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(共87張PPT)
第四章　曲線運動　萬有引力與宇宙航行
思維進階課五　天體運動的三類熱點問題
[學習目標]　1．會分析衛星的變軌過程及各物理量的變化。
2．會分析衛星的追及、相遇及對接類問題。
3．掌握雙星或多星模型的特點，會解決相關問題。
進階1　衛星的變軌問題
1．變軌原理
(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上，衛星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，
有＝m，如圖所示。
(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，所需向心力變大
，即萬有引力不足以提供衛星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。
速度關系 在A點加速：vⅡA＞vⅠ，
在B點加速：vⅢ＞vⅡB，
即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB
(向心)加 速度關系 aⅢ＝aⅡB
aⅡA＝aⅠ
周期關系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
機械能關系 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
2．變軌過程各物理量比較
[典例1]　(2024·湖北卷)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實
現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其
半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
√
A　[根據a＝可知，空間站變軌前、后在P點的加速度相同，A正確；由于變軌后的軌道半長軸大于變軌前的軌道半徑，則根據開普勒第三定律可知，空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，B錯誤；變軌時，空間站噴氣加速，因此變軌后其在P點的速度比變軌前的大，C錯誤；變軌后，空間站在近地點的速度最大，大于變軌后在P點的速度，結合C項分析可知，變軌后空間站在近地點的速度大于變軌前的速度，D錯誤。]
[典例2]　(2024·四川成都三模)2024年4月3日，遙感四十二號01星在西昌衛星發射中心順利升空，衛星的軌道如圖所示，其中Ⅰ和Ⅲ為高度不同的圓軌道，橢圓軌道Ⅱ分別與Ⅰ和Ⅲ相切于P點和Q點。下列說法正確的是(　　)
A．衛星在軌道Ⅱ上從P點運動到Q點的過程中動能增大
B．衛星在軌道Ⅱ上運行的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期
C．衛星在軌道Ⅰ上經過P點的速度大于在軌道Ⅱ上經過P點的速度
D．衛星在軌道Ⅱ上經過Q點的加速度小于在軌道Ⅲ上經過Q點的加速度
√
B　[衛星在橢圓軌道Ⅱ上經過P點時的速度是近地點速度，大于遠地點速度，即在軌道Ⅱ上經過Q點時的速度，故從P點運動到Q點的過程中動能減小，故A錯誤；根據開普勒第三定律有＝k，軌道Ⅱ的半長軸小于軌道Ⅲ的半徑，可知衛星在軌道Ⅱ上運行的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期，故B正確；衛星在軌道Ⅰ上經過P點加速后做離心運動，故衛星在軌道Ⅰ上經過P點的速度小于在軌道Ⅱ上經過P點的速度，故C錯誤；無論衛星在哪個軌道上運行，都是只受地球的萬有引力作用，由牛頓第二定律有G＝ma，可得加速度a＝，可知在同一位置，衛星的加速度相等，故D錯誤。]
[典例3]　(多選)2024年5月3日，嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航天發射場成功發射，之后準確進入地月轉移軌道，發射任務取得圓滿成功。如圖所示為“嫦娥六號”登月軌跡示意圖。圖中M點為環地球運行的近地點，N點為環月球運行的近月點。a為環月球運行的圓軌道，b為環月球運行的橢圓軌道，下列說法正確的是(　　)
A．“嫦娥六號”在環地球軌道上的運行速度大于 11.2 km/s
B．“嫦娥六號”在M點進入地月轉移軌道時應點火加速
C．設“嫦娥六號”在圓軌道a上經過N點時的加速度為a1，在橢圓軌道b上經過N點時的加速度為a2，則a1＞a2
D．“嫦娥六號”在圓軌道a上的機械能小于在橢圓軌道b上的機械能
√
√
BD　[“嫦娥六號”在環地球軌道上的運行速度不可能大于11.2 km/s，故A錯誤；“嫦娥六號”需在M點點火加速進入地月轉移軌道，故B正確；由a＝知“嫦娥六號”在經過圓軌道a上的N點和經過橢圓軌道b上的N點時的加速度相等，故C錯誤；“嫦娥六號”從b軌道轉移到a軌道需要減速，機械能減小，故D正確。]
進階2　衛星追及、相遇及對接問題
1．衛星的追及、相遇問題：是指圍繞同一中心天體運行而且軌道共面的兩個衛星間相距“最近”或“最遠”的問題。以繞地球運行的兩衛星為例：
(1)相距最近：當兩衛星位于和地球連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近(如圖甲)。
(2)相距最遠：當兩衛星位于和地球連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠(如圖乙)。
(3)兩個關鍵關系：兩衛星同向運行，從圖甲位置開始計時。
