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第四章　曲線運(yùn)動(dòng)　萬(wàn)有引力與宇宙航行
第3節(jié)　圓周運(yùn)動(dòng)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握描述圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量及關(guān)系。
2．會(huì)分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期性及多解問(wèn)題。
3．會(huì)分析圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，并利用圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)解決生活中的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。
鏈接教材·夯基固本
1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)
(1)定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，線速度的大小處處相等，這種運(yùn)動(dòng)就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向____，是變加速運(yùn)動(dòng)。
(3)條件：合外力大小不變、方向始終與____方向垂直且指向圓心。
圓心
速度
2．描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
(1)線速度
①方向：沿圓周的切線方向。
②公式：v＝＝。
(2)角速度
①物理意義：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。
②公式：ω＝＝。
(3)周期
①定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。
②公式：T＝＝。
(4)轉(zhuǎn)速
①定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。
②公式：n＝。
(5)向心加速度
①方向：始終指向圓心。
②公式：an＝＝_______＝＝ωv。
ω2r
r
3．向心力
(1)作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的____，不改變速度的____。
(2)大?。篎n＝________＝mω2r＝_________＝mωv＝4π2mf 2r。
(3)方向：始終沿半徑方向指向____，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力。
(4)來(lái)源：向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的____提供，還可以由一個(gè)力的____提供。
方向
大小
m
m r
圓心
合力
分力
4．離心運(yùn)動(dòng)
(1)離心運(yùn)動(dòng)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做________圓心的運(yùn)動(dòng)。
(2)受力特點(diǎn)
①當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿____方向飛出。
逐漸遠(yuǎn)離
切線
②當(dāng)0③當(dāng)F>mω2r時(shí)，物體逐漸向圓心靠近，做____運(yùn)動(dòng)。
(3)本質(zhì)：離心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是合力不足以提供所需要的向心力。
遠(yuǎn)離
近心
1．易錯(cuò)易混辨析
(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。 (　　)
(2)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度大小是不變的。 (　　)
(3)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其合外力是不變的。 (　　)
(4)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與半徑成反比。 (　　)
×
√
×
×
(5)向心力可以是物體受到的某一個(gè)力，也可以是物體受到的合力。 (　　)
(6)變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力不指向圓心。 (　　)
(7)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)所受合外力突然減小時(shí)，物體將沿切線方向飛出。 (　　)
√
×
×
2．人教版必修第二冊(cè)P37“思考與討論”想一想：
如果把地球看成一個(gè)巨大的拱形橋，行駛的汽車對(duì)地面的壓力還等于汽車的重力嗎？
提示：行駛的汽車對(duì)地面的壓力小于汽車的重力，且汽車速度越大對(duì)地面的壓力越小。
3．(人教版必修第二冊(cè)習(xí)題改編)如圖所示，小物體A與水平圓盤保持相對(duì)靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則A受力情況是(　　)
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圓心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
√
C　[物體在水平圓盤上，一定受到重力和支持力作用，物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，有背離圓心的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因此受到指向圓心的摩擦力，且摩擦力提供向心力，故C正確。]
4．(魯科版必修第二冊(cè)習(xí)題改編)(多選)如圖所示，有一皮帶傳動(dòng)裝置，A、B、C三點(diǎn)到各自轉(zhuǎn)軸的距離分別為RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑。則(　　)
A．A點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度相等
B．A點(diǎn)與C點(diǎn)的線速度大小相等
C．B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度之比為2∶1
D．B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4
√
√
BD　[對(duì)于同一根皮帶連接的傳動(dòng)輪邊緣的點(diǎn)，線速度大小相等，同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)，角速度相等。則vA＝vC，ωA＝ωB，選項(xiàng)B正確；根據(jù)vA＝vC及關(guān)系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度之比為1∶2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)ωB＝及關(guān)系式an＝ω2R，可得anB＝，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4，選項(xiàng)D正確。]
