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(共61張PPT)
第二章　相互作用——力
思維進階課二　共點力的動態平衡和平衡中的臨界與極值問題
[學習目標]　1．學會運用解析法、圖解法等分析處理動態平衡問題。
2．會分析平衡中的臨界與極值，并會進行相關計算。
進階1　共點力的動態平衡
1．動態平衡是指物體的受力狀態緩慢發生變化，但在變化過程中，每一個狀態均可視為平衡狀態。常用方法：圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法等。
2．動態平衡問題分析
角度1　解析法的應用
1．對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2．根據物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關系表達式(通常要用到三角函數)。
3．根據自變量的變化確定因變量的變化。
[典例1]　如圖所示，繞過滑輪的輕繩一端固定在豎直墻面上，站在地面上的人用手拉著繩的另一端，滑輪下吊著一個小球，處于靜止狀態，不計滑輪摩擦。保持B點高度不變，手與繩無相對滑動且球不碰地。在人緩慢向右移動一小段距離的過程中(　　)
A．繩上張力變大
B．人對地面的壓力變大
C．滑輪受到繩的作用力不變
D．地面對人的摩擦力變大
√
C　[對滑輪與小球整體受力分析，設整體的質量為m，滑輪受到繩的作用力為F，根據平衡條件，有F＝mg，方向豎直向上，則滑輪受到繩的作用力不變，C正確；設滑輪兩邊繩上的張力大小均為T，繩間的夾角為θ，根據平衡條件，有2T cos ＝mg，解得T＝，人緩慢向右移動一小段距離的過程中，θ逐漸減小，cos 變大，則繩上的張力T變小，A錯誤；對人受力分析，設地面對人的支持力為
N，摩擦力為f，根據平衡條件，有N＝m人g＋T cos ，f＝T sin ，聯立解得N＝m人g＋mg，f＝mg tan ，根據牛頓第三定律，可知人對地面的壓力為N′＝N＝m人g＋mg，則隨著人緩慢向右移動，θ變小，人對地面的壓力N′不變，地面對人的摩擦力f變小，B、D錯誤。]
角度2　圖解法的應用
物體受三個力作用并處于平衡狀態：一個力恒定，另一個力的方向恒定時可用此法。由三角形中邊長的變化知力的大小的變化，還可判斷出極值。
[典例2]　(多選)如圖所示，足夠長的斜面固定在水平地面上，斜面上有一光滑小球，跨過滑輪的細線一端系住小球，另一端系在豎直彈簧的上端，彈簧的下端固定在地面上。手持滑輪，系統處于平衡狀態。若滑輪在手的控制下緩慢向下移動，直到拉著小球的細線與斜面平行，則這一過程中(　　)
A．彈簧彈力先減小后增大
B．彈簧彈力逐漸減小
C．斜面對小球支持力逐漸減小
D．斜面對小球支持力逐漸增大
√
√
BD　[在緩慢移動過程中，小球在重力G、斜面對其的支持力FN和細線上的張力FT三力的作用下保持動態平衡，故三個力可以構成一個封閉的矢量三角形，如圖所示，因G的大小和方向始終不變，FN的方向不變，大小可變，FT的大小、方向都在變，因此可以作出一系列矢量三角形，由圖可知，FN逐漸增大，FT只
能變化到與FN垂直，故FT是逐漸變小的，因彈簧
彈力與FT大小相等，則彈簧彈力逐漸減小，選項
B、D正確，A、C錯誤。]
角度3　相似三角形法的應用
物體受三個力平衡，其中一個力恒定，另外兩個力的方向同時變化，當所作“力的矢量三角形”與空間的某個“幾何三角形”總相似時，可利用相似三角形對應邊成比例進行計算。
[典例3]　(2024·河北唐山高三統考)如圖所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O為光滑鉸鏈。輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接一質量為m的小球A。現將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑的定滑輪O′由力F牽引，定滑輪位于O的正上方，整個系統處于靜止狀態。現改變力F的大小使小球A和輕桿
從圖示位置緩慢運動到O′正下方，木板始終保持
靜止，則在整個過程中(　　)
A．外力F大小不變
B．輕桿對小球的作用力大小變小
C．地面對木板的支持力逐漸變小
D．地面對木板的摩擦力逐漸減小
√
D　[對小球A進行受力分析，三力構成矢量三角形，如圖所示，根據幾何關系可知兩三角形相似，因此＝＝。緩慢運動過程O′A越來越小，則F逐漸減小，故A錯誤；由于OA長度不變，桿對小球的作用力大小不變，故B錯誤；對木板，由于桿對木板的作用力大小不變，方向向右下，但桿的作用力與豎
直方向的夾角越來越小，所以地面對木板的支
持力逐漸增大，地面對木板的摩擦力逐漸減
小，故C錯誤，D正確。]
角度4　輔助圓法的應用
如圖所示，物體受三個共點力作用而平衡，其中一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態的矢量三角形，利用兩力夾角不變，可以作出動態圓(也可以
由正弦定理列式求解)，恒力為圓的一條弦，根據不
