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第五章　機(jī)械能
第3節(jié)　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
鏈接教材·夯基固本
1．重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功只跟它的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而跟物體運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。
(2)重力做功不引起物體______的變化。
機(jī)械能
2．重力勢(shì)能
(1)表達(dá)式Ep＝______。
(2)重力勢(shì)能的特點(diǎn)
①系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和____所共有的。
②相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取____，但重力勢(shì)能的變化量與參考平面的選取____。
mgh
地球
有關(guān)
無(wú)關(guān)
(3)ΔEp與WG的關(guān)系
①定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能_____；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能_____。
②定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的____量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
減小
增大
減小
3．彈性勢(shì)能
(1)定義：發(fā)生________的物體的各部分之間由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能。
(2)ΔEp與W彈的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能____；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能____。定量表達(dá)式為W彈＝－ΔEp。
彈性形變
減少
增加
4．機(jī)械能守恒定律
(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，____與____可以互相轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能________。
(2)表達(dá)式：＝。
動(dòng)能
勢(shì)能
保持不變
(3)守恒條件
①系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力。
②系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)______。
③系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和____。
不做功
為零
1．易錯(cuò)易混辨析
粵教版必修第二冊(cè)第104頁(yè)“資料活頁(yè)”：地鐵線(xiàn)路節(jié)能設(shè)計(jì)——優(yōu)化線(xiàn)路節(jié)能坡。據(jù)此情境進(jìn)行判斷(分析問(wèn)題時(shí)，忽略摩擦和空氣阻力)：
(1)列車(chē)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)上坡進(jìn)站的過(guò)程中，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。 (　　)
(2)列車(chē)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，從開(kāi)始上坡到完全進(jìn)站過(guò)程中，機(jī)械能增加mgh。 (　　)
(3)若列車(chē)剛要上坡時(shí)的初速度為v0，列車(chē)質(zhì)量為m，則列車(chē)的機(jī)械能一定為。 (　　)
(4)列車(chē)的機(jī)械能大小與零勢(shì)能參考平面的選取有關(guān)。 (　　)
√
×
×
√
2．(人教版必修第二冊(cè)改編)(多選)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以地面為零勢(shì)能面，而且不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．重力對(duì)物體做的功為mgh
B．物體在海平面上的重力勢(shì)能為mgh
C．物體在海平面上的動(dòng)能為－mgh
D．物體在海平面上的機(jī)械能為
√
√
AD　[從地面到海平面，重力對(duì)物體做的功為mgh，故A正確；以地面為零勢(shì)能面，所以物體在海平面的重力勢(shì)能為－mgh，故B錯(cuò)誤；物體在地面上的機(jī)械能為，由機(jī)械能守恒定律得，物體在海平面上的機(jī)械能也為，故D正確；物體在海平面上的動(dòng)能為－(－mgh)＝＋mgh，故C錯(cuò)誤。]
細(xì)研考點(diǎn)·突破題型
考點(diǎn)1　機(jī)械能守恒的判斷
1．對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解
(1)只受重力作用，物體的機(jī)械能守恒(例如平拋運(yùn)動(dòng))。
(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數(shù)和為零。
(3)對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。注意：并非物體的機(jī)械能守恒。
2．機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法
(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，機(jī)械能守恒。
(2)用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒。
(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，只存在系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
[典例1]　如圖所示，斜面體置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物體由靜止沿斜面下滑，在物體下滑過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是
(　　)
A．物體的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能不變
B．斜面體的機(jī)械能不變
C．斜面對(duì)物體的作用力垂直于接觸面，
不對(duì)物體做功
D．物體和斜面體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
√
