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第四章　曲線運(yùn)動萬有引力與字宙航行
第4節(jié)　萬有引力與宇宙航行
鏈接教材·夯基固本
1．開普勒三定律
(1)軌道定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是____，太陽處在橢圓的一個____上。
(2)面積定律：某個行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的____相等。
(3)周期定律：所有行星軌道的______的三次方與它的________的二次方的比值都相等。
橢圓
焦點(diǎn)
面積
半長軸
公轉(zhuǎn)周期
2．萬有引力定律
(1)內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成____，與它們之間距離r的二次方成____。
(2)表達(dá)式：F＝_______，G是比例系數(shù)，叫作引力常量，G＝6.67×
10-11 N·m2/kg2。
正比
反比
G
(3)適用條件：①公式適用于____間的相互作用，當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。
②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是______間的距離。
質(zhì)點(diǎn)
兩球心
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1＝____ km/s，是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動的____環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的____發(fā)射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物體掙脫____引力束縛的最小發(fā)射速度。
7.9
最大
最小
地球
太陽
1．易錯易混辨析
(1)圍繞同一天體運(yùn)動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點(diǎn)。 (　　)
(2)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力。 (　　)
√
×
(3)兩物體間的距離趨近于0時，萬有引力趨近于無窮大。 (　　)
(4)不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不一定相同，但離地面的高度是相同的。 (　　)
(5)同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　)
×
√
√
2．(粵教版必修第二冊改編)兩個質(zhì)量均勻的球形物體，兩球心相距r時它們之間的萬有引力為F，若將兩球的半徑都加倍，兩球心的距離也加倍，它們之間的作用力為(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
√
D　[由M＝πR3ρ可知，兩球半徑加倍后，其質(zhì)量M′＝8M，又r′＝2r，由萬有引力定律F＝，F(xiàn)′＝，可得F′＝16F，選項D正確。]
3．(人教版必修第二冊改編)若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”約為(　　)
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
√
C　[設(shè)地球質(zhì)量為M，某行星質(zhì)量為6M，地球半徑為R，某行星半徑為1.5R，由萬有引力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動得G＝，解得v＝，分別代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，
v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s，故C正確。]
細(xì)研考點(diǎn)·突破題型
考點(diǎn)1　開普勒行星運(yùn)動定律
1．行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理。
2．由開普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小。
3．開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
[典例1]　(2024·浙江6月選考)與地球公轉(zhuǎn)軌道“外切”的小行星甲和“內(nèi)切”的小行星乙的公轉(zhuǎn)軌道如圖所示，假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi)，地球的公轉(zhuǎn)半徑為R，小行星甲的遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽的距離為R1，小行星乙的
近日點(diǎn)到太陽的距離為R2，則(　　)
A．小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大于近日點(diǎn)的速度
B．小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度
C．小行星甲與乙的運(yùn)行周期之比＝
D．甲乙兩星從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的時間之比＝
√
D　[根據(jù)開普勒第二定律知，小行星甲在遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度小于近日點(diǎn)的速度，故A錯誤；根據(jù)＝ma知，小行星乙在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度等于地球公轉(zhuǎn)加速度，故B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律，小行星甲與乙的運(yùn)行周期之比≈＝，故C錯誤；甲、乙兩星從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的時間之比即為周期之比，故＝，故D正確。故選D。]
【典例1　教用·備選題】火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動定律可知(　　)
A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心
B．火星和木星繞太陽的運(yùn)行速度大小始終相等
C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的二次方等于它們軌道半長軸之比的三次方
D．相同時間內(nèi)，火星與太陽的連線掃過的面積等于木星與太陽的連線掃過的面積
√
C　[太陽位于木星運(yùn)行軌道的一個焦點(diǎn)上，A錯誤；不同的行星對應(yīng)不同的運(yùn)行軌道，運(yùn)行速度大小也不相同，B錯誤；由開普勒第三定律知＝，故＝，C正確；只有同一行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積才相同，D錯誤。]
考點(diǎn)2　萬有引力定律的理解及應(yīng)用
1．萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：G＝mg2。