同位置判斷各力的大小變化。
[典例4]　(一題多法)(多選)如圖所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　)
A．MN上的張力逐漸增大
B．MN上的張力先增大后減小
C．OM上的張力逐漸增大
D．OM上的張力先增大后減小
√
√
AD　[解法一　以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN繩上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F1、F2的夾角不變，在F2轉至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、
D正確，B、C錯誤。
解法二　正弦定理
根據正弦定理＝＝，其中θ3＝π－α，mg與 保持不變，sin θ1變大，則F1變大，sin θ2先增大后減小，則F2先增大后減小，故選AD。]
進階2　平衡中的臨界與極值問題
1．臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。
2．極值問題
平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
3．解決極值問題和臨界問題的方法
(1)極限分析法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。
(2)數學分析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值)。
(3)物理分析法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值。
角度1　極值問題
[典例5]　質量為M的木楔傾角為θ(θ<45°)，在水平面上保持靜止，當將一質量為m的木塊放在木楔斜面上時，它正好勻速下滑。當用與木楔斜面成α角的力F拉木塊時，木塊勻速上滑，如圖所示(已知木楔在整個過程中始終靜止，木塊與木楔間的
動摩擦因數為μ，重力加速度為g)。下列結論正
確的是(　　)
A．當α＝0時，F有最小值，最小值為mg sin θ＋μmg cos θ
B．當α＝0時，F有最小值，最小值為mg sin θ
C．當α＝θ時，F有最小值，最小值為mg sin θ＋μmg cos θ
D．當α＝θ時，F有最小值，最小值為mg sin 2θ
√
D　[木塊在木楔斜面上勻速下滑時，有mg sin θ＝μmg cos θ，木塊在力F的作用下沿斜面勻速上滑時，由平衡條件得F cos α＝mg sin θ＋Ff，F sin α＋FN＝mg cos θ，且Ff＝μFN，聯立解得F＝＝＝，當α＝θ時，F有最小值Fmin＝mg sin 2θ，故選D。]
角度2　臨界問題
[典例6]　2024年夏季我國部分地區遭受極端高溫天氣，為保證空調冷氣不外漏，很多辦公室都安裝了簡易自動關門器，該裝置的原理可以簡化為用一彈簧拉著的門，某次門在關閉時被卡住，細心的小明發現了門下縫隙處塞緊了一個木楔，側面如圖所示，已知木楔質量為m，其上表面可視作光滑，下表面與水平地面間的動摩擦因
數為μ，木楔上表面與水平地面間夾角為θ，重
力加速度為g，木楔尺寸比門小很多，最大靜摩
擦力近似等于滑動摩擦力。
(1)若門推動木楔在地板上緩慢勻速移動，求門下端對木楔上表面的壓力大小；
(2)小明研究發現，存在臨界角θ0，若木楔傾角θ≤θ0，不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔都能將門卡住而不再運動，求這一臨界角的正切值tan θ0。
[解析]　(1)對木楔受力分析，其受到重力、壓力、支持力和摩擦力，如圖所示
若門推動木楔在地板上緩慢勻速移動
豎直方向有N＝N1cos θ＋mg
水平方向有f＝N1sin θ
最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，則
f＝μN＝μ(N1cos θ＋mg)
聯立解得N1＝。
(2)不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔都能將門卡住而不再運動，即
N1sin θ≤μ(N1cos θ＋mg)
若木楔質量較小，近似為零，則可得tan θ≤μ
故臨界角的正切值為tan θ0＝μ。
[答案]　(1)　(2)μ
思維進階特訓(二)
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1．(2024·重慶高三診斷)如圖甲所示是古代某次測量弓力時的情境，圖乙為其簡化圖，弓弦掛在固定點O上，弓下端掛一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的彈性繩，重物質量增減時弓弦始終處于彈性限度內，不計弓弦的質量和O點處的摩擦，忽略弓身的形變，則(　　)
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A．若減少重物的質量，OA與OB的夾角不變
