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第2節　向心力
第1課時 實驗:探究向心力大小的表達式
(實驗課基于經典科學探究)
方案(一)　定性感受影響向心力大小的因素
　　
如圖所示,在繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體),另一端握在手中。將手舉過頭頂,使沙袋在水平面內做勻速圓周運動。此時,沙袋所受的向心力近似等于手通過繩對沙袋的拉力。換用不同質量的沙袋,并改變沙袋轉動的速度和繩的長度,感受向心力的變化。
方案(二)　定量研究影響向心力大小的因素
　　
向心力演示器如圖所示,勻速轉動手柄1,可以使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉動。皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上,可使兩個槽內的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動。小球做勻速圓周運動的向心力由橫臂8的擋板對小球的壓力提供,球對擋板的反作用力,通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒9下降,從而露出標尺10,根據標尺10上露出的紅白相間等分標記,可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
方案(一)　定性感受影響向心力大小的因素
一、實驗步驟
1.在小沙袋的質量和角速度不變的條件下,改變小沙袋做圓周運動的半徑進行實驗,比較向心力大小與半徑的關系。
2.在小沙袋的質量和做圓周運動的半徑不變的條件下,改變小沙袋做圓周運動的角速度進行實驗,比較向心力大小與角速度的關系。
3.換用不同質量的小沙袋,在角速度和運動半徑不變的條件下,重復上述操作,比較向心力大小與質量的關系。
二、實驗結論
物體做圓周運動的半徑越大,角速度越大,物體質量越大,則所受到的向心力越大。
方案(二)　定量研究影響向心力大小的因素
一、實驗步驟
1.皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上,小球轉動半徑和轉動角速度相同時,探究向心力大小與小球質量的關系。
2.皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上,小球轉動角速度和質量相同時,探究向心力大小與轉動半徑的關系。
3.皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上,小球質量和轉動半徑相同時,探究向心力大小與角速度的關系。
二、實驗結論
1.在運動半徑和角速度一定的情況下,向心力大小與質量成正比。
2.在質量和角速度一定的情況下,向心力大小與運動半徑成正比。
3.在質量和運動半徑一定的情況下,向心力大小與角速度的平方成正比。
三、注意事項
1.將橫臂緊固螺釘旋緊,以防小球和其他部件飛出而造成事故。
2.搖動手柄時應力求緩慢加速,注意觀察其中一個測力計的格數,達到預定格數時,即保持轉速恒定。
[關鍵點反思]
1.在實驗中,有哪些方法可以判定兩個物理量是否成正比
2.實驗中判斷兩個物理量的正比關系時,是否需要測出各個物理量的具體數值
考法(一)　實驗基本操作
　　[例1]　圖甲為探究向心力的大小F與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間關系的實驗裝置,圖乙為示意圖,圖丙為俯視圖。圖乙中A、B槽分別與a、b輪同軸固定,a、b兩輪在皮帶的帶動下勻速轉動。
(1)在該實驗中應用了　　　　　　(選填“理想實驗法”“控制變量法”或“理想模型法”)來探究向心力的大小與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系。
(2)如圖乙所示,如果兩個鋼球質量相等,且a、b輪半徑相同,則是在探究向心力的大小F與　　　的關系。
A.質量m　 B.轉動半徑r　　C.角速度ω
(3)現有兩個質量相同的鋼球,①球放在A槽的邊緣,②球放在B槽的邊緣,a、b輪半徑相同,它們到各自轉軸的距離之比為2∶1。則鋼球①、②的線速度之比為　　　　　。
[微點撥]
