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課時跟蹤檢測(二十三)　機械能守恒定律的綜合應用
(選擇題1～10小題，每小題5分。本檢測卷滿分80分)
1.如圖所示，物體A、B通過不可伸長的細繩及輕質彈簧連接在光滑輕質定滑輪兩側，物體A、B的質量都為m。開始時細繩伸直，用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距離為h，物體B靜止在地面上。放手后物體A下落，與地面即將接觸時速度大小為v，此時物體B對地面恰好無壓力，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A．彈簧的勁度系數為
B．此時彈簧的彈性勢能等于mgh＋mv2
C．此時物體B的速度大小也為v
D．此時物體A的加速度大小為g，方向豎直向上
2．(多選)如圖所示，固定在地面上的斜面體上開有凹槽，槽內緊挨著放置六個半徑均為r的相同小球，各球編號如圖所示。斜面與水平軌道OA平滑連接，OA長度為6r。現將六個小球由靜止同時釋放，小球離開A點后均做平拋運動，不計一切摩擦。則在各小球運動過程中，下列說法正確的是(　　)
A．球1的機械能守恒
B．球6在OA段機械能增大
C．球6的水平射程最大
D．有三個球落地點相同
3.(多選)如圖所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，mB＞mA，此桿可繞穿過其中心的水平軸O在豎直面內無摩擦地轉動。現使輕桿從水平位置無初速度釋放，發現桿繞軸沿順時針方向轉動，則桿從釋放至轉動90°的過程中(　　)
A．B球的動能增大，機械能增大
B．A球的重力勢能和動能都增大
C．A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的重力勢能的減少量
D．A球和B球的總機械能守恒
4．(2024·湖南岳陽高一期末)質量分別為2 kg、3 kg的物體A和B，系在一根不可伸長的輕繩兩端，輕繩跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的輕質定滑輪上，此時物體A離地面的高度為0.8 m，如圖所示，斜面光滑且足夠長，始終保持靜止，g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
A．物體A落地時的速度大小為4 m/s
B．物體A落地時的速度大小為 m/s
C．物體B沿斜面上滑的最大高度為0.68 m
D．物體B沿斜面上滑的最大高度為0.96 m
5.如圖所示，可視為質點的小球A、B用不可伸長的輕質細線連接，細線跨過固定在水平地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的3倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放(A落地時，立即燒斷細線)，B上升的最大高度是(　　)
A. B.
C. D．2R
6.(多選)如圖所示，長度相同的三根輕桿構成一個正三角形支架，在A處固定質量為2m的小球；B處固定質量為m的小球，支架懸掛在O點，可繞過O點與支架所在平面相垂直的固定軸轉動。開始時OB豎直向下，放手后開始運動。在無任何阻力的情況下，下列說法中正確的是(　　)
A．A球到達最低點時速度為零
B．A球機械能減小量等于B球機械能增加量
C．B球向左擺動所能達到的最高位置應高于A球開始運動的高度
D．當支架從左向右回擺時，A球一定能回到起始高度
7．一根質量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個質量為m的小球分別拴在鏈條左端和右端，如圖b、圖c所示。約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當整根鏈條剛離開桌面時，關于它們的速度關系，下列判斷中正確的是(　　)
A．va＝vb＝vc B．va＜vb＜vc
C．vc＞va＞vb D．vb＞vc＞va
8.如圖所示，有一條長為1 m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中，當鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10 m/s2)(　　)
A．2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
9.(2024·青海西寧高一期末)如圖所示，固定在豎直面內的光滑圓環半徑為R，圓環上套有質量分別為m和2m的小球A、B(均可看作質點)，且小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連，在小球B從最高點由靜止開始沿圓環下滑至最低點的過程中(已知重力加速度為g)，下列說法正確的是(　　)
A．B球減少的機械能大于A球增加的機械能
B．B球減少的重力勢能等于A球增加的重力勢能
C．B球的最大速度為
D．B球克服細桿所做的功為mgR
10．(2024·云南保山高一階段練習)(多選)如圖所示，質量為m的小球套在光滑的輕桿上，彈簧一端與小球連接，另一端系于水平面上的B點，開始時小球從輕桿上的A點由靜止下滑，此時彈簧長度恰好等于原長，且彈簧處于豎直方向，小球滑到輕桿底端O點速度為零，已知小球在A點時距離地面高度為h，輕桿與地面間的傾角為θ＝30°，不計空氣阻力，則關于小球運動，下列說法正確的是(　　)
A．彈簧彈性勢能與小球的動能之和一直增大
B．小球的機械能先減小后增大
C．小球運動到OA中點時的速度大小為
D．彈簧在O點時的彈性勢能為mgh
11.(12分)如圖所示，有一輕質桿可繞O點在豎直平面內自由轉動，在桿的另一端和中點各固定一個質量均為m的小球A、B，桿長為L。開始時，桿靜止在水平位置，無初速度釋放后桿轉到豎直位置時，求A、B兩小球的速度各是多少？
12．(18分)(2024·云南保山高一期末)如圖所示，輕質動滑輪下方用輕質細線懸掛重物A、輕質定滑輪下方懸掛重物B，懸掛滑輪的輕質細線均豎直。開始時，重物A、B處于靜止狀態且距地面高度均為h，釋放后A、B開始運動。已知A、B質量相等，假設摩擦力和空氣阻力均忽略不計，重力加速度為g。求：
