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(共72張PPT)
第八章　靜電場
思維進階課九　電場中功能關系及圖像問題
[學習目標]　1．會分析處理電場中的功能關系。
2．理解電場中有關圖像的斜率、面積等表示的物理意義，并能結合圖像分析電場強度、電勢和電勢能的變化。
進階1　電場中功能關系的應用
1．電場中常見的功能關系
(1)若只有靜電力做功，電勢能與動能之和保持不變。
(2)若只有靜電力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變。
(3)除重力之外，其他力對物體做的功等于物體機械能的變化量。
(4)所有外力對物體所做的總功等于物體動能的變化量。
2．處理電場中能量問題的幾點注意
(1)應用動能定理解決問題須研究合力的功(或總功)。
(2)應用能量守恒定律解決問題須注意電勢能和其他形式能之間的轉化。
(3)有靜電力做功的過程機械能不守恒，但機械能與電勢能的總和可能守恒。
[典例1]　(2024·遼寧卷)在水平方向的勻強電場中，一帶電小球僅在重力和靜電力作用下于豎直面(紙面)內運動。如圖，若小球的初速度方向沿虛線，則其運動軌跡為直線；若小球的初速度方向垂直于虛線，則其從O點出發運動到與O點等高處的過程中(　　)
A．動能減小，電勢能增大
B．動能增大，電勢能增大
C．動能減小，電勢能減小
D．動能增大，電勢能減小
√
D　[根據題意可知，小球所受合力方向沿虛線向下，則其所受靜電力方向水平向右，小球從O點運動到與O點等高處的過程做類平拋運動，小球的速度增大，動能增大，由于小球所受靜電力與小球速度的夾角一直為銳角，則靜電力做正功，小球的電勢能減小，A、B、C錯誤，D正確。]
[典例2]　(多選)如圖所示，豎直向上的勻強電場中，絕緣輕質彈簧豎直立于水平地面上，上面放一質量為m的帶正電小球，小球與彈簧不連接，施加外力F將小球向下壓至某位置靜止。現撤去F，小球沿豎直方向運動，在小球由釋放到剛離開彈簧的過程中，重力、靜電力對小球所做的功分別為W1和W2，小球離
開彈簧時的速度為v，不計空氣阻力，則下列
說法正確的是(　　)
A．小球的重力勢能增加－W1
B．小球的電勢能增加W2
C．小球與彈簧組成的系統的機械能增加W2
D．撤去F前彈簧的彈性勢能為mv2－W1－W2
√
√
√
ACD　[根據重力做功與重力勢能變化關系可得WG＝W1＝－ΔEp重，小球上升過程重力做負功，小球的重力勢能增加了－W1，故A正確；根據靜電力做功與電勢能變化關系可得W電＝W2＝－ΔEp電，帶正電小球上升過程靜電力做正功，小球的電勢能減少了W2，故B錯誤；小球與彈簧組成的系統，在小球從靜止開始運動到剛離開彈簧的過程中，由于靜電力對小球做正功，大小為W2，小球與彈簧組成的系統機械能增加了W2，故C正確；在小球從靜止開始運動到剛離開彈
簧的過程中，根據能量守恒定律可知，減少的彈性勢能與減少的電勢能之和等于增加的重力勢能與增加的動能之和，則有W2＋Ep彈＝－W1＋mv2，解得撤去F前彈簧的彈性勢能為Ep彈＝mv2－W1－W2，故D正確。]
[典例3]　(多選)(2024·山東卷)如圖所示，帶電荷量為＋q的小球被絕緣棒固定在O點，右側有固定在水平面上、傾角為30°的光滑絕緣斜面。質量為m、帶電量為＋q的小滑塊從斜面上A點由靜止釋放，滑到與小球等高的B點時加速度為零，滑到C點時速度為零。已知A、C間的距離為S，重力加速度大小為g，靜電力常量為k，下列說法正確的是(　　)
A．O、B的距離l＝
B．O、B的距離l＝
C．從A到C，靜電力對小滑塊做功W＝－mgS
D．A、C之間的電勢差UAC＝－
√
√
AD　[小滑塊在B點處的加速度為0，則沿斜面方向有 mg sin 30°＝cos 30°，解得l＝，A正確，B錯誤；小滑塊從A到C的過程，由動能定理有W＋mgS sin 30°＝0，解得靜電力對小滑塊做的功為W＝－，C錯誤；根據靜電力做功與電勢差的關系結合C項分析可知，AC之間的電勢差UAC＝＝－，D正確。]
進階2　電場中的圖像問題
角度1　電場中的E-x圖像
1．E-x圖像為靜電場在x軸上的電場強度E隨x的變化關系，若規定x軸正方向為電場強度E的正方向，則E>0，電場強度E沿x軸正方向；E<0，電場強度E沿x軸負方向。
2．E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差(如圖所示)，兩點的電勢高低根據電場方向判定。在與粒子運動相結合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。
3．電場中常見的E-x圖像
(1)點電荷的E-x圖像
正點電荷及負點電荷的電場強度E隨坐標x變化關系的圖像大致如圖所示。