(1)研究一個物理量與多個物理量的關系,需控制一些物理量不變,研究另外兩個物理量的關系。
(2)向心力演示器兩側變速塔輪通過皮帶相連,線速度大小相等,若塔輪半徑相等,則角速度相等。
考法(二)　數據處理和誤差分析
　　[例2]　如圖所示是探究小球做圓周運動所需向心力的大小F與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系的實驗裝置。轉動手柄,可使變速塔輪、長槽和短槽隨之勻速轉動。皮帶分別套在塔輪的圓盤上,可使兩個槽內的小球分別以不同的角速度做勻速圓周運動。小球做圓周運動的向心力由橫臂的擋板提供,同時,小球對擋板的彈力使彈簧測力套筒下降,從而露出測力筒內的標尺,標尺上露出的紅白相間的等分格數之比即為兩個小球所受向心力之比。圖中A、B、C所處位置到轉軸的距離之比為1∶2∶1。
在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系時,圖中需要讓與皮帶連接的變速塔輪相對應的半徑　　　(選填“相同”或“不同”),將質量相同的兩小球分別放在長槽的　　　　(選填“A”或“B”)處和短槽的C處。若實驗中觀察到標尺上紅白相間的等分格數顯示出兩個小球所受向心力的比值為2∶1,則可以得到的結論是: 　。
考法(三)　源于經典實驗的創新考查
　　[例3]　甲、乙兩同學探究做圓周運動的物體所受向心力大小。
(1)甲同學利用細繩系一小物體在空氣中甩動,使物體在水平面內做圓周運動,來感受向心力大小,則下列說法中正確的是　　　　　。
A.保持質量、繩長不變,增大轉速,繩對手的拉力將不變
B.保持質量、繩長不變,增大轉速,繩對手的拉力將增大
C.保持質量、角速度不變,增大繩長,繩對手的拉力將不變
D.保持質量、角速度不變,增大繩長,繩對手的拉力將增大
(2)乙同學利用如圖(a)所示的實驗裝置,探究做圓周運動的物體所受向心力大小與質量、運動半徑及線速度的定量關系。圓柱體放置在水平光滑圓盤(圖中未畫出)上做勻速圓周運動,力電傳感器測定的是向心力,光電傳感器測定的是圓柱體的線速度,該同學通過保持圓柱體質量和運動半徑不變,來探究向心力F與線速度v的關系。
①該同學采用的實驗方法為　　　　;
A.等效替代法　　　　 B.控制變量法
C.理想化模型法 D.微小量放大法
②改變線速度v,多次測量,該同學測出了五組F、v數據,如下表所示,請在圖(b)中作出F v2圖像;
v/(m·s-1) 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
v2/(m2·s-2) 1.00 2.25 4.00 6.25 9.00
F/N 0.90 2.00 3.60 5.60 8.10
③由作出的F v2的圖像,可得出F和v2的關系式:　　　　　　　　　　　。
[創新分析]
(1)實驗器材的創新:力電傳感器測定的是向心力,光電傳感器測定的是圓柱體的線速度。
(2)實驗數據處理方法的創新:利用作出的F v2圖像探究向心力F與線速度v的關系。
1.如圖所示,向心力演示儀的擋板A、C到轉軸距離為R,擋板B到轉軸距離為2R,塔輪①④半徑相同,①②③半徑之比為1∶2∶3,④⑤⑥半徑之比為3∶2∶1。現通過控制變量法,用該裝置探究向心力大小與角速度、運動半徑、質量的關系。
(1)當質量和運動半徑一定時,探究向心力的大小與角速度的關系,將傳動皮帶套在②④塔輪上,應將質量相同的小球分別放在擋板　　　處(選填“A”“B”或“C”中的兩個);此時的兩個小球向心力大小之比是　　　。
(2)將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處,傳動皮帶套在①④兩個塔輪上,標尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球向心力大小的比值為3∶1,則鐵球與橡膠球的質量之比為　　　。
2.(2024·江西高一階段練習)某實驗小組設計了如圖甲所示裝置,探究勻速圓周運動的物體所需要的向心力F與轉動角速度ω之間的關系。細線1上端固定在水平直桿上并一直保持豎直狀態,下端連接一個磁性小球(小球看作質點),豎直轉軸上與磁性小球等高處固定一個力傳感器,用細線2連接力傳感器和磁性小球,細線2伸直且水平,磁傳感器固定在磁性小球附近,細線1、2重力均不計,π取3.14。
