資源簡介

(共92張PPT)
第四章　曲線運(yùn)動(dòng)　萬有引力與宇宙航行
第4節(jié)　萬有引力與宇宙航行
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．理解開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，并會(huì)用來解決相關(guān)問題。
2．掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。
3．掌握衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，會(huì)分析衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)各物理量之間的關(guān)系。
4．理解三種宇宙速度，并會(huì)求解第一宇宙速度的大小。
鏈接教材·夯基固本
1．開普勒三定律
(1)軌道定律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是____，太陽處在橢圓的一個(gè)____上。
(2)面積定律：某個(gè)行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的____相等。
(3)周期定律：所有行星軌道的______的三次方與它的________的二次方的比值都相等。
橢圓
焦點(diǎn)
面積
半長軸
公轉(zhuǎn)周期
2．萬有引力定律
(1)內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成____，與它們之間距離r的二次方成____。
(2)表達(dá)式：F＝________，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
正比
反比
G
(3)適用條件：①公式適用于____間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。
②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是______間的距離。
質(zhì)點(diǎn)
兩球心
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1＝____ km/s，是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的____環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的____發(fā)射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度。
7.9
最大
最小
地球
太陽
1．易錯(cuò)易混辨析
(1)圍繞同一天體運(yùn)動(dòng)的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)。 (　　)
(2)只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝G 計(jì)算物體間的萬有引力。 (　　)
(3)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大。 (　　)
√
×
×
(4)不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不一定相同，但離地面的高度是相同的。 (　　)
(5)同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　)
√
√
2．(粵教版必修第二冊(cè)習(xí)題改編)兩個(gè)質(zhì)量均勻的球形物體，兩球心相距r時(shí)它們之間的萬有引力為F，若將兩球的半徑都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的作用力為(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
√
D　[由M＝πR3ρ可知，兩球半徑加倍后，其質(zhì)量M′＝8M，又r′＝2r，由萬有引力定律F＝，F(xiàn)′＝，可得F′＝16F，選項(xiàng)D正確。]
3．(人教版必修第二冊(cè)習(xí)題改編)若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的第一宇宙速度約為(　　)
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
√
C　[設(shè)地球質(zhì)量為M，則該行星質(zhì)量為6M，地球半徑為R，則該行星半徑為1.5R，由萬有引力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得G＝，解得v＝，分別代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s，故C正確。]
細(xì)研考點(diǎn)·突破題型
考點(diǎn)1　開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律
1．行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道通常按圓軌道處理。
2．設(shè)在極短時(shí)間Δt內(nèi)，由開普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在兩個(gè)位
置的速度之比與到太陽的距離成反比，則
近日點(diǎn)的速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小。
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
[典例1]　(2024·山東卷)鵲橋二號(hào)中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行，其24小時(shí)橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(　　)
A．
C．
√
D　[鵲橋二號(hào)中繼星在24小時(shí)橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，由開普勒第三定律有＝k，對(duì)地球同步衛(wèi)星由開普勒第三定律有＝k′，則有＝＝，D正確。]
[典例2]　如圖所示是地球沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行所處不同位置對(duì)應(yīng)的節(jié)氣，下列說法正確的是(　　)
A．夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最大
B．從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周
期的
C．若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉(zhuǎn)周期，則＝k，地球和火星對(duì)應(yīng)的k值是不同的
D．太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上
√