B．若增加重物的質量，OA與OB的夾角減小
C．若減少重物的質量，弓弦的長度不變
D．若增加重物的質量，弓弦的長度變短
√
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B　[設弓弦的張力為F，兩側弓弦與豎直方向夾角為θ，根據平衡條件公式有2F cos θ＝mg，增加重物質量，θ減小，OA與OB的夾角減小，根據胡克定律可知，弓弦的長度變長。反之，減小重物質量，OA與OB的夾角增大，弓弦的長度變短。故選B。]
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2．(多選)(2025·云南玉溪第一中學階段檢測)如圖所示，輕繩OA將一質量為m的小球懸掛于O點，OA與豎直方向的夾角為β＝30°，在水平力F作用下，小球靜止，重力加速度為g。現使力F沿逆時針方向緩慢旋轉至豎直向上，小球位置始終不變，上述過程中(　　)
A．小球的合力逐漸減小
B．力F先減小后增大
C．輕繩OA對小球的拉力先增大再減小
D．力F最小值為mg
√
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BD　[由于小球一直保持靜止，因此小球的合力一直為零，故A錯誤；小球受重力mg、拉力F和輕繩的拉力FT，其中重力的大小和方向均不變，輕繩的拉力的方向不變。三力平衡時，三個力可以構成首尾相連的矢量三角形，如圖所示，力F沿逆時針方向緩慢旋轉時，由圖可看出，力F先減小后增大，且當力F與水平方向的夾角為30°時，
F最小，最小值為Fmin＝mg sin 30°＝mg，而輕繩
OA上的拉力FT一直減小，故B、D正確，C錯誤。]
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3．如圖所示，固定在豎直平面內的光滑圓環的最高點有一個光滑的小孔。質量為m的小球套在圓環上，一根細線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住。現拉動細線，使小球沿圓環緩慢上移，在移動過程中，手對細線的拉力F和圓環對小球的彈力FN的大小變化情況是(　　)
A．F不變，FN增大 B．F不變，FN減小
C．F減小，FN不變 D．F增大，FN減小
√
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C　[小球沿圓環緩慢上移可看成小球始終受力平衡，對小球進行受力分析，作出受力示意圖如圖所示，由三角形相似，得＝＝，當A點上移時，半徑R不變，AB長度減小，
故F減小，FN不變，故C正確。]
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4．(2024·廣東湛江一模)如圖甲所示，用瓦片做屋頂是我國建筑的特色之一。鋪設瓦片時，屋頂結構可簡化為圖乙所示，建筑工人將瓦片輕放在兩根相互平行的檁條正中間后，瓦片靜止在檁條上。已知檁條間距離為d，檁條與水平面夾角均為θ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。下列說法正確的是(　　)
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A．僅減小θ時，瓦片與每根檁條間的摩擦力的合力變大
B．僅減小θ時，瓦片與每根檁條間的彈力的合力變小
C．僅減小d時，瓦片與每根檁條間的彈力變大
D．僅減小d時，瓦片可能會下滑
√
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D　[檁條給瓦片的支持力如圖所示，設兩檁條給瓦片的支持力與檁條垂直向上的夾角為α，則有 2F cos α＝mg cos θ，若僅減小檁條間的距離d時，夾角α變小，則兩檁條給瓦片的支持力F變小，故瓦片與每根檁條間的彈力變小，最大靜摩擦力變小，則瓦片可能下滑，故C錯誤，D正確；若僅減小θ時，根據f＝mg sin θ可知瓦片與檁條間的摩擦力的合力變小，根據2F cos α＝
mg cos θ可知，若僅減小θ時，瓦片與檁條
間的彈力的合力變大，故A、B錯誤。]
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5．某位同學用筷子將質量分布均勻的小球夾起懸停在空中，如圖所示，已知球心O與兩根筷子在同一豎直面內，小球質量為0.2 kg，筷子與豎直方向之間的夾角均為37°，筷子與小球表面間的動摩擦因數為0.875(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，取重力加速度g＝10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 則每根筷子對小球的壓力至少為(　　)
A．5 N B．7.5 N
C．10 N D．12.5 N
√