(1)用刻度尺測出細線1到轉軸的距離L,將整個裝置繞豎直轉軸勻速轉動,磁性小球每次經過磁傳感器附近磁傳感器就接收到一個反映磁場強度的脈沖,如圖乙所示,由圖可知,磁性小球做圓周運動周期T=　　　s,做圓周運動的角速度為　　　rad/s。(結果保留兩位有效數字)
(2)多次改變轉動的角速度ω,獲得多組對應的力傳感器的示數F,為了直觀地反映F與ω的關系,以F為縱坐標,以　　 選填“ω”“”“ω2”或“”為橫坐標,在坐標紙中描點作圖,如果得到一條過原點的傾斜直線,則表明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,如果圖像的斜率為k,則磁性小球的質量m=　　　　(用L和k表示)。
3.如圖1所示是某同學驗證“做圓周運動的物體所受向心力大小與線速度的關系”的實驗裝置。用一根細線系住鋼球,懸掛在鐵架臺上,鋼球靜止于A點,光電門固定在A的正下方靠近A處。在鋼球底部豎直地粘住一寬度為d的輕質遮光條,小鋼球的質量為m,重力加速度為g,實驗步驟如下:
(1)將小鋼球豎直懸掛,測出懸點到球心之間的距離,得到鋼球運動的半徑R;用刻度尺測量遮光條寬度,示數如圖2所示,其讀數為　　　　cm;將鋼球拉至某一位置釋放,測得遮光條的擋光時間為0.010 s,小鋼球在A點的速度大小v=　　　 m/s(結果保留三位有效數字)。
(2)先利用力傳感器的示數FA計算小鋼球運動所需的向心力F'=FA-mg,FA應取該次擺動過程中示數的　　　　　　(選填“平均值”或“最大值”),然后再用F=m計算向心力。
(3)改變小鋼球釋放的位置,重復實驗,比較發現F總是略大于F',分析表明這是系統造成的誤差,造成該系統誤差的可能原因是　　　。
A.鋼球的質量偏大 B.鋼球初速度不為零
C.存在空氣阻力 D.速度的測量值偏大
4.(2024·河北張家口高一階段練習)利用如圖所示裝置驗證向心力的大小Fn與線
速度的大小v的關系。四分之一圓弧軌道固定在水平桌面上,末端與上表面很小的壓力傳感器表面相切,水平地面上依次鋪放好木板、白紙、復寫紙。將小球從圓弧軌道某一點由靜止釋放,經軌道末端飛出,落到鋪著復寫紙和白紙的木板上,在白紙上留下點跡,由同一位置重復釋放幾次,記錄每次壓力傳感器的示數;改變小球在圓弧軌道上的釋放位置,重復上述實驗步驟。(當地的重力加速度為g)
(1)為了完成實驗,下列操作不必要的是　 　。
A.必須選擇光滑的圓弧軌道
B.固定圓弧軌道時,末端必須水平
C.實驗中應選擇密度大的小球
D.確定小球在白紙上的落點時,用盡可能小的圓把所有落點圈住,圓心即為平均落點
(2)某次實驗時記錄的壓力傳感器示數為F,并測出小球的質量為m,小球的向心力的大小Fn=　　　　　　。
(3)實驗除了記錄壓力傳感器示數F,測量小球的質量m外,還需要測量軌道末端距地面的高度h、水平位移x、圓弧軌道半徑R,若要驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系,則需要驗證壓力傳感器示數F=　　　　　　即可(用測量的數據的物理量寫出表達式)。
第1課時　實驗：探究向心力大小的表達式
1．提示：①圖像法：觀察兩個物理量之間的關系在坐標系中是否成一條過原點的傾斜的直線。
②比值法：兩個物理量的比值是否一定。
2．提示：不需要，只需得到對應量的比值。
[例1]　解析：(1)在該實驗中應用了控制變量法來探究向心力的大小與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系。
(2)如題圖乙所示，如果兩個鋼球質量m相等，且a、b輪半徑相同，兩球轉動的角速度ω相同，則是在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系。
(3)鋼球①、②的角速度相等，則根據v＝ωr可知，鋼球①、②的線速度之比為2∶1。
答案：(1)控制變量法　(2)B　(3)2∶1
[例2]　解析：在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系時，應控制兩小球的質量相等和兩小球做圓周運動的角速度相等，根據v＝ωr可知為了使兩小球的角速度相等，題圖中需要讓與皮帶連接的變速塔輪相對應的半徑相同；將質量相同的兩小球分別放在長槽的B處和短槽的C處；若實驗中觀察到標尺上紅白相間的等分格數顯示出兩個小球所受向心力的比值為2∶1，由于rB∶rC＝2∶1，則可以得到的結論是：在質量和角速度一定的情況下，向心力的大小與轉動半徑成正比。