D　[物體由靜止開(kāi)始下滑的過(guò)程中其重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，A錯(cuò)誤；物體在下滑過(guò)程中，斜面體做加速運(yùn)動(dòng)，其機(jī)械能增加，B錯(cuò)誤；物體沿斜面下滑時(shí)，既沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，又隨斜面體向右運(yùn)動(dòng)，其合速度方向與彈力方向不垂直，彈力方向垂直于接觸面，但與速度方向之間的夾角大于90°，所以斜面對(duì)物體的作用力對(duì)物體做負(fù)功，C錯(cuò)誤；對(duì)物體與斜面體組成的系統(tǒng)，只有物體的重力做功，機(jī)械能守恒，D正確。]
[典例2]　(多選)如圖所示，質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球a和b，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點(diǎn)O處有一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后釋放，在b球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置的過(guò)程中(　　)
A．b球的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，b球機(jī)
械能守恒
B．a(chǎn)球的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，a球
機(jī)械能不守恒
C．a(chǎn)球、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．a(chǎn)球、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
√
√
BC　[b球從水平位置下擺到最低點(diǎn)的過(guò)程中，a球升至最高點(diǎn)，重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，機(jī)械能增加。由于a、b系統(tǒng)只有重力做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，既然a球機(jī)械能增加，b球機(jī)械能一定減小。故選BC。]
易錯(cuò)警示　關(guān)于機(jī)械能守恒條件的三點(diǎn)提醒
(1)分析機(jī)械能是否守恒時(shí)，必須明確要研究的系統(tǒng)(如第2題中，守恒的是小球的機(jī)械能還是系統(tǒng)的機(jī)械能)。
(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，機(jī)械能一般在系統(tǒng)內(nèi)物體間轉(zhuǎn)移，其中的單個(gè)物體機(jī)械能通常不守恒。
(3)對(duì)于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說(shuō)明，否則機(jī)械能必定不守恒。
考點(diǎn)2　單物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．表達(dá)式
2．求解單個(gè)物體機(jī)械能守恒問(wèn)題的基本思路
(1)選對(duì)象：選取研究對(duì)象——物體。
(2)析受力、判守恒：根據(jù)研究對(duì)象所經(jīng)歷的物理過(guò)程，進(jìn)行受力、做功分析，判斷機(jī)械能是否守恒。
(3)析運(yùn)動(dòng)、明狀態(tài)：在當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對(duì)象在初、末狀態(tài)時(shí)的機(jī)械能。
(4)列方程、解方程：選取方便的機(jī)械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)進(jìn)行求解。
3．選用技巧
在處理單個(gè)物體機(jī)械能守恒問(wèn)題時(shí)，通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢(shì)能面。
[典例3]　如圖所示，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開(kāi)始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。
(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；
(2)通過(guò)計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。
審題指導(dǎo)：
關(guān)鍵語(yǔ)句 獲取信息
光滑固定圓弧軌道 小球在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不受摩擦力，彈力與速度方向垂直
小球能否運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn) 由小球經(jīng)C點(diǎn)的最小速度確定
[解析]　(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，由機(jī)械能守恒定律得EkA＝mg
設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，
同理有EkB＝mg
解得＝。
(2)若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的彈力N應(yīng)滿(mǎn)足N≥0
設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式有N＋mg＝
vC應(yīng)滿(mǎn)足，當(dāng)且僅當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)取等號(hào)
由機(jī)械能守恒定律有mg＝
得出小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。
[答案]　(1)5∶1　(2)見(jiàn)解析
考點(diǎn)3　多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．常見(jiàn)多物體機(jī)械能守恒的情境分析
(1)速率相等情境

用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
(2)角速度相等情境

桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。
(3)關(guān)聯(lián)速度情境

兩物體速度的關(guān)聯(lián)實(shí)質(zhì)：沿繩(或沿桿)方向的分速度大小相等。
(4)“輕彈簧”連接的情境
由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時(shí)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能守恒。
2．解決多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的三點(diǎn)注意
(1)對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
(2)明確物體間的連接情況。
(3)列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
