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第五章　機(jī)械能
第五章　機(jī)械能
題型 廣東省近三年考情
2024年 2023年 2022年
選擇題 T9，6分，考查功率的基礎(chǔ)計(jì)算 T8，6分，考查動(dòng)能定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 T9，6分，考查功和功率、功能關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用
實(shí)驗(yàn)題 T11，7分，測(cè)量小球從某一高度釋放，與某種橡膠材料碰撞導(dǎo)致的機(jī)械能損失
計(jì)算題 T15，16分，與電場(chǎng)、磁場(chǎng)結(jié)合，綜合考查 T13，11分，與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量相結(jié)合的綜合性的考查
第五章　機(jī)械能
考情分析
1．廣東高考本章命題形式多樣，單獨(dú)命題的熱點(diǎn)集中在機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
2．綜合性的考查經(jīng)常與牛頓運(yùn)動(dòng)定律、圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量相結(jié)合，也可能出現(xiàn)與電場(chǎng)、電磁感應(yīng)綜合的壓軸題，題型以計(jì)算題為主。
3．實(shí)驗(yàn)題的考查注重實(shí)驗(yàn)原理與操作及以拓展創(chuàng)新形式考查實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ倪w移應(yīng)用
第1節(jié)
功和功率
鏈接教材·夯基固本
1．功
(1)定義：一個(gè)物體受到力的作用，如果在__________發(fā)生了一段位移，就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功。
(2)必要因素：力和物體在________上發(fā)生的位移。
(3)物理意義：功是能量轉(zhuǎn)化的____。
力的方向上
力的方向
量度
(4)公式W＝Fl cos α
①α是力與____方向之間的夾角，l為物體的位移。
②該公式只適用于____做功。
位移
恒力
(5)功的正負(fù)
①當(dāng)0≤α<時(shí)，W>0，這表示力對(duì)物體做____。
②當(dāng)<α≤π時(shí)，W<0，這表示力對(duì)物體做____，或者說(shuō)物體____這個(gè)力做功。
③當(dāng)α＝時(shí)，W＝0，這表示力對(duì)物體______。
(6)功是標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向，但有正負(fù)，正負(fù)不表示方向，表示力的作用效果是動(dòng)力還是阻力。
正功
負(fù)功
克服
不做功
2．功率
(1)定義：功W與完成這些功所用時(shí)間t的____。
(2)物理意義：描述力對(duì)物體做功的____。
(3)公式
①P＝：P為時(shí)間t內(nèi)的________。
②P＝Fv
比值
快慢
平均功率
a．v為平均速度，則P為_(kāi)___功率。
b．v為瞬時(shí)速度，則P為_(kāi)___功率。
c．當(dāng)力F和速度v不在同一直線上時(shí)，可以將力F分解或者將速度v分解。
(4)額定功率：機(jī)械可以長(zhǎng)時(shí)間工作的最大功率。
(5)實(shí)際功率：機(jī)械實(shí)際工作時(shí)的功率。
平均
瞬時(shí)
1．易錯(cuò)易混辨析
(1)只要物體受力的同時(shí)又發(fā)生了位移，就一定有力對(duì)物體做功。 (　　)
(2)一個(gè)力對(duì)物體做了負(fù)功，則說(shuō)明這個(gè)力一定阻礙物體的運(yùn)動(dòng)。 (　　)
(3)作用力做正功時(shí)，反作用力一定做負(fù)功。 (　　)
×
√
×
(4)由P＝Fv既能求某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率，也可以求平均功率。 (　　)
(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時(shí)刻的功率。 (　　)
(6)當(dāng)F為恒力時(shí)，v增大，F(xiàn)的功率一定增大。 (　　)
√
×
×
2．人教版必修第二冊(cè)第81頁(yè)“拓展學(xué)習(xí)”：推導(dǎo)重力做功的特點(diǎn)時(shí)運(yùn)用了什么方法？
提示：微元法。
3．(多選)(人教版必修第二冊(cè)改編)一位質(zhì)量m＝60 kg 的滑雪運(yùn)動(dòng)員從高h(yuǎn)＝10 m的斜坡自由下滑，如圖所示，如果運(yùn)動(dòng)員在下滑過(guò)程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運(yùn)動(dòng)員滑至坡底的過(guò)程中，關(guān)于各力做功的情況，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．重力做的功為6 000 J
B．阻力做的功為1 000 J
C．支持力不做功
D．各力做的總功為零
√
√
AC　[對(duì)運(yùn)動(dòng)員受力分析如圖所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×
10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向與位移方向垂直，故支持力不做功，即WN＝0，各力做的總功W總＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，
故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。]
細(xì)研考點(diǎn)·突破題型
考點(diǎn)1　恒力做功的分析與計(jì)算
1．功的正負(fù)的判斷方法
(1)恒力做功正負(fù)的判斷：依據(jù)力與位移的夾角來(lái)判斷。
(2)曲線運(yùn)動(dòng)中做功正負(fù)的判斷：依據(jù)F與v的方向的夾角來(lái)判斷。0°≤α<90°，力對(duì)物體做正功；90°<α≤180°，力對(duì)物體做負(fù)功；α＝90°，力對(duì)物體不做功。