D　[根據(jù)開普勒第二定律可知，地球與太陽中心的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，根據(jù)S＝r·vΔt，可知地球在近日點(diǎn)離太陽最近，地球在近日點(diǎn)的運(yùn)行速度最大，地球在遠(yuǎn)日點(diǎn)離太陽最遠(yuǎn)，地球在遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行速度最小，故夏至?xí)r地球的運(yùn)行速度最小，故A錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知，從冬至到夏至的運(yùn)行時(shí)間為公轉(zhuǎn)周期的，由于從冬至到春分地球的運(yùn)行速度大于從春分到夏至地球的運(yùn)行速度，可知從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于從春分到夏至的運(yùn)行時(shí)間，
故從冬至到春分的運(yùn)行時(shí)間小于公轉(zhuǎn)周期的，故B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，所有繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，則有＝k，其中k與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，地球和火星都是繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)，故地球和火星對(duì)應(yīng)的k值相同，故C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第一定律可知，所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，故太陽既在地球公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，也在火星公轉(zhuǎn)軌道的焦點(diǎn)上，故D正確。]
考點(diǎn)2　萬有引力定律的理解及應(yīng)用
1．萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg2。
2．星體表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度為g(不考慮地球自轉(zhuǎn))，mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝。
3．萬有引力的兩個(gè)推論
(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的各部分萬有引力的合力為0。
(2)推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)它的萬有引力，即F＝G。
角度1　萬有引力與重力的關(guān)系
[典例3]　某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R、質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[設(shè)赤道處的重力加速度大小為g，物體在兩極時(shí)萬有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，在赤道時(shí)萬有引力大小等于重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力的合力大小，即G＝mg＋mω2R，由以上兩式解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝故選B。]
角度2　星體表面上的重力加速度
[典例4]　近幾年來，我國生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄?7 000 m 大關(guān)，我國的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)也組網(wǎng)完成。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐，則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?　　)
A． B．
C． D．
√
C　[設(shè)地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有G＝mg，由于地球的質(zhì)量M＝ρV＝ρ·πR3，聯(lián)立解得g＝πGρR，在深度為d的地球內(nèi)部，“蛟龍?zhí)枴笔艿降厍虻娜f有引力等于半徑為(R－d)的球體表面的重力，“蛟龍?zhí)枴彼幬恢玫闹亓铀俣葹間1＝πGρ(R－d)，聯(lián)立可得＝，衛(wèi)星在高度h處受到的重力，即為在該處受到的萬有引力，即mg2＝，解得g2＝＝g，所以＝，故C正確。]
角度3　天體質(zhì)量和密度的估算
[典例5]　已知在地球表面上，赤道處的重力加速度大小為g1，兩極處的重力加速度大小為g2，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則地球的密度為(　　)
A．· ·
C．· ·
√
D　[設(shè)地球半徑為R，物體在兩極處有＝mg2，物體在赤道處有＝mg1＋mω2R，聯(lián)立解得M＝，R＝，則地球的密度為ρ＝＝，代入地球半徑R＝，解得ρ＝·，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。]
[典例6]　(2023·遼寧卷)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對(duì)應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T1，地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為(　　)
A．k3 B．k3
C．
√
D　[設(shè)太陽、地球、月球的半徑分別為R太、R地、R月，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為r月，地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為r地，根據(jù)題意，由幾何關(guān)系，有＝，根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝m月
r月，＝M地r地，星球的密度ρ地＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。]
規(guī)律方法　估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
①由G ＝mg，得天體質(zhì)量M＝。
②天體密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。
①由G ＝mr，得M＝。
②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。
考點(diǎn)3　宇宙速度及人造衛(wèi)星運(yùn)行參數(shù)的分析與計(jì)算
1．第一宇宙速度的理解
(1)推導(dǎo)
方法一：由G＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
(2)理解：第一宇宙速度是發(fā)射人造地球衛(wèi)星的最小速度，也是人造地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時(shí)它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。
2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
3．靜止衛(wèi)星的特點(diǎn)：六個(gè)“一定”
軌道面一定 軌道平面與赤道平面共面