(2)兩個等量異種點電荷的E-x圖像，如圖所示。
(3)兩個等量正點電荷的E-x圖像，如圖所示。
[典例4]　(2025·浙江縣域教研聯盟高三檢測)在x軸上A、B兩點分別放置兩電荷q1和q2，C為兩電荷中垂線上一點，且AO＝BO＝CO，在x軸上的電場強度與x的關系圖線如圖所示，規定電場強度沿x軸正方向為正，無窮遠處電勢為零，則(　　)
A．兩電荷為等量異種電荷
B．O點電勢小于0
C．電子從C到O運動過程中電勢能增大
D．電子從C到O運動過程中加速度先增大后減小
√
D　[根據題意，由題圖可知，O點左側電場方向沿x軸正方向，O點右側電場方向沿x軸負方向，O點電場強度為0，且AO＝BO，可知，q1、q2為等量正電荷，中垂線上的電場方向為由O點指向無窮遠，根據沿電場線方向電勢逐漸降低可知，由于無窮遠處電勢為0，則O點電勢大于0，故A、B錯誤；結合AB分析可知，電子從C到O運動過程中靜電力做正功，電勢能減小，故C錯誤；根據題意，設AO＝BO＝CO＝L，q1＝q2＝Q，由點電荷電場強度公式和電場強度疊加
原理可得，此時C點電場強度為EC＝·，在CO連線上取一點D，令∠DAB＝30°，由點電荷電場強度公式和電場強度疊加原理可得，此時D點電場強度為ED＝·，可知ED>EC，結合等量同種電荷連線中垂線上的電場強度情況可知，從C到O電場強度先增大后減小，則電子從C到O運動過程中加速度先增大后減小，故D正確。]
角度2　電場中的φ-x圖像
1．電場強度的大小等于φ-x圖線的斜率的絕對值，電場強度為0處φ-x圖線存在極值，其切線的斜率為0。
2．在φ-x圖像中可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據電勢大小關系確定電場強度的方向。
3．在φ-x圖像中分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后作出判斷。
4．在φ-x圖像中可以判斷電場類型，如圖所示，如果圖線是曲線，則表示電場強度的大小是變化的，電場為非勻強電場；如果圖線是傾斜的直線，則表示電場強度的大小是不變的，電場為勻強電場。
5．在φ-x圖像中可知電場強度的方向，進而可以判斷電荷在電場中的受力方向。
[典例5]　(2024·湖南卷)真空中有電荷量為＋4q和－q的兩個點電荷，分別固定在x軸上－1和0處。設無限遠處電勢為0，x正半軸上各點電勢φ隨x變化的圖像正確的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
√
D　[無限遠處電勢為0，根據點電荷的電勢公式φ＝k可知，x正半軸上，電荷量為＋4q的點電荷在x處的電勢為φ1＝k，電荷量為
－q的點電荷在x處的電勢為φ2＝－k，x正半軸上在x處的電勢φx＝k－k，可知在x＝處電勢為0，在x＝0處電勢接近負無窮大，則選項D正確。]
[典例6]　(2025·八省聯考河南卷)某電場的電勢φ隨位置x的變化關系如圖所示，O點為坐標原點，a、b、c、d為x軸上的四個點。一帶正電粒子從d點由靜止釋放，在電場力作用下沿x軸運動，不計重力，則粒子(　　)
A．將在a、d之間做周期性運動
B．在d點的電勢能大于a點的電勢能
C．在b點與c點所受靜電力方向相同
D．將沿x軸負方向運動，可以到達O點
√
A　[由題圖可知，a、d兩點電勢相等，根據Ep＝qφ可知粒子在d點的電勢能等于a點的電勢能，故B錯誤；φ-x圖像斜率表示電場強度，由題圖可知，b點與c點的電場強度方向相反，可知粒子在b點與c點所受靜電力方向相反，故C錯誤；根據沿著電場線方向電勢降低可知在d點電場方向為x軸負方向，粒子帶正電，則粒子受到沿著x軸負方向的電場力，即粒子將沿x軸負方向運動，粒子僅受靜電力做功，則粒子的動能和電勢能之和恒定，根據B選項分析可知粒子在d點的電勢能等于a點的電勢能，則粒子在d點的動能等于a點的動能均為0，即粒子將在a、d之間做周期性運動，不能到達O點，故A正確，D錯誤。故選A。]
角度3　Ep-x圖像、Ek-x圖像
(1)Ep-x圖像
由靜電力做功與電勢能變化關系F電x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep-x圖像的切線斜率k＝，其絕對值等于靜電力大小，正負代表靜電力的方向。
(2)Ek-x圖像
當只有靜電力對帶電體做功，由動能定理F電x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x圖像的切線斜率k＝，斜率表示靜電力。
[典例7]　(多選)一帶正電微粒只在靜電力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能隨x變化的關系如圖所示，其中O～x1段是曲線，x1～x2段是平行于x軸的直線，x2～x3段是傾斜直線，則下列說法正確的是(　　)