角度關系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1，2，3，…)，即兩衛星轉過的角度之差等于2π的整數倍時相距最近
相距最遠 ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1，2，3，…)，即兩衛星轉過的角度之差等于π的奇數倍時相距最遠
圈數關系 相距最近 －＝n，(n＝1，2，3，…)
相距最遠 －＝n－，(n＝1，2，3，…)
2．衛星的對接問題
(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接，如圖甲所示，低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。
(2)同一軌道飛船與空間站對接，如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當控制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。
角度1　衛星追及、相遇問題
[典例4]　如圖所示，衛星甲、乙均繞地球做勻速圓周運動，軌道平面相互垂直，乙的軌道半徑是甲的倍。將兩衛星和地心在同一直線且甲、乙位于地球同側的位置稱為相遇，則從某次相遇后，甲繞地球運動15圈的時間內，甲、乙衛星將相遇(　　)
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
√
D　[根據開普勒第三定律有＝，解得T乙＝7T甲，從題圖所示時刻開始，乙轉動半圈，甲轉動3.5圈，相遇一次，此后乙每轉動半圈，兩個衛星就相遇一次，則甲運動15圈的時間內，甲、乙衛星將相遇4次。故選D。]
[典例5]　(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據以上信息可以得出(　　)
A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D．下一次火星沖日將出現在2023年12月8日之前
√
B　[由題意得火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，根據開普勒第三定律得＝＝，A錯誤；當火星與地球相距最遠時，火星和地球分居太陽兩側，兩者的速度方向相反，故地球和火星相對速度最大，B正確；忽略天體自轉產生的影響，根據物體在天體表面所受的重力等于萬有引力得g＝，根
據題目中所給條件無法計算出比例關系，C錯誤；設經過時間t會再次出現“火星沖日”，地球比火星多運動一周，則－＝1，所以t＝年>1年，D錯誤。]
角度2　衛星對接問題
[典例6]　北京時間2024年10月30日11時00分，神舟十九號載人飛船成功對接于空間站天和核心艙徑向端口，整個自主交會對接過程歷時約6.5小時。徑向交會對接指飛船沿垂直空間站的運動方向與其對接，載人飛船經過多次變軌和姿態調整來到距離空間站約2千米的中途瞄準點，最后在空間站正下方200米處啟動動力設備始終沿徑向靠近空間站完成對接，則此過程中(　　)
A．飛船到達中途瞄準點前的環繞周期大于空間站的環繞周期
B．飛船到達中途瞄準點后具有的動能大于空間站的動能
C．飛船處于空間站正下方200 米處時繞地球運行的線速度略小于空間站的線速度
D．空間站與飛船對接后軌道高度會略微降低
√
C　[對飛船，由萬有引力提供向心力得G＝mr，可得T＝2π，由上式可知，飛船到達中途瞄準點前的環繞周期小于空間站的環繞周期，故A錯誤；根據G＝m可得v＝，可知飛船到達中途瞄準點后的速度大于空間站的速度，但二者質量未知，所以無法比較動能，故B錯誤；飛船沿徑向接近空間站過程中，始終
在空間站正下方，所以需要控制飛船繞地球運行的角速度等于空間站的角速度，根據v＝ωr，飛船繞地球運行的線速度小于空間站的線速度，飛船沿徑向到達空間站與之對接時的線速度相同，由萬有引力提供向心力可知，對接后軌道高度不會降低，故C正確，D錯誤。]
進階3　雙星或多星模型
模型1　雙星模型
模型
兩星彼此間的萬有引力提供向心力，即：
＝r1
＝r2
特點
(1)兩星繞行方向、周期及角速度都相同，即：T1＝T2，ω1＝ω2
(2)兩星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L
(3)兩星做圓周運動的半徑r1、r2與星體質量成反比，即：＝
(4)兩星的運動周期T＝2π
(5)兩星的總質量m＝m1＋m2＝
[典例7]　如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發生周期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測發現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知引力
常量為G，則(　　)
A．恒星A、B運動的周期為T
B．恒星A的質量小于B的質量
C．恒星A、B的總質量為
D．恒星A的線速度大于B的線速度
√
C　[每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，則兩恒星的運動周期為T′＝2T，故A錯誤；根據萬有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB, 又rAmB，故B錯誤；由B選項分析得，兩恒星總質量為m＝mA＋mB＝，故C正確；兩恒星角速度相等，根據v＝ωr，則vA類型 三星模型 四星模型
結構圖
模型2　多星模型
類型 三星模型 四星模型
