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第八章　靜電場
第2節　電場能的性質
[學習目標]　1．知道靜電場中的電荷具有電勢能，理解電勢能、電勢的概念。
2．掌握靜電力做功的特點及靜電力做功與電勢能變化的關系。
3．掌握勻強電場中電勢差及其與電場強度的關系。
4．會處理電場線、等勢面與運動軌跡結合問題。
鏈接教材·夯基固本
1．靜電力做功
(1)特點：與路徑無關，只與____位置和終止位置有關。
(2)計算方法
①W＝______，適用于勻強電場，d為沿電場方向的位移。
②WAB＝________，適用于任何電場。
初始
qEd
qUAB
2．靜電力做功與電勢能變化的關系
(1)靜電力做的功等于電荷電勢能的______，即WAB＝EpA－EpB。靜電力對電荷做多少正功，電荷電勢能就____多少；電荷克服靜電力做多少功，電荷電勢能就____多少。
(2)電勢能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，則EpA＝WAB，即一個電荷在電場中某點具有的電勢能，數值上等于將其從該點移到零電勢能位置過程中靜電力所做的功。
減少量
減少
增加
3．電勢
(1)定義式：φ＝。應用公式時，各量的正負號要代入。
(2)矢標性：標量，但有正負之分，其正(負)表示比______高(低)。
(3)相對性：電勢大小與零電勢點的選取有關。
零電勢
4．等勢面
(1)定義：電場中____相同的點構成的面。
(2)特點：
①在同一等勢面上移動電荷時，靜電力______。
②電場線和等勢面垂直。
③等差等勢面的疏密表示電場的____。
④等勢面不相交。
電勢
不做功
強弱
電場 等勢面(虛線)圖樣 特點
勻強電場 垂直于電場線的一簇平面
點電荷的電場 以點電荷為球心的一簇球面
5．幾種常見等勢面的比較
電場 等勢面(虛線)圖樣 特點
等量異種點電荷的電場 兩電荷連線的中垂面為等勢面
電場 等勢面(虛線)圖樣 特點
等量正點電荷的電場 在兩電荷連線上，中點電勢最__；
在兩電荷連線的中垂線上，中點電勢最__
低
高
6．電勢差
(1)定義式：UAB＝。
(2)靜電力做功與電勢差的關系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)電勢差與電勢的關系：UAB＝__________，UAB＝－UBA。
(4)勻強電場中電勢差與電場強度的關系：U＝Ed。
φA－φB
7．靜電平衡
(1)概念：導體中的自由電荷不再發生________。
(2)特點：
①導體內部電場強度為零。
②導體是等勢體，表面是等勢面，電荷只分布在外表面上。
定向移動
1．易錯易混辨析
(1)電場中電場強度為零的地方電勢一定為零。 (　　)
(2)等勢面是客觀存在的，電場線與等勢面一定垂直。 (　　)
(3)靜電力做功與路徑無關。 (　　)
(4)帶電粒子僅受靜電力作用時，一定從電勢能大的地方向電勢能小的地方移動。 (　　)
×
×
√
×
(5)等差等勢面越密的地方，電場線越密，電場強度越大。 (　　)
(6)電場中電勢降低的方向，就是電場強度的方向。 (　　)
(7)A、B兩點的電勢差與試探電荷無關，所以UAB＝UBA。 (　　)
√
×
×
2．(人教版必修第三冊改編)電荷量為q的電荷在電場中由A點移到B點時，靜電力做功為W，由此可算出兩點間的電勢差為U，若讓電荷量為2q的電荷在電場中由A點移到B點，則(　　)
A．靜電力做功仍為W
B．靜電力做功為
C．兩點間的電勢差仍為U
D．兩點間的電勢差為
√
C　[兩點間電勢差與移動的電荷無關，靜電力做功變為W′＝2qU＝2W，C正確。]
3．(人教版必修第三冊改編)如圖所示，勻強電場的電場強度為E，A與B兩點間的距離為d，AB與電場線的夾角為α，則A、B兩點間的電勢差為(　　)
A．Ed　　　　 B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
√
B　[題圖中A、B兩點之間沿電場方向的距離為d cos α，則電勢差UAB＝E·d cos α，故B正確，A、C、D錯誤。]
細研考點·突破題型
考點1　靜電力做功、電勢和電勢能
1．求靜電力做功的四種方法
2．判斷電勢能變化的兩種常用方法
(1)根據靜電力做功：靜電力做正功，電勢能減少；靜電力做負功，電勢能增加。
(2)根據Ep＝φq：正電荷在電勢越高處電勢能越大；負電荷在電勢越高處電勢能越小。
3．電勢高低的三種常用判斷方法
(1)電場線法：沿電場線方向電勢逐漸降低。
(2)電勢差與電勢的關系：根據UAB＝，將WAB、q的正負號代入，由UAB的正負判斷φA、φB的高低。