2．恒力做功的計(jì)算方法
3．合力做功的計(jì)算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。
方法二：先求各個(gè)力做的功W1，W2，W3，…，再應(yīng)用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
注意：求力做功時(shí)要判斷各力做功的正負(fù)，求合力做功時(shí)不能忘記正負(fù)號(hào)。
[典例1]　(多選)質(zhì)量為m＝2 kg的物體沿水平面向右做直線運(yùn)動(dòng)，t＝0時(shí)刻受到一個(gè)水平向左的恒力F，如圖甲所示，取水平向右為正方向，此物體的v-t圖像如圖乙所示，g取10 m/s2，則(　　)
A．物體與水平面間的動(dòng)摩擦
因數(shù)μ＝0.5
B．10 s內(nèi)恒力F對(duì)物體做功為
102 J
C．10 s末物體在計(jì)時(shí)起點(diǎn)位置左側(cè)2 m處
D．10 s內(nèi)物體克服摩擦力做功為34 J
√
√
思路點(diǎn)撥：解此題抓住兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：
(1)通過(guò)圖像分析獲取物體不同階段運(yùn)動(dòng)的加速度大小及位移。
(2)根據(jù)牛頓第二定律和恒力做功的特點(diǎn)分析計(jì)算。
CD　[設(shè)物體向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a1，則由v-t圖像得加速度大小a1＝2 m/s2，方向與初速度方向相反，設(shè)物體向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a2，則由v-t圖像得加速度大小a2＝1 m/s2，方向與初速度方向相反，根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)＋μmg＝ma1，F(xiàn)－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A錯(cuò)誤；根據(jù)v-t圖像與橫軸所圍成的面積表示位移得，x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，負(fù)號(hào)表示物體在起點(diǎn)的左側(cè)，則10 s內(nèi)恒力F對(duì)物體做功W＝F·|x|＝3×2 J＝6 J，故B錯(cuò)誤，C正確；10 s內(nèi)物體克服摩擦力做功Wf＝fs＝0.05×20××4×8 ＋×6×6 J＝34 J，故D正確。]
[典例2]　如圖所示，傾斜的傳送帶上有一物體始終與傳送帶保持相對(duì)靜止，則(　　)
A．當(dāng)傳送帶向上勻速運(yùn)行時(shí)，物體克
服重力和摩擦力做功
B．當(dāng)傳送帶向下勻速運(yùn)行時(shí)，只有重
力對(duì)物體做功
C．當(dāng)傳送帶向上勻加速運(yùn)行時(shí)，摩擦力對(duì)物體做正功
D．不論傳送帶向什么方向運(yùn)行，摩擦力都做負(fù)功
√
C　[當(dāng)傳送帶向上勻速運(yùn)行時(shí)，根據(jù)平衡條件知，摩擦力沿傳送帶向上，則摩擦力做正功，故不是克服摩擦力做功，A錯(cuò)誤；當(dāng)傳送帶向下勻速運(yùn)行時(shí)，根據(jù)平衡條件知，摩擦力沿傳送帶向上，則摩擦力做負(fù)功，不是只有重力對(duì)物體做功，B錯(cuò)誤；當(dāng)傳送帶向上勻加速運(yùn)行時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律知合外力沿傳送帶向上，則摩擦力一定是沿傳送帶向上的，摩擦力做正功，C正確；由前面分析知摩擦力可以做正功，故D錯(cuò)誤。]
考點(diǎn)2　變力做功的分析與計(jì)算
求變力做功常見(jiàn)的五種方法
方法 以例說(shuō)法
應(yīng)用動(dòng)能定理

用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做功為WF，則有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
方法 以例說(shuō)法
微元法

質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff (Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
方法 以例說(shuō)法
圖像法

一水平拉力拉著一物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為x0，圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的功W＝x0
方法 以例說(shuō)法
平均值法
壓縮量Δx
當(dāng)力與位移為線性關(guān)系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝(x2－x1)
方法 以例說(shuō)法
等效轉(zhuǎn)換法

恒力F把物塊從A拉到B，繩子對(duì)物塊做功W＝F·
角度1　微元法求變力做功
[典例3]　在多年前的農(nóng)村，人們往往會(huì)選擇讓驢來(lái)拉磨把食物磨成面，假設(shè)驢對(duì)磨桿的平均拉力為 600 N，驢對(duì)磨桿的拉力方向時(shí)刻與磨桿垂直，半徑r為0.5 m，轉(zhuǎn)動(dòng)一周為5 s，則(　　)
A．驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為0
B．驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為600 J
C．驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為120π W
D．磨盤邊緣的線速度大小為0.1π m/s
√
C　[驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為變力做功，根據(jù)變力做功的求解方法可得驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為W＝F·2πr＝600×2×0.5×π J＝600π J，故A、B錯(cuò)誤；驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為＝＝ W＝120π W，故C正確；磨盤邊緣的線速度大小為v＝＝0.2π m/s，故D錯(cuò)誤。]