(1)重物B剛要落地時的速度大小；
(2)若重物A上升過程中不會碰到動滑輪，求A離地面的最大高度。
課時跟蹤檢測(二十三)
1．選A　由題意可知，此時彈簧所受的拉力大小等于物體B的重力，即F＝mg，彈簧伸長的長度為x＝h，由F＝kx得k＝，故A正確；物體A與彈簧組成的系統機械能守恒，則有mgh＝mv2＋Ep，則彈簧的彈性勢能Ep＝mgh－mv2，故B錯誤；物體B對地面恰好無壓力時，B的速度為零，故C錯誤；對物體A，根據牛頓第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D錯誤。
2．選BD　6個小球都在斜面上運動時，只有重力做功，整個系統的機械能守恒，當有部分小球在水平軌道上運動時，斜面上的小球仍在加速，球2對球1的作用力做負功，球1的機械能不守恒，故A錯誤；球6在OA段運動時，斜面上的小球在加速，球5對球6的作用力做正功，球6的動能增加，機械能增大，故B正確；由于有部分小球在水平軌道上運動時，斜面上的小球仍在加速，所以可知離開A點時球6的速度最小，水平射程最小，故C錯誤；由于OA長度為6r，最后三個小球在水平面上運動時不再加速，小球3、2、1的速度相等，水平射程相同，落地點位置相同，故D正確。
3．選BD　A球運動的速度增大，高度增大，所以A球的動能和重力勢能都增大，故A球的機械能增大；B球運動的速度增大，所以動能增大，高度減小，所以重力勢能減小；對于兩球組成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒，因為A球的機械能增大，故B球的機械能減小，故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量，選項A、C錯誤，B、D正確。
4．選B　根據題意可知，物體A下降過程中，物體A、B組成的系統機械能守恒，由機械能守恒定律有mAgh－mBghsin 30°＝(mA＋mB)v2，解得物體A落地時的速度大小為v＝ m/s，故A錯誤，B正確；根據題意可知，物體A落地時物體B沿斜面上滑的距離為x1＝h＝0.8 m，設物體A落地之后物體B沿斜面上滑的距離為x2，由機械能守恒定律有mBgx2sin 30°＝mBv2，解得x2＝0.16 m，則物體B沿斜面上滑的最大距離為x＝x1＋x2＝0.96 m，物體B沿斜面上滑的最大高度為h＝xsin 30°＝0.48 m，故C、D錯誤。
5．選B　設B的質量為m，則A的質量為3m，A落地瞬間，A、B組成的系統機械能守恒，根據機械能守恒定律有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2，解得A落地瞬間B的速度大小為v＝，燒斷細線后，對B，根據動能定理有－mgh＝0－mv2，解得A落地后B上升的高度為h＝，則B上升的最大高度為H＝h＋R＝。
6．選BCD　在整個過程中，A、B組成的系統機械能守恒，若當A球到達最低點時速度為0，A球減少的重力勢能大于B球增加的重力勢能，根據系統機械能守恒知，此時系統仍有動能，A球到達最低點時速度不為零，故A錯誤；因為系統機械能守恒，即A、B兩球的機械能總量保持不變，A球機械能的減少量等于B球機械能的增加量，故B正確；因為B球質量小于A球，當A球到達最低點時，A球重力勢能的減少量大于B球的重力勢能增加量，說明此時系統仍有速度，故B球要繼續上升，則B球向左擺動所能達到的最高位置高于A球開始運動的高度，故C正確；因為系統機械能守恒，故當支架從左到右擺動時，A球一定能回到起始高度，故D正確。
7．選C　題圖a中所示情境，根據機械能守恒定律有mg＝mv，解得va＝；題圖b中所示情境，根據機械能守恒定律有mg＝×2mv，解得vb＝；題圖c中所示情境，根據機械能守恒定律有mg＋mg·＝×2mv，解得vc＝，則有vc＞va＞vb，故選C。
8．選A　設鏈條的質量為2m，以開始時鏈條的最高點為零勢能面，鏈條的機械能為E＝Ep＋Ek＝－mg·sin θ－mg·＋0＝－mgL，鏈條全部下滑出斜面后，動能為Ek′＝×2mv2，重力勢能為Ep′＝－2mg·，由機械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝ ＝2.5 m/s，故A正確，B、C、D錯誤。
9．選C　小球A、B組成的系統只有重力做功，系統機械能守恒，B球減少的機械能等于A球增加的機械能，故A錯誤；小球A、B組成的系統機械能守恒，可知B球減少的重力勢能等于A球增加的重力勢能與兩小球增加的動能之和，故B錯誤；小球A、B組成的系統機械能守恒，有2mg·2R－mg·2R＝(m＋2m)v2，解得B球的最大速度為v＝，故C正確；根據動能定理得2mg·2R－W＝×2mv2，解得B球克服細桿所做的功為W＝mgR，故D錯誤。
10．選AD　根據機械能守恒可知，小球重力勢能減小，所以彈簧彈性勢能與小球的動能之和一直增大，故A正確；根據題意可知，彈簧彈力與小球位移方向夾角先大于90°后小于90°再大于90°，彈力先做負功后做正功再做負功，小球機械能先減小后增大再減小，故B錯誤；小球從A到O過程，根據機械能守恒定律有mgh＝Ep，即彈簧在O點時的彈性勢能為mgh，由題意知彈簧原長x0＝h，小球運動到OA中點時，彈簧長度x′＝x0＝h，此時彈簧彈性勢能為0，所以小球從A到OA中點根據機械能守恒定律有mgh＝mv2，解得小球運動到OA中點時的速度大小為v＝，故C錯誤，D正確。
11．解析：把A、B兩小球和桿看成一個系統，桿對A、B兩小球的彈力為系統的內力，對系統而言，只有重力做功，系統的機械能守恒。以A球到達的最低點的位置所在的水平面為零勢能參考平面，則初狀態：系統的動能為Ek1＝0，重力勢能為Ep1＝2mgL；末狀態(即桿轉到豎直位置)：系統的動能為Ek2＝mv＋mv，重力勢能為Ep2＝mg
由機械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv
又因為在轉動過程中A、B兩球的角速度相同，故vA＝2vB，聯立解得vA＝，vB＝。
答案：　