(3)Ep與φ的關系：由φ＝知正電荷在電勢能大處電勢較高，負電荷在電勢能大處電勢較低。
[典例1]　(多選)如圖所示，在勻強電場中有一虛線圓，ab和cd是圓的兩條直徑，其中ab與電場方向的夾角為60°，ab＝0.2 m，cd與電場方向平行，a、b兩點的電勢差Uab＝20 V。則(　　)
A．電場強度的大小E＝200 V/m
B．b點的電勢比d點的低5 V
C．將電子從c點移到d點，靜電力做正功
D．電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能
√
√
AD　[根據Uab＝E·ab cos 60°可得電場強度的大小E＝＝ V/m＝200 V/m，A正確；沿電場線電勢逐漸降低，可知b點的電勢比d點的電勢高，B錯誤；將電子從c點移到d點，因電子所受的靜電力方向與位移方向相反，可知靜電力做負功，C錯誤；因a點的電勢低于c點電勢，則電子在a點的電勢能大于在c點的電勢能，D正確。]
[典例2]　(多選)(2024·廣東卷)污水中的污泥絮體經處理后帶負電，可利用電泳技術對其進行沉淀去污，基本原理如圖所示。涂有絕緣層的金屬圓盤和金屬棒分別接電源正、負極、金屬圓盤置于底部、金屬棒插入污水中，形成如圖所示的電場分布，其中實線為電場線，虛線為等勢面。M點和N點在同一電
場線上，M點和P點在同一等勢面上。
下列說法正確的有(　　)
A．M點的電勢比N點的低
B．N點的電場強度比P點的大
C．污泥絮體從M點移到N點，靜電力對其做正功
D．污泥絮體在N點的電勢能比其在P點的大
√
√
AC　[根據沿著電場線方向電勢降低可知M點的電勢比N點的低，污泥絮體帶負電，根據Ep＝qφ可知污泥絮體在M點的電勢能比在N點的電勢能大，污泥絮體從M點移到N點，電勢能減小，靜電力對其做正功，故A、C正確；根據電場線的疏密程度可知N點的電場強度比P點的小，故B錯誤；M點和P點在同一等勢面上，則污泥絮體在M點的電勢能與在P點的電勢能相等，結合AC選項分析可知污泥絮體在P點的電勢能比其在N點的大，故D錯誤。故選AC。]
[典例3]　(多選)(2024·陜西榆林一模)電鰻被稱為“水中的高壓線”，電鰻體內從頭到尾都有一些類似小型電池的細胞，這些細胞就像許多疊在一起的疊層電池，這些“電池”串聯起來后，電鰻的頭和尾之間就產生了很高的電壓，此時電鰻的頭和尾的周圍空間產生類似于等量異種點電荷(O為兩點電荷連線的中點)的強電場。如圖所示，虛線為該電場的等勢線，實線ABCD是以O點為中心的正方形，點A和D在同一等勢線上，點B和C在另一等勢線上。則下列說法正確的是(　　)
A．電鰻的頭部帶正電，尾部帶負電
B．A點與C點的電場強度相同
C．實線ABCD區域內的電場可能是勻
強電場
D．帶正電的試探電荷沿直線從B點移
到C點的過程中，電勢能先增大后減小
√
√
BD　[根據等量異種點電荷的電場線分布規律及沿電場線方向電勢降低，可知，電場方向由電鰻尾部指向電鰻頭部，則電鰻頭部帶負電，尾部帶正電，故A錯誤；A點與C點關于O點對稱，A點與C點的電場強度相同，故B正確；由勻強電場的定義可知，實線ABCD區域內的電場不可能是勻強電場，故C錯誤；帶正電的試探電荷沿直線從B點移到C點的過程中，靜電力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，故D正確。]
考點2　勻強電場電勢差與電場強度的關系
1．勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)關系式：UAB＝Ed，d為A、B兩點沿電場方向的距離。
(2)判斷方法：沿電場強度方向電勢降落最快。
(3)由E＝可推出的兩個重要推論
推論1：如圖甲所示，勻強電場中任一線段AB的中點C的電勢φC＝。
推論2：如圖乙所示，若勻強電場中兩線段AB＝CD且AB∥CD，則φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的應用
①在勻強電場中，沿任意一個方向，電勢降落都是均勻的，故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差大小相等。如果把某兩點間的距離等分為n段，則每段兩端點間的電勢差大小等于原電勢差的，這種通過等分間距求解電勢問題的方法，叫等分法。
②若已知勻強電場中某幾點的電勢，要求其他點的電勢時，一般采用“等分法”，在電場中找與待求點的電勢相同的等勢點。等分法也常用在畫電場線的問題中。
2．非勻強電場中公式U＝Ed的定性應用
(1)判斷電場強度大小：根據E＝，等差等勢面越密，電場強度越大。
(2)判斷電勢差的大小：根據U＝Ed，距離相等的兩點間，E越大，U越大。
角度1　非勻強電場中的定性應用