角度1　輕桿連接系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
[典例4]　(多選)(2024·廣東惠州高三檢測(cè))將質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球A和B，用長(zhǎng)為2L的輕桿相連，如圖所示，在桿的中點(diǎn)O處有一固定水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸，把桿置于水平位置后由靜止自由釋放，已知重力加速度為g，在B球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到最
低位置的過(guò)程中(不計(jì)一切摩擦)(　　)
A．A、B兩球的線(xiàn)速度大小始終不相等
B．重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小
C．B球轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置時(shí)的速度大小為
D．桿對(duì)B球做正功，B球機(jī)械能不守恒
√
√
BC　[A、B兩球用輕桿相連共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度大小始終相等，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相等，所以?xún)汕虻木€(xiàn)速度大小也相等，A錯(cuò)誤；桿在水平位置時(shí)，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率為零，桿在豎直位置時(shí)，B球的重力方向和速度方向垂直，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率也為零，但在其他位置重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率不為零，因此，重力對(duì)B球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小，B正確；設(shè)B球轉(zhuǎn)動(dòng)到最低位置時(shí)速度為v，兩球線(xiàn)速度大小相等，對(duì)A、B兩球和桿組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒
定律得2mgL－mgL＝，解得v＝ ，C正確；B球的重力勢(shì)能減少了2mgL，動(dòng)能增加了mgL，機(jī)械能減少了，所以桿對(duì)B球做負(fù)功，D錯(cuò)誤。]
角度2　輕繩連接系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
[典例5]　(多選)如圖所示，將一根光滑的硬質(zhì)金屬導(dǎo)線(xiàn)制成四分之一圓弧軌道AB后固定在豎直平面內(nèi)，O1為軌道的圓心，O1B水平。質(zhì)量為m的細(xì)圓環(huán)P套在軌道上，足夠長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩繞過(guò)光滑的細(xì)小定滑輪O2、O3分別連接圓環(huán)P與另一質(zhì)量也為m的小球Q，AO1BO2為一邊長(zhǎng)為R的正方形。若將細(xì)圓環(huán)P從圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止釋放，圓環(huán)P在細(xì)繩拉動(dòng)下將沿軌道運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g，空氣阻力忽略不計(jì)，則細(xì)圓環(huán)P下滑至B點(diǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球Q的機(jī)械能先增加后減少
B．細(xì)圓環(huán)P的機(jī)械能先減少后增加
C．小球Q的速度為零時(shí)，細(xì)圓環(huán)P的速度大小為
D．細(xì)圓環(huán)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，圓弧軌道對(duì)細(xì)圓環(huán)P的彈力大小為mg
√
√
CD　[在細(xì)圓環(huán)P下滑至B點(diǎn)的過(guò)程中，小球Q先向下運(yùn)動(dòng)，后向上運(yùn)動(dòng)，細(xì)繩拉力對(duì)Q先做負(fù)功后做正功，因此小球Q的機(jī)械能先減少后增加，A錯(cuò)誤；細(xì)繩拉力對(duì)細(xì)圓環(huán)P先做正功后做負(fù)功，因此細(xì)圓環(huán)P的機(jī)械能先增加后減少，B錯(cuò)誤；根據(jù)速度的合成與分解可知，細(xì)圓環(huán)P的速度沿細(xì)繩方向的分量大小等于Q的速度大小，當(dāng)小球Q的速度為零時(shí)，細(xì)圓環(huán)P的速度方向與細(xì)繩垂直，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時(shí)細(xì)繩與水平方向的夾角為45°，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
mg[R－(R－R)]＋mg(R－R cos 45°)＝，解得vP＝，C正確；細(xì)圓環(huán)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P、Q的速度大小相等，設(shè)為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgR＝·2mv2，在B點(diǎn)，對(duì)細(xì)圓環(huán)P有N＝，解得圓弧軌道對(duì)細(xì)圓環(huán)P的彈力大小N＝mg，D正確。]
【典例5　教用·備選題】如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線(xiàn)連接，跨過(guò)固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍。當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R B．
C． D．
√
C　[如圖所示，以A、B整體為系統(tǒng)，以地面為零勢(shì)能面，設(shè)A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有2mgR＝mgR＋×3mv2，A落地后B將以速度v做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，即有mv2＝mgh，解得h＝R，則B上升的高度為R＋R＝R，
故選項(xiàng)C正確。]
角度3　輕彈簧連接系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
[典例6]　如圖所示，A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線(xiàn)相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線(xiàn)剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線(xiàn)豎直、右側(cè)細(xì)線(xiàn)與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線(xiàn)與滑輪之間的摩擦不計(jì)。開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面。求：