運動情境 質量相等的兩行星繞位于圓心的恒星做勻速圓周運動，三星始終位于同一直線上 質量相等的三星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做勻速圓周運動 質量相等的四星位于正方形的四個頂點上，沿外接于正方形的圓軌道做勻速圓周運動 質量相等的三星位于以恒星為中心的正三角形的三個頂點，繞正三角形的外接圓做勻速圓周運動
類型 三星模型 四星模型
向心力 每顆星做圓周運動的向心力均由系統內其余星對它的萬有引力的合力提供
運動量 每顆星做圓周運動的轉動方向、周期、角速度、線速度的大小均相同
[典例8]　(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，三星質量也相同。現已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示。設兩種系統中三個星體的質量均為m，且兩種系統中各星間的距離已在圖甲、圖乙中標出，引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)
A．直線三星系統中星體做圓
周運動的線速度大小為
B．直線三星系統中星體做圓周運動的周期為4π
C．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的角速度為2
D．三角形三星系統中每顆星做圓周運動的加速度大小為
√
√
BD　[在直線三星系統中，星體做圓周運動的向心力由其他兩星對它的萬有引力的合力提供，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有G＋G＝m，解得v＝，A錯誤；由周期T＝知直線三星系統中星體做圓周運動的周期為T＝4π， B正確；同理，
對三角形三星系統中做圓周運動的星體有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C錯誤；由2Gcos 30°＝ma得a＝，D正確。]
[典例9]　(多選)如圖所示為一種四顆星體組成的穩定系統，四顆質量均為m的星體位于邊長為L的正方形的四個頂點，四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動，忽略其他星體對它們的作用，引力常量為G。下列說法正確的是(　　)
A．星體做勻速圓周運動的圓心不一定是正方形的中心
B．每個星體做勻速圓周運動的角速度均為
C．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，則星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的兩倍
D．若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，則星體做勻速圓周運動的線速度大小不變
√
√
BD　[四顆星體在同一平面內圍繞同一點做勻速圓周運動，所以星體做勻速圓周運動的圓心一定是正方形的中心，故A錯誤；由G＋G＝mω2·L可知ω＝，故B正確；由G＋G＝ma可知，若邊長L和星體質量m均為原來的兩倍，則星體做勻速圓周運動的加速度大小是原來的，故C錯誤；由
G＋G＝m可知，星體做勻速圓周運動的線速度大小為v＝，所以若邊長L和星體質量m均是原來的兩倍，則星體做勻速圓周運動的線速度大小不變，故D正確。]
思維進階特訓(五)
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1．如圖所示，天舟五號與空間站天和核心艙成功對接全程僅用了2小時，創世界最快交會對接紀錄，標志著我國航天交會對接技術取得了新突破。在交會對接的最后階段，天舟五號與空間站處于同一軌道上同向運動，兩者的運行軌道均視為圓。要使天舟五號
在同一軌道上追上空間站實現對接，天舟五號噴
射燃氣的方向可能正確的是(　　)
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A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
A　[要想使天舟五號與空間站在同一軌道上對接，則需要使天舟五號加速，與此同時要想不脫離原軌道，根據F＝m，則必須要增加向心力，即噴氣時產生的推力一方面有沿軌道向前的分量，另一方面還要有指向地心的分量，而因噴氣產生的推力與噴氣方向相反，故選A。]
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2．(2024·河北滄州二模)如圖所示，發射一個高軌道人造地球衛星一般需要三步，第一步在地球表面的A點把衛星發射到圓軌道1上，第二步在B點噴火讓衛星在橢圓軌道2上運行，第3步在C點噴火讓衛星在圓軌道3上運行，已知軌道1、3的半徑分
別為R、5R，衛星在軌道1上運行的周期為
T，下列說法正確的是(　　)
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A．衛星的發射點A的緯度越高越好
B．衛星在軌道2上運行經過B點時的線速度小于在軌道1上運行經過B點時的線速度
C．衛星從軌道2變軌到軌道3，需要在C點噴火來減小動能
D．衛星在軌道2上運行的周期為3T
√
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D　[衛星的發射方向從西向東，需要借助地球的自轉線速度，所以發射點A的緯度越低越好，故A錯誤；衛星從軌道1變軌到軌道2，需要在B點噴火來增加線速度，所以衛星在軌道2上運行經過B點時的線速度大于在軌道1上運行經過B點時的線速度，故B錯誤；與B點同理，衛星從軌道2變軌到軌道3，需要在C點噴火來增加線速度實現變軌，即增加動能來實現，故C錯誤；橢圓軌道2的半長軸為r＝＝3R，由開普勒第三定律可得＝，則有T橢＝3T，故D正確。]