[典例4]　(2022·福建卷)平時我們所處的地球表面，實際上存在電場強度大小為100 V/m的電場，可將其視為勻強電場，在地面立一金屬桿后空間中的等勢面如圖所示。空間中存在a、b、c三點，其中a點位于金屬桿正上方，b、c等高，則下列說法正確的是(　　)
A．b、c兩點間的電勢差Ubc＝0
B．a點電場強度大小大于100 V/m
C．a點電場強度方向水平向右
D．a點的電勢低于c點
√
B　[由題圖可知，b、c兩點間的電勢差為Ubc＝200 V－300 V＝
－100 V，故A錯誤；由題圖可知，a點與相鄰兩等勢面的距離均小于1 m，電勢差等于100 V，根據E＝可知a點電場強度大小大于 100 V/m，故B正確；根據電場強度方向垂直于等勢面，可知a點的電場強度方向沿豎直方向，不是水平方向，故C錯誤；由題圖可知，a點與c點在同一等勢面上，電勢均為300 V，故D錯誤。]
角度2　等分法的應用
[典例5]　如圖所示，在紙面內有一直角三角形ABC，P1為AB的中點，P2為AP1的中點，BC＝2 cm，∠A＝30°。紙面內有一勻強電場，電子在A點的電勢能為－5 eV，在C點的電勢能為19 eV，在P2點的電勢能為3 eV。下列說法正確的是(　　)
A．A點的電勢為－5 V
B．B點的電勢為－19 V
C．該電場的電場強度方向由B點指向A點
D．該電場的電場強度大小為800 V/m
√
D　[由公式φ＝可知，φA＝＝＝5 V，故A錯誤；＝＝＝－3 V，A、P2間的電勢差為U＝＝5 V－(－3) V＝8 V，φB＝φA－4U＝5 V－4×8 V＝－27 V，故B錯誤；A點到B點電勢均勻降落，設P1B的中點為P3，該點電勢為＝φA－3U＝5 V－3×8 V＝－19 V，而φC＝＝＝－19 V，則P3點與C點為等勢點，連接兩點的直線為等勢線，如圖虛線P3C所示，由幾何關系知，P3C
與AB垂直，所以AB為電場線，又因為沿電場線方向電勢越來越低，所以該電場的電場強度方向是由A點指向B點，電場強度大小為E＝＝ V/cm＝800 V/m，故C錯誤，D正確。]
[典例6]　(人教版必修第三冊)如圖所示，在勻強電場中，將電荷量為－6×10-6 C的點電荷從電場中的A點移到B點，靜電力做了－2.4×10-5 J的功，再從B點移到C點，靜電力做了1.2×10-5 J的功。已知電場的方向與△ABC所在的平面平行。
(1)A、B兩點間的電勢差UAB和B、C兩點間的電勢差
UBC分別為多少？
(2)如果規定B點的電勢為0，則A點和C點的電勢分別為多少？
(3)請在圖中畫出過B點的電場線方向，并說明理由。
[解析]　(1)UAB＝＝ V＝4 V
UBC＝＝ V＝－2 V。
(2)φA＝UAB＋φB＝4 V，φC＝φB－UBC＝2 V。
(3)取AB中點D，φD＝＝2 V＝φC
則DC是等勢線，過點B作DC的垂線就是電場線，電場線方向指向電勢降低的方向，如圖所示。
[答案]　(1)4 V　－2 V　(2)4 V　2 V　(3)見解析
角度3　平行結論法的應用
[典例7]　(多選)(2024·四川廣安月考)如圖所示，在電場中有一等邊三角形OPC，O點位于坐標原點，OC與x軸重合，P點坐標為
(2 cm，2 cm)，A、B分別為OP、PC的中點，坐標系處于勻強電場中，且電場方向與坐標平面平行。已知O點電
勢為6 V，A點電勢為3 V，B點電勢為0，則下列
說法正確的是(　　)
A．C點電勢為3 V
B．C點電勢為0
C．該勻強電場的電場強度大小為100 V/m
D．該勻強電場的電場強度大小為100 V/m
√
√
BD　[找OC的中點D，連接AD和BD，如圖所示，由幾何知識可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A錯誤，B正確；由于φA＝φD，故AD為等勢線，已知電場線和等勢線互相垂直且方向由高電勢指向低電勢，又OB⊥AD，且φO＞φB，故
電場強度方向由O指向B，E＝＝
V/m＝100 V/m, 故C錯誤，D正確。]
考點3　電場線、等勢面及運動軌跡問題
1．帶電粒子在電場中運動軌跡問題的分析方法
(1)判斷速度方向：帶電粒子運動軌跡上某點的切線方向為該點處的速度方向。
(2)判斷靜電力(或電場強度)的方向：僅受靜電力作用時，帶電粒子所受靜電力方向指向軌跡曲線的凹側，再根據粒子電荷的正負判斷電場強度的方向。
(3)判斷靜電力做功的正負及電勢能的增減：若靜電力與速度方向成銳角，則靜電力做正功，電勢能減少；若靜電力與速度方向成鈍角，則靜電力做負功，電勢能增加。
2．一般情況下帶電粒子在電場中的運動軌跡不會與電場線重合，只有同時滿足以下三個條件時，兩者才會重合：
(1)電場線為直線。
(2)電荷初速度為零或初速度方向與電場線平行。