(1)斜面的傾角α；
(2)A球獲得的最大速度vm。
審題指導(dǎo)：
關(guān)鍵語(yǔ)句 獲取信息
固定的光滑斜面上 系統(tǒng)機(jī)械能守恒
使細(xì)線(xiàn)剛剛拉直但無(wú)拉力作用 彈簧處于壓縮狀態(tài)，且彈力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面 彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，且彈力等于C的重力
關(guān)鍵語(yǔ)句 獲取信息
B、C的質(zhì)量均為m 彈簧壓縮量與伸長(zhǎng)量相等，彈性勢(shì)能相同
A球獲得的最大速度vm A的加速度此時(shí)為零
[解析]　(1)由題意可知，當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面，A的加速度此時(shí)為零。
由牛頓第二定律得4mg sin α－2mg＝0，則
sin α＝，α＝30°。
(2)由題意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝。A、B兩小球及輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)在初始時(shí)和A沿斜面下滑至速度最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)A、B、C三小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得4mgx sin α－mgx＝
聯(lián)立解得vm＝2g。
[答案]　(1)30°　(2)2g
規(guī)律方法　多個(gè)物體機(jī)械能守恒問(wèn)題的分析方法
(1)正確選取研究對(duì)象，合理選取物理過(guò)程。
(2)對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
(3)注意尋找用輕繩、輕桿或輕彈簧相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
(4)列機(jī)械能守恒方程時(shí)，從三種表達(dá)式中選取方便求解問(wèn)題的形式。
考點(diǎn)4　用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題
1．特點(diǎn)：在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類(lèi)的物體，其在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中重心位置相對(duì)物體會(huì)發(fā)生變化，因此這類(lèi)物體不能再視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒。
體整體機(jī)械能守恒。
2．處理方法：一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的變化列式求解。
[典例7]　(多選)內(nèi)徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門(mén)K關(guān)閉時(shí)兩側(cè)水面高度分別為h1和h2，如圖所示。已知水的密度為ρ，重力加速度為g，不計(jì)水與筒壁的摩擦阻力。現(xiàn)把連接兩筒的閥門(mén)K打開(kāi)，當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，則該過(guò)程中(　　)
A．水柱的重力做正功
B．大氣壓力對(duì)水柱做負(fù)功
C．水柱的機(jī)械能守恒
D．當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，水柱的動(dòng)能是ρgS(h1－h(huán)2)2
√
√
√
ACD　[把連接兩筒的閥門(mén)打開(kāi)到兩筒水面高度相等的過(guò)程中大氣壓力對(duì)左筒水面做正功，對(duì)右筒水面做負(fù)功，抵消為零。水柱的機(jī)械能守恒，重力做功等于重力勢(shì)能的減少量，等于水柱增加的動(dòng)能，等效于把左管高 的水柱移至右管，如圖中的陰影部分所示，重心下降 ，重力所做正功WG＝ρgS·＝ρgS·(h1－h(huán)2)2，故A、C、D正確。]
[典例8]　如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鐵鏈對(duì)稱(chēng)掛在一輕質(zhì)小滑輪上，由于某一微小的擾動(dòng)使得鏈條向一側(cè)滑動(dòng)，滑輪離地面足夠高，則鐵鏈完全離開(kāi)滑輪時(shí)的速度大小為(假設(shè)離開(kāi)瞬間的速度方向向下，重力加速度為g)(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[鐵鏈向一側(cè)滑動(dòng)的過(guò)程受重力和滑輪彈力的作用，彈力始終與對(duì)應(yīng)各節(jié)鏈條的運(yùn)動(dòng)方向垂直，故彈力不做功，只有重力做功。設(shè)鐵鏈剛好完全離開(kāi)滑輪時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律有mv2＋ΔEp＝0，其中鐵鏈重力勢(shì)能的變化量相當(dāng)于滑離時(shí)下半部分的重力勢(shì)能減去滑動(dòng)前左半部分的重力勢(shì)能，如圖所示，
即ΔEp＝－mg·，解得v＝，故C正確。]
1．如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧一直保持豎直，空氣阻力不計(jì)，那么小球從接觸彈簧開(kāi)始到將彈簧壓縮到最短的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球的動(dòng)能一直減小
B．小球的機(jī)械能守恒
C．克服彈力做功大于重力做功
D．最大彈性勢(shì)能等于小球減少的動(dòng)能
√
學(xué)情診斷·當(dāng)堂評(píng)價(jià)
C　[小球開(kāi)始下落時(shí)，只受重力作用做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與彈簧接觸時(shí)，受到彈簧彈力作用，開(kāi)始時(shí)彈簧壓縮量小，因此重力大于彈力，速度增大，隨著彈簧壓縮量的增加，彈力增大，當(dāng)重力等于彈力時(shí)，速度最大，然后彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力大于重力，小球開(kāi)始減速運(yùn)動(dòng)，所以整個(gè)過(guò)程中小球先加速后減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)Ek＝mv2，動(dòng)能先增大然后減小，故A錯(cuò)誤；在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球受到的彈力對(duì)它做了負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；在向下運(yùn)動(dòng)過(guò)