答案：相同　B　在質量和角速度一定的情況下，向心力的大小與轉動半徑成正比
[例3]　解析：(1)保持質量、繩長不變，增大轉速，角速度變大，根據向心力公式可知，繩對手的拉力將增大，故A錯誤，B正確；保持質量、角速度不變，增大繩長，根據向心力公式可知，繩對手的拉力將變大，故C錯誤，D正確。
(2)①實驗中研究向心力和線速度的關系，保持圓柱體質量和運動半徑不變，采用的實驗方法為控制變量法，故選B。
②在圖(b)中作出F v2的圖像如圖所示：
③根據作出的F v2圖像得F＝0.90v2。
答案：(1)BD　(2)①B?、谝娊馕鰣D?、跢＝0.90v2
1．解析：(1)根據題圖(b)可知，當質量和運動半徑一定時，探究向心力的大小與角速度的關系，應將質量相同的小球分別放在擋板A、C處，故選A、C；根據題意可知，塔輪①④半徑相同，而①②半徑之比為1∶2，則塔輪②④半徑之比為2∶1，將傳動皮帶套在②④塔輪上，兩塔輪線速度相同，則可得兩塔輪軸的角速度之比為1∶2，根據在質量和運動半徑一定的情況下，向心力大小與角速度的平方成正比可知，兩小球做圓周運動的向心力大小之比為1∶4。
(2)將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處，則兩球做圓周運動的半徑相同，傳動皮帶套在①④兩個塔輪上，而根據題意可知，塔輪①④轉動的角速度相同，而標尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球向心力大小的比值為3∶1，根據在運動半徑和角速度一定的情況下，向心力大小和質量成正比可知，鐵球與橡膠球的質量之比為3∶1。
答案：(1)A、C　1∶4　(2)3∶1
2．解析：(1)磁性小球做圓周運動周期為T＝ s≈0.69 s，轉動的角速度為ω＝≈9.1 rad/s。
(2)根據F＝mrω2，可知為了直觀地反映F與ω的關系，以F為縱坐標，以ω2為橫坐標，在坐標紙中描點作圖，如果得到一條過原點的傾斜直線，則表明小球質量和運動半徑一定時，向心力與角速度的平方成正比。圖像的斜率為k＝mL，可知磁性小球的質量m＝。
答案：(1)0.69(0.68～0.70均正確)　9.1(9.0～9.2均正確)　(2)ω2　小球質量和運動半徑一定時，向心力與角速度的平方成正比　
3．解析：(1)根據刻度尺數據可知，讀數為1.50 cm。小鋼球在A點的速度大小v＝＝ m/s＝1.50 m/s。
(2)因為力傳感器的示數FA最大時，小球在最低點，此時才能滿足F′＝FA－mg。
(3)由題可知，小鋼球在A點的速度是用遮光條通過光電門的平均速度代替，由裝置圖可知，遮光條運動半徑比小鋼球運動半徑稍大，故測量速度大于小球的實際速度，即小鋼球的速度的測量值偏大，因為F＝m，當速度測量值偏大時，F偏大，故選D。
答案：(1)1.50　1.50　(2)最大值　(3)D
4．解析：(1)這個實驗驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系，而線速度的大小v是由平拋運動規律來進行測量的，不用考慮圓弧軌道是否光滑，該操作不必要，符合題意，故A正確；線速度的大小v由平拋運動規律來進行測量，平拋運動要求初速度沿水平方向，所以固定圓弧軌道時，末端必須水平，該操作必要，不符合題意，故B錯誤；實驗中應選擇密度大、體積小的小球，可以減小空氣阻力對小球做平拋運動時的影響，該操作必要，不符合題意，故C錯誤；確定小球在白紙上的落點時，用盡可能用小的圓把所有落點圈住，圓心即為平均落點，這樣可以減小實驗的偶然誤差，該操作必要，不符合題意，故D錯誤。
(2)某次實驗時記錄的壓力傳感器示數為F，根據牛頓第三定律可知，軌道末端對小球的支持力大小也為F，并測出小球的質量為m，小球受到的合力提供向心力，則向心力的大小Fn＝F－mg。
(3)小球從軌道末端飛出時，做平拋運動，則有h＝gt2，x＝vt，聯立可得小球飛出軌道末端時的速度大小為v＝x。小球在軌道末端，根據牛頓第二定律可得Fn＝F－mg＝m，若要驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系，則需要驗證壓力傳感器示數F＝mg＋m＝mg1＋即可。
答案：(1)A　(2)F－mg　(3)mg1＋
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向心力