(3)電荷僅受靜電力或所受合力的方向始終與靜電力方向相同或相反。
[典例8]　(2024·福建龍巖一模)一種靜電除塵空氣凈化器，工作原理如圖所示。一重力不計的帶電塵埃僅在靜電力的作用下沿虛線由M點運動到N點，實線為電場線，以放電極中心為圓心的圓交于M、P兩點。下列說法正確的是(　　)
A．帶電塵埃帶正電
B．M、P兩點的電場強度及電勢都相同
C．該帶電塵埃在M點的動能大于在N點的動能
D．該帶電塵埃在M點的電勢能大于在N點的電勢能
√
D　[由題圖可知，根據帶電塵埃的運動軌跡可知，帶電塵埃在M點處受力方向是向下的，所以帶電塵埃是帶負電的，故A錯誤；根據對稱性可知M、P兩點的電場強度大小及電勢都相同，電場方向為該點沿電場線的切線方向，結合題圖中電場線方向可知M點的電場強度方向斜向右上方，P點的電場強度方向斜向左下方，故B錯誤；分析可知N點處等勢線與M點所在電場線相交處位于M點下方，沿著電場線電勢降低，可知M點的電勢小于N點的電勢，塵埃帶負電，故該帶電塵埃在M點的電勢能大于在N點的電勢能，塵埃只受到靜電力作用，電勢能與動能之和保持不變，故在M點的動能小于在N點的動能，故C錯誤，D正確。]
[典例9]　如圖所示，實線為方向未知的三條電場線，虛線1、2、3分別為三條等勢線，三條等勢線與其中一條電場線的交點依次為M、N、Q點，已知MN＝NQ，電荷量相等的a、b兩帶電粒子從等勢線2上的O點以相同的初速度飛出，僅在靜電力作用下，兩粒子的運動軌跡如圖中虛線a′、b′所示，則(　　)
A．a粒子一定帶正電，b粒子一定帶負電
B．M、N兩點間的電勢差大小|UMN|等于N、Q兩點間的電勢差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐漸增大，b粒子的加速度逐漸減小
D．a粒子從出發到等勢線3過程的動能變化量比b粒子從出發到等勢線1過程的動能變化量小
√
D　[由題圖可知，a粒子的軌跡向右彎曲，a粒子所受靜電力方向向右，b粒子的軌跡向左彎曲，b粒子所受靜電力方向向左，由于電場線方向未知，無法判斷粒子的電性，故A錯誤；由題圖可知，a所受靜電力逐漸減小，加速度減小，b所受靜電力逐漸增大，加速度增大，故C錯誤；已知MN＝NQ，由于MN段電場強度大于NQ段電場強度，所以M、N兩點間的電勢差大小|UMN|大于N、Q兩點間的電勢差大小|UNQ|，故B錯誤；根據靜電力做功公式W＝qU，|UMN|>|UNQ|，a粒子從等勢線2到3靜電力做的功小于b粒子從等勢線2到1靜電力做的功，所以a粒子到達等勢線3的動能變化量比b粒子到達等勢線1的動能變化量小，故D正確。]
即時檢驗·感悟高考
1．(2024·河北卷)我國古人最早發現了尖端放電現象，并將其用于生產生活，如許多古塔的頂端采用“傘狀”金屬飾物在雷雨天時保護古塔。雷雨中某時刻，一古塔頂端附近等勢線分布如圖所示，相鄰等勢線電勢差相等，則a、b、c、d四點中電場強度最大的是(　　)
A．a點 B．b點
C．c點 D．d點
√
C　[等差等勢線越密集，電場強度越大，則c點電場強度最大，C正確。]
2．(2024·全國甲卷)在電荷量為Q的點電荷產生的電場中，將無限遠處的電勢規定為零時，距離該點電荷r處的電勢為k，其中k為靜電力常量；多個點電荷產生的電場中某點的電勢，等于每個點電荷單獨存在時該點的電勢的代數和。電荷量分別為Q1和Q2的兩個點電荷產生的電場的等勢線如圖中曲線所示(圖中數字的單位是伏特)，則(　　)
A．Q1<0，＝－2
B．Q1>0，＝－2
C．Q1<0，＝－3
D．Q1>0，＝－3
√
B　[根據沿電場線方向電勢降低，結合題圖可知，Q1>0，Q2<0，A、C錯誤；設兩點電荷間的距離為3L，則有k＋k＝0，解得＝
－2，B正確，D錯誤。]
3．(多選)(2023·遼寧卷)圖(a)為金屬四極桿帶電粒子質量分析器的局部結構示意圖，圖(b)為四極桿內垂直于x軸的任意截面內的等勢面分布圖，相鄰兩等勢面間電勢差相等，則(　　)
A．P點電勢比M點的低
B．P點電場強度大小比M點的大
C．M點電場強度方向沿z軸正方向
D．沿x軸運動的帶電粒子，電勢能不變
√
√
CD　[P點電場強度方向沿y軸正方向，沿著電場線方向電勢降低，所以P點電勢比x軸高，x軸電勢比M點的高，所以P點電勢比M點的高，A錯誤；在同一靜電場中，等差等勢線的疏密程度表示電場強度的大小，M點所在處的等勢線比P點所在處等勢線密集，則M點電場強度大小比P點的大，B錯誤；由以上分析可知，x軸上的電勢高于M點電勢，又電場線與等勢線垂直且由高電勢指向低電勢，所以M點電場強度方向沿z軸正方向，C正確；垂直于x軸的任意截面內的等勢面分布圖相同，說明x軸是一條等勢線，所以粒子沿x軸運動，電勢能不變，D正確。]