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3．太陽系中各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。行星沖日是指某行星、地球和太陽幾乎排成一直線的狀態，地球位于太陽與該行星之間。已知相鄰兩次沖日的時間間隔火星約為800天，土星約為378天，則(　　)
A．火星公轉周期約為1.8年
B．火星的公轉周期比土星的公轉周期大
C．火星的公轉軌道半徑比土星的公轉軌道半徑大
D．火星和土星的公轉軌道半徑之比為
√
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A　[根據開普勒第三定律，行星軌道半徑的三次方與周期T的平方的比值相等，由于地球的軌道半徑比火星的軌道半徑小，故可知地球的周期比火星的小，設火星相鄰兩次沖日的時間間隔為t，則在時間t內地球比火星繞太陽多轉一周(2π弧度)，有：ω0t－ω1t＝2π，ω0＝，ω1＝，故t－t＝2π，即－＝1，解得T1＝≈671天≈1.8年，A正確；同理土星的周期為T2＝≈10 613天≈29.1年，
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故火星的公轉周期比土星的公轉周期小，B錯誤；根據開普勒第三定律，行星軌道半徑的三次方與周期T的平方的比值相等，可知火星的公轉軌道半徑比土星的公轉軌道半徑小，C錯誤；火星和土星的公轉軌道半徑之比為＝，D錯誤。]
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4．火星探測器天問一號成功發射，標志著我國已經開啟了探索火星之旅。如圖所示，天問一號通過虛線橢圓軌道從地球軌道到達火星軌道，已知橢圓軌道近日點A距離太陽中心距離為rA，遠日點B距離太陽中心距離為rB，地球、火星繞太陽的運動
近似為勻速圓周運動，下列說法正確的是(　　)
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A．地球與火星的速度大小之比為∶
B．天問一號在橢圓軌道A和B處的速度大小之比等于rA∶rB
C．天問一號在橢圓軌道A和B處的加速度大小之比等于rB∶rA
D．要實現從橢圓軌道B處進入火星軌道，天問一號需向前噴氣
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A　[根據G＝m，得到v＝，則地球與火星的速度大小之比為∶，選項A正確；根據開普勒第二定律有vA·Δt·rA＝vB·Δt·rB，解得vA∶vB＝rB∶rA，選項B錯誤；根據牛頓第二定律有a＝＝，所以aA∶aB＝，選項C錯誤；從橢圓軌道B處進入火星軌道應加速，需要向后噴氣，選項D錯誤。]
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5．(2024·浙江溫州一模)我國成功發射神舟七號載人飛船，隨后航天員圓滿完成了太空出艙任務并釋放了“伴飛”小衛星。載人飛船在固定的軌道上做勻速圓周運動，“伴飛”小衛星與載人飛船相對靜止，“伴飛”小衛星有多種伴飛模式，
圖1和圖2是其中的兩種伴飛模式，則下
列說法正確的是(　　)
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A．載人飛船的速度大小介于7.9 km/s到11.2 km/s之間
B．圖1的伴飛模式下，“伴飛”小衛星的線速度大小大于載人飛船的線速度大小
C．圖2模式下的“伴飛”小衛星只需向后噴出氣體，加速后，就可以和載人飛船對接
D．圖1和圖2這兩種伴飛模式下，“伴飛”小衛星的角速度大小是相等的
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D　[第一宇宙速度7.9 km/s是衛星繞地球做勻速圓周運動的最大線速度，則載人飛船的速度大小小于7.9 km/s，故A錯誤；“伴飛”小衛星與載人飛船相對靜止，可知題圖1和題圖2這兩種伴飛模式下，“伴飛”小衛星的角速度大小是相等的，都與載人飛船的角速度大小相等，根據v＝ωr，題圖1的伴飛模式下，由于“伴飛”小衛星的軌道半徑小于載人飛船的軌道半徑，則“伴飛”小衛星的線速度大小小于載人飛船的線速度大小，故B錯誤，D正確；題圖2模式下“伴飛”小衛星向后噴出氣體，加速后將做離心運動，變軌到更高的軌道，不可能與載人飛船對接，故C錯誤。]
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6．(2024·浙江金華十校高三模擬)2024年9月28日發生土星沖日現象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成一條線，地球位于太陽與土星之間。此時土星被太陽照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞
太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，
土星約29.5年繞太陽一周。則(　　)
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A．土星的運行速度比地球的運行速度大
B．根據題目中的數據可知土星表面重力加速度的數值比地球表面的大
C．每隔約1.04年發生一次土星沖日
