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第九章 直線 平面 簡單的幾何體
1.平面的性質：
公理1 如果一條直線有兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有點都在這個平面內。

A∈l,B∈l，A∈α,B∈α

公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，而且這些點都在同一條直線上（兩平面相交，只有一條交線）。如圖△PAB，△PCD所在平面有一個公共點P，則把平面延展之后它們必定還有其他公共點，且在同一直線上。
P∈α∩β且P∈l
公理3 經過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面
推論1.經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
推論2.經過兩條相交直線，有且只有一個平面。
推論3.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。
2.兩條直線的位置關系 平行、相交、異面，其中平行、相交稱為共面直線
（1）異面的判斷方法 定義：沒有公共點且不平行； 判斷定理：面的交線和面內不過該交點的直線是異面直線。
（2）兩條直線垂直 共面垂直，異面垂直，都叫兩直線垂直
（3）空間平行直線 公理4 平行于同一直線的兩直線平行（即平行線的傳遞性）。
3.線面位置關系：
4.直線和平面平行： 直線和平面沒有公共點
（1）
判定定理（線線平行線面平行）
如果平面外的一條直線平行于平面內的一條直線，那么面外的直線平行于平面。
a∥m且，則。
(2) 性質定理 （線面平行線線平行）
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。a∥α，aβ，α∩β=b，則a∥b.
5.兩個平面平行：兩個平面沒有公共點
（1）判定定理 （線面平行面面平行）
①如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。
推論 如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行。
②垂直于同一條直線的兩個平面平行。m⊥α，m⊥β，則α∥β
（2）性質定理
①（面面平行線線平行）兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；
②（面面平行線面平行）兩個平面平行，其中一個平面內的直線平行于另一個平面；
③夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等；
④如果兩個平行平面中的一個和一條直線垂直，那么另一個也和這條直線垂直。直線稱為兩個平行平面的公垂線，它夾在兩個平面間的部分，叫做兩個平行平面的公垂線段，公垂線段的長叫做平行平面間的距離。
平行間的相互轉化關系： 線線平行 線面平行 面面平行
6.直線和平面垂直 一條直線和一個平面相交，且和這個平面內的任意一條直線都垂直，就稱為直線和平面垂直（常用于證明線線垂直，簡記為 線面垂直線線垂直）
（1）判定定理（線線垂直線面垂直）如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
（2）性質定理
①過一點和已知平面垂直的直線只有一條；過一點和已知直線垂直的平面只有一個（相互的唯一性）；
② 兩平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面。反之，兩條直線都垂直于同一個平面，則它們一定平行；
③直線和平面平行，那么直線上各點到平面的距離相等。都叫做這條直線和這個平面的距離。
④ 線段垂直平分面上的點到線段兩端點距離相等。
（3）射影 過一點做平面的垂線，垂足叫做這點在這個平面內的射影。
直線和平面不垂直相交，直線稱為斜線，交點稱為斜足。
斜線在平面內的射影：過斜線上不同于斜足的任一點作面的垂線，垂足斜足連線稱為斜線在平面內的射影。
射影性質
①斜線段相等，對應的射影也相等，較長的斜線段對應的射影也較長
②射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長
③垂線段比任何一條斜線段都短
（4）三垂線定理 在平面內的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直。反之，平面內的直線和斜線垂直，那么它和斜線的射影垂直。
面內的直線垂直斜線 面內線垂直射影
PO⊥α，aα則a⊥OAa⊥PA
7. 兩個平面垂直 平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。
（1）判定定理 （線面垂直面面垂直）
一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
a⊥α，aβα⊥β
（2）性質定理 （面面垂直線面垂直）
兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線
垂直于另一個平面。
α⊥β，α∩β=b ，aβ，a⊥ba⊥α
8.空間直角坐標系
空間向量坐標運算
（1）
（2）
（3）
（4）
由此得到向量夾角公式
（5）
（6）
9.角
（1）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（方向不同則互補）。
（2）最小角定理 平面的斜線和它在平面內的射影所成角（即線面角）是這條斜線和這個平面內任一條直線所成角中最小的角。
三余弦公式cosθ=cosθ1·cosθ2，其中θ稱為斜線角即斜線和平面內任一直線所成角；θ1線面角，θ2是射線角即射影和面內直線所成角。
（3）角的定義
①異面直線所成角：已知兩條異面直線a，b，過空間中任一點O作所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。
求異面直線角方法 一種是平移法，找出角。題目中如果給出了中點，往往通過中位線來找出平行線。另一種是向量法，不必平移，利用公式cos< a,b>=求出的向量角或其補角就是異面直線所成角。
②斜線和平面所成的角：平面的斜線和它在這個平面內的射影的夾角。
求線面角的方法：求法1，解由垂線斜線及其射影構成的直角三角形；求法2，三余弦公式cosθ=cosθ1·cosθ2；求法3，向量法：線面角=|﹣θ|，其中θ是斜向量和法向量所成角。
③二面角 從同一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角。這條直線稱為二面角的棱，兩個半平面稱為二面角的面。