4．(多選)(2023·全國乙卷)在O點處固定一個正點電荷，P點在O點右上方。從P點由靜止釋放一個帶負電的小球，小球僅在重力和該點電荷靜電力作用下在豎直面內運動，其一段軌跡如圖所示。M、N是軌跡上的兩點，OP>OM，OM＝ON，則小球(　　)
A．在運動過程中，電勢能先增加后減少
B．在P點的電勢能大于在N點的電勢能
C．在M點的機械能等于在N點的機械能
D．從M點運動到N點的過程中，靜電力始終不做功
√
√
BC　[在正點電荷形成的電場中，離點電荷越近電勢越高，而負電荷在電勢越高的地方，電勢能越小，在電勢越低的地方，電勢能越大，因為OP>OM，所以P點電勢小于M點電勢，小球在P點的電勢能大于在M點的電勢能，因為OM＝ON，所以小球在M、N兩點的電勢能相等，故B正確；小球在運動過程中只有靜電力和重力做功，機械能與電勢能之和守恒，又小球在M、N兩點的電勢能相等，故小球在M、N兩點的機械能相等，故C正確；因為P點在O點右上方，且OP>OM，所以小球開始運動時，靜電力做正功，小球的電勢能先減少，故A錯誤；根據題圖可知，小球從M到N的過程中先靠近O點再遠離O點，故靜電力先做正功后做負功，故D錯誤。]
課時數智作業(二十一)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(多選)(2024·湖北卷)關于電荷和靜電場，下列說法正確的是(　　)
A．一個與外界沒有電荷交換的系統，電荷的代數和保持不變
B．電場線與等勢面垂直，且由電勢低的等勢面指向電勢高的等勢面
C．點電荷僅在靜電力作用下從靜止釋放，該點電荷的電勢能將減小
D．點電荷僅在靜電力作用下從靜止釋放，將從高電勢的地方向低電勢的地方運動
12
√
13
√
AC　[電荷只能從一個物體轉移給另一個物體，不能被創造，也不能被消滅，所以一個與外界沒有電荷交換的系統，電荷的代數和保持不變，A正確；電場線與等勢面垂直，沿電場線方向電勢逐漸降低，所以電場線由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面，B錯誤；點電荷僅在靜電力作用下從靜止釋放，將沿其所受靜電力方向運動，即靜電力將做正功，則該點電荷的電勢能將減小，C正確；結合C項分析和Δφ＝可知，當q<0時，Δφ>0，當q>0時，Δφ<0，即負點電荷將從低電勢的地方向高電勢的地方運動，正點電荷將從高電勢的地方向低電勢的地方運動，D錯誤。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．如圖所示為一帶正電的金屬球，a、b、c、d為過圓心O的同一直線上的點，則(　　)
A．a點電勢比b點的低
B．a點電場強度比b點的大
C．c點電勢比d點的低
D．c點電場強度比d點的大
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A　[由靜電平衡可知，帶正電的金屬球的電荷均勻分布在球的外表面，電場線垂直球面向四周輻射，金屬球內部電場強度處處為零，整個金屬球為等勢體；金屬球外部離金屬球越遠電場強度越小，電勢越低，則有Eb>Ea>Ec＝Ed，φc＝φd>φb>φa，故A正確，B、C、D錯誤。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
3．(2024·貴州貴陽一模)如圖所示，勻強電場的電場強度為E，方向水平向右。圓弧AB對應的圓心為O。半徑為r。OA水平，OB與水平方向成θ＝。則A、B兩點間的電勢差UAB為(　　)
A． B．
C． D．2Er
√
題號
1
3
5
2
4
6
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B　[根據勻強電場電勢差與電場強度的關系可知UAB＝E(r＋r cos θ)＝，故選B。]
題號
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4．(多選)空間存在如圖所示的靜電場，a、b、c、d為電場中的四個點，則(　　)
A．a點的電場強度比b點的大
B．d點的電勢比c點的低
C．質子在d點的電勢能比在c點的小
D．將電子從a點移動到b點，靜電力做正功
√
題號
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√
AD　[根據電場線的疏密程度表示電場強度的大小，可知a點的電場線比b點的電場線更密，故a點的電場強度比b點的電場強度大，故A正確；根據沿著電場線方向電勢不斷降低，可知d點的電勢比c點的電勢高，故B錯誤；根據正電荷在電勢越高的點，電勢能越大，可知質子在d點的電勢能比在c點的電勢能大，故C錯誤；由題圖可知，a點的電勢低于b點的電勢，而負電荷在電勢越低的點電勢能越大，故電子在a點的電勢能大于在b點的電勢能，所以將電子從a點移動到b點，電勢能減小，靜電力做正功，故D正確。]
