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第六章 圓周運(yùn)動(dòng)
6.3 向心加速度
目錄
contents
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度方向
01
02
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小
03
拓展學(xué)習(xí)
04
典例分析
1.定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合力總指向圓心，這個(gè)指向圓心的力叫作向心力。
3.方向：指向圓心(方向時(shí)刻變化)，與速度方向垂直，是變力。
4.作用效果：只改變速度的方向，不改變速度的大小。
2.符號(hào)：Fn
O
F
F
F
v
v
v
O
向心力的來(lái)源
向心力并不是一種新的性質(zhì)的力，是效果力.
向心力的來(lái)源：可以是重力、彈力、摩擦力等性質(zhì)的力，也可以是幾個(gè)力的合力，還可以是某個(gè)力的分力。
精確的實(shí)驗(yàn)表明：
向心力的大小
F合
Fn
Ft
加速
變速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
Ft ：切向分力，改變線速度的大小.
Fn ：徑向分力，提供向心力，
改變線速度的方向。
v
減速
v
運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動(dòng)，可以稱為一般曲線運(yùn)動(dòng)。
一般的曲線運(yùn)動(dòng)
r1
r2
研究方法：把一般曲線分割為許多極短的小段，每一段都可以看作一小段圓弧。
模型區(qū)分
圓錐擺
水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)
單擺
豎直面內(nèi)變速圓周運(yùn)動(dòng)
勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，合力充當(dāng)向心力
mg
T
徑向合力充當(dāng)向心力
畫(huà)受力分析
平面圖
導(dǎo)入新課
天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室在軌飛行時(shí)，可認(rèn)為它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。盡管線速度大小不變，但方向卻時(shí)刻變化，因此，它運(yùn)動(dòng)的加速度一定不為 0。那么，該如何確定它在軌飛行時(shí)加速度的方向和大小呢？
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它所受的力沿什么方向？
G
FN
F
合力
由牛頓第二定律知，物體的加速度方向跟合外力的方向相同。
想一想
結(jié)論: 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的合力時(shí)刻指向圓心，加速度也時(shí)刻指向圓心。
1.向心加速度：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體加速度總指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度。
4.物理意義：描述速度方向變化的快慢
2.符號(hào)：an
3.方向：始終指向圓心（與線速度方向垂直）
5.說(shuō)明：勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向時(shí)刻改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)，而是變加速運(yùn)動(dòng)。
（向心加速度只改變速度方向，不改變速度大?。?br/>勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小
02
1.產(chǎn)生：
3.說(shuō)明：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小不變。
2.大小：根據(jù)牛頓第二定律和向心力表達(dá)式
由牛頓第二定律F=ma可得出向心加速度的大小：
由向心力產(chǎn)生
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度變不變？
向心加速度
想一想
向心加速度與半徑的關(guān)系
an=
v2
r
an= ω2 r
角速度一定時(shí)，
向心加速度與半徑成正比；
線速度一定時(shí)，
向心加速度與半徑成反比；
AB兩點(diǎn)
BC兩點(diǎn)
當(dāng)v一定時(shí)，a與r成反比
當(dāng)ω一定時(shí)，a與r成正比
勻速圓周運(yùn)動(dòng)
G
N
F
變速圓周運(yùn)動(dòng)
合力全部
提供向心力
F合= Fn
合力的一部分
提供向心力
O
Fn
Fτ
F合
v
一般圓周運(yùn)動(dòng)的加速度
an只改變速度的方向，
aτ只改變速度的大小。
Fτ=maτ
圓周運(yùn)動(dòng)的加速度
3 ．對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度即為向心加速度，因此其方向一定指向圓心。
4.向心加速度的公式適用于任何圓周運(yùn)動(dòng)。
(1)向心加速度只描述線速度方向變化的快慢，
切向加速度描述線速度大小變化的快慢。
注： 和 也適用于變速圓周運(yùn)動(dòng)(瞬時(shí)值)
例題
例1、下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中，正確的是 （ ）
A、向心加速度的方向始終與速度的方向垂直
B、向心加速度的方向保持不變
C、在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的
D、在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的大小不斷變化
A
【活學(xué)活用1】
關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，下列說(shuō)法正確的是 （ )
A、向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量
B、向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C、向心加速度大小恒定，方向時(shí)刻改變.