細(xì)研考點(diǎn)·突破題型
考點(diǎn)1　圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題
1．理解兩個(gè)公式
(1)對(duì)公式v＝ωr的理解：當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比；當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比；當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比。
(2)對(duì)an＝＝ω2r的理解：當(dāng)v一定時(shí)，an與r成反比；當(dāng)ω一定時(shí)，an與r成正比。
類型 模型 模型解讀
皮帶傳動(dòng) 皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB
2．掌握三種傳動(dòng)方式
類型 模型 模型解讀
摩擦(或齒輪)傳動(dòng) 兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB
同軸傳動(dòng) 繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比
角度1　圓周運(yùn)動(dòng)物理量的分析與計(jì)算
[典例1]　A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相同時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的路程之比是4∶3，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比是3∶2，則它們(　　)
A．線速度大小之比為4∶3
B．角速度之比為3∶4
C．圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1
D．向心加速度大小之比為1∶2
√
A　[時(shí)間相同，路程之比即線速度大小之比，為4∶3，A項(xiàng)正確；由于時(shí)間相同，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比即對(duì)應(yīng)掃過(guò)的圓心角之比，等于角速度之比，為3∶2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；線速度大小之比除以角速度之比等于半徑之比，為8∶9，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由向心加速度an＝知，線速度平方之比除以半徑之比即向心加速度大小之比，為2∶1，D項(xiàng)錯(cuò)誤。]
角度2　圓周運(yùn)動(dòng)中的傳動(dòng)問(wèn)題
[典例2]　如圖甲所示，修正帶是通過(guò)兩個(gè)齒輪相互咬合進(jìn)行工作的，其原理可簡(jiǎn)化為如圖乙所示的模型。B、A分別是大、小齒輪邊緣上的兩點(diǎn)，C是大輪上的一點(diǎn)。若大輪半徑是小輪半徑的2倍，小輪中心到A點(diǎn)和大輪中心到C點(diǎn)的距離之比為2∶1，則A、B、C三點(diǎn)(　　)
A．線速度大小之比為4∶4∶1
B．角速度之比為1∶1∶1
C．轉(zhuǎn)速之比為2∶2∶1
D．向心加速度大小之比為2∶1∶1
√
A　[B、A分別是大、小齒輪邊緣上的兩點(diǎn)，可知vA＝vB，又v＝ωr，rA＝rB，可得ωA＝2ωB，由于B、C兩點(diǎn)都在大輪上，可知ωB＝ωC，又v＝ωr，rB＝4rC，可得vB＝4vC，則A、B、C三點(diǎn)線速度大小之比為vA∶vB∶vC＝4∶4∶1，A、B、C三點(diǎn)角速度之比為ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)角速度和轉(zhuǎn)速的關(guān)系有ω＝2πn，可知A、B、C三點(diǎn)轉(zhuǎn)速之比為nA∶nB∶nC＝ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)向心加速度公式有a＝ω2r，可知A、B、C三點(diǎn)向心加速度大小之比為aA∶aB∶aC＝8∶4∶1，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]
[典例3]　(多選)如圖甲所示是中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)室常用的感應(yīng)起電機(jī)，它是由兩個(gè)大小相等、直徑約為30 cm的感應(yīng)玻璃盤起電的，其中一個(gè)玻璃盤通過(guò)從動(dòng)輪與手搖主動(dòng)輪連接，如圖乙所示，玻璃盤以100 r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，已知主動(dòng)輪的半徑約為8 cm，從動(dòng)輪的半徑約為2 cm，P和Q是玻璃盤邊緣上的兩點(diǎn)，若轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)皮帶不打滑，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．P、Q的線速度相同
B．玻璃盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與搖把轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反
C．P點(diǎn)的線速度大小約為1.6 m/s
D．搖把的轉(zhuǎn)速約為400 r/min
√
√
BC　[由于線速度的方向沿曲線的切線方向，由題圖可知，P、Q兩點(diǎn)的線速度的方向一定不同，故A錯(cuò)誤；若主動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，從動(dòng)輪通過(guò)皮帶的摩擦力帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以從動(dòng)輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，所以玻璃盤的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與搖把轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，故B正確；玻璃盤的直徑是30 cm，轉(zhuǎn)速是100 r/min，所以線速度大小為v＝2nπr＝2××π× m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正確；從動(dòng)輪邊緣的線速度大小vc＝ωrc＝2nπrc＝2××π×0.02 m/s＝π m/s，由于主動(dòng)
輪的邊緣各點(diǎn)的線速度與從動(dòng)輪邊緣各點(diǎn)的線速度的大小相等，即vz＝vc，所以主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速nz＝＝＝ r/s＝25 r/min，故D錯(cuò)誤。]
運(yùn)動(dòng)模型 飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎 火車轉(zhuǎn)彎 圓錐擺
向心力的來(lái)源圖示
考點(diǎn)2　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題