A．O～x1段電勢逐漸升高
B．O～x1段微粒做加速度逐漸減小的加速運動
C．x1～x2段電場強度為零
D．x2～x3段的電勢沿x軸均勻降低
√
√
√
ACD　[電勢能Ep＝φq，由于微粒帶正電，O～x1段電勢能變大，所以電勢升高，A正確；根據ΔEp＝FΔx，圖線斜率反映靜電力，O～x1段圖線斜率變小，靜電力減小，加速度逐漸減小，由于電勢能增加，靜電力做負功，則微粒做減速運動，即微粒做加速度減小的減速運動，B錯誤；x1～x2段斜率為零，不受靜電力，即電場強度為零，C正確；x2～x3段的電勢能均勻減小，微粒帶正電，所以電勢沿x軸均勻降低，D正確。]
[典例8]　(多選)如圖甲所示，a、b是點電荷電場中同一電場線上的兩點，一個帶電粒子在a點由靜止釋放，僅在靜電力作用下從a點向b點運動，粒子的動能與位移之間的關系如圖乙所示，則下列說法中正確的是(　　)
A．帶電粒子與場源電荷帶異種電荷
B．a點電勢比b點電勢高
C．a點電場強度比b點電場強度大
D．帶電粒子在a點的電勢能比在b點的電勢能大
√
√
CD　[粒子從a點向b點運動，Ek-x圖像的切線斜率減小，根據動能定理，則有qEx＝Ek，電場強度減小，因此a點更靠近場源電荷，則a點電場強度比b點電場強度大，若場源電荷是正電荷，則粒子帶正電，若場源電荷是負電荷，則粒子帶負電，它們帶同種電荷，故A錯誤，C正確；由于不能確定場源電荷的電性，所以也不能確定電場線的方向，不能確定a點電勢與b點電勢的高低，故B錯誤；帶電粒子僅在靜電力作用下從a點運動到b點，靜電力做正功，電勢能減小，所以帶電粒子在a點的電勢能大于在b點的電勢能，故D正確。]
思維進階特訓(九)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．如圖所示，空間有一帶正電的點電荷，圖中的實線是以該點電荷為圓心的同心圓，這些同心圓位于同一豎直平面內，MN為一粗糙直桿，A、B、C、D是桿與實線圓的交點，一帶正電的小球(視為質點)穿在桿上，以速度v0從A點開始沿桿向上運動，到達
C點時的速度為v，則小球由A點運動到C點的
過程中，下列說法正確的是(　　)
12
A．小球減少的機械能一定等于克服摩擦力做的功
B．小球減少的機械能一定大于克服摩擦力做的功
C．小球的機械能守恒
D．小球的機械能增大
√
題號
1
3
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2
4
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12
B　[小球由A點運動到C點，靜電力做的總功為負功，電勢能增加，摩擦力做負功，產生熱量，由能量守恒定律知，小球減少的機械能等于增加的電勢能與產生的熱量之和，故A錯誤，B正確；靜電力和摩擦力都做負功，機械能一定減少，故C、D錯誤。]
2．(2024·江西南昌摸底測試)如圖(a)所示，空間中存在一平行于xOy平面的勻強電場。若x軸、y軸上的電勢分布分別如圖(b)、圖(c)所示，則電場強度大小為(　　)
A．2.5 V/m
B．250 V/m
C．3.5 V/m
D．350 V/m
√
題號
1
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11
12
B　[由φ-x圖線、φ-y圖線斜率的絕對值表示電場強度大小可知，Ex＝ V/m＝200 V/m，Ey＝ V/m＝150 V/m，由電場強度疊加原理可知E＝＝250 V/m，B正確。]
題號
1
3
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12
3．(2024·河南重點中學一模聯考)兩個點電荷固定在x軸上的M、N點，x軸上各點的電場強度E與各點位置坐標x之間的關系如圖所示。取x軸正方向為電場強度的正方向，無窮遠處電勢為零，下列說法正確的是(　　)
題號
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12
A．固定在M點的點電荷電荷量比固定在N點的點電荷電荷量小
B．Q點的電勢等于零
C．從C點由靜止釋放一正點電荷，僅在靜電力作用下，到D點前它將一直做加速運動
D．從P點由靜止釋放一負點電荷，僅在靜電力作用下，在它向左運動過程中電勢能將一直減小
√
題號
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12