題號
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5．(多選)(2024·湖南長沙一模)靜電透鏡被廣泛應用于電子器件中，如圖所示是陰極射線示波管的聚焦電場，其中虛線為等勢線，任意兩條相鄰等勢線間電勢差相等，z軸為該電場的中心軸線。一電子從其左側進入聚焦電場，實線為電子運動的軌跡，P、Q、R為其軌跡上的三點，電子僅在靜電力作用下
從P點運動到R點，在此過程中，下
列說法正確的是(　　)
題號
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A．P點的電勢低于Q點的電勢
B．電子在P點的加速度小于在R點的加速度
C．從P至R的運動過程中，電子的電勢能增加
D．從P至R的運動過程中，電子的動能一直增大
√
題號
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√
AD　[電子僅在靜電力作用下從P點運動到R點，由于合力方向指向軌跡的凹側，電子帶負電，所受靜電力方向與電場強度方向相反，靜電力方向與等勢線垂直，可知，電場線方向整體從右指向左，又由于沿電場線方向，電勢降低，可知，P點的電勢低于Q點的電勢，故A正確；由于任意兩條相鄰等勢線間電勢差相等，則等勢線分布的密集程度能夠表示電場的強弱，P點處的等勢線分布比R點處的密集，則P點的電場強度大于R點的電場強度，可知，電子在P點的加速度大于在R點的加速度，故B錯誤；結合上述可知，從P至R的運動過程中，電子所受靜電力做正功，電子的電勢能減小，電子的動能增大，故C錯誤，D正確。]
題號
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6．如圖所示是勻強電場遇到空腔導體后的部分電場線分布圖，M、N、Q是以直電場線上一點O為圓心的圓周上的三點，O、Q連線垂直于MN，以下說法正確的是(　　)
A．O點電勢與Q點電勢相等
B．將一正電荷由M點移到Q點，電荷的電勢
能減少
C．M、O間的電勢差等于O、N間的電勢差
D．在Q點放一個正電荷，正電荷所受靜電力將沿與OQ垂直的方向豎直向上
√
題號
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B　[過O點和Q點作電場的等勢面，如圖所示。由圖可知，O、Q兩點的電勢不相等，故A錯誤；將一正電荷由M點移到Q點，靜電力對電荷做正功，電荷的電勢能減少，故B正確；MO與ON相等，但由于電場不是勻強電場，且M、O間的平均電場強度大于ON間的平均電場強度，由U＝Ed可得，M、O間的電勢差
大于O、N間的電勢差，故C錯誤；在Q點放一
個正電荷，正電荷所受靜電力將沿Q點電場線
的切線方向斜向上，故D錯誤。]
題號
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7．(多選)(2025·內蒙古赤峰聯考)圖中虛線A、B、C、D、E代表勻強電場內間距相等的一組等勢面，已知一電子經過A平面時的動能為7 eV，電子在A平面時的電勢能為－4 eV，電子從A到D的過程中克服靜電力所做的功為6 eV。下列說法正確的是(　　)
A．平面A上的電勢為4 V
B．電場強度的方向由E指向A
C．該電子在電場內的運動軌跡可能與平面E相切
D．該電子經過B平面時的速率是經過D平面時的倍
√
題號
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√
AD　[電子在A平面時的電勢能為－4 eV，則根據電勢能的公式EpA＝－eφA，可得平面A上的電勢為φA＝＝ V＝4 V，故A正確；電子從A到D的過程中克服靜電力所做的功為6 eV，則可知靜電力做負功，電子在該勻強電場中所受靜電力的方向與運動的方向相反，而電子在電場中所受靜電力的方向與電場強度的方向相反，因此可知電場強度的方向由A指向E，故B錯誤；電子經過A平面時的動能為7 eV，從A到D的過程中克服靜電力所做的功為6 eV，則可知電子
題號
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到達平面D時的動能為 1 eV, 由此可知每兩個等勢面之間的電勢差為2 V，若電子要從平面D到達平面E，則需克服靜電力做功2 eV，而電子在平面D時的動能為1 eV，故不管電子是做直線運動還是曲線運動都不可能到達平面E，因此該電子在電場內運動的軌跡不可能與平面E相切，故C錯誤；該電子經過B平面時，由動能定理可得