程中，重力勢(shì)能減小，最終小球的速度為零，動(dòng)能減小，彈簧的壓縮量增大，彈性勢(shì)能增大，根據(jù)能量守恒，最大彈性勢(shì)能等于小球減少的動(dòng)能和減小的重力勢(shì)能之和，即克服彈力做功大于重力做功，故D錯(cuò)誤，C正確。]
2．打樁機(jī)是基建常用工具。某種簡(jiǎn)易打樁機(jī)模型如圖所示，重物A、B和C通過(guò)不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)長(zhǎng)繩跨過(guò)兩個(gè)光滑且等高的小定滑輪連接，在外力作用下使得C與滑輪等高(A、B和C均在空中)，且處于靜止?fàn)顟B(tài)，C到兩定滑輪的距離均為L(zhǎng)。重物A和B的質(zhì)量均為m，重物C的質(zhì)量為 m。撤除外力，使C由靜止開(kāi)始豎直落下(始終
未與地面相碰)，A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)。則重物
C下落的最大距離為(　　)
A．8L B．6L
C．4L D．2L
√
C　[設(shè)重物C下落的最大距離為h，此時(shí)重物A、B和C的速度均為0，根據(jù)幾何關(guān)系可知重物A、B上升的高度均為h′＝－L，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得 mgh＝2mgh′＝2mg(－L)，解得h＝4L，故選C。]
3．(多選)(2025·廣東梅州高三檢測(cè))如圖所示，有質(zhì)量分別為2m、m的小滑塊P、Q，P套在固定豎直桿上，Q放在水平地面上。P、Q間通過(guò)鉸鏈用長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性輕桿連接，一輕彈簧左端與Q相連，右端固定在豎直桿上，彈簧水平，α＝30°時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)。當(dāng)α＝30°時(shí)，P由靜止釋放，下降到最低點(diǎn)時(shí)α變?yōu)?0°，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，P、Q始終在同一豎直平面內(nèi)，彈簧在彈性限
度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降
過(guò)程中(　　)
A．P、Q組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．當(dāng)α＝45°時(shí)，P、Q的速度相同
C．彈簧彈性勢(shì)能最大值為(－1)mgL
D．P下降過(guò)程中動(dòng)能達(dá)到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
√
√
CD　[對(duì)于P、Q組成的系統(tǒng)，由于彈簧對(duì)Q要做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，但對(duì)P、Q、彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力或彈簧彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；當(dāng)α＝45°時(shí)，根據(jù)P、Q沿輕桿方向的分速度相等得 vQ cos 45°＝vP cos 45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得Ep＝2mgL(cos 30°－cos 60°)，彈性勢(shì)能的最大值為Ep＝(－1)mgL，故C正確；P下降過(guò)程中動(dòng)能達(dá)到最大前，P加速下降，對(duì)P、Q整體，在豎直方向上根據(jù)牛頓第二定律有3mg－N＝2ma，則有N<3mg，故D正確。]
4．如圖所示，傾角為37°的斜面與一豎直光滑圓軌道相切于A點(diǎn)，軌道半徑R＝1 m，將滑塊由B點(diǎn)無(wú)初速度釋放，滑塊恰能運(yùn)動(dòng)到圓周的C點(diǎn)，OC水平，OD豎直，xAB＝2 m，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，g取
10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑塊在斜面上由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間；
(2)若滑塊能從D點(diǎn)拋出，滑塊仍從斜面上
無(wú)初速度釋放，釋放點(diǎn)至少應(yīng)距A點(diǎn)多遠(yuǎn)。
[解析]　(1)設(shè)滑塊到達(dá)A點(diǎn)的速度為vA，從A到C過(guò)程由機(jī)械能守恒有＝mgR cos 37°
從B到A過(guò)程，滑塊做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知＝2axAB
vA＝at
聯(lián)立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s。
(2)設(shè)滑塊能從D點(diǎn)拋出的最小速度為vD，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，有mg＝
從A到D由機(jī)械能守恒有
＝
＝2ax′
聯(lián)立各式解得x′＝5.75 m。
[答案]　(1)1 s　(2)5.75 m
課時(shí)分層作業(yè)(十四)　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
題號(hào)
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1．(多選)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的是
(　　)
題號(hào)
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A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，物體A的機(jī)械能守恒
B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機(jī)械能守恒
C．丙圖中，不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升過(guò)程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒
√
√
題號(hào)
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CD　[題圖甲中重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但物體A的機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤；題圖乙中物體B除受重力外，還受到彈力和摩擦力作用，彈力不做功，但摩擦力做負(fù)功，物體B的機(jī)械能不守恒，B錯(cuò)誤；題圖丙中繩子張力對(duì)A做負(fù)功，對(duì)B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，C正確；題圖丁中小球的動(dòng)能不變，勢(shì)能不變，機(jī)械能守恒，D正確。]