D、勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
ABC
【活學(xué)活用2】
在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，下列物理量中變化的是 ( )
A、角速度 B、線速度
C、向心加速度 D、轉(zhuǎn)速
BC
（多選）
（多選）
訓(xùn)練鞏固
例3. 如圖所示，為A、B兩質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為雙曲線的一個(gè)分支，由圖可知 (　　)
A．A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變
B．A物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變
C．B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變
D．B物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變
AC
課堂小結(jié)
an =
v2
r
an = rω2
1.定義:勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度
2.意義:描述速度方向變化的快慢
3.大小:
4.方向:始終指向圓心(時(shí)刻改變)
勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)
向心加速度
an = r
4π2
T2
an = r
4π2
f 2

對(duì)應(yīng)線速度、角速度
對(duì)應(yīng)角速度
對(duì)應(yīng)線速度



對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速
對(duì)應(yīng)頻率
對(duì)應(yīng)周期



作出a-r圖像
a
ω一定
v一定
v不變時(shí)，an與r 成反比
ω不變時(shí)，an與r 成正比
r
課堂小結(jié)
向心力
向心加速度
牛頓第二定律
向心加速度的大小及方向
【例題】在長(zhǎng)為l的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an的大小為多少 通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角 θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
分析：
由于小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度的方向始終指向圓心。可以根據(jù)受力分析，求出向心力的大小，進(jìn)而求出向心加速度的大小。根據(jù)向心加速度公式，分析小球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω與夾角θ之間的關(guān)系。
【例題】在長(zhǎng)為l的細(xì)繩下端拴一個(gè)質(zhì)量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個(gè)圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為θ時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an的大小為多少 通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：要增大夾角 θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
向心加速度： ，
所以當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的角速度增大時(shí)，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω。
解：根據(jù)對(duì)小球的受力分析，可得小球的向心力：
根據(jù)牛頓第二定律可得小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度：
Fn = mg tan θ
根據(jù)幾何關(guān)系可知小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：
r = lsin θ
an = ω2r
已知地球半徑R=6400km，自轉(zhuǎn)周期T=24h，試計(jì)算在地球赤道和北緯300地面上物體的向心加速度大小。
①
②
A
O
R
r
1. 確定研究對(duì)象；
2. 運(yùn)動(dòng)分析：確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、軌道平面，圓心和半徑（據(jù)幾何關(guān)系求半徑）；
3. 受力分析：求合力和向心力；
4. 根據(jù)牛頓第二定律列式求解相關(guān)量。
圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解題思路
B
方法
總結(jié)
向心加速度公式的應(yīng)用技巧
向心加速度的每一個(gè)公式都涉及三個(gè)物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時(shí)分析另外兩個(gè)物理量之間的關(guān)系.
(1)先確定各點(diǎn)是線速度大小相等，還是角速度相同.
(2)在線速度大小相等時(shí)，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時(shí)，向心加速度與半徑成正比.
（教材34頁(yè)）
（教材34頁(yè)）
拓展學(xué)習(xí)
03
我們從加速度的定義 的角度討論向心加速度的大小
1.速度的變化量
甲
v1
△v
v2
（1）若v1 < v2
(1)直線運(yùn)動(dòng)的物體：如果初速度v1和末速度v2在同一方向上，如何表示速度的變化量△v △v是矢量還是標(biāo)量？
乙
v1
△v
v2
（2）若v1 > v2
(2)曲線運(yùn)動(dòng)的物體：如果初速度v1和末速度v2不在同一直線上，如何表示速度的變化量△v
v1
△v
v2
設(shè)質(zhì)點(diǎn)初速度為v1，末速度為v2，則速度的變化量Δv = v2 - v1，
移項(xiàng)得： v1+ Δv = v2
v1
v2
Δv
結(jié)論： 速度的變化量Δv可以用初速度v1末端指向末速度v2末端的有向線段來(lái)表示。
Δv
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
根據(jù)加速度的定義式a=Δv/Δt,可知Δt→0時(shí)，瞬時(shí)加速度a的方向和Δt→0速度變化量Δv方向相同。
vA
vC
vA
Δv
Δv
O
A
B
各時(shí)間段內(nèi)Δv方向
O
A
C
Δt→0時(shí)Δv方向
由圖解可知Δt→0時(shí)，Δt內(nèi)速度的變化量Δv方向指向圓心，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)在任意位置的加速度方向指向圓心。
2.向心加速度方向的推導(dǎo)
定義式：
則：
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δ
θ
Δ
θ
=
AB
Δv
v
r
vA、vB、△v 組成的三角形與ΔABO相似
Δv =
AB
v
r
an = =
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
當(dāng)△t →0時(shí)，AB=AB=Δl
an = · v =
v
r
v2
r
Δl
= = = v
AB
Δt
Δt
AB
Δt
r
3.向心加速度大小的推導(dǎo)
= ω2r= ωv
【例2】關(guān)于加速度和速度的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A、在單方向直線運(yùn)動(dòng)中，加速度表征速度大小變化的快慢
B、在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，加速度表征速度方向變化的快慢
C、在平拋運(yùn)動(dòng)中，加速度表征速度方向變化的快慢
D、加速度方向一定和速度變化量的方向相同
ABD
典例分析
04
【例題】下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中，正確的是 （ ）
A.向心加速度的方向始終與速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不變
C.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的
D.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度的大小不斷變化
A
【例題】關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.由 可知，an與r成反比
B.由an＝ω2r可知，an與r成正比
C.由v＝ωr可知，ω與r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω與f成正比
解析　質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與質(zhì)點(diǎn)的線速度、角速度、半徑有關(guān).但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能確定.當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比，對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論，正確答案為D.
