資源簡介

(共90張PPT)
第四章　曲線運動萬有引力與字宙航行
專題突破五　天體運動的三類熱點問題
突破一　衛星的發射與變軌問題
1．變軌原理及過程
(1)為了節省能量，在赤道上順著地球自轉方向發射衛星到圓軌道Ⅰ上，如圖所示。
(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。
2．各物理量的比較
(1)兩個不同軌道的“切點”處線速度不相等。圖中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。
(2)同一個橢圓軌道上近地點和遠地點的線速度大小不相等。從遠地點到近地點，萬有引力對衛星做正功，衛星的動能增大(引力勢能減小)。圖中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA(3)兩個不同圓軌道上線速度大小不相等。軌道半徑越大，線速度越小，圖中vⅠ>vⅢ。
(4)衛星在不同軌道上的機械能E不相等，“高軌高能，低軌低能”。衛星變軌過程中機械能不守恒。圖中EⅠ(5)衛星運行的加速度與衛星和中心天體間的距離有關，與軌道形狀無關，圖中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[典例1]　(2024·安徽卷)2024年3月20日，我國探月工程四期“鵲橋二號”中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，“鵲橋二號”開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則“鵲橋二號”在捕獲軌道運行時(　　)
A．周期約為144 h
B．近月點的速度大于遠月點的速度
C．近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D．近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
√
B　[凍結軌道和捕獲軌道的中心天體都是月球，根據開普勒第三定律得＝，整理得T2＝≈288 h，A錯誤；根據開普勒第二定律得，捕獲軌道近月點的速度大于遠月點的速度，B正確；近月點從捕獲軌道到凍結軌道，“鵲橋二號”進行近月制動，在捕獲軌道運行時近月點的速度大于在凍結軌道運行時近月點的速度，C錯誤；兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據牛頓第二定律可知，“鵲橋二號”在捕獲軌道運行時近月點的加速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。故選B。]
【典例1　教用·備選題】(2025·廣東清遠診斷)“天通一號”03星的發射過程簡化為如圖所示：火箭先把衛星送上軌道1(橢圓軌道，P、Q是遠地點和近地點)后火箭脫離；衛星再變軌，到軌道2(圓軌道)；衛星最后變軌到軌道3(靜止圓軌道)。軌道1、2相切于P點，軌道2、3相交于M、N兩點，忽略衛星的質量變化，
下列說法正確的是(　　)
A．衛星在三個軌道上的周期T3>T2>T1
B．由軌道1變至軌道2，衛星在P點向前噴氣
C．衛星在三個軌道上的機械能E3＝E2>E1
D．衛星在軌道1的Q點的線速度小于在軌道3的線速度
√
C　[根據開普勒第三定律＝k可知，衛星在三個軌道上的周期T3＝T2>T1，故A錯誤；由軌道1變至軌道2做離心運動，衛星在P點向后噴氣，故B錯誤；由軌道1變至軌道2做離心運動，衛星在P點向后噴氣，機械能增大，而在軌道2、3上，高度相同，根據v＝可知，速度大小相同，動能相同，則機械能相同，故E3＝E2>E1，故C
正確；衛星在軌道1的Q點的線速度大于對應圓軌道的線速度，根據v＝可知衛星在Q點對應圓軌道的線速度大于在軌道3的線速度，故衛星在軌道1的Q點的線速度大于在軌道3的線速度，故D錯誤。]
規律方法　衛星變軌的實質
兩類變軌 離心運動 近心運動
變軌起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
受力分析 G＜m G＞m
變軌結果 變為橢圓軌道運動或在較大半徑的圓軌道上運動 變為橢圓軌道運動或在較小半徑的圓軌道上運動
能量分析 重力勢能、機械能均增加 重力勢能、機械能均減小
突破二　天體的追及相遇問題
1．相距最近
當兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星的角度關系為(ωA－ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，兩衛星轉過的圈數關系為＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。
2．相距最遠
當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動的角度關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。兩衛星轉過的圈數關系為＝(n＝1，2，3，…)(同向)或＝(n＝1，2，3，…)(反向)。
[典例2]　(多選)(2025·廣東汕頭質檢)如圖所示，在萬有引力作用下，a、b兩衛星在同一平面內繞某一行星c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有(　　)
A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4
C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程
中，a、b、c共線 12次
D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次
√
√
AD　[根據開普勒第三定律，半徑的三次方與周期的二次方成正比，則a、b運動的周期之比為1∶8，A正確，B錯誤；設題圖所示位置ac連線與bc連線的夾角為θ<，b轉動一周(圓心角為2π)的時間為Tb，則a、b相距最遠時滿足t1－t1＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，…)，其中t1≤Tb，可知n<6.75，n可取7個值；a、b相距最近時t2－t2＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，…)，其中t2≤Tb，可知m<6.25，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，C錯誤，D正確。]