第 2 節
實驗:探究向心力大小的表達式
第一課時
(實驗課——基于經典科學探究)
1
實驗準備——原理、器材和裝置
2
實驗操作——過程、細節和反思
3
實驗考法——基礎、變通和創新
4
訓練評價——鞏固、遷移和發展
CONTENTS
目錄
實驗準備——原理、器材和裝置
方案(一)　定性感受影響向心力大小的因素
如圖所示,在繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體),另一端握在手中。將手舉過頭頂,使沙袋在水平面內做勻速圓周運動。此時,沙袋所受的向心力近似等于手通過繩對沙袋的拉力。換用不同質量的沙袋,并改變沙袋轉動的速度和繩的長度,感受向心力的變化。
方案(二)　定量研究影響向心力大小的因素
向心力演示器如圖所示,勻速轉動手柄1,可以使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉動。皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上,可使兩個槽內的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動。小球做勻速圓周運動的向心力由橫臂8的擋板對小球的壓力提供,球對擋板的反作用力,通過橫臂的杠桿作用使彈簧測力套筒9下降,從而露出標尺10,根據標尺10上露出的紅白相間等分標記,可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值。
實驗操作——過程、細節和反思
方案(一)　定性感受影響向心力大小的因素
一、實驗步驟
1.在小沙袋的質量和角速度不變的條件下,改變小沙袋做圓周運動的半徑進行實驗,比較向心力大小與半徑的關系。
2.在小沙袋的質量和做圓周運動的半徑不變的條件下,改變小沙袋做圓周運動的角速度進行實驗,比較向心力大小與角速度的關系。
3.換用不同質量的小沙袋,在角速度和運動半徑不變的條件下,重復上述操作,比較向心力大小與質量的關系。
二、實驗結論
物體做圓周運動的半徑越大,角速度越大,物體質量越大,則所受到的向心力越大。
方案(二)　定量研究影響向心力大小的因素
一、實驗步驟
1.皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上,小球轉動半徑和轉動角速度相同時,探究向心力大小與小球質量的關系。
2.皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上,小球轉動角速度和質量相同時,探究向心力大小與轉動半徑的關系。
3.皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上,小球質量和轉動半徑相同時,探究向心力大小與角速度的關系。
二、實驗結論
1.在運動半徑和角速度一定的情況下,向心力大小與質量成正比。
2.在質量和角速度一定的情況下,向心力大小與運動半徑成正比。
3.在質量和運動半徑一定的情況下,向心力大小與角速度的平方成正比。
三、注意事項
1.將橫臂緊固螺釘旋緊,以防小球和其他部件飛出而造成事故。
2.搖動手柄時應力求緩慢加速,注意觀察其中一個測力計的格數,達到預定格數時,即保持轉速恒定。
關鍵點反思
1.在實驗中,有哪些方法可以判定兩個物理量是否成正比
提示:①圖像法:觀察兩個物理量之間的關系在坐標系中是否成一條過原點的傾斜的直線。
②比值法:兩個物理量的比值是否一定。
2.實驗中判斷兩個物理量的正比關系時,是否需要測出各個物理量的具體數值
提示:不需要,只需得到對應量的比值。
實驗考法——基礎、變通和創新
考法(一)　實驗基本操作
[例1]　圖甲為探究向心力的大小F與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間關系的實驗裝置,圖乙為示意圖,圖丙為俯視圖。圖乙中A、B槽分別與a、b輪同軸固定,a、b兩輪在皮帶的帶動下勻速轉動。
(1)在該實驗中應用了___________(選填“理想實驗法”“控制變量法”或“理想模型法”)來探究向心力的大小與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系。
控制變量法　
[解析]　在該實驗中應用了控制變量法來探究向心力的大小與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系。