D
【例題】(多選)甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列情況下，關(guān)于向心加速度的說(shuō)法正確的是（ ）
A.當(dāng)它們的角速度相等時(shí)，乙的線速度小則乙的向心加速度小
B.當(dāng)它們的周期相等時(shí)，甲的半徑大則甲的向心加速度大
C.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，乙的半徑小則乙的向心加速度小
D.當(dāng)它們的線速度相等時(shí)，在相同的時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度比乙的大，則甲的向心加速度比乙的小
AB
【例題】(多選)關(guān)于北京和廣州隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，下列說(shuō)法中正確的是 ( )
A.它們的方向都沿半徑指向地心
B.它們的方向都平行于赤道平面指向地軸
C.北京的向心加速度比廣州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比廣州的向心加速度小
BD
O
R
θ
R'
O'
【例題】甲、乙兩物體都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)于以下四種情況各舉一個(gè)實(shí)際的例子。在這四種情況下，哪個(gè)物體的向心加速度比較大
A. 它們的線速度大小相等，乙的半徑小
B. 它們的周期相等，甲的半徑大
C. 它們的角速度相等，乙的線速度小
D. 它們的線速度大小相等，在相同時(shí)間內(nèi)甲與圓心的連線掃過(guò)的角度比乙的大
an=
v2
r
an= ω v
an = r
4π2
T 2
an= ω v
乙的向心加速度大
甲的向心加速度大
甲的向心加速度大
甲的向心加速度大
【例題】一部機(jī)器與電動(dòng)機(jī)通過(guò)皮帶連接，機(jī)器皮帶輪的半徑是電動(dòng)機(jī)皮帶輪半徑的3倍，皮帶與兩輪之間不發(fā)生滑動(dòng)。已知機(jī)器皮帶輪邊緣上一點(diǎn)的向心加速度為0.10m/s2。
(1) 電動(dòng)機(jī)皮帶輪與機(jī)器皮帶輪的轉(zhuǎn)速之比n1：n2是多少
(2) 機(jī)器皮帶輪上 A 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為輪半徑的一半，A點(diǎn)的向心加速度是多少
(3) 電動(dòng)機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度是多少
(1) 同軸傳動(dòng)，線速度大小相等：
(2) A點(diǎn)的向心加速度：
(3) 電動(dòng)機(jī)皮帶輪邊緣上某點(diǎn)的向心加速度：
【例題】如圖所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，A、B為球體表面上兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度
B.A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度
C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1
A
解析　A、B為球體表面上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對(duì)；
如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)；
【例題】如圖所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，甲輪的軸和乙、丙輪的軸均為水平軸，其中，甲、丙兩輪半徑相等，乙輪半徑是丙輪半徑的一半.A、B、C三點(diǎn)分別是甲、乙、丙三輪邊緣上的點(diǎn)，若傳動(dòng)中皮帶不打滑，則（ ）
A.A、B兩點(diǎn)的線速度大小之比為2∶1
B.B、C兩點(diǎn)的角速度之比為1∶2
C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為2∶1
D.A、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4
D
解析　傳動(dòng)中皮帶不打滑，則A、B兩點(diǎn)的線速度大小相等，A錯(cuò)誤；
B、C兩點(diǎn)繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故B、C兩點(diǎn)的角速度相等，故B錯(cuò)誤；
由于B、C兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶2，又A、B兩點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶2，故D正確.

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