【典例2　教用·備選題】(多選)如圖，火星與地球近似在同一平面內繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數的時間
內觀測到火星相對于恒星背景由西向東運
動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西
運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三
者在同一直線上，且太陽和火星位于地球
兩側時，稱為火星沖日。
忽略地球自轉，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是(　　)
A．火星的公轉周期大約是地球的倍
B．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行
C．在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為逆行
D．在沖日處，火星相對于地球的速度最小
√
√
CD　[由開普勒第三定律可知，由于火星軌道半徑大于地球軌道半徑，所以火星公轉周期一定大于地球公轉周期(也可根據＝，r火≈1.5r地，得出T火＝T地)，A項錯誤；火星與地球均繞太陽做勻速圓周運動，即G＝m，解得v＝，所以火星公轉速度小于地
球公轉速度，因此在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星相對于地球由東向西運動，為逆行，B項錯誤，C項正確；火星和地球運行的線速度大小不變，且在沖日處，地球與火星速度方向相同，故此時火星相對于地球的速度最小，D項正確。故選CD。]
突破三　雙星或多星模型
1．雙星模型
(1)模型構建：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖所示。
(2)特點：
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即
＝r1，＝r2。
②兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L。
2．多星模型
(1)模型構建：所研究星體受到的萬有引力的合力提供其做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三顆星體位于同一直線上，兩顆質量相等的環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)。
②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)。
(3)四星模型：
①四顆質量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示)。
②三顆質量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示)。
角度1　雙星模型
[典例3]　(2025·廣東汕尾聯考)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，僅在彼此之間的萬有引力作用下互相繞轉，稱之為雙星系統。設某雙星系統A、B繞其連線上的某固定點O點做勻速圓周運動，如圖所示。若A、B兩星球到O點的距離之比為3∶1，則(　　)
A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶3
B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3
C．星球A與星球B的質量之比為3∶1
D．星球A與星球B的動能之比為3∶1
√
D　[星球A所受的引力與星球B所受的引力是作用力與反作用力，大小是相等的，故A錯誤；雙星系統中，星球A與星球B轉動的角速度相等，根據v＝ωr，則線速度大小之比為3∶1，故B錯誤；A、B兩星球做勻速圓周運動的向心力由二者之間的萬有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，則星球A與星球B的質量之比為mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C錯誤；星球A與星球B的動能之比為 ＝＝＝，故D正確。]
角度2　三星模型
[典例4]　(2024·重慶卷)在萬有引力作用下，太空中的某三個天體可以做相對位置不變的圓周運動，假設a、b兩個天體的質量均為M，相距2r，其連線的中點為O，另一天體c(圖中未畫出)質量為m(m M)，若c處于a、b連線的垂直平分線上某特殊位置，a、b、c可視為繞O點做角速度相同的勻速圓周運動，且相對位置不變，忽略其他天體的影響。引力常量為G。則(　　)
A．c的線速度大小為a的 倍
B．c的向心加速度大小為b的一半
C．c在一個周期內運動的路程為2πr
D．c的角速度大小為
√
A　[a、b、c三個天體角速度相同，由于m M，則對a天體有G＝Mω2r，解得ω＝，故D錯誤；設c與a、b的連線與a、b連線的中垂線的夾角為α，對c天體有2Gcos α＝mω2，解得α ＝30°，則c的軌道半徑為rc＝＝r，由v＝ωr可知c的線速度大小為a的 倍，故A正確；由a＝ω2r可知c的向心加速度大小是b的 倍，故B錯誤；c在一個周期內運動的路程為s＝2πrc＝2πr，故C錯誤。故選A。]
【典例4　教用·備選題】(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式(如圖)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設這
三顆星的質量均為M，并設兩種
系統的運動周期相同，則(　　)
A．直線三星系統中甲星和丙星的線速度相同
B．直線三星系統的運動周期T＝4πR
C．三角形三星系統中星體間的距離L＝R
D．三角形三星系統的線速度大小為
√
√
BC　[直線三星系統中甲星和丙星的線速度大小相等，方向相反，選項A錯誤；三星系統中，對直線三星系統有G＋G＝MR，解得T＝4πR，選項B正確；對三角形三星系統，根據萬有引力和牛頓第二定律得2Gcos 30°＝M，聯立解得L＝