12．解析：(1)重物B剛要落地時，重物B下落的高度為h，重物A上升的高度為0.5h。因不計滑輪質量和阻力，A、B組成系統機械能守恒，取地面為參考平面，根據機械能守恒定律得
mgh＝mg·h＋mv＋mv
由滑輪組關系可知vB＝2vA
聯立解得vA＝，vB＝2。
(2)重物B剛要落地時，重物A距地面的高度為H1＝1.5h
重物B落地后，設重物A再上升的高度為H2，由動能定理得
－mgH2＝0－mv
解得H2＝0.1h
則重物A離地面的最大高度為H＝H1＋H2＝1.6h。
答案：(1)2 　(2)1.6h
5 / 5綜合·融通(三)　機械能守恒定律的綜合應用
　　　　(融會課主題串知綜合應用)
　　機械能守恒定律是力學中的重要定律,也是多種力學知識的交匯點,高考中常與其他力學知識綜合進行考查。通過本節課的學習能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式,會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題,并且掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法。
　　　　　　　　　　　　　　　　
主題(一)　多物體組成的系統機械能守恒問題
類型(一)　輕繩模型
1.常見情境
2.三點提醒
(1)分清兩物體是速度大小相等,還是沿繩方向的分速度大小相等。
(2)用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
(3)對于單個物體,一般繩上的力要做功,機械能不守恒;但對于繩連接的系統,機械能則可能守恒。
　　[例1]　如圖所示,質量分別為3 kg和5 kg的物體A、B,用輕繩連接跨在一個輕質定滑輪兩側,輕繩正好拉直,且A物體底面與地面接觸,B物體距地面高度為0.8 m。求:(g取10 m/s2,不計任何阻力)
(1)放開B物體,當B物體著地時A物體的速度大小;
(2)B物體著地后A物體還能上升的高度(不會與滑輪相碰)。
嘗試解答:
類型(二)　輕桿模型
1.常見情境
2.三大特點
(1)平動時兩物體線速度大小相等,轉動時兩物體角速度大小相等。
(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒。
(3)對于桿和物體組成的系統,忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功,則系統機械能守恒。
　　[例2]　(2024·安徽安慶高一期末)如圖甲所示,長度為l的輕質桿可以繞位于桿的中點的固定光滑轉軸O轉動,可視為質點的A、B兩球固定在輕質桿的兩端,兩球質量分別為m、3m,初始用外力控制桿處于水平狀態,撤去外力后桿將會在豎直平面內轉動起來。已知重力加速度為g,以下說法正確的是 (　　)
A.從初始狀態到B球到達最低點過程中,桿上彈力對A球不做功
B.從初始狀態到B球到達最低點過程中,桿上彈力對B球做正功
C.B球到達最低點時,OA桿對A球彈力為零
D.若轉軸O位于桿的三等分處且靠近B球(如圖乙所示),A球將無法到達轉軸O的正上方
聽課記錄:
類型(三)　輕彈簧模型
1.題型特點
由輕彈簧連接的物體系統,一般既有重力做功,又有彈簧彈力做功,這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化,而總的機械能守恒。
2.兩點提醒
(1)對同一彈簧,彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定,無論彈簧伸長還是壓縮。
(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量往往有關聯。
　　[例3]　
(多選)如圖所示,質量為m的小球甲穿過一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上,質量為4m的物體乙用輕繩跨過光滑的定滑輪與小球甲連接,開始用手托住物體乙,輕繩剛好伸直,滑輪左側繩豎直,右側繩與水平方向夾角為α,某時刻由靜止釋放物體乙(物體乙距離地面足夠高),經過一段時間小球甲運動到Q點,O、Q兩點的連線水平,OQ=d,且小球甲在P、Q兩點處時彈簧彈力的大小相等。已知重力加速度為g,sin α=0.8,cos α=0.6。則 (　　)
A.彈簧的勁度系數為
B.小球甲位于Q點時的速度大小為
C.物體乙重力的瞬時功率一直增大
D.小球甲和物體乙的機械能之和先增大后減小
聽課記錄:
主題(二)　非質點類物體的機械能守恒問題
[知能融會通]
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時,經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體,其在運動過程中將發生形變,其重心位置相對物體也發生變化,因此不能再把這類物體看成質點來處理。
2.解決非質點類物體機械能守恒問題的關鍵在于正確確定重心的位置。
3.先分段考慮各部分的重力勢能,再取各部分重力勢能的代數和作為整體的重力勢能。
4.利用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp列式求解。
　　[典例]　長為L、質量為m的均勻鏈
條,放在光滑的水平桌面上,且使其長度的垂在桌邊,如圖所示,松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑,取桌面為零勢能參考平面,重力加速度為g。
(1)開始時兩部分鏈條重力勢能之和為多少
(2)鏈條滑至剛離開桌邊時的重力勢能為多少
(3)鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為多大
嘗試解答:
[題點全練清]
1.如圖所示,粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體,開始時兩邊液面高度差為h,管中液柱總長度為4h,后來讓液體自由流動,當兩液面高度相等時,右側液面下降的速度為(重力加速度大小為g) (　　)