角度2　轉(zhuǎn)換法求變力做功
[典例4]　(多選)如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個(gè)滑塊，滑塊用輕繩系著繞過(guò)光滑的定滑輪O。現(xiàn)以大小不變的拉力F拉繩，使滑塊從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始上升，滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)速度最大。已知滑塊質(zhì)量為m，滑輪O到豎直桿的距離為d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度為g(已知sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8)。則(　　)
A．拉力F大小為mg
B．拉力F大小為mg
C．滑塊由A到C過(guò)程輕繩對(duì)滑塊做功mgd
D．滑塊由A到C過(guò)程輕繩對(duì)滑塊做功mgd
√
√
思路點(diǎn)撥：解此題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：
(1)通過(guò)轉(zhuǎn)換研究的對(duì)象，可將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，用W＝Fl cos α求解。
(2)繩的拉力F對(duì)滑塊做的功的位移為右側(cè)繩子增加的長(zhǎng)度。
AC　[滑塊到C點(diǎn)時(shí)速度最大，其所受合力為零，則有F cos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故A正確，B錯(cuò)誤；由能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，拉力F做的功等于輕繩拉力F對(duì)滑塊做的功，滑輪與A間繩長(zhǎng)L1＝，滑輪與C間繩長(zhǎng)L2＝，滑輪右側(cè)繩子增大的長(zhǎng)度ΔL＝L1－L2＝＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正確，D錯(cuò)誤。]
角度3　圖像法求變力做功
[典例5]　如圖甲所示，質(zhì)量為4 kg的物體在水平推力作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，推力大小F隨位移大小x變化的情況如圖乙所示，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m/s2，則(　　)
A．物體先做加速運(yùn)動(dòng)，推力減小到零后才開(kāi)始做減速運(yùn)動(dòng)
B．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中推力做的功為200 J
C．物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度先變小后不變
D．因推力是變力，無(wú)法確定推力做功的大小
√
B　[滑動(dòng)摩擦力Ff＝μmg＝20 N，物體先加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)推力減小到20 N時(shí)，加速度減小為零，之后推力逐漸減小，物體做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)推力減小為零后，物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；F-x圖像中圖線與橫軸所圍的面積表示推力做的功，W＝×100×4 J＝200 J，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤。]
考點(diǎn)3　功率的分析與計(jì)算
1．公式P＝和P＝Fv的區(qū)別
P＝是功率的定義式，P＝Fv是功率的計(jì)算式。
2．平均功率的計(jì)算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度。
3．瞬時(shí)功率的計(jì)算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。
(2)P＝F·vF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
[典例6]　(2025·廣東汕頭質(zhì)檢)如圖所示，質(zhì)量為60 kg的某運(yùn)動(dòng)員在做俯臥撐運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可將她的身體視為一根直棒。已知重心在c點(diǎn)，過(guò)其向地面做垂線，垂足與兩腳、兩手連線中點(diǎn)間的距離oa、ob分別為0.9 m和0.6 m。若她在1 min 內(nèi)做了30個(gè)俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m，則克服重力做的功和相應(yīng)的功率約為(g取10 m/s2)(　　)
A．430 J，7 W　 B．4 300 J，70 W
C．720 J，12 W 　 D．7 200 J，120 W
√
B　[設(shè)重心上升的高度為h，根據(jù)三角形相似可知，每次俯臥撐中，有＝，即h＝0.24 m。一次俯臥撐中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以一分鐘內(nèi)克服重力做的總功為
W總＝nW＝4 320 J，功率P＝＝72 W，故選項(xiàng)B正確。]
恒定功率啟動(dòng) 動(dòng)態(tài)過(guò)程

考點(diǎn)4　機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題
1．兩種啟動(dòng)方式
恒定功率動(dòng) P-t圖像和v-t圖像
恒定加速度啟動(dòng) 動(dòng)態(tài)過(guò)程

P-t圖像和v-t圖像

2．三個(gè)重要關(guān)系式
(1)最大運(yùn)行速度：無(wú)論哪種啟動(dòng)過(guò)程，機(jī)車的最大速度都為vm＝。