，選項D錯誤。]
角度3　四星模型
[典例5]　宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設四星系統中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關于宇宙四星系統，下列說法錯誤的是(　　)
A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動
B．四顆星的軌道半徑均為
C．四顆星表面的重力加速度均為G
D．四顆星的周期均為2πa
√
B　[四星系統中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為a，故A正確，不符合題意，B錯誤，符合題意；在星體表面，根據萬有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確，不符合題意；由萬有引力定律和向心力公式得＝m，解得T＝2πa，故D正確，不符合題意。]
規律方法　解決雙星、多星問題的四個關鍵點
(1)根據雙星或多星的特點、規律，確定系統的中心以及運動的軌道半徑。
(2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供。
(3)星體的角速度都相同。
(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和向心力。
1．(多選)(2024·廣東潮州月考)假設將來人類一艘飛船從火星返回地球時，經歷了如圖所示的變軌過程，則下列說法中正確的是(　　)
A．飛船在軌道Ⅱ上運動時，在P點的
速度大于在Q點的速度
B．飛船在軌道Ⅰ上運動時的機械能大
于在軌道Ⅱ上運動的機械能
學情診斷·當堂評價
C．飛船在軌道Ⅰ上運動到P點時的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上運動到P點時的加速度
D．飛船繞火星在軌道Ⅰ上運動的周期跟飛船返回地面的過程中繞地球以與軌道Ⅰ相等的半徑運動的周期相同
AC　[由開普勒第二定律可知，飛船在P點的速度大于在Q點的速度，A正確；飛船由軌道Ⅰ變為軌道Ⅱ時，需在P點加速，因此飛船在軌道Ⅰ上運動時的機械能小于在軌道Ⅱ上運動的機械能，B錯誤；飛船在軌道Ⅰ上運動到P點時與飛船在軌道Ⅱ上運動到P點時受到的萬有引力大小相等，由牛頓第二定律可知，飛船加速度相等，C正確； 由萬有引力提供向心力有G＝m2r，得到T＝2π，由上式可知，雖然r相等，但是因為地球和火星的質量不等，所以周期T不相同，D錯誤。]
2．(多選)若“嫦娥五號”從距月面高度為100 km的環月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進入近月點為15 km的橢圓軌道Ⅱ，由近月點Q落月，如圖所示。關于“嫦娥五號”，下列說法正確的是(　　)
A．沿軌道Ⅰ運動至P時，需制動減速才
能進入軌道Ⅱ
B．沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運
行的周期
C．沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度大于在Q點的加速度
D．在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，機械能不變
√
√
AD　[要使“嫦娥五號”從環月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌進入橢圓軌道Ⅱ，需制動減速做近心運動，A正確；由開普勒第三定律知，沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期，B錯誤；根據萬有引力提供向心力可得＝ma，則沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度小于在Q點的加速度，C錯誤；月球對“嫦娥五號”的萬有引力指向月球，所以在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，萬有引力對其做正功，它的動能增加，重力勢能減小，機械能不變，D正確。]
3．(多選)三顆星a、b、c均在赤道平面上繞地球做勻速圓周運動，其中a、b轉動的方向與地球自轉方向相同，c轉動的方向與地球自轉方向相反，a、b、c三顆星的周期分別為Ta ＝6 h、Tb ＝24 h、Tc＝12 h，下列說法正確的是(　　)
A．a、b每經過6 h相遇一次
B．a、b每經過8 h相遇一次
C．b、c每經過8 h相遇一次
D．b、c每經過6 h相遇一次
√
√
BC　[a、b轉動方向與地球自轉方向相同，每相遇一次，a比b多轉一圈，設相遇一次的時間為Δt，則有＝1，解得Δt＝8 h，選項B正確，A錯誤；b、c轉動方向相反，每相遇一次， b、c共轉一圈，設相遇一次的時間為Δt′，則有＝1，解得Δt′＝8 h，選項C正確，D錯誤。]
4．(2024·廣東深圳二模)由于潮汐等因素的影響，月球正以每年約3至5厘米的速度遠離地球。地球和月球可以看作雙星系統，它們繞O點做勻速圓周運動。多年以后，地球(　　)
A．與月球之間的萬有引力變大
B．繞O點做圓周運動的周期不變
C．繞O點做圓周運動的角速度變小
D．繞O點做圓周運動的軌道半徑變小
√
C　[多年以后，地球和月球間距離變大，兩星的質量不變，由萬有引力定律可知，地球與月球之間的萬有引力變小，故A錯誤；地球和月球繞O點做勻速圓周運動的角速度大小ω相等，周期T相等，設地球與月球的質量分別為M1和M2，圓周運動的半徑分別為r1和r2，地球和月球間距離為L，則有L＝r1＋r2，由萬有引力定律提供向心力可得＝M12r1＝M1ω2r1，＝M2r2＝M2ω2r2，
聯立可得＝＝ω2L，r1＝，地球與月球的質量不變，地球和月球間距離增大，則地球繞O點做圓周運動的周期T變大，地球繞O點做圓周運動的角速度變小，地球繞O點做圓周運動的軌道半徑變大，故B、D錯誤，C正確。故選C。]
5．(多選)如圖所示，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其他恒星較遠的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行，若三顆星質量均為M，引力常量為G，則(　　)