二面角的平面角 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
求二面角大小的方法 ①直接法：用定義或者三垂線定理作出二面角的平面角，解三角形；②向量法，兩個面的法向量一進一出，則法向量角就是面面角；③射影面積公式S′=S·cosθ法，其中S′是射影面積，S是原圖形面積。
法向量就是和平面垂直的向量，法向量有無數個。
法向量的求法：設出法向量坐標，找到面內的兩個相交向量，由法向量和它們的數量積為0即可取出一個法向量。
(關于向量法求角問題，可參見另一份專題資料，空間向量在立體幾何中的應用)
（4）角的范圍：
①異面直線所成角范圍：0＜θ≤
兩直線所成角范圍： 0≤θ≤
線到線的角范圍： 0＜θ＜π
兩向量所成角范圍： 0≤θ≤π
②斜線與平面所成角的范圍：0＜θ＜
直線與平面所成角的范圍：0≤θ≤
③二面角的范圍: 0≤θ≤
10.距離
（1）點到平面的距離：點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離。
（2）直線到平面的距離，如果直線和平面平行，那么直線上任一點到平面的距離叫做這條直線與平面的距離。
（3）平面到平面的距離，如果兩個平面平行，那么它們的公垂線段的長度叫做這兩個平面的距離。
（4）兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離。
求線面距離、面面距離都可歸為求點面距離
（5）點面距離求法
①等體積法，利用錐體的體積公式求解
②向量法，求出面的一個法向量，點面距離就是面的任何一個斜向量在法向量方向上的射影長。如圖的角銳θ可能是斜向量和法向量所成角也可能是其補角，所以cosθ=|cos<,>|=
點P到面α的距離就是|PO|
|PO|=|AP|cosθ=|AP|·=
（6）異面直線間距離的向量求法為：設向量與兩異面直線a、b都垂直，M∈a，P∈b,則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量方向的射影長。即d=
11.多面體、正多面體
由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體
把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體。
每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體，叫做正多面體。
正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種
結論：正四面體ABCD中，外接球的半徑OC，內切球半徑OH，則R外：R內=3：1
12.柱體及性質
（1）概念 如果一個多面體有兩個面互相平行，而其余每相鄰
兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫做柱體。
側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，側棱垂直于底面的
棱柱叫直棱柱。底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。
（2）棱柱性質
①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有側棱都相等。
②直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是
全等的矩形。
③棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。
過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形。
（3）平行六面體與長方體
底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體。側棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體。底面是矩形的直平行六面體叫做長方體。棱長都相等的長方體叫做正方體。
性質 長方體的一條對角線長的平方等于同一個頂點上的三條棱長的平方和.
即 l2=a2+b2+c2
13.錐體及性質
（1）概念 如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫做棱錐。
如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
（2）棱錐的性質
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似。截面與底面面積比等于頂點到截面距離與原棱錐高的平方比。截得的小棱錐與原棱錐體積比等于頂點到截面距離與原棱錐高的立方比（即面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方）。
（3）正棱錐的性質
正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它們叫做正棱錐的斜高，如下圖的PE）；
正棱錐的高、斜高及斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，如Rt△POE，正棱錐的高、側棱及側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形，如Rt△POA。
14.球
（1）球的定義 ①到定點距離等于或小于定長的點的集合，叫做球。
②半圓繞著它的直徑旋轉一周所形成的曲面稱為球面，球面及其內部
稱為球。
（2）球的性質
用一個平面截球，所得截面是一個圓面
平面過球心，所得圓叫做大圓，不過球心稱為小圓。
（3）球面距離 球面上兩點之間的最短連線的長度，就是
經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。我們把這段弧長稱為兩點的球面距離。
因為大圓圓心就是球心，故球面距離l=球心角α×球半徑R.
(4)經度角、緯度角
經度角是面面角，是一條經線和本初子午線及地軸構成的二面角的平面角。
緯度角是線面角，是球面上一點和球心連線與赤道平面所成角。
（5）球的表面積、體積公式
表面積 S=4πR2
體積 V=πR3
結論：正方體的內切球直徑等于正方體的棱長
正方體的外接球直徑等于正方體對角線長。

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