(2)勻加速最大速度：機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)，勻加速過(guò)程結(jié)束后功率最大，速度不是最大，即v＝(3)功能關(guān)系：機(jī)車以恒定功率運(yùn)行時(shí)，牽引力做的功W＝Pt，由動(dòng)能定理得Pt－Ff x＝ΔEk，此式經(jīng)常用于求解機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)過(guò)程的位移、速度或時(shí)間。
角度1　恒定加速度啟動(dòng)
[典例7]　一起重機(jī)的鋼繩由靜止開(kāi)始勻加速提起質(zhì)量為m的重物，當(dāng)重物的速度為v1時(shí)，起重機(jī)的功率達(dá)到最大值P，之后起重機(jī)保持該功率不變，繼續(xù)提升重物，最后重物以最大速度v2勻速上升，不計(jì)鋼繩重力，重力加速度為g。則整個(gè)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．鋼繩的最大拉力為
B．重物勻加速過(guò)程的時(shí)間為
C．重物勻加速過(guò)程的加速度為
D．速度由v1增大至v2的過(guò)程中，重物的平均速度 <
√
B　[勻加速過(guò)程重物處于超重狀態(tài)，鋼繩拉力最大，勻加速運(yùn)動(dòng)階段鋼繩的拉力為F＝，故A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可知F－mg＝ma，結(jié)合v1＝at，解得a＝－g，t＝，故B正確，C錯(cuò)誤；在速度由v1增大至v2的過(guò)程中，重物做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，平均速度>，故D錯(cuò)誤。]
角度2　恒定功率啟動(dòng)
[典例8]　如圖甲所示，在粗糙的水平路段AB上有一質(zhì)量為4×103 kg的越野車，正以5 m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，越野車前方的水平路段BC較平坦，越野車用12 s通過(guò)整個(gè)ABC路段的v-t圖像如圖乙所示，在t＝12 s處水平虛線與曲線相切，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中越野車發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率保持80 kW不變。假設(shè)越野車在兩個(gè)路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空氣阻力等)各自恒定，求：
(1)越野車在AB路段上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力大小；
(2)BC路段的長(zhǎng)度。
[解析]　(1)越野車在AB路段時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，有F1＝f1
又P＝F1v1
聯(lián)立解得f1＝1.6×104 N。
(2)t＝12 s時(shí)越野車處于平衡狀態(tài)，有
F2＝f2，P＝F2v2
聯(lián)立解得f2＝8 000 N
在BC路段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2＝8 s
由動(dòng)能定理有Pt2－f2x＝
代入數(shù)據(jù)解得x＝61.25 m。
[答案]　(1)1.6×104 N　(2)61.25 m
易錯(cuò)警示　機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題的三點(diǎn)注意
(1)在機(jī)車功率P＝Fv中，F(xiàn)是機(jī)車的牽引力而不是機(jī)車所受合力或阻力，計(jì)算式P＝Ffvm只體現(xiàn)了一種數(shù)量關(guān)系，用于牽引力與阻力平衡時(shí)達(dá)到最大運(yùn)行速度的計(jì)算。
(2)恒定功率下的啟動(dòng)過(guò)程一定不是勻加速運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式不再適用，啟動(dòng)過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)做的功可用W＝Pt計(jì)算，不能用W＝Fl計(jì)算(因?yàn)镕為變力)。
(3)以恒定加速度啟動(dòng)只能維持一段時(shí)間，之后又要經(jīng)歷非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式只適用于前一段時(shí)間。
【典例8　教用·備選題】(多選)為了獲取某款車的有關(guān)數(shù)據(jù)，某次試車過(guò)程中，試車員駕駛汽車由靜止沿平直公路啟動(dòng)，并控制汽車功率按圖示規(guī)律變化。已知汽車的質(zhì)量為m，額定功率為P0，汽車在行駛過(guò)程中所受阻力恒為車重的K倍，在t2時(shí)刻汽車剛好獲得最大速度，重力加速度為g。則下列說(shuō)
法正確的是(　　)
A．在t1～t2時(shí)間內(nèi)汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)
B．在0～t1時(shí)間內(nèi)汽車平均功率為P0
C．在0～t2時(shí)間內(nèi)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為P0
D．在t2時(shí)刻汽車的運(yùn)動(dòng)速度為
√
√
BD　[由題意并結(jié)合題圖可知，在t1～t2時(shí)間內(nèi)汽車做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在0～t1時(shí)間內(nèi)P0∝t，所以汽車的平均功率為＝，選項(xiàng)B正確；在0～t2時(shí)間內(nèi)，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為W＝P0t1＋P0(t2－t1)＝P0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在t2時(shí)刻，汽車達(dá)到最大速度，則有汽車的牽引力F＝Kmg，則vm＝＝，選項(xiàng)D正確。]
1．近年來(lái)無(wú)人機(jī)在軍事、工業(yè)等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用，一質(zhì)量為m的無(wú)人機(jī)在執(zhí)行遠(yuǎn)程偵察任務(wù)，某段時(shí)間內(nèi)該無(wú)人機(jī)以速度v沿著與水平方向成θ角斜向上的方向勻速直線飛行，重力加速度為g，則(　　)