(2)如圖乙所示,如果兩個鋼球質量相等,且a、b輪半徑相同,則是在探究向心力的大小F與__________的關系。
A.質量m　　B.轉動半徑r　　C.角速度ω
[解析]　如題圖乙所示,如果兩個鋼球質量m相等,且a、b輪半徑相同,兩球轉動的角速度ω相同,則是在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系。
√
(3)現有兩個質量相同的鋼球,①球放在A槽的邊緣,②球放在B槽的邊緣,a、b輪半徑相同,它們到各自轉軸的距離之比為2∶1。則鋼球①、②的線速度之比為__________。
[解析]　鋼球①、②的角速度相等,則根據v=ωr可知,鋼球①、②的線速度之比為2∶1。
2∶1
[微點撥]
(1)研究一個物理量與多個物理量的關系,需控制一些物理量不變,研究另外兩個物理量的關系。
(2)向心力演示器兩側變速塔輪通過皮帶相連,線速度大小相等,若塔輪半徑相等,則角速度相等。
考法(二)　數據處理和誤差分析
[例2]　如圖所示是探究小球做圓周運動所需向心力的大小F與質量m、角速度ω和轉動半徑r之間的關系的實驗裝置。轉動手柄,可使變速塔輪、長槽和短槽隨之勻速轉動。皮帶分別套在塔輪的圓盤上,可使兩個槽內的小球分別以不同的角速度做勻速圓周運動。小球做圓周運動的向心力由橫臂的擋板提供,同時,小球對擋板的彈力使彈簧測力套筒下降,從而露出測力筒內的標尺,標尺上露出的紅白相間的等分格數之比即為兩個小球所受向心力之比。圖中A、B、C所處位置到轉軸的距離之比為1∶2∶1。
在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系時,圖中需要讓與皮帶連接的變速塔輪相對應的半徑___________(選填“相同”或“不同”),將質量相同的兩小球分別放在長槽的___________(選填“A”或“B”)處和短槽的C處。若實驗中觀察到標尺上紅白相間的等分格數顯示出兩個小球所受向心力的比值為2∶1,則可以得到的結論是: __________________________________________________________。
相同　
B　
在質量和角速度一定的情況下,向心力的大小與轉動半徑成正比
[解析]　在探究向心力的大小F與轉動半徑r的關系時,應控制兩小球的質量相等和兩小球做圓周運動的角速度相等,根據v=ωr可知為了使兩小球的角速度相等,題圖中需要讓與皮帶連接的變速塔輪相對應的半徑相同;將質量相同的兩小球分別放在長槽的B處和短槽的C處;若實驗中觀察到標尺上紅白相間的等分格數顯示出兩個小球所受向心力的比值為2∶1,由于rB∶rC=2∶1,則可以得到的結論是:在質量和角速度一定的情況下,向心力的大小與轉動半徑成正比。
考法(三)　源于經典實驗的創新考查
[例3]　甲、乙兩同學探究做圓周運動的物體所受向心力大小。
(1)甲同學利用細繩系一小物體在空氣中甩動,使物體在水平面內做圓周運動,來感受向心力大小,則下列說法中正確的是___________。
BD
A.保持質量、繩長不變,增大轉速,繩對手的拉力將不變
B.保持質量、繩長不變,增大轉速,繩對手的拉力將增大
C.保持質量、角速度不變,增大繩長,繩對手的拉力將不變
D.保持質量、角速度不變,增大繩長,繩對手的拉力將增大
[解析]　保持質量、繩長不變,增大轉速,角速度變大,根據向心力公式可知,繩對手的拉力將增大,故A錯誤,B正確;保持質量、角速度不變,增大繩長,根據向心力公式可知,繩對手的拉力將變大,故C錯誤,D正確。
(2)乙同學利用如圖(a)所示的實驗裝置,探究做圓周運動的物體所受向心力大小與質量、運動半徑及線速度的定量關系。圓柱體放置在水平光滑圓盤(圖中未畫出)上做勻速圓周運動,力電傳感器測定的是向心力,光電傳感器測定的是圓柱體的線速度,該同學通過保持圓柱體質量和運動半徑不變,來探究向心力F與線速度v的關系。
①該同學采用的實驗方法為__________;
A.等效替代法 　　 B.控制變量法
C.理想化模型法 D.微小量放大法
√
②改變線速度v,多次測量,該同學測出了五組F、v數據,如下表所示,請在圖(b)中作出F v2圖像;
[答案]　見解析圖
v/(m·s-1) 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