周期一定 與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h
角速度一定 與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同
高度一定 h＝－R≈6R(恒量)
速率一定 運(yùn)行速率v＝
繞行方向一定 與地球自轉(zhuǎn)的方向一致
[典例7]　(2025·八省聯(lián)考云南卷)神舟十九號(hào)載人飛船與中國空間站完成自主交會(huì)對(duì)接后形成一個(gè)組合體。該組合體在距地面高約400 km(高于近地軌道高度)的軌道上運(yùn)行，其軌道可近似視為圓。已知地球同步衛(wèi)星位于地面上方高度約36 000 km處，則該組合體(　　)
A．運(yùn)行速度大于7.9 km/s，運(yùn)行周期小于地球同步衛(wèi)星的周期
B．運(yùn)行速度大于7.9 km/s，運(yùn)行周期大于地球同步衛(wèi)星的周期
C．運(yùn)行速度小于7.9 km/s，運(yùn)行周期小于地球同步衛(wèi)星的周期
D．運(yùn)行速度小于7.9 km/s，運(yùn)行周期大于地球同步衛(wèi)星的周期
√
C　[根據(jù)G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，組合體的軌道半徑大于近地軌道半徑，可知組合體的運(yùn)行速度小于7.9 km/s；組合體軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，可知組合體的運(yùn)行周期小于地球同步衛(wèi)星的周期，故選C。]
[典例8]　(多選)(2024·天津紅橋一模)三顆人造地球衛(wèi)星A、B、C繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知mA＝mBA．運(yùn)行線速度大小關(guān)系為vA>vB＝vC
B．運(yùn)行角速度大小關(guān)系為ωA>ωB＝ωC
C．向心力大小關(guān)系為FA＝FBD．軌道半徑與運(yùn)行周期關(guān)系為＝＝
√
√
√
ABD　[根據(jù)萬有引力提供向心力有F＝G＝m＝mω2r，所以F＝G，v＝，ω＝，所以vA>vB＝vC，ωA>ωB＝ωC，F(xiàn)A>FB，F(xiàn)B[典例9]　(2024·廣西貴港一模)2024年2月23日，長征五號(hào)遙七運(yùn)載火箭搭載通信技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星十一號(hào)發(fā)射成功，被譽(yù)為龍年首發(fā)。衛(wèi)星進(jìn)入地球同步軌道后，主要用于開展多頻段、高速率衛(wèi)星通信技術(shù)驗(yàn)證。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法正確的是(　　)
A．地球同步衛(wèi)星可以靜止在北京上空
B．同步衛(wèi)星運(yùn)行速度是第一宇宙速度的
C．同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的
D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，則同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的
√
B　[地球同步衛(wèi)星不可能靜止在北京上空，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心力G ＝m，可得v＝，則＝＝，故B正確；同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，則＝＝n，故C錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系G＝mg，根據(jù)牛頓第二定律G ＝ma，可得a＝g，故D錯(cuò)誤。]
[典例10]　有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星：a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動(dòng)；b在地球的近地圓軌道上正常運(yùn)行；c是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測(cè)衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．a(chǎn)的向心加速度大于b的向心加速度
B．四顆衛(wèi)星的線速度大小關(guān)系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同時(shí)間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長
D．d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30 h
√
D　[由題意可知，衛(wèi)星a、c的角速度相同，根據(jù)an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c，b、c是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有G ＝man，得an＝，可知b的向心加速度大于c，綜上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍、c的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可知a的線速度大小小于c，即va＜vc，b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有G
＝m， 得v＝，因rb＜rc＜rd，則vb＞vc＞vd，故B錯(cuò)誤；因b的線速度最大，則在相同時(shí)間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長，故C錯(cuò)誤；c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力得T＝2π，因d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c的周期，而c的周期是24 h，則d的運(yùn)動(dòng)周期可能是30 h，故D正確。]
規(guī)律方法　衛(wèi)星運(yùn)行參量分析問題的解題技巧
(1)天體(包括衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可簡化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型。
(2)靈活運(yùn)用衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程的不同表述形式，G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf )2r。
(3)比較衛(wèi)星與地球表面的物體的運(yùn)動(dòng)參量時(shí)，可以間接通過比較衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的參量來確定。
即時(shí)檢驗(yàn)·感悟高考
1．(2023·江蘇卷)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是(　　)
A．質(zhì)量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的萬有引力大小
√