A. 　　　　　 B.
C. D.
2.如圖所示,粗細均勻、全長為h的鐵鏈,對稱地掛在轉軸光滑的輕質定滑輪上,滑輪的大小與鐵鏈長度相比可忽略不計,受到微小擾動后,鐵鏈從靜止開始運動,當鐵鏈脫離滑輪的瞬間,其速度大小為 (　　)
A. B.
C. D.
綜合·融通(三)　機械能守恒定律的綜合應用
主題(一)
[例1]　解析：(1)法一：由E1＝E2
對A、B組成的系統，當B下落時系統機械能守恒，以地面為零勢能參考平面，則
mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，
解得v＝ ＝ m/s＝2 m/s。
法二：由ΔEk增＝ΔEp減，得
(mA＋mB)v2＝mBgh－mAgh
解得v＝2 m/s。
法三：由ΔEA增＝ΔEB減，得
mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
解得v＝2 m/s。
(2)當B落地后，A以2 m/s的速度豎直上拋，由機械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2，
則A還能上升的高度為h′＝＝ m＝0.2 m。
答案：(1)2 m/s　(2)0.2 m
[例2]　選C　從初始狀態到B球到達最低點過程中，A球的動能、重力勢能均增大，故A球機械能增大，可知桿上彈力對A球做正功，故A錯誤；A、B球組成的系統只有動能和重力勢能間的相互轉化，機械能守恒，A球機械能增大，故B球機械能減小，故桿上彈力對B球做負功，故B錯誤； B球到達最低點時，由題意可知，A、B兩球速度v大小相等，根據機械能守恒定律有3mg·＝mg·＋mv2＋·v2，解得v＝，對A球根據牛頓第二定律得mg＋FN＝，解得FN＝0，故B球到達最低點時OA桿對A球彈力為零，故C正確；若轉軸O位于桿的三等分處且靠近B球，假設A球能到達轉軸O正上方，此時速度為2v′，由于同根桿上各點角速度相同，故B球此時到達轉軸O的正下方，速度為v′，根據機械能守恒定律得3mg·＝mg·＋m(2v′)2＋·v′2，解得v′＝，故A球可以到達轉軸O的正上方，故D錯誤。
[例3]　選ABD　在P、Q兩點處彈簧彈力的大小相等，由胡克定律可知，彈簧在P點的壓縮量等于在Q點的伸長量，由幾何關系知PQ＝dtan α＝d，則小球甲位于P點時彈簧的壓縮量為x＝PQ＝d，對P點的小球由力的平衡條件可知mg＝kx，解得k＝，A正確；當小球甲運動到Q點時，設小球甲的速度為v，此時小球甲的速度與繩子垂直，所以物體乙的速度為零，又小球甲、物體乙和彈簧組成的系統機械能守恒，則由機械能守恒定律得4mg－mgdtan α＝mv2，解得v＝，B正確；由于小球甲在P、Q兩點處時彈簧彈力的大小相等，即小球甲在P、Q兩點處時彈簧的彈性勢能相等，則小球甲由P到Q的過程，彈簧的彈性勢能先減小后增大，由機械能守恒定律可知，小球甲和物體乙的機械能之和先增大后減小，D正確；由于小球甲在P和Q點處，物體乙的速度都為零，在其他過程中，物體乙的速度不是零，則可知物體乙重力的瞬時功率先增大后減小，C錯誤。
主題(二)
[典例]　解析：(1)開始時鏈條的重力勢能
Ep1＝－×＝－。
(2)鏈條滑至剛離開桌邊時的重力勢能
Ep2＝mg×＝－。
(3)設鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為v，根據機械能守恒定律得Ep1＝Ep2＋mv2
聯立解得v＝ 。
答案：(1)－　(2)－　(3)
[題點全練清]
1．選A　當兩液面高度相等時，液體減少的重力勢能轉化為全部液體的動能，且各部分液體的速度大小相同，設管內液體總質量為m，速度大小為v，根據機械能守恒定律得×mg·h＝mv2，解得v＝，A正確。
2．選A　鐵鏈從開始到剛脫離滑輪的過程中，鐵鏈重心下降的高度為h，在鐵鏈下落過程，由機械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得鐵鏈脫離滑輪瞬間的速度大小為v＝，A正確。
4 / 4(共63張PPT)
機械能守恒定律的綜合應用
(融會課——主題串知綜合應用)
綜合 融通(三)
機械能守恒定律是力學中的重要定律,也是多種力學知識的交匯點,高考中常與其他力學知識綜合進行考查。通過本節課的學習能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式,會分析多個物體組成的系統的機械能守恒問題,并且掌握非質點類物體的機械能守恒問題的處理方法。
1
主題(一)　多物體組成的系統
機械能守恒問題
2
主題(二)　非質點類物體的機械能
守恒問題
3
課時跟蹤檢測
CONTENTS
目錄
主題(一)　多物體組成的
系統機械能守恒問題
類型(一)　輕繩模型
1.常見情境
2.三點提醒
(1)分清兩物體是速度大小相等,還是沿繩方向的分速度大小相等。
(2)用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
(3)對于單個物體,一般繩上的力要做功,機械能不守恒;但對于繩連接的系統,機械能則可能守恒。
[例1]　如圖所示,質量分別為3 kg和5 kg的物體A、B,用輕繩連接跨在一個輕質定滑輪兩側,輕繩正好拉直,且A物體底面與地面接觸,B物體距地面高度為0.8 m。求:(g取10 m/s2,不計任何阻力)
(1)放開B物體,當B物體著地時A物體的速度大小;
[答案]　2 m/s　
[解析]　法一:由E1=E2
對A、B組成的系統,當B下落時系統機械能守恒,以地面為零勢能參考平面,則
mBgh=mAgh+(mA+mB)v2,
解得v== m/s=2 m/s。
法二:由ΔEk增=ΔEp減,得
(mA+mB)v2=mBgh-mAgh
解得v=2 m/s。
法三:由ΔEA增=ΔEB減,得