v2/(m2·s-2) 1.00 2.25 4.00 6.25 9.00
F/N 0.90 2.00 3.60 5.60 8.10
③由作出的F v2的圖像,可得出F和v2的關系式:______________。
F=0.90v2
[解析]?、賹嶒炛醒芯肯蛐牧途€速度的關系,保持圓柱體質量和運動半徑不變,采用的實驗方法為控制變量法,故選B。
②在圖(b)中作出F v2的圖像如圖所示:
③根據作出的F v2圖像得F=0.90v2。
[創新分析]
(1)實驗器材的創新:力電傳感器測定的是向心力,光電傳感器測定的是圓柱體的線速度。
(2)實驗數據處理方法的創新:利用作出的F v2圖像探究向心力F與線速度v的關系。
訓練評價——鞏固、遷移和發展
1.如圖所示,向心力演示儀的擋板A、C到轉軸距離為R,擋板B到轉軸距離為2R,塔輪①④半徑相同,①②③半徑之比為1∶2∶3,④⑤⑥半徑之比為3∶2∶1。現通過控制變量法,用該裝置探究向心力大小與角速度、運動半徑、質量的關系。
(1)當質量和運動半徑一定時,探究向心力的大小與角速度的關系,將傳動皮帶套在②④塔輪上,應將質量相同的小球分別放在擋板___________處(選填“A”“B”或“C”中的兩個);此時的兩個小球向心力大小之比是___________。
A、C　
1∶4
解析:根據題圖(b)可知,當質量和運動半徑一定時,探究向心力的大小與角速度的關系,應將質量相同的小球分別放在擋板A、C處,故選A、C;根據題意可知,塔輪①④半徑相同,而①②半徑之比為1∶2,則塔輪②④半徑之比為2∶1,將傳動皮帶套在②④塔輪上,兩塔輪線速度相同,則可得兩塔輪軸的角速度之比為1∶2,根據在質量和運動半徑一定的情況下,向心力大小與角速度的平方成正比可知,兩小球做圓周運動的向心力大小之比為1∶4。
(2)將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處,傳動皮帶套在①④兩個塔輪上,標尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球向心力大小的比值為3∶1,則鐵球與橡膠球的質量之比為___________。
3∶1
解析:將大小相同的鐵球和橡膠球分別放置在A、C擋板處,則兩球做圓周運動的半徑相同,傳動皮帶套在①④兩個塔輪上,而根據題意可知,塔輪①④轉動的角速度相同,而標尺上紅白相間的等分格顯示出兩個小球向心力大小的比值為3∶1,根據在運動半徑和角速度一定的情況下,向心力大小和質量成正比可知,鐵球與橡膠球的質量之比為3∶1。
2.(2024·江西高一階段練習)某實驗小組設計了如圖甲所示裝置,探究勻速圓周運動的物體所需要的向心力F與轉動角速度ω之間的關系。細線1上端固定在水平直桿上并一直保持豎直狀態,下端連接一個磁性小球(小球看作質點),豎直轉軸上與磁性小球等高處固定一個力傳感器,用細線2連接力傳感器和磁性小球,細線2伸直且水平,磁傳感器固定在磁性小球附近,細線1、2重力均不計,π取3.14。
(1)用刻度尺測出細線1到轉軸的距離L,將整個裝置繞豎直轉軸勻速轉動,磁性小球每次經過磁傳感器附近磁傳感器就接收到一個反映磁場強度的脈沖,如圖乙所示,由圖可知,磁性小球做圓周運動周期T=____________________s,做圓周運動的角速度為_________________rad/s。(結果保留兩位有效數字)
　9.1(9.0~9.2均正確)　
0.69(0.68~0.70均正確)
解析:磁性小球做圓周運動周期為T= s≈0.69 s,轉動的角速度為ω=≈9.1 rad/s。
(2)多次改變轉動的角速度ω,獲得多組對應的力傳感器的示數F,為了直觀地反映F與ω的關系,以F為縱坐標,以_____
為橫坐標,在坐標紙中描點作圖,如果得到一條過原點的傾斜直線,則表明______________________________________________________________,
如果圖像的斜率為k,則磁性小球的質量m=__________ (用L和k表示)。
ω2　
小球質量和運動半徑一定時,向心力與角速度的平方成正比　
解析:根據F=mrω2,可知為了直觀地反映F與ω的關系,以F為縱坐標,以ω2為橫坐標,在坐標紙中描點作圖,如果得到一條過原點的傾斜直線,則表明小球質量和運動半徑一定時,向心力與角速度的平方成正比。圖像的斜率為k=mL,可知磁性小球的質量m=。