1．水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型向心力分析
運(yùn)動(dòng)模型 飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎 火車轉(zhuǎn)彎 圓錐擺
運(yùn)動(dòng)模型 飛車走壁 汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎 物體在光滑水平支撐面轉(zhuǎn)動(dòng)
向心力的來(lái)源圖示
2．非勻速圓周運(yùn)動(dòng)
非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合外力方向一般不指向圓心(特例：豎直面內(nèi)水流星最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的合外力方向指向圓心)，可以分解為如圖所示的兩個(gè)分力。
(1)切向分力Ft：產(chǎn)生切向加速度at，只改變線速度的大小。當(dāng)at與v同向時(shí)，速度增大，做加速圓周運(yùn)動(dòng)；反向時(shí)則速度減小，做減速圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)法向分力Fn：提供向心力，產(chǎn)生向心加速度an，只改變線速度的方向。
[典例4]　(多選)(2024·廣東深圳高三期中)如圖所示，雜技演員進(jìn)行表演時(shí)，可以懸空靠在以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒內(nèi)壁上而不掉下來(lái)。設(shè)圓筒半徑為r，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，人與圓筒內(nèi)壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則(　　)
A．該演員受到4個(gè)力的作用
B．該演員所需的向心力由彈力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圓筒的角速度ω≥
√
√
BD　[雜技演員受到重力、筒壁的彈力和靜摩擦力共3個(gè)力作用，A錯(cuò)誤；由于雜技演員在圓筒內(nèi)壁上不掉下來(lái)，豎直方向根據(jù)平衡條件，有mg＝Ff，水平方向，筒壁的彈力提供向心力，有F＝mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不變，彈力變大，B正確，C錯(cuò)誤；要想不下滑，最大靜摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F(xiàn)＝mω2r，聯(lián)立解得ω≥，D正確。]
[典例5]　(多選)如圖所示，細(xì)繩穿過(guò)豎直的管子拴住一個(gè)小球，讓小球在A高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)用力將細(xì)繩緩慢下拉，使小球在B高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，則(　　)
A．線速度vA > vB B．角速度ωA<ωB
C．向心加速度aAFB
√
√
BC　[設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，對(duì)小球受力分析有Fn＝mg tan θ＝ma，由題圖可看出小球從A高度到B高度θ增大，則aA[典例6]　(2024·北京豐臺(tái)高三期中)如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓形管道的最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)小球的彈力與過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球速度的平方的關(guān)系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。MN為通過(guò)圓心的一條水平線。不計(jì)小球半徑、管道的粗細(xì)，重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．管道的半徑為bg
B．小球質(zhì)量為
C．小球在MN以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力
√
B　[由題圖乙可知，當(dāng)v2＝b時(shí)，F(xiàn)N＝0，有mg＝m，解得R＝，故A錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg＝a，解得m＝，故B正確；小球在水平線MN以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個(gè)力，所以內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球沒(méi)有作用力，故C錯(cuò)誤；小球在水平線MN以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故可能是外側(cè)管壁對(duì)小球有作用力，也可能是內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球有作用力，還可能均無(wú)作用力，故D錯(cuò)誤。]
微點(diǎn)突破　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
題型1　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
1．受力情況
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力f m＝，方向指向圓心。
(2)如果除摩擦力外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)，其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行判斷，判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)的方向(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)。
2．運(yùn)動(dòng)實(shí)例
[典例7]　(多選)(2024·貴州貴陽(yáng)一模)如圖所示，質(zhì)量均為m的甲、乙、丙三個(gè)小物塊(均可看作質(zhì)點(diǎn))隨水平轉(zhuǎn)盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。已知甲、乙到轉(zhuǎn)軸的距離為r1，丙到轉(zhuǎn)軸的距離為r2，且r2>r1。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．甲受到的摩擦力一定為μmg
B．乙受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力一定為2mω2r1
C．若角速度增大，丙先達(dá)到滑動(dòng)的臨界點(diǎn)
D．若角速度增大，甲先達(dá)到滑動(dòng)的臨界點(diǎn)
√
√