A．甲星所受合力為
B．乙星所受合力為
C．甲星和丙星的線速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
√
√
AD　[甲星所受合力為乙、丙對甲星的萬有引力的合力，F甲＝G＋G＝，A正確；由對稱性可知，甲、丙對乙星的萬有引力等大反向，乙星所受合力為零，B錯誤；根據牛頓第二定律得＝M，解得v＝＝，甲、丙的軌道半徑相等，所以線速度大小相等，但方向不同，故線速度不同， C錯誤；根據v＝ωR知，甲、丙角速度大小相等，由于它們旋轉方向一致，所以角速度的方向相同，故角速度相同，D正確。故選AD。]
1．(2024·湖北卷)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向在極短時
間內噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而
實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸
大于原軌道半徑。則(　　)
專題突破練習(五)　天體運動的三類熱點問題
題號
1
3
5
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4
6
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7
9
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12
13
A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
題號
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√
A　[在P點變軌前、后空間站所受到的萬有引力不變，根據牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；因為變軌后其半長軸大于原軌道半徑，根據開普勒第三定律可知空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，故B錯誤；變軌后在P點因反沖運動瞬間獲得豎直向下的速度，原水平向左的圓周運動速度不變，因此合速度變大，故C錯誤；由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前大，而比在近地點的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小，故D錯誤。故選A。]
題號
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2．做勻速圓周運動的人造地球衛星在運行中的某時刻開始，火箭沿線速度反向噴火，噴火后經過一段時間的飛行姿態的調整，穩定后會在新的軌道上繼續做勻速圓周運動，那么與噴火之前相比較
(　　)
A．加速度a減小，周期T增大，半徑r減小
B．加速度a減小，周期T減小，半徑r減小
C．加速度a減小，周期T增大，半徑r增大
D．加速度a增大，周期T減小，半徑r增大
題號
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C　[人造地球衛星在運行中，火箭沿線速度反向噴火，線速度變大，做離心運動，半徑變大，穩定后做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得G＝ma＝m，整理可以得到a＝，T＝，由于r變大，則a變小，T變大，故C正確，A、B、D錯誤。]
題號
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3．(多選)(2025·廣東深圳調研)如圖所示，在發射地球同步衛星的過程中，衛星首先進入近地停泊軌道Ⅰ，然后由Q點進入橢圓軌道Ⅱ，再在P點通過改變衛星速度，進入地球同步軌道Ⅲ，則(　　)
A．將衛星發射至軌道Ⅰ，發射速度必定大于 11.2 km/s
B．衛星在同步軌道Ⅲ上運行時，其速度小于 7.9 km/s
C．衛星在P點通過加速來實現由軌道Ⅱ進入軌道Ⅲ
D．衛星在軌道Ⅱ上經過P點時的加速度大于在軌道Ⅲ上
經過P點時的加速度
題號
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√
√
BC　[11.2 km/s是第二宇宙速度，發射到近地軌道的最小速度是第一宇宙速度7.9 km/s，A錯誤；根據萬有引力提供向心力有G＝m，同步衛星的軌道半徑大于近地衛星的軌道半徑，所以同步衛星的環繞速度小于近地衛星的環繞速度7.9 km/s，B正確；由軌道Ⅱ進入軌道Ⅲ為從低軌道進入高軌道，需要點火加速，C正確；根據牛頓第二定律有G＝ma，無論在哪個軌道經過P點，到地心的距離都相同，受到的萬有引力都相同，加速度相同，D錯誤。]
題號
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4．(2024·重慶卷)2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器成功發射，開啟了月球背面采樣之旅，探測器的著陸器、上升器組合體著陸月球要經過減速、懸停、自由下落等階段。則組合體著陸月球的過程中(　　)
A．減速階段所受合力為0
B．懸停階段不受力
C．自由下落階段機械能守恒
D．自由下落階段加速度大小g＝9.8 m/s2
題號
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√
C　[組合體在減速階段有加速度，合力不為零，故A錯誤；組合體在懸停階段速度為零，處于平衡狀態，合力為零，仍受重力和升力，故B錯誤；組合體在自由下落階段只受重力，機械能守恒，故C正確；月球表面重力加速度不為9.8 m/s2，故D錯誤。故選C。]
題號
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5．2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據以上信息可以得出(　　)
題號