2．地球表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：G＝mg，得g＝。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，＝mg′，得g′＝。
3．估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
①由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝。
②天體密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天體的半徑R，則天體的密度
ρ＝＝＝。
4．估算天體質(zhì)量和密度的“三點(diǎn)”注意
(1)利用萬有引力提供天體圓周運(yùn)動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。
(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。
(3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等。
[典例2]　(2024·廣東深圳一模)2024年10月30日，我國六名航天員在空間站順利完成“太空會師”，向世界展示了中國航天工程的卓越能力。載人空間站繞地運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，已知空間站距地面高度為h，運(yùn)行周期為T，地球半徑為R。忽略地球自轉(zhuǎn)，則(　　)
A．空間站的線速度大小為
B．地球的質(zhì)量可表示為
C．地球表面重力加速度為
D．空間站的向心加速度大小為
√
C　[由題意可知，空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r＝R＋h，周期為T，因此空間站的線速度大小為v＝＝，A錯誤；由地球?qū)臻g站的萬有引力提供向心力可得G＝m(R＋h)，解得M＝，B錯誤；對于地球表面的物體，由地球?qū)ξ矬w的萬有引力提供地球表面物體的重力可得G＝mg，解得g＝G＝，C正確；由向心加速度公式可得空間站的向心加速度大小為a＝ω2r＝ (R＋h)＝，D錯誤。故選C。]
【典例2　教用·備選題】在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等，如圖所示。若月球繞地球運(yùn)動的周期為T1，地球繞太陽運(yùn)動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為(　　)
A．k3 B．k3
C． D．
√
D　[設(shè)太陽、地球、月球的半徑分別為R太、R地、R月，月球繞地球轉(zhuǎn)動的半徑為r月，地球繞太陽轉(zhuǎn)動的半徑為r地，根據(jù)題意，由幾何關(guān)系，有＝，根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝，＝，星球的密度ρ地＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正確，A、B、C錯誤。]
考點(diǎn)3　宇宙速度及衛(wèi)星運(yùn)行參數(shù)的分析與計算
1．宇宙速度與運(yùn)動軌跡的關(guān)系
(1)v發(fā)＝7.9 km/s時，衛(wèi)星在地球附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v發(fā)<16.7 km/s，衛(wèi)星繞太陽做橢圓運(yùn)動。
(4)v發(fā)≥16.7 km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。
2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
3．靜止衛(wèi)星的六個“一定”
[典例3]　如圖所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的靜止衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說法中正確的是(　　)
A．b衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的線速度大于
7.9 km/s
B．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度大小關(guān)系為aa>ab>ac
C．a(chǎn)、b、c做勻速圓周運(yùn)動的周期關(guān)系為Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
√
思路點(diǎn)撥：解此題抓住以下兩個環(huán)節(jié)：
(1)赤道上的物體與靜止衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時，要借助靜止衛(wèi)星過渡。
D　[b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，代入數(shù)據(jù)得v＝7.9 km/s，故A錯誤；地球赤道上的物體與靜止衛(wèi)星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根據(jù)a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根據(jù)a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B錯誤；
衛(wèi)星c為靜止衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，根據(jù)T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C錯誤；在b、c中，根據(jù)v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正確。]
規(guī)律方法　研究衛(wèi)星運(yùn)行熟悉“三星一物”
(1)靜止衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向均是固定不變的，常用于無線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。
(2)極地衛(wèi)星運(yùn)行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。
(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為
7.9 km/s。
(4)赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力和地面支持力的合力充當(dāng)向心力(或者說由萬有引力的分力充當(dāng)向心力)，它的運(yùn)動規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。
1．(2024·甘肅卷)小杰想在離地表一定高度的天宮實(shí)驗室內(nèi)，通過測量以下物理量得到天宮實(shí)驗室軌道處的重力加速度，可行的是
(　　)
A．用彈簧測力計測出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
B．測量單擺擺線長度、擺球半徑以及擺動周期
C．從高處釋放一個重物，測量其下落高度和時間
D．測量天宮實(shí)驗室繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期和軌道半徑
√
學(xué)情診斷·當(dāng)堂評價