BC　[當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度較小時(shí)，甲受到的靜摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A錯(cuò)誤；對(duì)甲、乙整體分析可知，乙受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力為f ＝2mω2r1，故B正確；若角速度增大，根據(jù)μmg＝mrω2，丙到轉(zhuǎn)軸的距離較大，則丙先達(dá)到滑動(dòng)的臨界點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤。]
題型2　豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
一、輕“繩”模型
1．特點(diǎn)：球運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)時(shí)無(wú)支撐。
2．實(shí)例：球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車”等。
3．最高點(diǎn)規(guī)律
(1)若v≥，F(xiàn)彈＋mg＝m，繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力F彈。
(2)若v<，則不能到達(dá)最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道。
[典例8]　(多選)(2024·陜西西安高三期末)如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，用長(zhǎng)為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，g取10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2 m/s
B．當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4 m/s時(shí)，輕繩拉力為15 N
C．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過(guò)4 m/s
D．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過(guò)
4 m/s
√
√
√
ABC　[設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v0，則根據(jù)牛頓第二定律有mg＝，解得v0＝2 m/s，故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為v1＝4 m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力大小為FT，根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝，解得FT＝15 N，故B正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm－mg＝，解得vm＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤。]
二、輕“桿”模型
1．特點(diǎn)：球運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)時(shí)有支撐。
2．實(shí)例：如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等。
3．最高點(diǎn)規(guī)律
(1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N背離圓心。
(2)當(dāng)0(3)當(dāng)v＝時(shí)，F(xiàn)N＝0。
(4)當(dāng)v>時(shí)，mg＋FN＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大。
[典例9]　如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球(視為質(zhì)點(diǎn))，另一端套在光滑的水平軸O上，O軸的正上方有一速度傳感器，可以測(cè)量小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v；O軸處有力傳感器，可以測(cè)量小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)O軸受到桿的作用力F，若豎直向下為力的正方向，使小球在最低點(diǎn)時(shí)具有不同的初速度，得到F-v2圖像如圖乙所示，取g＝10 m/s2，則(　　)
A．O軸到球心間的距離為0.5 m
B．小球的質(zhì)量為3 kg
C．小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為 m/s
D．小球在最高點(diǎn)的速度大小為 m/s時(shí)桿受到球的作用力豎直向下
√
A　[小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，O軸受到桿的作用力F與小球受到桿的作用力F′等大反向，即F＝－F′，小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有mg＋F′＝m，得F′＝v2－mg，則F＝－v2＋mg，則題圖乙中圖像的斜率為－＝－ kg/m，當(dāng)v2＝0時(shí)，F(xiàn)＝mg＝3 N，聯(lián)立解得m＝0.3 kg，R＝0.5 m，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為零時(shí)，小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；小球過(guò)最高點(diǎn)的速
度大小為 m/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有mg＋F′＝m，可得F′＝6 N，方向豎直向下，即桿對(duì)球的作用力方向豎直向下，所以桿受到球的作用力豎直向上，故D錯(cuò)誤。]
[典例10]　(2024·全國(guó)甲卷)如圖所示，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為m的小環(huán)套在大圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開(kāi)始由大圓環(huán)頂端經(jīng)Q點(diǎn)自由下滑至其底部，Q為豎直線與大圓環(huán)的切點(diǎn)。則小環(huán)下滑過(guò)程中對(duì)大圓環(huán)的作用力大小(　　)
A．在Q點(diǎn)最大 B．在Q點(diǎn)最小
C．先減小后增大 D．先增大后減小
√
C　[設(shè)小環(huán)運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為θ(0≤θ≤π)，大圓環(huán)的半徑為R，大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的作用力為F，則由動(dòng)能定理有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，則有F＋mg cos θ＝m，聯(lián)立得小環(huán)下滑過(guò)程中受到大圓環(huán)的作用力F＝mg(2－3cos θ)，則F的大小先減小后增大，且當(dāng)cos θ＝時(shí)F最小，當(dāng)cos θ＝－1，即小環(huán)在大圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)F最大，結(jié)合牛頓第三定律可知，C正確。]