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A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
題號
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√
B　[由題意得火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，根據開普勒第三定律得＝＝，A錯誤；當火星與地球相距最遠時，火星和地球分別位于太陽兩側，兩者的速度方向相反，故地球和火星相對速度最大，B正確；忽略天體自轉產生的影響，根據物體在天體表面所受的重力等于萬有引力得g＝
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，根據題目中所給條件無法計算出比例關系，C錯誤；設經過時間t會再次出現“火星沖日”，在此期間地球比火星多運動一周，則＝1，所以t＝年>1年，D錯誤。]
題號
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6．“神舟十八號”飛船采用“快速返回技術”，在近地軌道上，返回艙脫離“天和”核心艙，在圓軌道環繞并擇機返回地面。則
(　　)
A．“天和”核心艙所處的圓軌道距地面高度越高，環繞速度越大
B．返回艙中的航天員處于失重狀態，不受地球的引力
C．質量不同的返回艙與“天和”核心艙可以在同一軌道運行
D．返回艙穿越大氣層返回地面的過程中，機械能守恒
題號
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C　[根據G＝m，可得v＝，可知圓軌道距地面高度越高，環繞速度越小，而只要環繞速度相同，返回艙和天和核心艙就可以在同一軌道運行，與返回艙和天和核心艙的質量無關，故A錯誤，C正確；返回艙中的航天員處于失重狀態，仍然受到地球的引力作用，地球的引力提供航天員繞地球運動的向心力，故B錯誤；返回艙穿越大氣層返回地面過程中，有阻力做功產生熱量，機械能減小，故D錯誤。故選C。]
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7．(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統，其中一種三星系統如圖所示。三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R。忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　)
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A．每顆星體做圓周運動的線速度大小為
B．每顆星體做圓周運動的角速度為
C．每顆星體做圓周運動的周期為2π
D．每顆星體做圓周運動的加速度與三星的質量無關
題號
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√
√
ABC　[每顆星體受到的合力為F＝2Gsin 60°＝G，軌道半徑為r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確，D錯誤。]
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8．(多選)(2024·廣東茂名高三月考)已知某衛星在赤道上空軌道半徑為r1的圓形軌道上繞地球運行的周期為T，衛星運動方向與地球自轉方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到衛星經過其正上方。假設某時刻，該衛星在如圖所示的A點變軌進入橢圓軌道，近地點B到地心距離為r2。設衛星由A到B運動的時
間為t，地球自轉周期為T0，不計空氣阻力。則(　　)
題號
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A．T＝T0
B．t＝
C．衛星在圖中橢圓軌道由A到B時，機械能不變
D．衛星由圖中圓軌道進入橢圓軌道過程中，機械能不變
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√
BC　[赤道上某城市的人每三天恰好五次看到衛星經過其正上方，則知三天內衛星轉了8圈，則3T0＝8T，解得T＝T0，故A錯誤；根據開普勒第三定律知，＝，解得t＝，故B正確；衛星在題圖中橢圓軌道由A到B時，只有萬有引力做功，機械能守恒，故C正確；衛星由圓軌道進入橢圓軌道，需要減速，則機械能減小，故D錯誤。]
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9．(多選)如圖所示，質量相同的三顆衛星a、b、c繞地球做勻速圓周運動，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時a、b恰好相距最近。已知地球質量為M、半徑為R、地球自轉的角速度為ω，引力常量為G，則(　　)
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A．發射衛星b時速度要大于11.2 km/s
B．若要衛星a與b實現對接，可調節衛星a，使其在b的后下方加速
C．若要衛星c與b實現對接，可讓衛星c直接在原軌道加速
D．衛星a和b下次相距最近還需經過t＝
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√
BD　[衛星b繞地球做勻速圓周運動，7.9 km/s是在地球上發射的物體繞地球做圓周運動所需的最小發射速度，11.2 km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度，所以發射衛星b時速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，故A錯誤；讓衛星加速，所需的向心力增大，由于萬有引力小于所需的向心力，衛星會做離心運動，離開原軌道向高軌道運行，所以a通過調節可以與b實現對接，而c不能直接在原軌道與b實現對接，故B正確，C錯誤；b、c在地球的同步軌道上，
