，水平滑道上運動員A、B間距x0＝10 m。運動員A以速度v0＝5 m/s向前勻速運動。同時運動員B以初速度v1＝8 m/s向前勻減速運動，加速度大小a＝2 m/s2，運動員A在運動員B繼續運動x1后追上運動員B，則x1的大小為(　　)
A．4 m B．10 m
C．16 m D．20 m
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C　[運動員B做勻減速直線運動，速度減為零的時間為tB＝＝4 s，此時運動員A的位移為xA＝v0tB＝20 m，運動員B的位移為xB＝tB＝16 m，因為xA題號
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7．(多選)兩輛汽車A、B在相鄰車道以不同的速度勻速行駛，前方十字路口紅燈，兩車開始剎車時并排行駛，如圖甲所示，車頭到前方停車線的距離均為 20 m, 最終兩車頭均恰好到達停車線前。以兩車并排行駛時車頭所在處為位移0點并開始計時，以汽車運動方向為正方向建立x軸，汽車A的x-t圖像如圖乙所示，是開口向下的拋物線的一部分，汽車B的v-t圖像為如圖丙所示的直線，下列說法正確的是(　　)
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A．兩汽車同時到達停車線前
B．汽車A的初速度大小為8 m/s
C．汽車B的加速度大小為1 m/s2
D．兩車頭沿運動方向的最大距離為 m
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BD　[B車做的是勻減速運動，則x＝tB＝20 m，解得tB＝8 s，而A車到達停車線只花了5 s，故A錯誤；因為汽車A的x-t圖像如圖乙所示，是開口向下的拋物線的一部分，則汽車A做勻減速直線運動，則汽車A的初速度大小為vA＝2＝＝8 m/s，B正確；汽車B的加速度大小為a＝＝ m/s2＝0.625 m/s2，C錯誤；兩車速度相等時，兩車頭沿運動方向的距離最大，汽車A的加速度大小為＝1.6 m/s
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則8－1.6t＝5－0.625t，解得t＝ s，此時兩車速度相等，為v＝
m/s，兩車頭沿運動方向的最大距離為Δx＝t－t＝ m，D正確。]
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8．(2024·河北保定一模)一物體做勻加速直線運動，從計時開始的t-1-xt-2函數關系圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．物體的初速度為1 m/s
B．物體的加速度為2 m/s2
C．前3 s內物體的位移為10.5 m
D．第3 s內物體的平均速度為5 m/s
√
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C　[根據x＝v0t＋at2得＝×－，結合圖像可知＝ s·m-1，
－＝－0.25 s-1，物體的初速度和加速度分別為v0＝2 m/s，a＝1 m/s2，A、B錯誤；前3 s內物體的位移為x＝v0t＋at2＝ m＝10.5 m，C正確；前2 s內物體的位移為x′＝＝ m/s＝4.5 m/s，D錯誤。]
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9．一物體做直線運動的v-t圖像如圖所示，則下列根據v-t圖像作出的加速度—時間(a-t)圖像和位移—時間(x-t)圖像正確的是(　　)
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C　　　　 　　　　D
A　[由題圖知，在0～1 s內，物體做勻速直線運動，加速度a1＝0，位移x＝vt，x與t成正比；在1～3 s內，物體的加速度不變，做勻變速直線運動，加速度a2＝－1 m/s2，位移為x＝v1(t－1 s)＋a2(t－
1 s)2＝ m，可知x-t圖像是開口向下的拋物線；3～
5 s內，物體沿負方向做勻減速直線運動，加速度a3＝0.5 m/s2，位移為x＝－v3(t－3 s)＋a3(t－3 s)2，x-t圖像是開口向上的拋物線，且 3～5 s內物體的位移為－1 m。綜上所述，A正確。]
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10．(多選)(2024·福建龍巖一模)如圖所示為物體做直線運動的圖像，下列說法正確的是(　　)
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A．甲圖中，物體在0～t0時間內的位移大于v0t0
B．乙圖中，物體的加速度為1 m/s2
C．丙圖中，陰影面積表示t1～t2時間內物體的末速度
D．丁圖中，t＝1 s時物體的速度為5 m/s
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√
AD　[根據v-t圖像中，圖線與橫軸圍成的面積表示位移，由題圖甲可知，物體在這段時間內的位移x>，故A正確；根據運動學公式2ax＝可得v2＝，可知v2-x圖像中圖線的斜率為2a，由題圖乙可得，物體的加速度為0.5 m/s2，故B錯誤；根據a-t圖像中圖線與橫軸所圍面積表示速度的變化量可知，題圖丙中，陰影面積表示t1～t2時間內物體的速度變化量，故C錯誤；根據運動學公式x＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，結合題圖丁可得v0＝－5 m/s，a＝10 m/s2，由運動學公式v＝v0＋at，可得t＝1 s時物體的速度為v＝5 m/s, 故D正確。]
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11．(2024·廣東華南師大附中模擬)如圖甲所示，A車原來臨時停在一水平路面上，B車在后面勻速向A車靠近，A車司機發現后啟動A車，以A車司機發現B車時為計時起點(t＝0)，A、B兩車的v-t圖像如圖乙所示。已知B車在第1 s內與A車的距離縮短了x1＝12 m。
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(1)求B車運動的速度vB和A車的加速度a的大小；
(2)若A、B兩車不會相撞，則A車司機發現B車時(t＝0)兩車的距離x0應滿足什么條件？
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[解析]　(1)在t1＝1 s時，A車剛啟動，則在第1 s內兩車間縮短的距離為B車的位移，可得x1＝vBt1
解得B車的速度大小為vB＝12 m/s
v-t圖像斜率表示加速度，可得A車的加速度大小為a＝，其中t2＝5 s
解得A車的加速度大小為a＝3 m/s2。
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(2)兩車的速度達到相同時，兩車的距離達到最小，對應題圖乙中v-t圖像的t2＝5 s時刻，此時兩車已發生的相對位移為梯形的面積，則x＝vB(t1＋t2)
代入數據解得x＝36 m
因此，若A、B兩車不會相撞，則兩車的距離應滿足條件為x0>36 m。
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[答案]　(1)12 m/s　3 m/s2　(2)x0>36 m
謝 謝 ！

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