D　[在天宮實(shí)驗室內(nèi)，物體處于完全失重狀態(tài)，重力提供了物體繞地球勻速圓周運(yùn)動的向心力，故A、B、C項中的實(shí)驗均無法得到天宮實(shí)驗室軌道處的重力加速度。由重力提供繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力得mg＝G＝mr，整理得軌道重力加速度為g＝r，故通過測量天宮實(shí)驗室繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期和軌道半徑可行，D正確。故選D。]
2．木衛(wèi)一和木衛(wèi)二都繞木星做勻速圓周運(yùn)動。它們的周期分別為42 h 46 min和85 h 22 min，它們的軌道半徑分別為R1和R2，線速度分別為v1和v2，則(　　)
A．R1＜R2，v1＜v2　　　 B．R1＞R2，v1＜v2
C．R1＞R2，v1＞v2 D．R1＜R2，v1＞v2
√
D　[根據(jù)萬有引力提供向心力可得＝mR＝，解得T＝，v＝，根據(jù)題目可知，木衛(wèi)一的周期小于木衛(wèi)二的周期，則R1＜R2；根據(jù)線速度的表達(dá)式可知，v1＞v2，故D正確，A、B、C錯誤。故選D。]
3．(2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是(　　)
A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑
B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期
C．核心艙的繞地角速度和繞地周期
D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑
√
D　[根據(jù)核心艙做圓周運(yùn)動的向心力由地球的萬有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質(zhì)量，若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑，則可求解地球的質(zhì)量。故選D。]
4．(2022·廣東卷)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是(　　)
A．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
B．火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大
C．火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小
D．火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小
√
D　[由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)G＝mr，可得T＝2π，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯誤；根據(jù)G＝m，可得v＝，可知火星的公轉(zhuǎn)線速度小于地球的公轉(zhuǎn)線速度，故A錯誤；根據(jù)ω＝可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)G＝ma，可得a＝，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確。故選D。]
5．(2024·海南卷)嫦娥六號進(jìn)入環(huán)月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A． B．
C． D．(1＋k)3
√
D　[設(shè)月球半徑為R，質(zhì)量為M，對嫦娥六號，根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的體積V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，聯(lián)立可得ρ＝(1＋k)3，故選D。]
1．(2024·貴州卷)土星的部分衛(wèi)星繞土星的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，其中的兩顆衛(wèi)星軌道半徑分別為r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分別為a1、a2，則(　　)
A．＝ ＝
C．a(chǎn)1r1＝ ＝
課時分層作業(yè)(十一)　萬有引力與宇宙航行
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[設(shè)土星的質(zhì)量為M，兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m1、m2，對兩顆衛(wèi)星，根據(jù)牛頓第二定律得＝＝m2a2，整理可得＝，故選D。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
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12
13
2．設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是
(　　)
A．質(zhì)量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的萬有引力大小
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
√
C　[該人造衛(wèi)星的質(zhì)量不能確定，A錯誤；該衛(wèi)星和月球環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，由F＝G可知，該衛(wèi)星、月球受到地球的萬有引力大小不能確定，所以二者的向心力大小也不能確定，B、D錯誤；由牛頓第二定律得G＝ma，解得a＝G，因為該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相等，所以二者的向心加速度大小相等，C正確。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
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13
3．(2025·廣東韶關(guān)高三第一次調(diào)研)我國北斗系統(tǒng)主要由同步軌道衛(wèi)星和中圓軌道衛(wèi)星組成。已知兩種衛(wèi)星的軌道為圓軌道，中圓軌道衛(wèi)星的周期為12小時，則(　　)
A．中圓軌道衛(wèi)星的線速度大于7.9 km/s
B．中圓軌道衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度
C．中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑大于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑
D．中圓軌道衛(wèi)星做圓周運(yùn)動所需的向心力一定大于地球同步衛(wèi)星所需的向心力
題號
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3
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13
√
B　[第一宇宙速度7.9 km/s是地球衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行的最大速度，所以中圓軌道衛(wèi)星的線速度小于7.9 km/s，故A錯誤；由G＝mr，得T＝，故中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星，又由G＝mω2r，得ω＝，故中圓軌道衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，故B正確，C錯誤；因不知道衛(wèi)星的質(zhì)量大小，故無法比較兩衛(wèi)星所受向心力的大小，故D錯誤。]