C　[M、N連線中點處電場強度大于0，且兩點間電場強度最小位置處距離N點較近，可知，固定在M點的點電荷電荷量比固定在N點的點電荷電荷量大，故A錯誤；若有一正點電荷由Q點向右側無窮遠處運動，靜電力做正功，電勢能不斷減小，一直到零，所以Q點的電勢大于零，故B錯誤；從C點由靜止釋放一正點電荷，僅在靜電力作用下，到D點前電場強度一直為正值，則電場強度方向不變，靜電力方向不變，它將一直做加速運動，故C正確；從P點由靜止釋放一負點電荷，僅在靜電力作用下，在它由Q向N運動過程中靜電力做負功，電勢能增大，故D錯誤。]
題號
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4．(多選)如圖所示，在水平向右的勻強電場中，一帶電金屬塊由靜止開始沿絕緣斜面下滑，已知在金屬塊下滑的過程中動能增加了10 J，金屬塊克服摩擦力做功5 J，重力做功20 J，則以下判斷正確的是(　　)
A．靜電力做功5 J
B．合力做功15 J
C．金屬塊的機械能減少10 J
D．金屬塊的電勢能增加5 J
√
題號
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√
CD　[根據動能定理W合＝WG＋Wf＋WF＝ΔEk，則合力做功為W合＝ΔEk＝10 J，故B錯誤；重力做正功WG＝20 J，摩擦力做負功Wf＝
－5 J，故靜電力做功WF＝－5 J，即靜電力做功－5 J，電勢能增加5 J，故A錯誤，D正確；除重力外靜電力與摩擦力做的總功為
－10 J，機械能減少10 J，故C正確。]
題號
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5．如圖所示，豎直面內，在水平向右的勻強電場中，質量為m的帶電小球，以初速度v從M點豎直向上運動，通過N點時，速度大小為2v，方向與電場方向相反，不計空氣阻力，則小球從M運動到N的過程(　　)
A．動能增加mv2
B．機械能增加2mv2
C．重力勢能增加mv2
D．電勢能增加2mv2
√
題號
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B　[小球動能的增加量為ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A錯誤；小球在豎直方向上的分運動為勻減速直線運動，到N時豎直方向的速度為零，則M、N兩點之間高度差為h＝，小球重力勢能的增加量為ΔEp＝mgh＝mv2，C錯誤；靜電力對小球做正功，則小球的電勢能減少，由能量守恒定律可知，小球減少的電勢能等于重力勢能與動能的增加量之和，則電勢能的減少量為ΔE′p＝mv2＋mv2＝2mv2，D錯誤；由功能關系可知，除重力外的其他力對小球所做的功在數值上等于小球機械能的增加量，即2mv2，B正確。]
題號
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6．(多選)(2025·四川巴中模擬)有一電場在x軸上各點的電場強度分布如圖所示。現將一帶正電的粒子(不計重力)從O點由靜止釋放，僅在靜電力的作用下，帶電粒子沿x軸運動，則關于該電場在x軸上各點的電勢φ、帶電粒子的動能Ek、電勢能Ep以及動能與電勢能之和E0隨x變化的圖像，正確的是(　　)
題號
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A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
√
BD　[帶正電的粒子(不計重力)從O點靜止釋放，僅在靜電力的作用下，帶電粒子沿x軸運動，則靜電力方向沿x軸正方向，電場線方向沿x軸正方向。沿電場線方向電勢降低，A錯誤；靜電力做正功，動能增加，電勢能減小，C錯誤；由Ek-x圖像斜率絕對值表示靜電力大小，斜率正負表示靜電力方向，由題圖可知，電場強度先減小后增大，方向一直為正方向，靜電力F＝qE，先減小后增大，一直為正方向，與題圖中電場強度沿x軸變化一致，B正確；由能量守恒定律有E0＝Ek＋Ep，動能與電勢能之和E0不變，D正確。]
題號
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7．(多選)在勻強電場中，一電子從原點O由靜止釋放，僅在靜電力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位置x變化的關系如圖所示，則(　　)
A．電場強度方向沿x軸正方向
B．電場強度大小為2.5 N/C
C．x＝5 m處的電勢為0
D．電子從原點O運動到x＝4 m處的過程中，動能增加了8 eV
√
題號
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12
√