2．(多選)(2025·廣東東莞模擬)“蹦極”被稱(chēng)為“勇敢者的游戲”。如圖甲所示將一根自然長(zhǎng)度為OA的彈性輕繩一端系在人身上，另一端固定在跳臺(tái)邊緣。人從跳臺(tái)由靜止下落開(kāi)始計(jì)時(shí)，下落過(guò)程中速度隨時(shí)間的變化如圖乙所示，圖乙中 tA、tB、tC 三個(gè)時(shí)刻分別對(duì)應(yīng)圖甲中A、B、C 三個(gè)點(diǎn)，tB時(shí)刻對(duì)應(yīng)圖像最高點(diǎn)，不
計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
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A．重力加速度大小為
B．人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)這一過(guò)程中，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能
C．人在下落過(guò)程中，彈性繩對(duì)人先做正功再做負(fù)功
D．人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)這一過(guò)程中，人的機(jī)械能一直減少
題號(hào)
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√
√
AD　[由題圖乙可知，人從跳臺(tái)下落到A點(diǎn)的過(guò)程，人做自由落體運(yùn)動(dòng)，可得重力加速度大小為g＝，故A正確；人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)這一過(guò)程中，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為人的動(dòng)能和彈性繩的彈性勢(shì)能，故B錯(cuò)誤；人在下落過(guò)程中，彈性繩的形變量一直增大，彈性勢(shì)能一直增大，故彈性繩對(duì)人一直做負(fù)功，故C錯(cuò)誤；人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)這一過(guò)程中，人和彈性繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由于下落過(guò)程中，彈性繩的彈性勢(shì)能一直增大，故人的機(jī)械能一直減少，故D正確。]
題號(hào)
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3．(2025·廣東清遠(yuǎn)高三檢測(cè))如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為FN1，在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為FN2。重力加速度大小為g，則FN1－FN2的值為(　　)
A．3mg 　 B．4mg
C．5mg D．6mg
題號(hào)
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√
D　[在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得FN2＋mg＝，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得FN1－mg＝，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，故有mg·2r＝，聯(lián)立三式可得FN1－FN2＝6mg，選項(xiàng)D正確。]
題號(hào)
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4．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，且使其長(zhǎng)度的垂在桌邊，松手后鏈條從靜止開(kāi)始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛離開(kāi)桌邊時(shí)的速度大小為(假設(shè)離開(kāi)瞬間的速度方向向下，重力加速度為g)(　　)
A． B．
C． D．4
題號(hào)
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√
C　[取桌面為零勢(shì)能面，設(shè)鏈條的總質(zhì)量為m，開(kāi)始時(shí)鏈條的機(jī)械能E1＝－mg·L，當(dāng)鏈條剛脫離桌面時(shí)的機(jī)械能E2＝mv2－，由機(jī)械能守恒可得E1＝E2，即有－mg·＝mv2－，解得v＝，故C正確。]
題號(hào)
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5．鉛球被水平推出后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于鉛球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a、速度大小v、動(dòng)能Ek和機(jī)械能E隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化關(guān)系中，正確的是(　　)
題號(hào)
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√
D　[鉛球被水平推出后，不考慮空氣阻力，則鉛球做平拋運(yùn)動(dòng)，其在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中僅受重力，則加速度為重力加速度，保持不變，鉛球的機(jī)械能保持不變，A錯(cuò)誤，D正確；設(shè)鉛球的初速度為v0，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則鉛球的速度大小v＝，顯然速度大小v與時(shí)間t并不是線(xiàn)性關(guān)系，B錯(cuò)誤；鉛球的動(dòng)能Ek＝＋(gt)2]，動(dòng)能Ek與時(shí)間t為二次函數(shù)關(guān)系，并不是線(xiàn)性關(guān)系，C錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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6．(2024·廣東韶關(guān)高三期末)如圖所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為R，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)a球處于圓弧上端A點(diǎn)，由靜止開(kāi)始釋放小球和輕桿，
使其沿光滑弧面下滑，重力加速度為g，下列
說(shuō)法正確的是(　　)
題號(hào)
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A．a(chǎn)球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變
B．b球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變
C．a(chǎn)、b球都滑到水平軌道上時(shí)速度大小均為