C　[該人造衛(wèi)星的質(zhì)量不能確定，A錯(cuò)誤；該衛(wèi)星和月球環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，由F＝G可知，該衛(wèi)星、月球受到地球的萬有引力大小不確定，所以二者的向心力大小也不能確定，B、D錯(cuò)誤；由牛頓第二定律得G＝ma，解得a＝G，因?yàn)樵撔l(wèi)星與月球的軌道半徑相等，所以二者向心加速度大小相等，C正確。]
2．(2024·新課標(biāo)卷)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
√
B　[由G＝mr可得M＝，故＝＝ ≈ 0.1，B正確。]
3．(多選)(2024·河北卷)2024年3月20日，鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空，為嫦娥六號(hào)在月球背面的探月任務(wù)提供地月間中繼通信。鵲橋二號(hào)采用周期為24 h的環(huán)月橢圓凍結(jié)軌道(如圖)，近月點(diǎn)A距月心約為2.0×103 km，遠(yuǎn)月點(diǎn)B距月心約為1.8
×104 km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說
法正確的是(　　)
A．鵲橋二號(hào)從C經(jīng)B到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12 h
B．鵲橋二號(hào)在A、B兩點(diǎn)的加速度大小之比約為 81∶1
C．鵲橋二號(hào)在C、D兩點(diǎn)的速度方向垂直于其與月心的連線
D．鵲橋二號(hào)在地球表面附近的發(fā)射速度大于7.9 km/s 且小于
11.2 km/s
√
√
BD　[鵲橋二號(hào)從C經(jīng)B到D過程與月心連線掃過的面積大于鵲橋二號(hào)從D經(jīng)A到C過程與月心連線掃過的面積，由開普勒第二定律可知，鵲橋二號(hào)從C經(jīng)B到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1大于鵲橋二號(hào)從D經(jīng)A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2，又t1＋t2＝T，故t1＞＝12 h，A錯(cuò)誤；鵲橋二號(hào)運(yùn)動(dòng)過程中，由牛頓第二定律有G＝ma，則鵲橋二號(hào)在A、B兩點(diǎn)的加速度大
小之比＝≈，B正確；由速度方向?yàn)檐壽E切線方向，結(jié)合幾何關(guān)系可知，鵲橋二號(hào)在C、D兩點(diǎn)的速度方向不垂直于其與月心的連線，C錯(cuò)誤；由于鵲橋二號(hào)的軌道為環(huán)月橢圓軌道，則鵲橋二號(hào)在地球表面附近的發(fā)射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)，又其沒有完全脫離地球的束縛，所以其發(fā)射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)且小于第二宇宙速度(11.2 km/s)，D正確。]
4．(2023·廣東卷)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于P的遮擋，探測(cè)器探測(cè)到Q的亮度隨時(shí)間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(　　)
A．周期為2t1－t0
B．半徑為
C．角速度的大小為
D．加速度的大小為
√
B　[由題圖(b)可知探測(cè)器探測(cè)到Q的亮度隨時(shí)間變化的周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期為t1－t0，故A錯(cuò)誤；P繞Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力可得G＝mr，解得半徑為r＝，故B正確；P的角速度為ω＝＝，故C錯(cuò)誤；P的加速度大小為a＝ω2r＝·＝·，故D錯(cuò)誤。]
課時(shí)數(shù)智作業(yè)(十一)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．對(duì)于開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解，下列說法正確的是(　　)
A．開普勒通過自己長期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，通過對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律
B．根據(jù)開普勒第一定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓，太陽處于圓心位置
12
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C．根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大；距離太陽越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小
D．根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
12
√
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[第谷進(jìn)行了長期觀測(cè)，記錄了大量數(shù)據(jù)，開普勒通過對(duì)數(shù)據(jù)研究總結(jié)得出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，A錯(cuò)誤；行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，太陽處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律，行星距離太陽越近，其運(yùn)動(dòng)速度越大，距離太陽越遠(yuǎn)，其運(yùn)動(dòng)速度越小，C正確；根據(jù)開普勒第三定律，行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)軌道的半長軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方成正比，D錯(cuò)誤。]
12
2．(2024·全國甲卷)2024年5月，嫦娥六號(hào)探測(cè)器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是(　　)
A．在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力為零
B．若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力等于零
C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同
D．樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