CD　[根據靜電力做功與電勢能的變化關系可知，電子僅在靜電力作用下沿x軸正方向運動，電勢能減小，則靜電力做正功，因此電場強度方向沿 x軸負方向，故A錯誤；該電場為勻強電場，根據公式W＝qEx可知，電場強度大小E＝＝＝2 N/C，故B錯誤；由題圖可知，x＝5 m處的電勢能Ep為零，根據公式Ep＝qφ可知，x＝5 m處的電勢φ＝＝0，故C正確；電子從原點O運動到x＝4 m處的過程中，只有靜電力做功，電勢能減小了8 eV，則動能增加了8 eV，故D正確。]
題號
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8．(多選)(2024·1月九省聯考甘肅卷)用于醫學成像的X射線是由電子加速后轟擊重金屬靶產生的。圖(a)中M、N是電子被電場加速過程中一條電場線上的兩點。電子在靜電力的作用下從M點運動到N點，其運動的v-t圖像如圖(b)所示，下列說法正確的是(　　)
題號
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A．M點的電場強度大于N點的電場強度
B．M點的電勢高于N點的電勢
C．電子從M點運動到N點靜電力做負功
D．電子在M點的電勢能大于N點的電勢能
√
題號
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√
AD　[根據v-t圖像的變化特點可知，從M點運動到N點電子做加速度減小的加速運動，電子在M、N兩點的加速度大小關系為aM>aN，電子僅受靜電力的作用，則qEM＝maM，qEN＝maN，得EM>EN，故A正確；由題圖(b)可知電子的速度在增大，根據動能定理可知從M點運動到N點靜電力對電子做正功，即WMN＝－qUMN>0，則UMN＝φM－φN<0，得φM<φN，故B、C錯誤；根據靜電力做功與電勢能變化的關系W＝－ΔEp，因為靜電力做正功，電勢能減小，即得ΔEp＝EpN－EpM<0，則EpM>EpN，故D正確。]
題號
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9．(多選)如圖所示，在x軸上的O點(x＝0)和b點(x＝15 cm)分別固定放置兩點電荷q1、q2，其靜電場的電勢φ在x軸上的分布如圖所示。取無窮遠處的電勢為零，下列說法正確的是(　　)
題號
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11
12
A．a、c兩點的電場強度相同
B．q1所帶電荷量是q2所帶電荷量的4倍
C．將一負電荷從a點移到c點，靜電力做功為零
D．將一負電荷從c點移到d點，電勢能增大
√
題號
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12
√
BC　[φ-x圖像的斜率的絕對值表示電場強度的大小，斜率的正負表示電場強度的方向，由題圖可知，a、c兩點電勢相等，但電場強度大小和方向均不同，故A錯誤；由題圖可知，題圖中d點圖像斜率為零，表明該點的合電場強度為零，而d點到兩點電荷q1、q2的距離之比為2∶1，根據點電荷電場強度公式E＝可得，q1、q2電荷量之比為4∶1，故B正確；a、c兩點電勢相等，電勢差為零，負電荷從a點移到c點，靜電力做功為零，故C正確；c、d間電場方向向左，負電荷從c點移到d點，靜電力做正功，電勢能減小，故D錯誤。]
題號
1
3
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10．(2025·八省聯考四川卷)如圖所示，豎直平面內有一光滑絕緣軌道，取豎直向上為y軸正方向，軌道形狀滿足曲線方程y＝x2。質量為m、電荷量為q(q>0)的小圓環套在軌道上，空間有與x軸平行的勻強電場，電場強度大小E＝2mg/q，圓環恰能靜止在坐標(1，1)處，不計空氣阻力，重力加速度g大小取10 m/s2。若圓環由(3，9)處靜止釋放，則(　　)
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A．恰能運動到(－3，9)處
B．在(1，1)處加速度為零
C．在(0，0)處速率為10 m/s
D．在(－1，1)處機械能最小
√
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D　[由題意可知，圓環所受的靜電力平行于x軸向右，如圖所示
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圓環所受重力與靜電力的合力為G′＝＝mg，又tan θ＝＝2，根據題意可知，坐標(1，1)處是等效最低點，過(1，1)做軌道的切線，再過坐標(3，9)作該切
線的平行線，如圖所示