D．從釋放a、b球到a、b球都滑到水平軌道上，整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)a球做的功為mgR
題號(hào)
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D　[對(duì)于單個(gè)小球來(lái)說(shuō)，桿的彈力做功，小球機(jī)械能不守恒，A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故有mgR＋mg·2R＝·2mv2，解得v＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；a球在滑落過(guò)程中，桿對(duì)小球做功，重力對(duì)小球做功，故根據(jù)動(dòng)能定理可得W＋mgR＝mv2，聯(lián)立v＝，解得W＝mgR，故D正確。]
題號(hào)
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7．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑R＝0.5 m的光滑圓弧槽BCD，B點(diǎn)與圓心O等高，一水平面與圓弧槽相接于D點(diǎn)，質(zhì)量m＝0.5 kg的小球從B點(diǎn)正上方H高處的A點(diǎn)自由下落，由B點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，從D點(diǎn)飛出后落在水平面上的Q點(diǎn)，D、Q間的距離x＝2.4 m，球從D點(diǎn)飛出后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相對(duì)于水平面上升的最大高度h＝0.8 m，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力，求：
題號(hào)
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(1)小球釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的高度H；
(2)經(jīng)過(guò)圓弧槽最低點(diǎn)C時(shí)軌道對(duì)小球的支持力大小FN。
題號(hào)
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[解析]　(1)設(shè)小球在飛行過(guò)程中通過(guò)最高點(diǎn)P的速度為v0，P到D和P到Q可視為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的平拋運(yùn)動(dòng)
則有h＝gt2，＝v0t，可得t＝0.4 s，v0＝＝3 m/s
在D點(diǎn)有vy＝gt＝4 m/s
在D點(diǎn)的合速度大小為v＝＝5 m/s
題號(hào)
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設(shè)v與水平方向夾角為θ，則cos θ＝＝
A到D過(guò)程機(jī)械能守恒mgH＋mgR cos θ＝mv2
聯(lián)立解得H＝0.95 m。
題號(hào)
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(2)設(shè)小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度大小為vC，A到C過(guò)程機(jī)械能守恒mg(H＋R)＝
由牛頓第二定律有FN－mg＝
聯(lián)立解得FN＝34 N。
題號(hào)
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[答案]　(1)0.95 m　(2)34 N
8．(2024·廣東湛江高三期末)如圖所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。
不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大
小為g，則(　　)
題號(hào)
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A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功
B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為
C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于g
D．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg
題號(hào)
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D　[當(dāng)a到達(dá)底端時(shí)，b的速度為零，b的速度在整個(gè)過(guò)程中先增大后減小，動(dòng)能先增大后減小，所以輕桿對(duì)b先做正功，后做負(fù)功，A錯(cuò)誤；a運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，b的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得mgh＝，解得vA＝，B錯(cuò)誤；b的速度在整個(gè)過(guò)程中先增大后減小，桿對(duì)b的作用力先是動(dòng)力后是阻力，所以桿對(duì)a的作用力就先是阻力后是動(dòng)力，所以在b減速的過(guò)程中，桿對(duì)a是斜向下的拉力，此時(shí)a的加速度大于重力加速度，C錯(cuò)誤；a、b及桿組成的系統(tǒng)
題號(hào)
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的機(jī)械能守恒，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b的速度最大，此時(shí)b受到桿的推力為零，b只受到重力和支持力的作用，結(jié)合牛頓第三定律可知，b對(duì)地面的壓力大小為mg，D正確。]
題號(hào)
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9．(2024·廣東揭陽(yáng)第二次模擬)如圖所示，一光滑細(xì)桿固定在水平面上的C點(diǎn)，細(xì)桿與水平面的夾角為30°，一原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，下端固定在水平面上的B點(diǎn)，上端與質(zhì)量為m的小環(huán)相連，當(dāng)把小環(huán)拉到A點(diǎn)時(shí)，AB與地面垂直，彈性繩長(zhǎng)為2L，將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)D時(shí)，速度
達(dá)到最大。重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的
是(　　)
題號(hào)
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A．在下滑過(guò)程中小環(huán)的機(jī)械能先減小后增大
B．小環(huán)剛釋放時(shí)的加速度大小為g
C．小環(huán)到達(dá)AD的中點(diǎn)時(shí)，彈性繩的彈性勢(shì)能為零
D．小環(huán)的最大速度為
題號(hào)