mAgh+mAv2=mBgh-mBv2
解得v=2 m/s。
(2)B物體著地后A物體還能上升的高度(不會與滑輪相碰)。
[答案]　0.2 m
[解析]　當B落地后,A以2 m/s的速度豎直上拋,由機械能守恒定律可得mAgh'=mAv2,
則A還能上升的高度為h'== m=0.2 m。
類型(二)　輕桿模型
1.常見情境
2.三大特點
(1)平動時兩物體線速度大小相等,轉動時兩物體角速度大小相等。
(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向,桿能對物體做功,單個物體機械能不守恒。
(3)對于桿和物體組成的系統,忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功,則系統機械能守恒。
[例2]　(2024·安徽安慶高一期末)如圖甲所示,長度為l的輕質桿可以繞位于桿的中點的固定光滑轉軸O轉動,可視為質點的A、B兩球固定在輕質桿的兩端,兩球質量分別為m、3m,初始用外力控制桿處于水平狀態,撤去外力后桿將會在豎直平面內轉動起來。已知重力加速度為g,以下說法正確的是 (　　)
A.從初始狀態到B球到達最低點過程中,桿上彈力對A球不做功
B.從初始狀態到B球到達最低點過程中,桿上彈力對B球做正功
C.B球到達最低點時,OA桿對A球彈力為零
D.若轉軸O位于桿的三等分處且靠近B球(如圖乙所示),A球將無法到達轉軸O的正上方
√
[解析]　從初始狀態到B球到達最低點過程中,A球的動能、重力勢能均增大,故A球機械能增大,可知桿上彈力對A球做正功,故A錯誤;A、B球組成的系統只有動能和重力勢能間的相互轉化,機械能守恒,A球機械能增大,故B球機械能減小,故桿上彈力對B球做負功,故B錯誤; B球到達最低點時,由題意可知,A、B兩球速度v大小相等,根據機械能守恒定律有3mg·=mg·+mv2+·v2,解得v=,對A球根據牛頓第二定律得mg+FN=,解得FN=0,故B球到達最低點時OA桿對A球彈力為零,
故C正確;若轉軸O位于桿的三等分處且靠近B球,假設A球能到達轉軸O正上方,此時速度為2v',由于同根桿上各點角速度相同,故B球此時到達轉軸O的正下方,速度為v',根據機械能守恒定律得3mg·=mg·+
m(2v')2+·v'2,解得v'=,故A球可以到達轉軸O的正上方,故D錯誤。
類型(三)　輕彈簧模型
1.題型特點
由輕彈簧連接的物體系統,一般既有重力做功,又有彈簧彈力做功,這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化,而總的機械能守恒。
2.兩點提醒
(1)對同一彈簧,彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定,無論彈簧伸長還是壓縮。
(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量往往有關聯。
[例3]　(多選)如圖所示,質量為m的小球甲穿過一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上,質量為4m的物體乙用輕繩跨過光滑的定滑輪與小球甲連接,開始用手托住物體乙,輕繩剛好伸直,滑輪左側繩豎直,右側繩與水平方向夾角為α,某時刻由靜止釋放物體乙(物體乙距離地面足夠高),經過一段時間小球甲運動到Q點,O、Q兩點的連線水平,OQ=d,且小球甲在P、Q兩點處時彈簧彈力的大小相等。已知重力加速度為g,sin α=0.8,cos α=0.6。則 (　　)
A.彈簧的勁度系數為
B.小球甲位于Q點時的速度大小為
C.物體乙重力的瞬時功率一直增大
D.小球甲和物體乙的機械能之和先增大后減小
√
√
√
[解析]　在P、Q兩點處彈簧彈力的大小相等,由胡克定律可知,彈簧在P點的壓縮量等于在Q點的伸長量,由幾何關系知PQ=dtan α=d,則小球甲位于P點時彈簧的壓縮量為x=PQ=d,對P點的小球由力的平衡條件可知mg=kx,解得k=,A正確;當小球甲運動到Q點時,設小球甲的速度為v,此時小球甲的速度與繩子垂直,所以物體乙的速度為零,又小球甲、物體乙和彈簧組成的系統機械能守恒,則由機械能守恒定律得4mg-mgdtan α=mv2,解得v=,B正確;
由于小球甲在P、Q兩點處時彈簧彈力的大小相等,即小球甲在P、Q兩點處時彈簧的彈性勢能相等,則小球甲由P到Q的過程,彈簧的彈性勢能先減小后增大,由機械能守恒定律可知,小球甲和物體乙的機械能之和先增大后減小,D正確;由于小球甲在P和Q點處,物體乙的速度都為零,在其他過程中,物體乙的速度不是零,則可知物體乙重力的瞬時功率先增大后減小,C錯誤。
主題(二)　非質點類物體的機械能守恒問題
1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時,經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體,其在運動過程中將發生形變,其重心位置相對物體也發生變化,因此不能再把這類物體看成質點來處理。
2.解決非質點類物體機械能守恒問題的關鍵在于正確確定重心的位置。
3.先分段考慮各部分的重力勢能,再取各部分重力勢能的代數和作為整體的重力勢能。
4.利用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=-ΔEp列式求解。
知能融會通
[典例]　長為L、質量為m的均勻鏈條,放在光滑的水平桌面上,且使其長度的垂在桌邊,如圖所示,松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑,取桌面為零勢能參考平面,重力加速度為g。
(1)開始時兩部分鏈條重力勢能之和為多少
[答案]　-　
[解析]　開始時鏈條的重力勢能