A．該無(wú)人機(jī)處于超重狀態(tài)
B．該無(wú)人機(jī)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒
C．空氣對(duì)該無(wú)人機(jī)作用力的大小為mg
D．重力對(duì)無(wú)人機(jī)做功的瞬時(shí)功率為mgv
√
學(xué)情診斷·當(dāng)堂評(píng)價(jià)
C　[該無(wú)人機(jī)處于平衡狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能不變，重力勢(shì)能增加，機(jī)械能增加，故B錯(cuò)誤；無(wú)人機(jī)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到自身豎直向下的重力，空氣對(duì)其作用力與重力等大反向，故C正確；重力與速度v有夾角，重力對(duì)無(wú)人機(jī)做功的瞬時(shí)功率不等于mgv，故D錯(cuò)誤。故選C。]
2．用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對(duì)釘子的阻力與釘進(jìn)木板的深度成正比。已知鐵錘第一次將釘子釘進(jìn)深度d，如果鐵錘第二次敲釘子時(shí)對(duì)釘子做的功與第一次相同，那么，第二次釘子進(jìn)入木板的深度為(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C． D．d
√
B　[鐵錘每次敲釘子時(shí)對(duì)釘子做的功等于釘子克服阻力做的功。由于阻力與深度成正比，可用阻力的平均值求功，據(jù)題意可得W＝d＝d，W＝d′＝d′，聯(lián)立解得d′＝(－1)d，故選B。]
3．(多選)質(zhì)量為m的物體從距地面H高處自由下落，經(jīng)歷時(shí)間t，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．t秒內(nèi)重力對(duì)物體做功為mg2t2
B．t秒內(nèi)重力的平均功率為mg2t
C．秒末重力的瞬時(shí)功率與t秒末重力的瞬時(shí)功率之比為1∶2
D．前秒內(nèi)重力做功的平均功率與后秒內(nèi)重力做功的平均功率之比為1∶3
√
√
√
ACD　[物體自由下落，t秒內(nèi)物體下落h＝gt2，W＝mgh＝mg2t2，故A正確；P＝＝＝mg2t，故B錯(cuò)誤；從靜止開(kāi)始自由下落，秒末與t秒末的速度之比為1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故秒末與t秒末功率瞬時(shí)值之比為P1∶P2＝1∶2，C正確；前秒與后秒下落的位移之比為1∶3，則重力做功之比為1∶3，故重力做功的平均功率之比為1∶3，D正確。]
4．(多選)復(fù)興號(hào)動(dòng)車在世界上首次實(shí)現(xiàn)速度350 km/h自動(dòng)駕駛功能，成為我國(guó)高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標(biāo)志性成果。一列質(zhì)量為m的動(dòng)車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t達(dá)到該功率下的最大速度vm，設(shè)動(dòng)車行駛過(guò)程所受到的阻力F保持不變。動(dòng)車在時(shí)間t內(nèi)
(　　)
A．做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
B．加速度逐漸減小
C．牽引力的功率P＝Fvm
D．牽引力做功W＝
√
√
BC　[由于動(dòng)車以恒定功率啟動(dòng)，則由P＝F牽引力v可知，動(dòng)車的速度增大則牽引力減小，由牛頓第二定律F牽引力－F＝ma得動(dòng)車的加速度逐漸減小，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)動(dòng)車的加速度為零時(shí)，即牽引力等于阻力時(shí)，動(dòng)車的速度最大，即P＝Fvm，C正確；設(shè)動(dòng)車在時(shí)間t內(nèi)的位移為x，由動(dòng)能定理得W－Fx＝，則牽引力所做的功為W＝，D錯(cuò)誤。]
5．(2025·廣東揭陽(yáng)調(diào)研)在北京冬奧會(huì)上，中國(guó)代表團(tuán)以9金4銀2銅的戰(zhàn)績(jī)位列金牌榜第三，創(chuàng)下參加冬奧會(huì)以來(lái)的歷史最佳戰(zhàn)績(jī)。跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)過(guò)程簡(jiǎn)化圖如圖所示。“助滑道”由長(zhǎng)為L(zhǎng)、傾角為θ的斜坡面AB和圓弧形坡面BCD構(gòu)成，AB和BCD在B處相切，且B與D等高。某運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))從A處由靜止開(kāi)始，沿“助滑道”滑行，并從D點(diǎn)沿著圓弧的切線滑出。設(shè)該運(yùn)動(dòng)員(包含滑雪板，后同)的質(zhì)量為m，滑雪板與斜坡面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，該運(yùn)動(dòng)員在D點(diǎn)沿著圓弧的切線滑出時(shí)的速度大小為v，不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g。求：
(1)該運(yùn)動(dòng)員從A到B的時(shí)間；
(2)該運(yùn)動(dòng)員在圓弧形坡面BCD上克服摩擦力所做的功。
[解析]　(1)根據(jù)牛頓第二定律可得，該運(yùn)動(dòng)員從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中的加速度大小為
a＝＝g sin θ－μg cos θ
該運(yùn)動(dòng)員從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有L＝at2
聯(lián)立解得t＝。