－eUAB＝EkB－EkA，解得EkB＝5 eV，而該電子經過D平面時的動能為1 eV，則可知該電子經過B平面時的速率是經過D平面時的倍，故D正確。]
題號
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8．空間中P、Q兩點處各固定一個點電荷，其中P點為正電荷。P、Q兩點附近電場的等勢面分布如圖所示，相鄰等勢面間電勢差相等，a、b、c、d為電場中的4個點。下列說法正確的是(　　)
題號
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A．P、Q兩點處的電荷帶同種電荷
B．c點與d點電場強度方向相同，電勢也相同，a點電場強度小于b點電場強度
C．一電子從c點到b點靜電力做正功
D．電子在a點的電勢能比在b點的電勢能大
√
題號
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B　[由題圖可知P、Q兩點處的電荷帶異種電荷，即Q點為負電荷，故A錯誤；根據點電荷電場強度決定式E＝以及電場強度的疊加原理可知，c點與d點電場強度方向相同，因為c點與d點在同一等勢面上，所以c點與d點電勢也相同，又因b點處等差等勢面比a點處密集，可知b點電場強度較大，即a點電場強度小于b點電場強度，故B正確；電場線從高電勢面指向低電勢面，所以c點電勢高于b點電勢，由Ep＝qφ可知，電子在c點電勢能低于在b點電勢能，所以一電子從c點到b點靜電力做負功，故C錯誤；因為a點電勢高于b點電勢，由Ep＝qφ可知，電子在a點的電勢能比在b點的電勢能小，故D錯誤。故選B。]
題號
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9．(多選)(2023·海南卷)如圖所示，正三角形三個頂點固定三個帶等量電荷的點電荷，其中A、B帶正電，C帶負電，O、M、N為AB邊的四等分點，下列說法正確的是(　　)
A．M、N兩點電場強度相同
B．M、N兩點電勢相同
C．負電荷在M點的電勢能比在O點時要小
D．負電荷在N點的電勢能比在O點時要大
√
題號
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√
BC　[根據電場強度疊加原理可知，M、N兩點電場強度的大小相等，方向不同，A錯誤；M、N兩點在A、B的電場中位于同一等勢面上，且比O點電勢要高，同時M、N兩點在C的電場中也是位于同一等勢面上，也比O點電勢要高，所以M、N兩點位于同一等勢面上，電勢相等，B正確；由于M、N點電勢均高于O點電勢，根據Ep＝qφ可知，負電荷在M、N點的電勢能均小于在O點的電勢能，C正確，D錯誤。]
題號
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10．(多選)(2025·八省聯考云南卷)空間中有方向與紙面平行的勻強電場，其中紙面內P、Q和R三點分別是等邊三角形abc三邊的中點，如圖所示。已知三角形的邊長為2 m，a、b和c三點的電勢分別為1 V、2 V和3 V。下列說法正確的是(　　)
A．該電場的電場強度大小為1 V/m
B．電子在R點的電勢能大于在P點的電勢能
C．將一個電子從P點移動到Q點，電場力做功為
＋0.5 eV
D．將一個電子從P點移動到R點，電場力做功為＋0.5 eV
√
題號
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√
AD　[根據勻強電場中沿任意方向兩點間中點的電勢為兩點電勢的平均值，則有P點電勢為φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等勢面，則電場強度方向由c指向a點，電場強度大小E＝＝ V/m＝
1 V/m，A正確；R點的電勢為φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知電子在R點的電勢能小于在P點的電勢能，B錯誤；Q點的電勢為φQ＝
題號
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＝1.5 V，將一個電子從P點移動到Q點，電場力做功為WPQ＝UPQ(－e)＝(φP－φQ)(－e)＝－0.5 eV，C錯誤；將一個電子從P點移動到R點，電場力做功為WPR＝UPR(－e)＝(φP－φR)(－e)＝＋0.5 eV, D正確。故選AD。]
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11．(2024·山東泰安三模)如圖所示，真空中正四面體的四個頂點上分別固定著一個點電荷，其中兩個為正點電荷，另外兩個為負點電荷，點電荷的電荷量均相等，O為正四面體的中心，a、b、c、d為4條棱的中點。下列說法正確的是(　　)