Ep1=-×=-。
(2)鏈條滑至剛離開桌邊時的重力勢能為多少
[答案]　-　
[解析]　鏈條滑至剛離開桌邊時的重力勢能
Ep2=mg×=-。
(3)鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為多大
[答案]　
[解析]　設鏈條滑至剛離開桌邊時的速度大小為v,根據機械能守恒定律得Ep1=Ep2+mv2
聯立解得v=。
1.如圖所示,粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體,開始時兩邊液面高度差為h,管中液柱總長度為4h,后來讓液體自由流動,當兩液面高度相等時,右側液面下降的速度為(重力加速度大小為g) (　　)
A. 　　　　　 B.
C. D.
題點全練清
√
解析:當兩液面高度相等時,液體減少的重力勢能轉化為全部液體的動能,且各部分液體的速度大小相同,設管內液體總質量為m,速度大小為v,根據機械能守恒定律得×mg·h=mv2,解得v=,A正確。
2.如圖所示,粗細均勻、全長為h的鐵鏈,對稱地掛在轉軸光滑的輕質定滑輪上,滑輪的大小與鐵鏈長度相比可忽略不計,受到微小擾動后,鐵鏈從靜止開始運動,當鐵鏈脫離滑輪的瞬間,其速度大小為 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:鐵鏈從開始到剛脫離滑輪的過程中,鐵鏈重心下降的高度為h,在鐵鏈下落過程,由機械能守恒定律得mg·h=mv2,解得鐵鏈脫離滑輪瞬間的速度大小為v=,A正確。
課時跟蹤檢測
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(選擇題1~10小題,每小題5分。本檢測卷滿分80分)
1.如圖所示,物體A、B通過不可伸長的細繩及輕質彈簧
連接在光滑輕質定滑輪兩側,物體A、B的質量都為m。開始
時細繩伸直,用手托著物體A使彈簧處于原長且A與地面的距
離為h,物體B靜止在地面上。放手后物體A下落,與地面即將
接觸時速度大小為v,此時物體B對地面恰好無壓力,不計空氣
阻力,重力加速度為g,則下列說法正確的是(　　)
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A.彈簧的勁度系數為
B.此時彈簧的彈性勢能等于mgh+mv2
C.此時物體B的速度大小也為v
D.此時物體A的加速度大小為g,方向豎直向上
√
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解析:由題意可知,此時彈簧所受的拉力大小等于物體B的重力,即F=mg,彈簧伸長的長度為x=h,由F=kx得k=,故A正確;物體A與彈簧組成的系統機械能守恒,則有mgh=mv2+Ep,則彈簧的彈性勢能Ep=mgh-mv2,故B錯誤;物體B對地面恰好無壓力時,B的速度為零,故C錯誤;對物體A,根據牛頓第二定律有F-mg=ma,又F=mg,得a=0,故D錯誤。
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2.(多選)如圖所示,固定在地面上的斜面體上開有凹槽,槽內緊挨著放置六個半徑均為r的相同小球,各球編號如圖所示。斜面與水平軌道OA平滑連接,OA長度為6r。現將六個小球由靜止同時釋放,小球離開A點后均做平拋運動,不計一切摩擦。則在各小球運動過程中,下列說法正確的是 (　　)
A.球1的機械能守恒
B.球6在OA段機械能增大
C.球6的水平射程最大
D.有三個球落地點相同
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解析:6個小球都在斜面上運動時,只有重力做功,整個系統的機械能守恒,當有部分小球在水平軌道上運動時,斜面上的小球仍在加速,球2對球1的作用力做負功,球1的機械能不守恒,故A錯誤;球6在OA段運動時,斜面上的小球在加速,球5對球6的作用力做正功,球6的動能增加,機械能增大,故B正確;由于有部分小球在水平軌道上運動時,斜面上的小球仍在加速,所以可知離開A點時球6的速度最小,水平射程最小,故C錯誤;由于OA長度為6r,最后三個小球在水平面上運動時不再加速,小球3、2、1的速度相等,水平射程相同,落地點位置相同,故D正確。
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3.(多選)如圖所示,A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端,mB>mA,此桿可繞穿過其中心的水平軸O在豎直面內無摩擦地轉動。現使輕桿從水平位置無初速度釋放,發現桿繞軸沿順時針方向轉動,則桿從釋放至轉動90°的過程中 (　　)
A.B球的動能增大,機械能增大
B.A球的重力勢能和動能都增大
C.A球的重力勢能和動能的增加量等于B球的重力勢能的減少量
D.A球和B球的總機械能守恒
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解析:A球運動的速度增大,高度增大,所以A球的動能和重力勢能都增大,故A球的機械能增大;B球運動的速度增大,所以動能增大,高度減小,所以重力勢能減小;對于兩球組成的系統,只有重力做功,系統的機械能守恒,因為A球的機械能增大,故B球的機械能減小,故A球的重力勢能和動能的增加量與B球的動能的增加量之和等于B球的重力勢能的減少量,選項A、C錯誤,B、D正確。
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4.(2024·湖南岳陽高一期末)質量分別為2 kg、3 kg的物體A和B,系在一根不可伸長的輕繩兩端,輕繩跨過固定在傾角為30°的斜面頂端的輕質定滑輪上,此時物體A離地面的高度為0.8 m,如圖所示,斜面光滑且足夠長,始終保持靜止,g取10 m/s2。下列說法正確的是 (　　)