(2)設(shè)該運(yùn)動(dòng)員在圓弧形坡面BCD上克服摩擦力所做的功為W，對(duì)該運(yùn)動(dòng)員從A到D的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有mgL sin θ－μmgL cos θ－W＝mv2
解得W＝mgL sin θ－μmgL cos θ－mv2。
[答案]　(1)　(2)mgL sin θ－μmgL cos θ－mv2
課時(shí)分層作業(yè)(十二)　功和功率
題號(hào)
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1．一物體放在水平面上，它的俯視圖如圖所示，兩個(gè)相互垂直的力F1和F2同時(shí)作用在物體上，使物體沿圖中v0的方向做直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段位移的過(guò)程中，力F1和F2對(duì)物體所做的功分別為3 J和4 J，則兩個(gè)力的合力對(duì)物體所做的功為(　　)
A．3 J 　 B．4 J
C．5 J D．7 J
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√
題號(hào)
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D　[當(dāng)多個(gè)力對(duì)物體做功時(shí)，多個(gè)力的總功等于各個(gè)力對(duì)物體做功的代數(shù)和，故W合＝WF1＋WF2＝3 J＋4 J＝7 J，選項(xiàng)D正確。]
12
2．(2025·廣東潮州檢測(cè))如圖所示，水平路面上有一輛質(zhì)量為M的貨車，車廂中有一個(gè)質(zhì)量為m的人正用恒力F向前推車廂。在車以加速度a向前加速行駛距離L的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．人對(duì)車的推力F做的功為FL
B．人對(duì)車做的功為maL
C．車對(duì)人的作用力大小為ma
D．車對(duì)人的摩擦力做的功為(F－ma)L
題號(hào)
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A　[根據(jù)功的公式可知，人對(duì)車的推力做的功為W＝FL，故A正確；在水平方向上，由牛頓第二定律可知車對(duì)人的作用力為F′＝ma，由牛頓第三定律可知人對(duì)車的作用力為－ma，則人對(duì)車做的功為W＝
－maL，故B錯(cuò)誤；人在水平方向受到車的作用力為ma，豎直方向上車對(duì)人還有支持力，故車對(duì)人的作用力為FN＝＝m，故C錯(cuò)誤；對(duì)人由牛頓第二定律可得Ff－F＝ma，則Ff＝ma＋F，車對(duì)人的摩擦力做的功為W＝FfL＝(F＋ma)L，故D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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3．無(wú)風(fēng)時(shí)，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會(huì)以恒定的速率豎直下落。一質(zhì)量為m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的過(guò)程中，克服空氣阻力做的功為(重力加速度大小為g)(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．mgh
C．mv2－mgh D．mv2＋mgh
題號(hào)
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B　[由題意知雨滴做勻速運(yùn)動(dòng)，有f＝mg，則克服空氣阻力做的功W＝fh＝mgh，B正確。]
4．(多選)(2021·廣東卷)長(zhǎng)征途中，為了突破敵方關(guān)隘，戰(zhàn)士爬上陡峭的山頭，居高臨下向敵方工事內(nèi)投擲手榴彈，戰(zhàn)士在同一位置先后投出甲、乙兩顆質(zhì)量均為m的手榴彈，手榴彈從投出的位置到落地點(diǎn)的高度差為h，在空中的運(yùn)動(dòng)可視為平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有(　　)
A．甲在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間比乙的長(zhǎng)
B．兩手榴彈在落地前瞬間，重力的功率相等
C．從投出到落地，每顆手榴彈的重力勢(shì)能減少mgh
D．從投出到落地，每顆手榴彈的機(jī)械能變化量為mgh
題號(hào)
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√
BC　[由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝，因?yàn)閮墒至駨椷\(yùn)動(dòng)的高度差相同，所以在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，故A錯(cuò)誤；做平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地前瞬間重力的功率為P＝mgvy＝mgv cos θ＝mg，因?yàn)閮墒至駨椷\(yùn)動(dòng)的高度差相同，質(zhì)量相同，所以落地前瞬間，兩手榴彈重力功率相同，故B正確；從投出到落地，手榴彈下降的高度為h，所以手榴彈重力勢(shì)能減小量ΔEp＝mgh，故C正確；從投出到落地，手榴彈做平拋運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，故D錯(cuò)誤。故選BC。]
題號(hào)
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5．最近推出的一款電動(dòng)共享單車很受市民歡迎。一位市民僅靠電機(jī)驅(qū)動(dòng)騎著該電動(dòng)單車以恒定功率從靜止啟動(dòng)，電動(dòng)單車能夠達(dá)到的最大速度為v。已知電動(dòng)單車所受的阻力是人和車總重力的，重力加速度g取10 m/s2，則當(dāng)車速為時(shí)，人和車的瞬時(shí)加速度為(　　)
A．1 m/s2 B．3 m/s2
C．4 m/s2 D．5 m/s2
題號(hào)