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根據題意寫出該平行線的方程為y－9＝tan θ·(x－3)，即y＝2x＋3，設該平行線與軌道的交點為A，則A點的坐標滿足方程y＝2x＋3，y＝x2，解得A點的坐標為(－1，1)，則圓環恰能運動到坐標(－1，1)處。又圓環運動到該點時克服靜電力做功最多，故機械能最小，故A錯誤，D正確；圓環做曲線運動，在(1，1)處加速度一定不為零，故B錯誤；設圓環到達(0，0)處時的速度大小為v，則圓環由(3，9)處靜止釋放運動到(0，0)處的過程，由動能定理得mgy－qEx＝mv2，又E＝，聯立解得v＝2 m/s，故C錯誤。故選D。]
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11．(多選)(2024·江西卷)如圖所示，垂直于水平桌面固定一根輕質絕緣細直桿，質量均為m、帶同種電荷的絕緣小球甲和乙穿過直桿，兩小球均可視為點電荷，帶電荷量分別為q和Q。在圖示的坐標系中，小球乙靜止在坐標原點，初始時刻小球甲從x＝x0處由靜止釋放，開始向下運動。甲和乙兩點電荷的電勢能Ep＝k(r為兩點電荷之間的距離，k為靜電力常量)。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力f，重力加速度為g。關于小球甲，下列說法正確的是(　　)
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A．最低點的位置x＝
B．速率達到最大值時的位置x＝
C．最后停留位置x的區間是≤x≤
D．若在最低點能返回，則初始電勢能Ep0＜(mg－f )
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√
√
BD　[小球甲從開始運動至第一次運動到最低點的過程，根據能量守恒定律有mg(x0－x)＝f(x0－x)＋，解得x＝，A錯誤；小球甲第一次向下運動至速度最大的位置，此時加速度為零，根據平衡條件有mg＝f＋，解得x＝，B正確；若小球甲停止是在下降的過程，且停止運動后恰好靜止，有mg＋f＝，
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解得x1＝，若小球甲停止是在上升的過程，且停止運動后恰好靜止，有mg＝＋f，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的區間為≤x≤，C錯誤；若小球甲在最低點能返
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回，則有>mg＋f，解得x<，結合A項分析可知x＝，則有＜，可得初始電勢能Ep0＝<(mg－f )，D正確。]
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12．如圖所示，等量異種點電荷分別固定在水平線上的M、N兩點處，O點位于M、N連線中點B的正上方且與B點之間的距離為L，質量為m、帶電荷量為＋q(可視為點電荷)的小球固定在長度為L的絕緣輕質細桿的一端，細桿另一端可繞過O點且與M、N連線垂直的水平軸無摩擦轉動。現在把桿拉起到水平位置，由靜止釋放，小球經過最低點B時速度為v。取O點電勢為零，忽略小球所帶電荷量對等量異種點電荷所形成的電場的影響，不計空氣阻力，重力加速度為g。
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(1)求小球在經過B點時對桿的拉力大??；
(2)在等量異種點電荷形成的電場中，求A點的電勢φA；
(3)小球繼續向左擺動，求其經過與A等高的C點時的速度大小。
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[解析]　(1)小球經過B點時，在豎直方向上，有
F－mg＝m
由牛頓第三定律可知，小球對細桿的拉力大小
F′＝F＝mg＋m。
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(2)O點電勢為零，而OB在M、N連線的垂直平分線上，故B點的電勢φB＝0
對小球從A點運動到B點的過程，由動能定理得mgL＋q(φA－φB)＝mv2
解得φA＝。
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(3)由電場的對稱性可得φC＝－φA
所以UAC＝2φA
對小球從A點運動到C點的過程，由動能定理得qUAC＝
解得vC＝。
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[答案]　(1)mg＋m　(2)　(3)
謝 謝 ！

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