題型3　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
物體在傾斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等，平行斜面的分力與靜摩擦力的合力提供向心力。
在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，物體最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)，有μmg cos θ－mg sin θ＝mω2R。
[典例11]　(2024·遼寧鞍山聯(lián)考)如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑固定斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)＝0.8 m的細(xì)繩，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，取g＝
10 m/s2，小球在A點(diǎn)最小速度為(　　)
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
√
B　[由題意可知，小球恰好過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度最小，即小球過(guò)A點(diǎn)時(shí)繩子上的拉力恰好為零，此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力來(lái)提供，由牛頓第二定律有mg sin 30°＝，解得vmin＝2 m/s，故B正確。]
[典例12]　如圖所示，一傾斜圓盤可繞通過(guò)圓心、垂直于盤面的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上距離轉(zhuǎn)軸l＝5 cm處有一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊在圓盤上且始終與圓盤保持相對(duì)靜止。已知物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，盤面與水平面的夾角θ＝30°，重力加速度大小為g＝10 m/s2，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．若圓盤角速度逐漸增大，物塊會(huì)在最高點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)
B．圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度可能為5 rad/s
C．物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力方向一定背離圓心
D．物塊運(yùn)動(dòng)到與圓盤圓心等高點(diǎn)時(shí)，摩擦力的方向垂直于物體和轉(zhuǎn)盤圓心的連線
√
C　[物塊在最低點(diǎn)即將滑動(dòng)時(shí)，此時(shí)圓盤角速度最大，由牛頓第二定律有μmg cos 30°－mg sin 30°＝l，解得ω1＝5 rad/s，故B錯(cuò)誤；物塊在最高點(diǎn)恰好不受摩擦力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有 mg sin 30° ＝l，解得ω2＝10 rad/s>5 rad/s，可知物塊會(huì)在最低點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)摩擦力一定背離圓心，故A錯(cuò)誤，C正確；由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力方向指向圓盤中心，重力的平行盤面向下分力與摩擦力的合力提供向心力，則與圓盤圓心等高點(diǎn)處摩擦力的方向不垂直于物塊和轉(zhuǎn)盤圓心的連線，故D錯(cuò)誤。]
即時(shí)檢驗(yàn)·感悟高考
1．(2024·遼寧卷)“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見(jiàn)的技巧。如圖，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球面上P、Q兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的(　　)
A．半徑相等
B．線速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
√
D　[根據(jù)題圖可知，Q點(diǎn)到軸的距離大于P點(diǎn)到軸的距離，則Q點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，A錯(cuò)誤；P、Q兩點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度大小相等，根據(jù)v＝ωr和a＝ω2r結(jié)合A項(xiàng)分析可知，Q點(diǎn)的線速度大小和向心加速度大小均大于P點(diǎn)的，B、C錯(cuò)誤，D正確。]
2．(2024·廣東卷)如圖所示，在細(xì)繩的拉動(dòng)下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點(diǎn)O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。卷軸上沿半徑方向固定著長(zhǎng)度為l的細(xì)管，管底在O點(diǎn)。細(xì)管內(nèi)有一根原長(zhǎng)為、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點(diǎn)的插銷。當(dāng)以速度v勻速拉動(dòng)細(xì)繩時(shí)，插銷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若v過(guò)大，插銷會(huì)卡進(jìn)固定的端蓋，使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內(nèi)。要使卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)不停止，v的最大值為(　　)
A．r B．l
C．r D．l
√
A　[由題意可知當(dāng)插銷剛卡緊固定端蓋時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx＝，根據(jù)胡克定律有F＝kΔx＝，插銷與卷軸同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，對(duì)插銷分析，有彈力提供向心力，F(xiàn)＝mlω2；對(duì)卷軸邊沿有v′＝v＝rω，聯(lián)立解得v＝r，故選A。]
課時(shí)數(shù)智作業(yè)(十)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．如圖(a)所示是某市區(qū)中心的環(huán)島路，車輛在環(huán)島路上均逆時(shí)針行駛。圖(b)所示是質(zhì)量相等的甲、乙兩車以接近相等的速度大小經(jīng)過(guò)圖示位置，則(　　)
A．兩車的向心加速度大小相等
B．兩車的角速度大小相等
C．兩車受到指向軌道圓心的摩擦力大小相等
D．甲車受到指向軌道圓心的摩擦力比乙車的大
√
題號(hào)
1
3
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2
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11