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B　[由于電動(dòng)單車以恒定功率啟動(dòng)，所以單車牽引力大小等于阻力時(shí)，單車速度最大，設(shè)人和車總質(zhì)量為M，所以可以得到單車啟動(dòng)功率為Mgv，車速為時(shí)，可得單車的牽引力為Mg，由牛頓第二定律得F牽－F阻＝Ma，代入數(shù)據(jù)解得a＝3 m/s2。故選B。]
題號(hào)
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6．如圖所示，質(zhì)量為m的物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)之間能出現(xiàn)的最大靜摩擦力為物塊重力的k倍，物塊與轉(zhuǎn)軸OO′相距R，隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定值時(shí)，物塊即將在轉(zhuǎn)臺(tái)上滑動(dòng)。在物塊由靜止到開(kāi)始滑動(dòng)前的這一過(guò)程中，已知重力加速度為g，則轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊做的功為 (　　)
A．0 B．2πkmgR
C．2kmgR D．
題號(hào)
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√
D　[由于物塊做圓周運(yùn)動(dòng)，物塊剛開(kāi)始滑動(dòng)這一時(shí)刻，物塊受到轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力為最大靜摩擦力，則kmg＝m，v2＝kgR。設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊做的功為W轉(zhuǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理研究物塊由靜止到開(kāi)始滑動(dòng)前的這一過(guò)程，W轉(zhuǎn)＝mv2－0＝，故選項(xiàng)D正確。]
題號(hào)
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7．如圖(a)，從高處M點(diǎn)到地面N點(diǎn)有Ⅰ、Ⅱ兩條光滑軌道。兩相同小物塊甲、乙同時(shí)從M點(diǎn)由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點(diǎn)，其速率v與時(shí)間t的關(guān)系如圖(b)所示。由圖可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過(guò)程中(　　)
題號(hào)
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A．甲沿Ⅰ下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不變
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
題號(hào)
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√
B　[由題圖(b)可看出甲做勻變速運(yùn)動(dòng)，乙的加速度變化，分別對(duì)甲和乙進(jìn)行受力分析，可知甲沿Ⅱ下滑，乙沿Ⅰ下滑，由題圖(b)可知同一時(shí)刻乙的速度大，又因?yàn)榧缀鸵业馁|(zhì)量相同，所以同一時(shí)刻乙的動(dòng)能大，A、D錯(cuò)誤，B正確；乙的初速度為零，運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)其速度方向與重力方向垂直，即物塊乙在M、N兩點(diǎn)重力的功率都為零，所以乙的重力的功率先增大后減小，C錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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8．(多選)(2022·廣東卷)如圖所示，載有防疫物資的無(wú)人駕駛小車，在水平MN段以恒定功率200 W、速度 5 m/s 勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛。已知小車總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的有(　　)
題號(hào)
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A．從M到N，小車牽引力大小為40 N
B．從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C．從P到Q，小車重力勢(shì)能增加1×104 J
D．從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
題號(hào)
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√
√
√
ABD　[小車從M到N，依題意有P1＝Fv1＝200 W，代入數(shù)據(jù)解得F＝
40 N，故A正確；依題意，小車從M到N，因勻速行駛可知，小車所受的摩擦力大小與牽引力相等，為f1＝F＝40 N，則摩擦力做功為W1＝
－40×20 J＝－800 J，則小車克服摩擦力做功為800 J，故B正確；依題意，從P到Q，重力勢(shì)能增加量為ΔEp＝mg×Δh＝500 N×20 m×sin 30°＝
5 000 J，故C錯(cuò)誤；依題意，小車從P到Q，摩擦力為f2，有f2＋mgsin 30°＝，摩擦力做功為W2＝－f2×s2，s2＝20 m，聯(lián)立解得W2＝－700 J，則小車克服摩擦力做功為700 J，故D正確。故選ABD。]
題號(hào)
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9．(多選)質(zhì)量為2×103 kg的汽車由靜止開(kāi)始沿平直公路行駛，行駛過(guò)程中牽引力F和車速倒數(shù)的關(guān)系圖像如圖所示。已知行駛過(guò)程中最大車速為30 m/s，設(shè)阻力恒定，則 (　　)
A．汽車所受阻力為6×103 N
B．汽車在車速為5 m/s時(shí)，加速度為3 m/s2
C．汽車在車速為15 m/s時(shí)，加速度為1 m/s2
D．汽車在行駛過(guò)程中的最大功率為6×104 W
題號(hào)
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√