3.如圖1所示是某同學驗證“做圓周運動的物體所受向心力大小與線速度的關系”的實驗裝置。用一根細線系住鋼球,懸掛在鐵架臺上,鋼球靜止于A點,光電門固定在A的正下方靠近A處。在鋼球底部豎直地粘住一寬度為d的輕質遮光條,小鋼球的質量為m,重力加速度為g,實驗步驟如下:
(1)將小鋼球豎直懸掛,測出懸點到球心之間的距離,得到鋼球運動的半徑R;用刻度尺測量遮光條寬度,示數如圖2所示,其讀數為___________cm;將鋼球拉至某一位置釋放,測得遮光條的擋光時間為0.010 s,小鋼球在A點的速度大小v=___________ m/s(結果保留三位有效數字)。
1.50　
1.50
解析:根據刻度尺數據可知,讀數為1.50 cm。小鋼球在A點的速度大小v== m/s=1.50 m/s。
(2)先利用力傳感器的示數FA計算小鋼球運動所需的向心力F'=FA-mg,FA應取該次擺動過程中示數的___________(選填“平均值”或“最大值”),然后再用F=m計算向心力。
解析:因為力傳感器的示數FA最大時,小球在最低點,此時才能滿足F'=FA-mg。
最大值
(3)改變小鋼球釋放的位置,重復實驗,比較發現F總是略大于F',分析表明這是系統造成的誤差,造成該系統誤差的可能原因是___________。
A.鋼球的質量偏大 B.鋼球初速度不為零
C.存在空氣阻力 D.速度的測量值偏大
√
解析:由題可知,小鋼球在A點的速度是用遮光條通過光電門的平均速度代替,由裝置圖可知,遮光條運動半徑比小鋼球運動半徑稍大,故測量速度大于小球的實際速度,即小鋼球的速度的測量值偏大,因為F=m,當速度測量值偏大時,F偏大,故選D。
4.(2024·河北張家口高一階段練習)利用如圖所示裝置驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系。四分之一圓弧軌道固定在水平桌面上,末端與上表面很小的壓力傳感器表面相切,水平地面上依次鋪放好木板、白紙、復寫紙。將小球從圓弧軌道某一點由靜止釋放,經軌道末端飛出,落到鋪著復寫紙和白紙的木板上,在白紙上留下點跡,由同一位置重復釋放幾次,記錄每次壓力傳感器的示數;改變小球在圓弧軌道上的釋放位置,重復上述實驗步驟。(當地的重力加速度為g)
(1)為了完成實驗,下列操作不必要的是___________。
A.必須選擇光滑的圓弧軌道
B.固定圓弧軌道時,末端必須水平
C.實驗中應選擇密度大的小球
D.確定小球在白紙上的落點時,用盡可能小的圓把所有落點圈住,圓心即為平均落點
√
解析:這個實驗驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系,而線速度的大小v是由平拋運動規律來進行測量的,不用考慮圓弧軌道是否光滑,該操作不必要,符合題意,故A正確;線速度的大小v由平拋運動規律來進行測量,平拋運動要求初速度沿水平方向,所以固定圓弧軌道時,末端必須水平,該操作必要,不符合題意,故B錯誤;實驗中應選擇密度大、體積小的小球,可以減小空氣阻力對小球做平拋運動時的影響,該操作必要,不符合題意,故C錯誤;確定小球在白紙上的落點時,用盡可能用小的圓把所有落點圈住,圓心即為平均落點,這樣可以減小實驗的偶然誤差,該操作必要,不符合題意,故D錯誤。
(2)某次實驗時記錄的壓力傳感器示數為F,并測出小球的質量為m,小球的向心力的大小Fn=______________________。
解析:某次實驗時記錄的壓力傳感器示數為F,根據牛頓第三定律可知,軌道末端對小球的支持力大小也為F,并測出小球的質量為m,小球受到的合力提供向心力,則向心力的大小Fn=F-mg。
F-mg　
(3)實驗除了記錄壓力傳感器示數F,測量小球的質量m外,還需要測量軌道末端距地面的高度h、水平位移x、圓弧軌道半徑R,若要驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系,則需要驗證壓力傳感器示數F=________________即可(用測量的數據的物理量寫出表達式)。
mg
解析:小球從軌道末端飛出時,做平拋運動,則有h=gt2,x=vt,聯立可得小球飛出軌道末端時的速度大小為v=x。小球在軌道末端,根據牛頓第二定律可得Fn=F-mg=m,若要驗證向心力的大小Fn與線速度的大小v的關系,則需要驗證壓力傳感器示數F=mg+m=mg即可。

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