D　[兩車均由摩擦力指向軌道圓心的分力提供向心力，根據(jù)Fn＝m可知，甲車受到指向軌道圓心的摩擦力比乙車的大，D正確。]
2．(2023·全國(guó)甲卷)一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑成反比，則n等于
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
題號(hào)
1
3
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2
4
6
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11
√
C　[設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)周期為T，軌道半徑為r，所受合力為F，由題意知運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑成反比，所以有T＝，k為比例系數(shù)，再由勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)和牛頓第二定律有F＝mr，將T＝代入，解得F＝mr3，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，所以n＝3，C正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
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6
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11
3．(多選)陶瓷是中華瑰寶，是中華文明的重要名片。在陶瓷制作過(guò)程中有一道工序叫利坯，如圖(a)所示，將陶瓷粗坯固定在繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，用刀旋削，使坯體厚度適當(dāng)，表里光潔。對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化模型如圖(b)所示，粗坯的對(duì)稱軸與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸OO′重合。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速恒定時(shí)，關(guān)于粗坯上P、Q兩質(zhì)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
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6
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10
11
A．P的角速度大小比Q的大
B．P的線速度大小比Q的大
C．P的向心加速度大小比Q的大
D．同一時(shí)刻P所受合力的方向與Q的相同
題號(hào)
1
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2
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11
√
√
BC　[由題意可知，粗坯上P、Q兩質(zhì)點(diǎn)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故ωP＝ωQ，即P的角速度大小跟Q的一樣大，故A錯(cuò)誤；根據(jù)v＝rω，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以vP>vQ，即P的線速度大小比Q的大，故B正確；根據(jù)a＝rω2，且rP>rQ，ωP＝ωQ，所以aP>aQ，即P的向心加速度大小比Q的大，故C正確；因?yàn)檗D(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速恒定，所以同一時(shí)刻P所受合力的方向與Q所受合力的方向均指向中心軸，故合力方向不相同，故D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
1
3
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11
4．(多選)如圖(a)所示為游樂(lè)場(chǎng)中的空中飛椅項(xiàng)目。空中飛椅結(jié)構(gòu)示意圖如圖(b)所示，轉(zhuǎn)動(dòng)軸帶動(dòng)頂部圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)，懸繩一端系在圓盤邊緣，另一端系著椅子。若所有椅子質(zhì)量相等，懸繩長(zhǎng)短不一定相等，忽略懸繩質(zhì)量與空氣阻力，則坐在椅子上的游客與椅子整體隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中(　　)
題號(hào)
1
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11
A．任一時(shí)刻，所有游客的線速度都相同
B．所有游客做圓周運(yùn)動(dòng)的周期都相同
C．懸繩越長(zhǎng)，懸繩與豎直方向的夾角就越大
D．懸繩與豎直方向的夾角與游客質(zhì)量無(wú)關(guān)
題號(hào)
1
3
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2
4
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8
7
9
10
11
√
√
√
BCD　[根據(jù)題意可知，所有游客為同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則所有游客做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，由v＝ωr可知，游客做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，線速度大小不同，游客的線速度方向也不同，由T＝可知，所有游客做圓周運(yùn)動(dòng)的周期都相同，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)題意，設(shè)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，懸繩與豎直方向的夾角為θ，則有mg tan θ＝mω2(L sin θ＋r)，解得·－＝L，可知，懸繩與豎直方向的夾角與游客質(zhì)量無(wú)關(guān)，懸繩越長(zhǎng)，θ越大，即懸繩越長(zhǎng)，懸繩與豎直方向的夾角就越大，故C、D正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．列車轉(zhuǎn)彎時(shí)的受力分析如圖所示，鐵路轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑為R，兩鐵軌之間的距離為d，內(nèi)外軌的高度差為h，鐵軌平面和水平面間的夾角為α(α很小，可近似認(rèn)為 tan α≈sin α)，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
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9
10
11
A．列車轉(zhuǎn)彎時(shí)受到重力、支持力和向心力的作用