題號
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3
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4．牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為(　　)
A．30π B．30π
C．120π D．120π
題號
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4
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√
C　[設(shè)比例系數(shù)為k，根據(jù)牛頓的猜想，地球表面物體的重力可表示為mg＝k，地球?qū)υ虑虻奈杀硎緸镕月＝k，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動，地球?qū)υ虑虻奈μ峁┫蛐牧Γ瑒t有F月＝m月r，又r＝60R，聯(lián)立解得T＝120π，C正確。]
題號
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5．2023年5月，世界現(xiàn)役運(yùn)輸能力最大的貨運(yùn)飛船“天舟六號”，攜帶約5 800 kg的物資進(jìn)入距離地面約400 km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對接中國空間站后近似做勻速圓周運(yùn)動。對接后，這批物資(　　)
A．質(zhì)量比靜止在地面上時小
B．所受合力比靜止在地面上時小
C．所受地球引力比靜止在地面上時大
D．做圓周運(yùn)動的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大
題號
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√
D　[物體的質(zhì)量不隨位置的變化而變化，A錯誤；對接后，物資環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動時，所受的萬有引力提供向心力，即合力F合＝G，物資在地面上靜止時，所受合力為零，B錯誤；空間站所處軌道半徑比地球半徑大，由萬有引力定律F＝G可知，對接后物資所受的地球引力比靜止在地面上時小，C錯誤；地球自轉(zhuǎn)的角
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速度等于地球同步衛(wèi)星的角速度，由G＝mω2r得ω＝，由于空間站的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以空間站的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，即對接后物資的角速度比地球自轉(zhuǎn)的角速度大，D正確。]
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6．(2024·山東卷)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(　　)
A． B．
C． D．
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D　[“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運(yùn)行時，根據(jù)開普勒第三定律有＝k，同理，對地球的同步衛(wèi)星根據(jù)開普勒第三定律有＝k′，又開普勒常量與中心天體的質(zhì)量成正比，所以＝，聯(lián)立可得＝，故選D。]
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7．(2024·浙江1月選考)如圖所示，2023年12月9日“朱雀二號”運(yùn)載火箭順利將“鴻鵠衛(wèi)星”等三顆衛(wèi)星送入距離地面約500 km的軌道。取地球質(zhì)量 6.0×1024 kg，地球半徑6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列說法正確的是(　　)
A．火箭的推力是空氣施加的
B．衛(wèi)星的向心加速度大小約8.4 m/s2
C．衛(wèi)星運(yùn)行的周期約12 h
D．發(fā)射升空初始階段，裝在火箭上部的衛(wèi)星處于失重狀態(tài)
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B　[根據(jù)反沖現(xiàn)象的原理可知，火箭向后噴射燃?xì)獾耐瑫r，燃?xì)鈺o火箭施加反作用力，即推力，故A錯誤；根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律可知衛(wèi)星的向心加速度大小為a＝＝≈8.4 m/s2，故B正確；衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T＝2π≈1.6 h，故C錯誤；發(fā)射升空初始階段，火箭加速度方向向上，裝在火箭上部的衛(wèi)星處于超重狀態(tài)，故D錯誤。故選B。]
8．(2024·1月九省聯(lián)考安徽卷)如圖所示，有兩顆衛(wèi)星繞某星球做橢圓軌道運(yùn)動，兩顆衛(wèi)星的近地點(diǎn)均與星球表面很近(可視為相切)，衛(wèi)星1和衛(wèi)星2的軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)到星球表面的最近距離分別為h1、h2，衛(wèi)星1和衛(wèi)星2的環(huán)繞周期之比為k。忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，已知引力常量為G，星球表面的重力加速度為gc。則星
球的平均密度為(　　)
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A．　　 B．
C． D．
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A　[衛(wèi)星1、衛(wèi)星2軌道的半長軸分別為a1＝，a2＝，由開普勒第三定律得＝＝k，整理得R＝。星球表面的重力加速度為gc，根據(jù)萬有引力提供重力得G＝mgc，星球質(zhì)量的表達(dá)式為M＝ρR3，聯(lián)立得ρ＝＝，故選A。]
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9．(2024·遼寧卷)如圖(a)，將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運(yùn)動的圖像如圖(b)所示(不考慮自轉(zhuǎn)影響)，設(shè)地球、該天體的平均密度分別為ρ1和ρ2，地球半徑是該天體半徑的n倍。則的值為(　　)
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A．2n 　 B．
C．
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C　[設(shè)小球的質(zhì)量為m，地球表面的重力加速度為g，某球狀天體表面的重力加速度為g′，彈簧的勁度系數(shù)為k，根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性有k·4A－mg＝mg，k·2A－mg′＝mg′，可得g＝，g′＝，可得＝2，設(shè)某球狀天體的半徑為R，在星球表面，有 G＝mg，G＝mg′，聯(lián)立可得＝，故選C。]