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所以衛星b、c和地球具有相同的周期和角速度，a距離地球表面的高度為R，由萬有引力提供向心力有＝(2R)，所以衛星a的角速度ωa＝，此時a、b恰好相距最近，到衛星a和b下一次相距最近時，有 (ωa－ω)t＝2π，t＝，故D正確。]
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10．(多選)(2024·廣東汕頭二模)“嫦娥五號”軌道器在地面飛控人員的精確控制下成功被日—地拉格朗日L1點捕獲，這是我國首顆進入日—地L1點探測軌道的航天器。已知太陽和地球所在的連線上有如圖所示的3個拉格朗日點，飛行器位于這些點上時，在太陽與地球引力的共同作用下，可以保持與地球同步繞太陽做勻速圓周運動。下列說法正確的是(　　)
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A．飛行器在L1點繞太陽飛行的加速度小于地球繞太陽飛行的加速度
B．飛行器在L1點處于平衡狀態
C．飛行器A在L1點繞太陽飛行的動能小于飛行器B在L2點繞太陽飛行的動能
D．飛行器A在L1點繞太陽飛行的角速度等于飛行器B在L2點繞太陽飛行的角速度
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AD　[飛行器與地球同步繞太陽做勻速圓周運動，即兩者的角速度相同，由an＝ω2r及在L1點的飛行器的軌道半徑小于地球的軌道半徑可知，其加速度小于地球的加速度，選項A正確；飛行器在L1點繞太陽做勻速圓周運動，故所受合力不為零，選項B錯誤；兩飛行器的質量關系不明，故它們的動能關系不能確定，選項C錯誤；飛行器只要在拉格朗日點，均與地球同步繞太陽做勻速圓周運動，故飛行器A在L1點繞太陽飛行的角速度等于飛行器B在L2點繞太陽飛行的角速度，選項D正確。]
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11．太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，這種現象稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表所示：
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行星 名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為(　　)
A．火星365天　　　 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
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B　[根據開普勒第三定律有＝，解得T＝T地，設相鄰兩次“沖日”時間間隔為t，則2π＝t，解得t＝＝，由表格中的數據可得t火＝≈801天，t天＝≈369天，故選B。]
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12．(多選)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器順利進入地月轉移軌道，正式開啟月球之旅。相較于“嫦娥四號”和“嫦娥五號”，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集，并通過升空器將月壤轉移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的，月球半徑約為地球半徑的。關于返回艙在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是(　　)
題號
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A．其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
D．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
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√
BD　[返回艙在該繞月軌道上運動時萬有引力提供向心力，且返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑，則有G＝，其中在月球表面萬有引力和重力的關系為G＝mg月，聯立解得v月＝，由于第一宇宙速度為近地衛星的環繞速度，同理可得v地＝，代入題中數據可得v月＝v地，故A錯誤，B
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正確；根據線速度和周期的關系有T＝·r，根據以上分析可得T月＝T地，故C錯誤，D正確。故選BD。]
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13．雙星系統中兩個星球A、B的質量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點做勻速圓周運動。實際觀測該系統的周期T要小于按照力學理論計算出的周期理論值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜測這可能是受到了一顆未發現的星球C的影響，并認為C位于雙星A、B的連線正中間，相對A、B靜止，已知引力常量為G，求：
(1)兩個星球A、B組成的雙星系統的周期理論值T0；
(2)星球C的質量。
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[解析]　(1)兩星球的角速度相同，根據萬有引力提供向心力知＝＝
可得r1＝r2
兩星繞連線的中點轉動，則有＝
解得ω1＝
所以T0＝＝2π。
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(2)由于C的存在，雙星的向心力由兩個力的合力提供，設C的質量為M，則
＋G＝
T＝＝kT0
聯立解得M＝。
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[答案]　(1)2π　(2)
謝 謝 ！

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