B．列車過(guò)轉(zhuǎn)彎處的速度v＝時(shí)，列車輪緣不會(huì)擠壓內(nèi)軌和外軌
C．列車過(guò)轉(zhuǎn)彎處的速度v<時(shí)，列車輪緣會(huì)擠壓外軌
D．若減小α角，可提高列車安全過(guò)轉(zhuǎn)彎處的速度
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
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7
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10
11
√
B　[列車以規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎時(shí)受到重力、支持力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，A錯(cuò)誤；當(dāng)重力和支持力的合力提供向心力時(shí)，有mg tan α＝m且tan α≈sina＝，聯(lián)立解得v＝，故當(dāng)列車過(guò)轉(zhuǎn)彎處的速度v＝時(shí)，列車輪緣不會(huì)擠壓內(nèi)軌和外軌，B正確；列車過(guò)轉(zhuǎn)彎處的速度v<時(shí)，轉(zhuǎn)彎所需的向心力F題號(hào)
1
3
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2
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11
6．一輛汽車勻速率通過(guò)一座圓弧形拱形橋后，接著又以相同速率通過(guò)一圓弧形凹形橋。設(shè)兩圓弧半徑相等，汽車通過(guò)拱形橋橋頂時(shí)，對(duì)橋面的壓力FN1為車重的一半，汽車通過(guò)圓弧形凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面的壓力為FN2，則FN1與FN2之比為(　　)
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
題號(hào)
1
3
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2
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6
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10
11
√
C　[汽車過(guò)圓弧形橋最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))時(shí)，由重力與橋面對(duì)汽車的支持力的合力提供向心力，如圖甲所示，汽車過(guò)圓弧形拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第三定律可知，汽車受橋面對(duì)它的支持力與它對(duì)橋面的壓力大小相等，即F′N1＝FN1，所以由牛頓第二定律可得mg－F′N1＝，同理，如圖乙所示，F(xiàn)′N2＝FN2，汽車過(guò)圓弧形
凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，有F′N2－mg＝，
由題意知FN1＝mg，F(xiàn)N2＝mg，聯(lián)立解
得所以FN1∶FN2＝1∶3。
題號(hào)
1
3
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2
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6
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7
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11
7．如圖所示，豎直固定的光滑圓軌道內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球在做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知軌道半徑為R，a為最高點(diǎn)，b為最低點(diǎn)，c和d為與圓心O等高的點(diǎn)，e和f 為關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)，重力加速度大小為g。下列說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
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10
11
A．小球在a點(diǎn)的速度必須大于
B．小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)與軌道之間沒(méi)有彈力
C．小球在e點(diǎn)所受合力和在f 點(diǎn)所受合力等大反向
D．若小球運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)時(shí)速度為，則小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?mg
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
D　[小球若恰能經(jīng)過(guò)a點(diǎn)，則mg＝，解得vmin＝，即小球在a點(diǎn)的速度大于等于，A錯(cuò)誤；小球在c點(diǎn)和d點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力提供向心力，即與軌道之間都有彈力，B錯(cuò)誤；小球在e點(diǎn)和f 點(diǎn)受力情況如圖，可知小球在e點(diǎn)所受合力和在f 點(diǎn)所受合力大小不相等，方向不是相反，C錯(cuò)誤；小球在a點(diǎn)時(shí)，合力提供向心力，有
FNa＋mg＝m，解得FNa＝2mg，由牛頓第三
定律知，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?mg，D正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
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11
8．如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面與水平面的夾角為15°，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離為r＝1 m處有一質(zhì)量m＝1 kg的小物體，小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止，且小物體在最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力大小
為6.6 N。若重力加速度g取10 m/s2，sin 15°＝
0.26，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A．小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為 m/s
B．小物體受到合力的大小始終為4 N
C．小物體在最高點(diǎn)受到摩擦力大小為0.4 N，方向沿盤面指向轉(zhuǎn)軸
D．小物體在最高點(diǎn)受到摩擦力大小為1.4 N，方向沿盤面背離轉(zhuǎn)軸
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