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C　[筷子對小球的壓力最小，且小球懸停在空中，此時小球有下滑的趨勢，摩擦力為最大靜摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在豎直方向上有2f cos θ－2N sin θ＝mg，f＝μN，聯立解得N＝＝10 N，A、B、D錯誤，C正確。]
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6．(2024·河北保定一模)如圖所示，粗糙水平地面上放有橫截面為圓的柱狀物體A，A與墻面之間放有表面光滑的圓柱形物體B，A、B均保持靜止。若將A向左移動少許，A、B仍保持靜止，下列說法正確的是(　　)
A．B對A的作用力不變
B．墻對B的作用力不變
C．地面對A的摩擦力不變
D．地面對A的支持力不變
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D　[對物體B受力分析，受到重力mg、A對B的支持力N′和墻對B的支持力N，如圖甲所示，當A向左移動后，A對B的支持力N′的方向不斷變化，根據平衡條件結合合成法可知A對B的支持力N′和墻對B的支持力N都在不斷減小，由牛頓第三定律可知B對A的作用力在不斷減小，故A、B錯誤；對A和B整體受力分析，受到總重力G、地面支持力FN、地面的摩擦力f和墻的彈力N，如圖乙所示，根據平衡條件，有f＝N，FN＝G，故地面的支持力不變，地面的摩擦力f隨著墻對B的支持力N的不斷減小而減小，故C錯誤，D正確。故選D。]
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7．如圖所示，三根長度均為l的輕繩分別連接于C、D兩點，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2l。現在C點上懸掛一個質量為m的重物，重力加速度為g，為使CD繩保持水平，在D點上可施加的力的最小值為(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
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C　[由對稱性可知，AC繩和BD繩與豎直方向的夾角相等，設為θ，由幾何關系可知sin θ＝＝，則θ＝30°。對C點進行受力分析，由平衡條件可知，繩CD對C點的拉力FCD＝mg tan 30°，對D點進行受力分析，繩CD對D點的拉力F2＝FCD＝mg tan 30°， 故F2是恒力，BD繩對D點的拉力F1方向一定，又F1與在D點施加的力
F3的合力和F2等大反向，如圖所示，由圖知當
F3垂直于繩BD時，F3最小，由幾何關系可知，
F3min＝F′2sin 60°＝mg, C正確。]
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8．如圖所示為搬運貨物小車的截面圖，擋板OA固定于底板OB的左端，∠AOB<90°，初始時OB水平，將一圓柱形物體置于小車上，左邊與OA接觸。現保持O點的位置不變，緩慢抬起B端，直至OB豎直。不計空氣阻力和摩擦力，此過程中(　　)
A．圓柱形物體對OA的壓力先增大后減小
B．圓柱形物體對OB的壓力先增大后減小
C．圓柱形物體對OA的壓力先減小后增大
D．小車對圓柱形物體的作用力逐漸變大
√
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B　[由題意可知，擋板OA和OB的夾角保持不變，則兩板對球的彈力FNA和FNB方向的夾角也是恒定不變的。如圖所示，由幾何關系可知保持O點的位置不變，緩慢抬起B端，直至OB豎直，則FNA逐漸變大，FNB先增大后減小，根據牛頓第三定律可知圓柱形物體對OA的壓力逐漸增大，對OB的壓力先增大后減小，小車對圓柱形物體作用力的合力大小總等于圓柱形物體的重力大小，
保持不變，故A、C、D錯誤，B正確。]
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9．(多選)(2024·四川瀘州二模)如圖所示，豎直平面內有三根輕質細繩，繩AO水平，繩BO與水平方向成53°夾角，O為結點，繩BO的下端連接一質量為m的小球。現保持結點O不變動，對小球施加一水平向右的作用力F，使繩緩慢擺動到與水平方向成37°夾角的位置，重力加速度為g，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，關于此過程中各段繩子
的受力情況，下列判斷正確的是(　　)
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A．F為恒力，大小等于mg
B．繩AO受到的拉力先增大后減小
C．繩CO受到最大拉力為mg
D．繩BO受到的拉力保持不變
