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第十章 排列、組合和二項(xiàng)式定理
1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理
（1）分類相加原理：做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中又有m1種不同的方法，在第二類中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1+ m2+……+mn種不同的方法。
（2）分步相乘原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1× m2×……×mn種不同的方法。
分類原理和分步原理的比較

分類
分步
相同點(diǎn)
目的是為了計(jì)算完成一件事的方法數(shù)
不同點(diǎn)
①每一類方法中的任一方法使出，任務(wù)即完成（一招使出即致敵死命）；
②各類方法相互獨(dú)立；
③完成這件事的方法數(shù)為各類數(shù)的總和。
①一步完成，任務(wù)沒(méi)法完成（功力不足，一招無(wú)法致敵死命）；
②各步驟相互聯(lián)系，所有步驟完成任務(wù)才完成；
③完成這件事的方法數(shù)為各步驟的積。
在解具體題目時(shí)，要明確:任務(wù)是什么?有什么要求？在這個(gè)要求下，任務(wù)是一步完成還是分步？從而確定是加法原理還是乘法原理。
例（1）將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有______種。（答：任務(wù)是投放5封信。一封信一封信地放，每一封信都有3種放法，所有信放完，任務(wù)結(jié)束。故共有3×3×3×3×3=35種）；
（2）從4臺(tái)甲型和3臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有_____種。（答：任務(wù)是選3臺(tái)電視，要求甲乙至少各有一臺(tái)，故只有兩類取法，甲2乙1或者甲1乙2，故共有×+×=30，若是甲乙先各取一臺(tái)，然后從剩下的那堆電視機(jī)中任選一臺(tái)，故共有4×3×5=60，是30的2倍，這種做法是錯(cuò)的。錯(cuò)因：第一步甲乙各一臺(tái)的時(shí)候，如取的是1A，第二步任取一臺(tái)取的是B，就和第一步取的是1B第二步取的是A重復(fù)，也就是說(shuō)每一種取法都重復(fù)了一次。）；
（3）從集合A={1，2，3}和B={1，4，5，6}中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______（答：任務(wù)是確定x、y值，構(gòu)造不同點(diǎn)的坐標(biāo)。構(gòu)成點(diǎn)的x、y有兩種來(lái)源；①x從A中取，y從B中取，不同的點(diǎn)有3×4=12個(gè)，② x從中B取，y從A中取，有4×3=12個(gè)，相當(dāng)于交換x、y坐標(biāo)，但注意到（1，1）交換x、y位置后仍然不變，故總數(shù)為3×4+4×3﹣1=23個(gè)）。
2.排列
（1）排列定義：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。如從1，2，3，4中取出1，2兩個(gè)數(shù)，然后按從小到大排成一排，即為12.
從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)的排列數(shù)，用符號(hào)表示。
（2）排列數(shù)公式 =n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)= （m，n∈N*，且m≤n）
把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)排列數(shù)為
= n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！
注：n！就是正整數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，規(guī)定0！=1
3.組合
（1）組合定義：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。
從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)的組合數(shù)，用符號(hào)表示。
（2）組合數(shù)公式 （m，n∈N*，且m≤n）
（3）組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)１　　 性質(zhì)2
4.主要解題方法
（1）優(yōu)限法：受限元素或者受限位置優(yōu)先安排。
例：某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為1到6的六種不同花色的石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有______種。（答：6種材料4個(gè)位置，辦公室不用1號(hào)石材，所以先從其余5種選出一種裝飾辦公室，再?gòu)陌?號(hào)的剩下的5種中選出3種裝飾另外3處地方，共有5=300）。
（2）插空法：對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入。
例：① 3人坐在一排八個(gè)座位上，若每人的左右兩邊都有空位，則不同的坐法種數(shù)有______種（答：三個(gè)人要坐3把椅子，將沒(méi)人坐的5把椅子擺成一排，因?yàn)橐巫記](méi)區(qū)別，故不能排列，然后三個(gè)人搬著他們的椅子插入到中間4個(gè)空隙中，○^○^○^○^○，有種；② 某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入種數(shù)為_(kāi)______（答：?jiǎn)柌迦敕N數(shù)，故原來(lái)的排法數(shù)不能算進(jìn)來(lái)。5個(gè)節(jié)目產(chǎn)生6個(gè)空隙，節(jié)目插進(jìn)來(lái)時(shí)又分兩類，相鄰——內(nèi)部還有先后，有；不相鄰有，共有42種，或者用連續(xù)插入的辦法，先插入第一個(gè)節(jié)目，有六個(gè)空隙，種方法，第一個(gè)節(jié)目插進(jìn)去之后，有７個(gè)空隙，第二個(gè)節(jié)目有種方法，共與＝４２種）。③ 4個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不相鄰，則有____種不同排法（答：^○^◎^□^回^。