A.物體A落地時的速度大小為4 m/s
B.物體A落地時的速度大小為 m/s
C.物體B沿斜面上滑的最大高度為0.68 m
D.物體B沿斜面上滑的最大高度為0.96 m
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解析:根據題意可知,物體A下降過程中,物體A、B組成的系統機械能守恒,由機械能守恒定律有mAgh-mBghsin 30°=(mA+mB)v2,解得物體A落地時的速度大小為v= m/s,故A錯誤,B正確;根據題意可知,物體A落地時物體B沿斜面上滑的距離為x1=h=0.8 m,設物體A落地之后物體B沿斜面上滑的距離為x2,由機械能守恒定律有mBgx2sin 30°=mBv2,解得x2=0.16 m,則物體B沿斜面上滑的最大距離為x=x1+x2=0.96 m,物體B沿斜面上滑的最大高度為h=xsin 30°=0.48 m,故C、D錯誤。
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5.如圖所示,可視為質點的小球A、B用不可伸長的輕質細線連接,細線跨過固定在水平地面上、半徑為R的光滑圓柱,A的質量為B的3倍。當B位于地面時,A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放(A落地時,立即燒斷細線),B上升的最大高度是 (　　)
A. B.
C. D.2R
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解析:設B的質量為m,則A的質量為3m,A落地瞬間,A、B組成的系統機械能守恒,根據機械能守恒定律有3mgR-mgR=(3m+m)v2,解得A落地瞬間B的速度大小為v=,燒斷細線后,對B,根據動能定理有-mgh=0-mv2,解得A落地后B上升的高度為h=,則B上升的最大高度為H=h+R=。
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6.(多選)如圖所示,長度相同的三根輕桿構成一個正三角形支架,在A處固定質量為2m的小球;B處固定質量為m的小球,支架懸掛在O點,可繞過O點與支架所在平面相垂直的固定軸轉動。開始時OB豎直向下,放手后開始運動。在無任何阻力的情況下,下列說法中正確的是 (　　)
A.A球到達最低點時速度為零
B.A球機械能減小量等于B球機械能增加量
C.B球向左擺動所能達到的最高位置應高于A球開始運動的高度
D.當支架從左向右回擺時,A球一定能回到起始高度
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解析:在整個過程中,A、B組成的系統機械能守恒,若當A球到達最低點時速度為0,A球減少的重力勢能大于B球增加的重力勢能,根據系統機械能守恒知,此時系統仍有動能,A球到達最低點時速度不為零,故A錯誤;因為系統機械能守恒,即A、B兩球的機械能總量保持不變,A球機械能的減少量等于B球機械能的增加量,故B正確;因為B球質量小于A球,當A球到達最低點時,A球重力勢能的減少量大于B球的重力勢能增加量,說明此時系統仍有速度,故B球要繼續上升,則B球向左擺動所能達到的最高位置高于A球開始運動的高度,故C正確;因為系統機械能守恒,故當支架從左到右擺動時,A球一定能回到起始高度,故D正確。
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7.一根質量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上,另一半懸在桌邊,桌面足夠高,如圖a所示。若將一個質量為m的小球分別拴在鏈條左端和右端,如圖b、圖c所示。約束鏈條的擋板光滑,三種情況下鏈條均由靜止釋放,當整根鏈條剛離開桌面時,關于它們的速度關系,下列判斷中正確的是 (　　)
A.va=vb=vc B.vaC.vc>va>vb D.vb>vc>va
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解析:題圖a中所示情境,根據機械能守恒定律有mg=m,解得va=;題圖b中所示情境,根據機械能守恒定律有mg=
×2m,解得vb=;題圖c中所示情境,根據機械能守恒定律有mg+mg·=×2m,解得vc=,則有vc>va>vb,故選C。
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8.如圖所示,有一條長為1 m的均勻金屬鏈條,有一半長度在光滑的足夠高的斜面上,斜面頂端是一個很小的圓弧,斜面傾角為30°,另一半長度豎直下垂在空中,當鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動,則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10 m/s2) (　　)
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
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解析:設鏈條的質量為2m,以開始時鏈條的最高點為零勢能面,鏈條的機械能為E=Ep+Ek=-mg·sin θ-mg·+0=-mgL,鏈條全部下滑出斜面后,動能為Ek'=×2mv2,重力勢能為Ep'=-2mg·,由機械能守恒定律可得E=Ek'+Ep',即-mgL=mv2-mgL,解得v==2.5 m/s,故A正確,B、C、D錯誤。