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CD　[對小球進行受力分析，則小球處于動態平衡狀態，設OC繩與水平方向的夾角為θ，則F＝，TOC＝，隨著θ逐漸減小，F逐漸增大，TOC也逐漸增大，末狀態時T′OC＝＝mg，繩CO受到最大拉力為mg，故A錯誤，C正確；結點O不變動，則繩BO與水平方向夾角不變，對結點O進行受力分析，在豎直方向上有TOBsin 53°＝TOCsin θ＝mg，解得TOB＝＝mg，則繩BO受到的拉力
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保持不變，故D正確；對結點O進行受力分析，在水平方向有TOB
cos 53°＋TOCcos θ＝TOA，解得TOA＝mg＋F，隨著F逐漸增大，則繩AO受到的拉力逐漸增大，故B錯誤。]
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10．(2022·浙江1月選考)如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石礅，石礅與水平地面間的動摩擦因數為μ。工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石礅時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是(　　)
A．輕繩的合拉力大小為
B．輕繩的合拉力大小為
C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小
D．輕繩的合拉力最小時，地面對石礅的摩擦力也最小
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B　[對石礅受力分析如圖，設兩根輕繩的合力為F，根據平衡條件有F cos θ＝f，F sin θ＋FN＝mg，且f＝μFN，聯立可得F＝，選項A錯誤，B正確；上式變形得F＝，其中tan α＝，根據三角函數特點，由于θ的初始值不知道，因此減小θ，輕繩的合拉力F不一定減小，選項C錯誤；根據上述討論，當θ＋α＝90°時，輕繩的合拉力F最小，而摩擦力f＝F cos θ＝
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＝，可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當θ趨近于90°時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力F最小時，地面對石礅的摩擦力不是最小的，選項D錯誤。]
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11．如圖所示，質量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運動。已知金屬塊與地面間的動摩擦因數μ＝0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
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[解析]　設拉力與水平方向夾角為θ，根據平衡條件有F cos θ＝μ(mg－F sin θ)
整理得cos θ＋μsin θ＝
sin (α＋θ)＝(其中sin α＝)
當θ＝－α時F最小
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故所需拉力F的最小值
Fmin＝＝2 N。
題號
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[答案]　2 N
12．如圖所示，物體的質量為m＝5 kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC＝θ＝60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍。(g取10 m/s2)
題號
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[解析]　設AB繩的拉力為F1，AC繩的拉力為F2，對物體受力分析，由平衡條件有
F cos θ－F2－F1cos θ＝0
F sin θ＋F1sin θ－mg＝0
可得F＝－F1，F＝＋
若要使兩繩都能伸直，則有F1≥0，F2≥0
令F1＝0
題號
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得F的最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0
得F的最小值Fmin＝＝ N
即拉力F的大小范圍為 N≤F≤ N。
[答案]　 N≤F≤ N
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謝 謝 ！

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