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√
B　[小環(huán)和彈性繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小環(huán)到達(dá)AC的中點(diǎn)D時(shí)，彈性繩的長(zhǎng)度為2L，伸長(zhǎng)量不為0，在AD之間有一位置彈性繩與AC垂直，小環(huán)從A點(diǎn)到彈性繩與AC垂直位置的過(guò)程中，彈性繩對(duì)小環(huán)做正功，從彈性繩與AC垂直位置到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈性繩對(duì)小環(huán)做負(fù)功，所以下滑過(guò)程中小環(huán)的機(jī)械能先增大后減小，故A錯(cuò)誤；在A位置，環(huán)受重力、彈性繩拉力和支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有mg sin 30°＋F彈sin 30°＝ma，在D點(diǎn)，環(huán)的速度最大，說(shuō)明加速度為
題號(hào)
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零，彈性繩長(zhǎng)度為2L，故mg sin 30°－F彈cos 60°＝0，聯(lián)立解得a＝g，故B正確；小環(huán)到達(dá)AD的中點(diǎn)時(shí)，彈性繩的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，伸長(zhǎng)量不為0，故彈性勢(shì)能不為零，故C錯(cuò)誤；在D點(diǎn)速度最大，此時(shí)彈性繩長(zhǎng)度等于初位置彈性繩的長(zhǎng)度，故初位置和D位置環(huán)的彈性勢(shì)能相等，所以mg·2L cos 60°＝mv2，解得v＝，故D錯(cuò)誤。]
題號(hào)
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10．(2024·廣東二模)如圖所示，某升降電梯的轎廂A、配重B和電動(dòng)機(jī)由輕質(zhì)纜繩連接，電動(dòng)機(jī)拉動(dòng)B，使A運(yùn)動(dòng)。某次運(yùn)行時(shí)，A(含載重)的質(zhì)量M＝1 000 kg，t＝0時(shí)，A從1樓由靜止開(kāi)始以0.5 m/s2的加速度加速運(yùn)動(dòng)，然后以v＝1 m/s 的速度勻速運(yùn)動(dòng)，最后以大小為0.5 m/s2的加速度減速上升至3樓停止，A上升的高度h＝7 m。已知B的質(zhì)量m＝800 kg，不計(jì)空氣阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2。求：
題號(hào)
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(1)此次電梯勻速運(yùn)行的時(shí)間；
(2)t＝1 s時(shí)，B下端纜繩的拉力大小；
(3)A(含載重)從靜止開(kāi)始上升到5 m的過(guò)程，
A(含載重)的機(jī)械能增量。
題號(hào)
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[解析]　(1)電梯加速運(yùn)行的時(shí)間
t1＝＝2 s
位移
h1＝t1＝1 m
減速運(yùn)行的時(shí)間
t2＝＝2 s
位移
題號(hào)
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h2＝t2＝1 m
勻速運(yùn)行的時(shí)間
t3＝＝5 s。
題號(hào)
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(2)由(1)可知t＝1 s時(shí)，A勻加速上升，B勻加速下降，設(shè)B下端纜繩的拉力大小為F，B上端纜繩的拉力大小為T(mén)，對(duì)A、B分別有
T－Mg＝Ma
F＋mg－T＝ma
代入數(shù)據(jù)解得
F＝2 900 N。
題號(hào)
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(3)由(1)可知A上升到5 m時(shí)，速度大小為1 m/s，機(jī)械能增量
ΔE＝Mv2＋MgΔh
代入數(shù)據(jù)解得
ΔE＝50 500 J。
題號(hào)
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[答案]　(1)5 s　(2)2 900 N　(3)50 500 J
11．(2025·廣東汕尾高三調(diào)研)如圖所示，豎直光滑的固定桿上套有一滑塊A，滑塊通過(guò)細(xì)繩繞過(guò)光滑定滑輪連接物塊B，B又通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接物塊C，C靜止在地面上。開(kāi)始用手托住A，使繩子剛好伸直處于水平位置但無(wú)張力，現(xiàn)將A由靜止釋放，當(dāng)A、B速度達(dá)到最大時(shí)，C也剛好同時(shí)離開(kāi)地面(此時(shí)B還沒(méi)有到達(dá)定滑輪位置)。已知mA＝1.2 kg，mB＝mC＝1.0 kg，定滑輪與桿的水平距離L＝
0.8 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
題號(hào)
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(1)A下降多大距離時(shí)速度最大；
(2)彈簧的勁度系數(shù)k；
(3)A的最大速度是多少？
題號(hào)
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[解析]　(1)如圖所示，設(shè)A下降h時(shí)速度達(dá)最大，此時(shí)繩與桿夾角為θ，繩中張力為T(mén)。
因?yàn)榛瑝KA速度達(dá)到最大，故加速度為零，即受力平衡，有mAg＝
T cos θ
此時(shí)C剛好離開(kāi)地面，故T＝(mB＋mC)g＝20 N
解得cos θ＝0.6，即θ＝53°
所以h＝＝ m＝0.6 m。
題號(hào)
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(2)開(kāi)始時(shí)繩中無(wú)張力，對(duì)B分析，有mBg＝kx1
C離開(kāi)地面時(shí)，有mCg＝kx2
又x1＋x2＝－L
可解得k＝100 N/m。
題號(hào)
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(3)由(2)知，x1＝x2＝0.1 m，故初、末狀態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)A、B、C及彈簧組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律有
mAgh－mBg(x1＋x2)＝
又vB＝vA cos θ
聯(lián)立可解得vA＝ m/s。
題號(hào)
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[答案]　(1)0.6 m　(2)100 N/m　(3) m/s
謝 謝 ！

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