CD　[當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，汽車的速度最大，由題圖可知阻力大小Ff＝2×103 N，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由題圖可知，車速為5 m/s時(shí)，汽車的牽引力F1＝6×103 N，則汽車的加速度a1＝＝＝2 m/s2，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；P額＝Ffvm＝2×103×30 W＝6×104 W，故D項(xiàng)正確；當(dāng)車速為15 m/s時(shí)，汽車的牽引力F2＝＝ N＝4×103 N，則加速度a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C項(xiàng)正確。]
題號(hào)
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10．兩節(jié)動(dòng)車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達(dá)到的最大速度分別為v1和v2。現(xiàn)將它們編成動(dòng)車組，設(shè)每節(jié)動(dòng)車運(yùn)行時(shí)受到的阻力在編組前后不變，則該動(dòng)車組在此鐵軌上能達(dá)到的最大速度為 (　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
題號(hào)
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D　[分析可知，兩動(dòng)車在平直鐵軌上受到的阻力分別為f1＝、f2＝，編成動(dòng)車組后，動(dòng)車組的總功率P＝P1＋P2，動(dòng)車組受到的總阻力f＝f1＋f2，又vm＝，聯(lián)立解得vm＝，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。]
題號(hào)
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11．《天工開(kāi)物》中記載了古人借助水力使用高轉(zhuǎn)筒車往稻田里引水的場(chǎng)景。引水過(guò)程簡(jiǎn)化如下：兩個(gè)半徑均為R的水輪，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。水筒在筒車上均勻排布，單位長(zhǎng)度上有n個(gè)，與水輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。每個(gè)水筒離開(kāi)水面時(shí)裝有質(zhì)量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對(duì)灌入稻田的水做功的功率為(　　)
題號(hào)
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A． B．
C． D．nmgωRH
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B　[設(shè)兩水輪的軸的連線與水平面的夾角為θ，水筒在兩水輪間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件知筒車對(duì)灌入稻田的水的作用力大小F＝·60%mg，方向豎直向上，筒車的線速度大小v＝ωR，則筒車對(duì)灌入稻田的水做功的功率P＝Fv cos (90°－θ)＝，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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12．目前，上海有若干輛超級(jí)電容車試運(yùn)行，運(yùn)行中無(wú)需連接電纜，只需在乘客上車間隙充電30秒到1分鐘，就能行駛3到5千米。假設(shè)有一輛超級(jí)電容車，質(zhì)量m＝2×103 kg，額定功率P＝60 kW，當(dāng)超級(jí)電容車在平直水平路面上行駛時(shí)，受到的阻力Ff是車重的0.1倍，g取10 m/s2。
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(1)超級(jí)電容車在此路面上行駛所能達(dá)到的最大速度是多少？
(2)若超級(jí)電容車從靜止開(kāi)始，保持以0.5 m/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這一過(guò)程能維持多長(zhǎng)時(shí)間？
(3)若超級(jí)電容車從靜止開(kāi)始，保持額定功率做加速運(yùn)動(dòng)，50 s后達(dá)到最大速度，求此過(guò)程中超級(jí)電容車的位移大小。
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[解析]　(1)當(dāng)超級(jí)電容車速度達(dá)到最大時(shí)，超級(jí)電容車的牽引力與阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
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(2)超級(jí)電容車做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
設(shè)超級(jí)電容車剛達(dá)到額定功率時(shí)的速度為v1，則
P＝F1v1
v1＝＝20 m/s
設(shè)超級(jí)電容車勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則v1＝at
解得t＝＝40 s。
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(3)從靜止到達(dá)到最大速度的過(guò)程中牽引力與阻力做功，由動(dòng)能定理得
Pt2－Ff x＝
解得x＝1 050 m。
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[答案]　(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m
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