D．在相同時間內，土星—太陽中心連線掃過的面積與地球—太陽中心連線掃過的面積相等
√
C　[根據萬有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，土星的公轉半徑較大，所以土星的運行速度比地球的運行速度小，故A錯誤；根據星球表面萬有引力與重力的關系有G＝mg，解得g＝，題中土星和地球的質量、半徑均未知，無法分析重力加速度，故B錯誤；設每隔Δt時間出現一次土星沖日現象，則有－＝1，解得Δt≈1.04年，故C正確；根據開普勒第二定律可知，同一個行星在相同的時間內和太陽中心連線掃過的面積相等，故D錯誤。]
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7．質量均為m的兩個星球A和B，相距為L，它們圍繞著連線的中點做勻速圓周運動。觀測到兩星球的運行周期T小于按照雙星模型計算出的周期T0，且＝k。于是有人猜想在A、B連線的中點有一未知天體C，假如猜想正確，則C的質量為(　　)
A．m B．m
C．m D．m
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A　[兩星球繞連線的中點轉動，則有G＝·，所以T0＝2π，由于天體C的存在，星球所需的向心力由兩個力的合力提供，則 G＋G＝m·，又＝k，聯立解得M＝m，可知A正確，B、C、D錯誤。]
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8．(多選)在宇宙中當一顆恒星靠近黑洞時，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統。在相互繞行的過程中，質量較大的恒星上的物質會逐漸被吸入到質量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X-1就是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，如圖所示。在剛開始吞噬的較短時間內，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
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A．兩者之間的萬有引力變大
B．黑洞的角速度變大
C．恒星的線速度變大
D．黑洞的線速度變大
√
題號
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√
AC　[假設恒星和黑洞的質量分別為M、m，環繞半徑分別為R、r，且m＜M，兩者之間的距離為L，則根據萬有引力定律有G＝F，剛開始恒星和黑洞的距離不變，隨著黑洞吞噬恒星，M、m的乘積變大，兩者之間的萬有引力變大，故A正確；雙星系統屬于同軸轉動的模型，角速度相等，根據萬有引力提供向心力有G＝mω2r＝
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Mω2R，其中R＋r＝L，解得角速度ω＝ ，兩者的質量之和不變，則角速度不變，故B錯誤；根據mω2r＝Mω2R得＝，因為M減小，m增大，所以R增大，r減小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得
v恒變大，v黑變小，故C正確，D錯誤。]
題號
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9．由中國國家航天局組織實施研制的嫦娥五號是我國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器。如圖所示為嫦娥五號飛行軌跡的簡化圖，其中Q為各繞地軌道的交點，P為各環月軌道的交點。關于嫦娥五號，以下說法正確的是(　　)
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A．在環月軌道1上的機械能比在環月軌道2上的機械能大
B．在繞地軌道1上的周期比在繞地軌道2上的周期大
C．從繞地軌道進入地月轉移軌道需要在Q點加速，而從地月轉移軌道進入環月軌道需要在P點減速
D．無動力情形下，在離地球表面和離月球表面相同高度處的加速度大小相同
√
題號
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C　[嫦娥五號在環月軌道2上的P點減速進入環月軌道1，機械能減小，即在環月軌道1上的機械能比在環月軌道2上的機械能小，A錯誤；根據開普勒第三定律可得＝，由于a2>a1，可得在繞地軌道1上的周期比在繞地軌道2上的周期小，B錯誤；從繞地軌道進入地月轉移軌道在Q點加速，從低軌道進入高軌道，運動到地月轉移軌道月球對嫦娥五號的引力大于地球對嫦娥五號的引力，嫦娥五號被月
題號
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球捕獲，在P點減速，使其繞月飛行，C正確；根據G ＝ma，M＝ρ·πR3，得離地表面h處的加速度為a＝G ，由于地球和月球的平均密度、星球半徑不同，所以無動力情形下，在離地球表面和離月球表面相同高度處的加速度大小不相同，D錯誤。]
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10．(2024·重慶卷)在萬有引力作用下，太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動，假設a、b兩個天體的質量均為M，相距為2r，其連線的中點為O，另一天體c質量為m(m M)，若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置，a、b、c可