A．中心O處的電場強度為0
B．b點和d點的電勢相等
C．a點和c點的電場強度相同
D．a點和c點的電勢相等
題號
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√
D　[將兩個正點電荷作為一組等量正點電荷，將兩個負點電荷作為一組等量負點電荷，可知兩個正點電荷在中心O處的電場強度方向沿O指向d，兩個負點電荷在中心O處的電場強度方向也沿O指向d，故中心O的合電場強度一定不為0，A錯誤；將一個正試探點電荷從b點沿直線移動到d點，兩個正點電荷和兩個負點電荷均對其做正功，故b點的電勢高于d點的電勢，B錯誤；將a點所在棱的兩端的點電荷看作一組等量異種點電荷，另外兩個點電荷也看作一組等量異種點電荷，a、c兩點均在等量異種電荷的中垂線上，故a點和c點的電勢相等，D正確；根據電場疊加原理，a點和c點的電場強度大小相同，方向不同，C錯誤。]
題號
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12．如圖所示，真空中電荷量為2q和－q(q>0)的兩個點電荷分別位于M點與N點，形成一個以MN延長線上O點為球心、電勢為零的等勢面(取無窮遠處電勢為零)，P為MN連線上的一點，S為等勢面與直線M、N的交點，T為等勢面上的一點。下列說法正確的是(　　)
A．P點電勢低于S點電勢
B．T點電場強度方向指向O點
C．除無窮遠處外，MN直線上還存在兩
個電場強度為零的點
D．將正試探電荷q0從T點移到P點，靜電力做正功
題號
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√
B　[在直線MN上，左邊正電荷在MN之間電場強度水平向右，右邊負電荷在MN之間電場強度水平向右，根據電場的疊加可知MN間的電場強度水平向右，沿著電場線電勢逐漸降低，可知P點電勢高于等勢面與MN交點處電勢，則P點電勢高于S點電勢，故A錯誤；由于正電荷的電荷量大于負電荷電荷量，可知在N點的左側電場強度不可能為零，設M、N之間的距離為L，在N點右側與N點距離為d的點電場強度為零，則有＝，可知除無窮遠處外，直線MN
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上電場強度為零的點只有一個，故C錯誤；由A選項分析可知：T點電勢低于P點電勢，則正電荷在T點的電勢能小于在P點的電勢能，將正試探電荷q0從T點移到P點，電勢能增加，靜電力做負功，故D錯誤；由于電場強度方向垂直等勢面，可知T點的電場強度方向必過等勢面的球心O，根據異種點電荷的電場線分布情況可知，N、S間電場線方向由S指向N，則φS>φO，由于φT＝φS，則φT>φO，故T點電場強度方向指向O點，故B正確。]
題號
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13．(多選)如圖所示，同一平面內的a、b、c、d四點處于勻強電場中，電場方向與此平面平行，M為a、c連線的中點，N為b、d連線的中點。一電荷量為q(q>0)的粒子從a點移動到b點，其電勢能減小W1；若該粒子從c點移動到d點，其電勢能減小W2，則下列說法正確的是(　　)
題號
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A．此勻強電場的電場強度方向一定與a、b兩點的連線平行
B．若該粒子從M點移動到N點，則靜電力做功一定為
C．若c、d之間的距離為L，則該電場的電場強度大小一定為
D．若W1＝W2，則a、M兩點之間的電勢差一定等于b、N兩點之間的電勢差
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BD　[根據題意無法判斷電場方向，故A錯誤；由于電場為勻強電場，M為a、c連線的中點，N為b、d連線的中點，所以φM＝，φN＝，若該粒子從M點移動到N點，則靜電力做功一定為W＝qUMN＝q(φM－φN)＝q－q＝＝，故B正確；因為不知道勻強電場方向，所以電場強度大小不一定是，故C錯誤；若W1＝W2，說明Uab＝Ucd，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因為φM＝，φN＝，解得UaM－UbN＝0，故D正確。]
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謝 謝 ！

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