（3）捆綁法：對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題，可把需要相連的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，和其余元素排好之后松綁，內(nèi)部再排。
例：①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______.(答：把女生捆在一起和4個(gè)男生全排是，然后女生再排，是，共有=2880)； ②某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_(kāi)________.(答：不中的4槍都一樣，是相同元素，它們隔出5個(gè)空隙，把中的3槍捆在一起看成一個(gè)元素，與另一次打中的不能相鄰，問(wèn)題就成了把2個(gè)元素插入到5個(gè)位置中，^○^○^○^○^，有種)。
（4）隔板法；相同元素分組問(wèn)題用隔板法，就是在n個(gè)相同元素間的(n-1)個(gè)空中插入若干個(gè)（b）隔板，可以把n個(gè)元素分成（b+1）組的方法。
例：①10個(gè)相同的球分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分法？每人至少兩個(gè)呢？（答：在10個(gè)球之間的空隙插入兩塊隔板即可把球分成3堆，每堆至少一個(gè)，○|○|○|○|○|○|○|○|○|○，故共有=36種；若要求至少2個(gè)，則三個(gè)人先取走了6個(gè)，問(wèn)題成了剩下四個(gè)球如何分給甲乙丙三人，仍然用隔板法。一.兩個(gè)隔板放置在不同位置：^○^○^○^○^，種。二.兩個(gè)隔板放置在同一位置：種。故共有15種。有窮舉法：甲0乙0丙4；甲0乙1丙3；甲0乙2丙2；甲0乙3丙1；甲0乙4丙0；甲1乙0丙3；甲1乙1丙2；甲1乙2丙1；甲1乙3丙0；甲2乙0丙2；甲2乙1丙1；甲2乙20丙； 甲3乙0丙1；甲3乙1丙0；甲4乙0丙0.共15種）。
（5）排除法，反面明了，用總數(shù)減去不符合要求的。
例：在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)O(0,0)、A(1,2)、B(2,4)、C(6,3)、D(-1,-2)、E(-2,-1)可以確定多少個(gè)三角形？（答：注意到OABD共線，OCE也共線，故共有種）。
（6）無(wú)序問(wèn)題－退序法。
例：①有相同的5個(gè)紅球和4個(gè)白球排成一列，有多少種不同的排法？
（答：若不考慮紅球、白球內(nèi)部的順序，把紅、白9個(gè)球全排列有種，由于紅球、白球是相同的，所以紅球、白球之間不需要有順序關(guān)系，所以必須退序，即除以它們各自的全排列數(shù)，有）.
②7個(gè)人站成一排，甲乙丙所排次序固定不變（這三人可相鄰也可不相鄰），有多少種不同排法？（答：不考慮限制條件有，然后甲乙丙退序，有）
③４個(gè)蘋(píng)果分給２個(gè)人，每人２個(gè)，有多少種分法？若是分成兩堆，每堆２個(gè)，有多少種分法？（答：第一個(gè)問(wèn)題中，先給第一個(gè)人２個(gè)，再把剩下２個(gè)給第二個(gè)人，有種。第二個(gè)問(wèn)題與第一個(gè)問(wèn)題不同，只要分成２堆，是沒(méi)有順序的，如第一次拿出的是ＡＢ，剩下ＣＤ做一堆，與第一次拿出的是ＣＤ，剩下ＡＢ一堆重復(fù)，故分好后要退序，總數(shù)為。
（7）分類法，互斥問(wèn)題用分類法。例：某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽一輛車，則不同的抽法有多少種？（答：每個(gè)車隊(duì)先各抽一輛車，剩下3輛車從7個(gè)車隊(duì)抽出，分三類，來(lái)自1個(gè)車隊(duì)有；來(lái)自2個(gè)車隊(duì)有2；來(lái)自3個(gè)車隊(duì)有，共有+2+=84種）
小結(jié)：在解排列組合問(wèn)題時(shí)，一般來(lái)講，特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，這就是從元素和位置兩個(gè)角度分別考慮列式，叫元素分析法和位置分析法。這兩種方法可以在同一道題中都用到。
例如，某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止。則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況數(shù)是_____(答：本題次品被發(fā)現(xiàn)的情況，故實(shí)質(zhì)上是要排好前面5個(gè)位置，后面的5個(gè)不用管。先選出一只次品放在第五次的位置，其余三只放在前四個(gè)位置中的三個(gè)，余下一個(gè)位置放一只正品。____ ____ ____ ____ __5__, ).
本題先考慮的是元素（次品），然后考慮位置（前面5個(gè)位置中最后剩下的一個(gè)）。
4.二項(xiàng)式定理(a+b)n=
特別地：(1+x)n=
(1+1)n==2n
(1)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)作用：處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等有關(guān)問(wèn)題。要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)的系數(shù)；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)：對(duì)稱性，；中間項(xiàng)最大，n為偶數(shù)，中間項(xiàng)只有一項(xiàng)，n為奇數(shù)，中間項(xiàng)是，和
二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：近似計(jì)算、整除問(wèn)題、結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式、用賦值法求展開(kāi)式的某些項(xiàng)的系數(shù)的和。

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