視為繞O點做角速度相同的勻速圓周運動，且
相對位置不變，忽略其他天體的影響，引力常
量為G。則(　　)
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A．c的線速度大小為a的倍
B．c的向心加速度大小為b的一半
C．c在一個周期內的路程為2πr
D．c的角速度大小為
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A　[對a由牛頓第二定律有＝Mω2r，可得ω＝，因a、b、c角速度相同，可知D錯誤；如圖所示，設a、c間的距離為L，且a、c連線與a、b連線的夾角為α，則對c由牛頓第二定律有＝mω2L sin α，又r＝L cos α， 可得cos α＝，所以x＝r，由v＝ωr0可知vc＝va，A正確；根據a0＝ω2r0可知ac＝ab，B錯誤；c在一
個周期內的路程為l＝2πx＝2πr，C錯誤。]
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11．(多選)如圖所示，行星a、b的質量分別為m1、m2，中心天體c的質量為M(M遠大于m1及m2)，在萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動。已知行星a、b運動的軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法正確的是(　　)
A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4
C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，
a、b、c共線12次
D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次
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√
√
AD　[根據開普勒第三定律得＝，解得Ta∶Tb＝1∶8，設從圖示時刻起，經過時間t，a、b、c三者在同一條直線上，則有t＋θ＝nπ，其中n＝1，2，3，…，解得t＝，又Tb＝8Ta，解得t＝Tb，令t＝Tb，則有＝1，解得n＝＝14＋，
故在b繞c轉動一周的時間內，有14次a、b、c三
者在同一條直線上，A、D正確，B、C錯誤。]
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12．如圖為發射衛星的示意圖，先將衛星發射到半徑為r1＝r的圓軌道上做勻速圓周運動，到A點時使衛星加速進入橢圓軌道，到橢圓軌道的遠地點B點時，再次改變衛星的速度，使衛星進入半徑為r2＝2r的圓軌道做勻速圓周運動。已知衛星在橢圓軌道上時到地心的距離與速度的乘積為定值，衛星在橢圓軌道上A點時的速度為v，衛星的質量為m，地球的質量為m地，引力常量為G，則發動機在A點對衛星做的功與在B點對衛星做的功之差為(不計衛星的質量變化)(　　)
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A．mv2＋
mv2－
C．mv2＋
mv2－
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√
D　[當衛星在r1＝r的圓軌道上運行時，有G ＝，解得在此圓軌道上運行時通過A點的速度為v0＝，所以發動機在A點對衛星做的功為W1＝＝mv2－；當衛星在r2＝2r的圓軌道上運行時，有 G＝，解得在此圓軌道上運行時通
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過B點的速度為v′0＝，而根據衛星在橢圓軌道上時到地心的距離與速度的乘積為定值可知，在橢圓軌道上通過B點時的速度為v′＝v＝v，故發動機在B點對衛星做的功為W2＝＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正確。]
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13．(多選)如圖所示，假設在太空中有恒星A、B雙星系統繞O點做逆時針勻速圓周運動，運動周期為T1，它們的軌道半徑分別為RA、RB，且RA之間的引力。引力常量為G，則(　　)
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A．恒星A的質量大于恒星B的質量
B．恒星B的質量為MB＝
C．若知道C的軌道半徑，則可求出C的質量
D．三星A、B、C相鄰兩次共線的時間間隔為Δt＝
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√
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AB　[因為雙星系統的角速度相同，故對A、B可得MARAω2＝MBRBω2，則＝，即恒星A的質量大于恒星B的質量，A正確；對恒星A可得 G＝，解得恒星B的質量為MB＝，B正確；對衛星C滿足G＝，可見無法求出衛星C的質量，C錯誤；因A、B始終共線，故A、B、C三星由題中圖示位置到再次共線所用的時間Δt＝，D錯誤。]
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謝 謝 ！

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