√
B　[在最低點(diǎn)對(duì)小物體受力分析，有小物體所受合力提供向心力，即Ff－mg sin 15°＝m，解得v＝2 m/s，所以A錯(cuò)誤；小物體所受合力為F合＝m＝4 N，所以B正確；由于小物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在圓軌道任意位置時(shí)，所受合力的大小都是相等的，小物體在最高點(diǎn)所受合力大小為4 N，有F′f＝F合－mg sin 15°＝1.4 N，即在該點(diǎn)受到大小為1.4 N，方向沿盤面指向轉(zhuǎn)軸的摩擦力，所以C、D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
9．如圖所示，相同的物塊a、b用沿半徑方向的細(xì)線相連放置在水平圓盤上。當(dāng)圓盤繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊a、b始終相對(duì)圓盤靜止。下列關(guān)于物塊a所受的摩擦力隨圓盤角速度的平方(ω2)的變化關(guān)系正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
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6
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9
10
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題號(hào)
1
3
5
2
4
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9
10
11
√
D　[轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中a、b角速度相同。當(dāng)圓盤角速度較小時(shí)，a、b由靜摩擦力充當(dāng)向心力，細(xì)線拉力為零，此過(guò)程中a、b所需要的摩擦力分別為f a＝mraω2、f b＝mrbω2，因?yàn)閞b>ra，故f b>f a，又因?yàn)閍、b與圓盤的最大靜摩擦力相同，所以隨著角速度增大，b先達(dá)到最大靜摩擦力，當(dāng)b達(dá)到最大靜摩擦力f 0時(shí)細(xì)線開(kāi)始出現(xiàn)拉力，此時(shí)對(duì)于a、b有f a－T＝mraω2，f 0＋T＝mrbω2，聯(lián)立可得f a＝－f 0，由上述分析可知，細(xì)線拉力出現(xiàn)之前 圖線的斜率為mra，細(xì)線拉力出現(xiàn)之后圖線的斜率為m(ra＋rb)，所以細(xì)線有拉力時(shí)圖線斜率變大。故選D。]
題號(hào)
1
3
5
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6
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10．某人站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩恰好受到所能承受的最大拉力被拉斷，球以繩斷時(shí)的速度水平飛出，通過(guò)水平距離d后落地。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為，重力加速度為g，忽略空氣阻力。
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(1)繩能承受的最大拉力是多少？
(2)保持手的高度不變，改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)達(dá)到最大拉力被拉斷，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離是多少？
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[解析]　(1)球在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)－mg＝m，R＝
繩被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，d＝vt，d－＝gt2
聯(lián)立解得，繩子承受的最大拉力為F＝mg。
(2)mg－mg＝m，x＝vt，d－R＝gt2
解得x＝，
當(dāng)R＝時(shí)，x最大，xm＝d。
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[答案]　(1)mg　(2)　d
11．(2024·江西卷)雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂(lè)項(xiàng)目，其中心傳動(dòng)裝置帶動(dòng)轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動(dòng)。如圖(a)、(b)所示，傳動(dòng)裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過(guò)中心O點(diǎn)的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅(視為質(zhì)點(diǎn))。轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
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(1)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點(diǎn)做半徑為r1的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求AB與OB之間夾角α的正切值。
(2)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O1點(diǎn)做半徑為r2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時(shí)圓盤的角速度ω2。
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[解析]　(1)對(duì)轉(zhuǎn)椅受力分析，轉(zhuǎn)椅在水平面內(nèi)受摩擦力、輕繩拉力，兩者合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，如圖所示。
設(shè)轉(zhuǎn)椅的質(zhì)量為m，則
轉(zhuǎn)椅所需的向心力Fn1＝r1
轉(zhuǎn)椅受到的摩擦力f 1＝μmg
根據(jù)幾何關(guān)系有tan α＝
聯(lián)立解得tan α＝。
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(2)轉(zhuǎn)椅在題圖(b)情況下所需的向心力
Fn2＝r2
轉(zhuǎn)椅受到的摩擦力f 2＝μN(yùn)2
根據(jù)幾何關(guān)系有tan β＝
豎直方向上由平衡條件有N2＋T cos θ＝mg
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水平面上有f 2＝T sin θsin β
聯(lián)立解得ω2＝。
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[答案]　　(2)
謝 謝 ！

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