D　[在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯(cuò)誤；若將樣品放置在月球正面，根據(jù)牛頓第三定律可知，它對(duì)月球表面的壓力等于月球?qū)λ闹С至Γ鶕?jù)力的平衡條件可知，月球?qū)λ闹С至Φ扔谒谠虑蛏系闹亓Γ粸榱悖仕鼘?duì)月球表面的壓力不為零，B錯(cuò)誤；質(zhì)量是物體的固有屬性，不會(huì)隨受到的引力的變化而變化，C錯(cuò)誤；由于月球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球表面的小，結(jié)合B項(xiàng)分析可知，樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力較其放在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小，D正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(2025·八省聯(lián)考陜西卷)神舟十九號(hào)載人飛船與中國空間站在2024年10月順利實(shí)現(xiàn)第五次“太空會(huì)師”，飛船太空艙與空間站對(duì)接成為整體，對(duì)接后的空間站整體仍在原軌道穩(wěn)定運(yùn)行，則對(duì)接后的空間站整體相對(duì)于對(duì)接前的空間站(　　)
A．所受地球的萬有引力變大
B．在軌飛行速度變大
C．在軌飛行周期變大
D．在軌飛行加速度變大
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A　[對(duì)接后，空間站的質(zhì)量變大，軌道半徑不變，根據(jù)萬有引力表達(dá)式F＝G可知，空間站所受地球的萬有引力變大，故A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力G＝ma＝m＝mr，可得a＝，v＝，T＝2π，軌道半徑不變，則在軌飛行速度不變，在軌飛行周期不變，在軌飛行加速度不變，故選A。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空。當(dāng)?shù)诌_(dá)距離月球表面某高度時(shí)，鵲橋二號(hào)開始進(jìn)行近月制動(dòng)，并順利進(jìn)入捕獲軌道運(yùn)行，如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進(jìn)入凍結(jié)軌道運(yùn)行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．周期約為144 h
B．近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度
C．近月點(diǎn)的速度小于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度
D．近月點(diǎn)的加速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B　[凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據(jù)開普勒第三定律得＝，整理得T2＝≈288 h，A錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律得，近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，B正確；鵲橋二號(hào)在近月點(diǎn)從捕獲軌道到凍結(jié)軌道進(jìn)行近月制動(dòng)，在捕獲軌道近月點(diǎn)的速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度，C錯(cuò)誤；鵲橋二號(hào)在兩軌道的近月點(diǎn)所受的萬有引力相同，根據(jù)牛頓第二定律可知，在捕獲軌道近月點(diǎn)的加速度等于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度，D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·八省聯(lián)考河南卷)水星是太陽系中距離太陽最近的行星，其平均質(zhì)量密度與地球的平均質(zhì)量密度可視為相同。已知水星半徑約為地球半徑的，則靠近水星表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星與地球近地衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小之比約為(　　)
A．64∶9 B．8∶3
C．3∶8 D．9∶64
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[由萬有引力提供向心力G＝m，解得v＝＝＝，所以＝＝＝，故選C。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(多選)(2024·湖南卷)2024年5月3日，嫦娥六號(hào)探測(cè)器順利進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，正式開啟月球之旅。相較于嫦娥四號(hào)和嫦娥五號(hào)，本次的主要任務(wù)是登陸月球背面進(jìn)行月壤采集，并通過升空器將月壤轉(zhuǎn)移至繞月運(yùn)行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設(shè)返回艙繞月運(yùn)行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的，月球半徑約為地球半徑的。關(guān)于返回艙在該繞月軌道上的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．其相對(duì)于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相對(duì)于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的倍
D．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的倍
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
BD　[地球第一宇宙速度等于衛(wèi)星在近地軌道的環(huán)繞速度，根據(jù)萬有引力定律知G＝m，結(jié)合mg＝G得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回艙相對(duì)月球的速度小于地球第一宇宙速度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)萬有引力定律知，在近地(月)軌道上有G＝mR，又GM＝gR2，得T＝，可得＝·＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多選)如圖所示，赤道面內(nèi)的同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小為a2，第一宇宙速度大小為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是(　　)
A．＝ ＝
C．＝ ＝
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
AD　[根據(jù)萬有引力提供向心力，有G＝，G＝，故＝；對(duì)于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同點(diǎn)是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，故選AD。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(多選)已知火星半徑是地球半徑的，質(zhì)量是地球質(zhì)量的，自轉(zhuǎn)周期基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下列說法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．該人以相同的初速度在火星上起跳時(shí)，可跳起的最大高度是