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10．(多選)(2024·廣東卷)如圖所示，探測器及其保護(hù)背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面時以60 m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩?jǐn)嚅_連接，背罩與降落傘保持連接。已知探測器質(zhì)量為 1 000 kg，背罩質(zhì)量為50 kg，該行星的質(zhì)量和半徑分別為地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有(　　)
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A．該行星表面的重力加速度大小為4 m/s2
B．該行星的第一宇宙速度為7.9 m/s2
C．“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大
小為80 m/s2
D．“背罩分離”后瞬間，探測器所受重
力對其做功的功率為30 kW
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√
AC　[在星球表面，根據(jù)G＝mg，可得g＝，行星的質(zhì)量和半徑分別為地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，可得該行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正確；在星球表面上空，根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝m，可得星球的第一宇宙速度v＝，行星的質(zhì)量和半徑分別為地球的和，可得該行
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星的第一宇宙速度v行＝v地，地球的第一宇宙速度為7.9 m/s，所以該行星的第一宇宙速度v行＝×7.9 km/s，故B錯誤；“背罩分離”前，探測器及其保護(hù)背罩和降落傘整體做勻速直線運(yùn)動，對探測器受力分析，可知探測器與保護(hù)背罩之間的作用力F＝mg′＝4 000 N，“背罩分離”后瞬間，背罩所受的合力大小為4 000 N，對背罩，根據(jù)牛頓第二定律有F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正確；“背罩分離”后瞬間探測器所受重力對其做功的功率P＝mg′v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D錯誤。故選AC。]
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11．中國航天員在離地球表面約400 km的空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的空間站中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們(　　)
A．所受地球引力的大小近似為零
B．所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零
C．所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小
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C　[航天員在空間站中可以自由漂浮，是由于航天員在空間站中處于完全失重狀態(tài)，飛船對航天員的作用力近似為零，所受地球引力大小不為零，選項A、B錯誤；航天員所受地球引力提供航天員隨空間站運(yùn)動的向心力，即航天員所受地球引力的大小與航天員隨空間站運(yùn)動所需向心力的大小近似相等，選項C正確；由萬有引力定律可知，航天員在地球表面所受地球引力的大小大于航天員在空間站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天員隨空間站運(yùn)動所需向心力的大小，選項D錯誤。故選C。]
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12．(2025·廣東珠海高三模擬)有a、b、c、d四顆衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動，b在地面附近近地軌道上正常運(yùn)行，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為24 h，所有衛(wèi)星的運(yùn)動均視為勻速圓周運(yùn)動，各衛(wèi)星排列位置如圖所示，則下列關(guān)于衛(wèi)星的說法中正確的是(　　)
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A．a(chǎn)的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為
C．b在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長
D．d的運(yùn)動周期可能是23 h
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C　[同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，角速度相同，則a和c的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r知，c的向心加速度大，由＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，故a的向心加速度小于重力加速度g，選項A錯誤；由于c為同步衛(wèi)星，所以c的周期為
24 h，因此4 h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角為θ＝，選項B錯誤；由四顆衛(wèi)星的運(yùn)行情況可知，b運(yùn)行的線速度是最大的，所以其在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長，選項C正確；d的運(yùn)行周期比c要長，所以其周期應(yīng)大于24 h，選項D錯誤。]
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13．(2023·廣東卷)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(　　)
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A．周期為2t1－t0
B．半徑為
C．角速度的大小為
D．加速度的大小為
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B　[由題圖(b)可知探測器探測到Q的亮度隨時間變化的周期為T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期為t1－t0，故A錯誤；P繞恒星Q做勻速圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力可得＝mr，解得半徑為r＝
，故D錯誤。故選B。]
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