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9. (2024·青海西寧高一期末)如圖所示,固定在豎直面內的光滑圓環半徑為R,圓環上套有質量分別為m和2m的小球A、B(均可看作質點),且小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連,在小球B從最高點由靜止開始沿圓環下滑至最低點的過程中(已知重力加速度為g),下列說法正確的是 (　　)
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A.B球減少的機械能大于A球增加的機械能
B.B球減少的重力勢能等于A球增加的重力勢能
C.B球的最大速度為
D.B球克服細桿所做的功為mgR
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解析:小球A、B組成的系統只有重力做功,系統機械能守恒,B球減少的機械能等于A球增加的機械能,故A錯誤;小球A、B組成的系統機械能守恒,可知B球減少的重力勢能等于A球增加的重力勢能與兩小球增加的動能之和,故B錯誤;小球A、B組成的系統機械能守恒,有2mg·2R-mg·2R=(m+2m)v2,解得B球的最大速度為v=,故C正確;根據動能定理得2mg·2R-W=×2mv2,解得B球克服細桿所做的功為W=mgR,故D錯誤。
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10.(2024·云南保山高一階段練習)(多選)如圖所示,質量為m的小球套在光滑的輕桿上,彈簧一端與小球連接,另一端系于水平面上的B點,開始時小球從輕桿上的A點由靜止下滑,此時彈簧長度恰好等于原長,且彈簧處于豎直方向,小球滑到輕桿底端O點速度為零,已知小球在A點時距離地面高度為h,輕桿與地面間的傾角為θ=30°,不計空氣阻力,則關于小球運動,下列說法正確的是 (　　)
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A.彈簧彈性勢能與小球的動能之和一直增大
B.小球的機械能先減小后增大
C.小球運動到OA中點時的速度大小為
D.彈簧在O點時的彈性勢能為mgh
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解析:根據機械能守恒可知,小球重力勢能減小,所以彈簧彈性勢能與小球的動能之和一直增大,故A正確;根據題意可知,彈簧彈力與小球位移方向夾角先大于90°后小于90°再大于90°,彈力先做負功后做正功再做負功,小球機械能先減小后增大再減小,故B錯誤;小球從A到O過程,根據機械能守恒定律有mgh=Ep,即彈簧在O點時的彈性勢能為mgh,由題意知彈簧原長x0=h,小球運動到OA中點時,彈簧長度x'=x0=h,此時彈簧彈性勢能為0,所以小球從A到OA中點根據機械能守恒定律有mgh=mv2,解得小球運動到OA中點時的速度大小為v=,故C錯誤,D正確。
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11.(12分)如圖所示,有一輕質桿可繞O點在豎直平面內自由轉動,在桿的另一端和中點各固定一個質量均為m的小球A、B,桿長為L。開始時,桿靜止在水平位置,無初速度釋放后桿轉到豎直位置時,求A、B兩小球的速度各是多少
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答案:　
解析:把A、B兩小球和桿看成一個系統,桿對A、B兩小球的彈力為系統的內力,對系統而言,只有重力做功,系統的機械能守恒。以A球到達的最低點的位置所在的水平面為零勢能參考平面,則初狀態:系統的動能為Ek1=0,重力勢能為Ep1=2mgL;末狀態(即桿轉到豎直位置):系統的動能為Ek2=m+m,重力勢能為Ep2=mg
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由機械能守恒定律得
2mgL=mgL+m+m
又因為在轉動過程中A、B兩球的角速度相同,故vA=2vB,聯立解得vA=,vB=。
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12.(18分)(2024·云南保山高一期末)如圖所示,輕質動滑輪下方用輕質細線懸掛重物A、輕質定滑輪下方懸掛重物B,懸掛滑輪的輕質細線均豎直。開始時,重物A、B處于靜止狀態且距地面高度均為h,釋放后A、B開始運動。已知A、B質量相等,假設摩擦力和空氣阻力均忽略不計,重力加速度為g。求:
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(1)重物B剛要落地時的速度大小;
答案:2　
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解析:重物B剛要落地時,重物B下落的高度為h,重物A上升的高度為0.5h。因不計滑輪質量和阻力,A、B組成系統機械能守恒,取地面為參考平面,根據機械能守恒定律得
mgh=mg·h+m+m
由滑輪組關系可知vB=2vA
聯立解得vA=,vB=2。
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(2)若重物A上升過程中不會碰到動滑輪,求A離地面的最大高度。
答案:1.6h
解析:重物B剛要落地時,重物A距地面的高度為H1=1.5h
重物B落地后,設重物A再上升的高度為H2,由動能定理得-mgH2=0-m,解得H2=0.1h
則重物A離地面的最大高度為H=H1+H2=1.6h。
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