B．火星表面的重力加速度是g
C．火星的平均密度是地球平均密度的
D．該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
√
ABC　[根據(jù)萬有引力定律得F＝G，知＝＝×22＝，該人在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的，故D錯(cuò)誤；根據(jù)G＝mg，可得＝＝×22＝，則火星表面的重力加速度為g，故B正確；根據(jù)ρ＝∝，可得＝
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
＝×23＝，故C正確；因?yàn)榛鹦潜砻娴闹亓铀俣仁堑厍虮砻嬷亓铀俣鹊模鶕?jù)h＝知該人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的，為h，故A正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(2024·遼寧卷)如圖(a)所示，將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖(b)所示(不考慮自轉(zhuǎn)影響)。設(shè)地球、該天體的平均密度分別為ρ1和ρ2，地球半徑是該天體半徑的n倍。的值為(　　)
A．2n B．
C．
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[在地球表面，小球處于平衡位置時(shí)有m0g1＝k·2A，在該天體表面，小球處于平衡位置時(shí)有m0g2＝kA，聯(lián)立解得＝，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，則＝＝，C正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2024·黑龍江齊齊哈爾三模)我國某手機(jī)實(shí)現(xiàn)了手機(jī)衛(wèi)星通信，只要有衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地方，就可以實(shí)現(xiàn)通話。如圖所示，三顆赤道上空的通信衛(wèi)星就能實(shí)現(xiàn)環(huán)赤道全球通信，已知三顆衛(wèi)星的離地高度均為h，地球的半徑為R，地球同步
衛(wèi)星的離地高度為6R，地球表面重力加
速度為g，引力常量為G，下列說法正確
的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．三顆通信衛(wèi)星受到地球的萬有引力大小相等
B．三顆通信衛(wèi)星的線速度大小為
C．通信衛(wèi)星和地球自轉(zhuǎn)周期之比為
D．能實(shí)現(xiàn)全球通信時(shí)，衛(wèi)星離地面高度至少為2R
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B　[通信衛(wèi)星受到地球的萬有引力大小為F＝G，因三顆通信衛(wèi)星的質(zhì)量未知，故三顆通信衛(wèi)星受到地球的萬有引力大小不一定相等，A錯(cuò)誤；對(duì)通信衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，有G ＝m，在地球表面有G＝m′g，聯(lián)立解得三顆通信衛(wèi)星的線速度大小為v＝，B正確；由萬有引力提供向心力，有G ＝mr，
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
故通信衛(wèi)星和地球自轉(zhuǎn)周期之比為＝，C錯(cuò)誤；三顆通信衛(wèi)星若要全面覆蓋，由幾何關(guān)系有sin 30°＝，解得h＝R，所以通信衛(wèi)星離地高度至少為R，D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．一航天員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做了如下實(shí)驗(yàn)：用不可伸長的輕繩連接一質(zhì)量為m的小球，上端固定于O點(diǎn)，如圖甲所示。在最低點(diǎn)給小球一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得輕繩拉力F的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，F(xiàn)1＝7F2，設(shè)R、m、引力常量G和F2均為已知量，忽略
各種阻力。下列說法正確的是(　　)
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．該星球表面的重力加速度為
B．該星球的密度為
C．該星球的第一宇宙速度為
D．衛(wèi)星繞該星球運(yùn)行的最小周期為2π
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
D　[由題知小球在最低點(diǎn)時(shí)輕繩的拉力為F1，此時(shí)設(shè)速度為v1，繩長為L，則F1－mg＝，由題知小球在最高點(diǎn)時(shí)輕繩的拉力為F2，設(shè)此時(shí)速度為v2，則F2＋mg＝，由機(jī)械能守恒定律得＝，聯(lián)立解得g＝，因?yàn)镕1＝7F2，所以該星球表面的重力加速度為g＝，A錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力提供向心
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
力，得＝m1，衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v＝，在星球表面，萬有引力近似等于重力，＝m2g，解得M＝＝，星球的密度ρ＝＝＝，衛(wèi)星繞該星球的第一宇宙速度為v＝＝，B、C錯(cuò)誤；衛(wèi)星繞該星球運(yùn)行的最小周期由m3g＝m3R，解得T＝2π， D正確。]
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)是F0。
(1)若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1，求比值的表達(dá)式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)；
(2)若在赤道地面稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式。
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解析]　(1)在北極地面稱量時(shí)，物體受到的重力等于地球的引力，則G＝F0
在北極上空高出地面h處稱量時(shí)，有
G＝F1
則＝
當(dāng)h＝1.0%R時(shí)，≈0.98。
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)在赤道地面稱量時(shí)，考慮地球的自轉(zhuǎn)，地球的引力提供重力(大小等于彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù))與物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力；在赤道上小物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬有引力和彈簧測(cè)力計(jì)的作用力，有G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[答案]　(1)＝　0.98　(2)＝1－
謝 謝 ！

展開更多......

收起↑