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第七章　靜電場
專題九　電場中的功能關系及圖像問題
素養目標　1.掌握靜電力做功的計算方法及電場中常用的功能關系.（物理觀念） 2.掌握電場中的幾種常見圖像.（物理觀念）
一、電場中的功能關系
AD
C. 從A到C，靜電力對小滑塊做功W＝－mgs
（1）彈簧壓縮至A點時的彈性勢能；
（2）小球經過O點時的速度大??；
（3）小球過O點后運動的軌跡方程.
答案：（3）見解析
深化　　幾種常見的功能關系
（1）合外力做功等于動能的變化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk（動能定理）.
（2）重力做功等于物體重力勢能的變化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp.
（3）靜電力做功等于電勢能的變化，即W電＝Ep電1－Ep電2＝－ΔEp電.
（4）彈簧彈力做功等于彈性勢能的變化，即W彈＝Ep1－Ep2＝－ΔEp彈.
（5）除了重力和彈簧彈力之外其他力做的總功等于物體機械能的變化，
即W其他力＝E機2－E機1＝ΔE機.
A. 粒子帶負電
B. 粒子在A點的電勢能比在B點少1.5 J
C. 粒子在A點的動能比在B點少0.5 J
D. 粒子在A點的機械能比在B點少1.5 J
D
解析：由粒子運動的軌跡可知粒子帶正電，A錯誤；粒子從A到B的過程中靜電力做正功，所以電勢能減小，B錯誤；根據動能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A點的動能比在B點多0.5 J，C錯誤；靜電力做正功，機械能增加，所以粒子在A點的機械能比在B點少1.5 J，D正確.
B
A. 小球B速度最大時所受彈簧彈力和庫侖力的合力為零
B. 小球B的加速度先減小后增大
C. 小球B與彈簧組成系統的機械能一定減小
D. 小球A與B組成系統的電勢能一定先減小后增大
解析：小球B向下運動的過程中受到重力、庫侖力、彈簧的彈力作用，當彈簧的彈力、重力、庫侖力的合力為0時，小球B的加速度為0，速度最大，故A錯誤；開始運動時，彈簧的彈力小于重力和庫侖力之和，合力豎直向下，小球向下做加速運動，由于彈簧的彈力逐漸增大，庫侖力減小，合力減小，加速度減小，當合力減小為0時，速度最大，之后彈簧的彈力大于重力與庫侖力之和，合力豎直向上，小球向下做減速運動，彈簧的彈力逐漸增大，庫侖力減小，合力豎直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先減小后增大，故B正確；由于庫侖力對小球B做正功，由功能關系可知，小球B與彈簧組成系統的機械能一定增大，故C錯誤；庫侖力對小球B做正功，小球A與B組成系統的電勢能一直減小，故D錯誤.
二、電場中的圖像問題
D
解析：根據題意知固定在坐標原點的電荷為負電荷且無限遠處電勢為0，則當x接近0
時，電勢接近負無窮，根據點電荷的場強公式可得，在x軸正半軸上任一點x處，電荷
（舍去）.φ－x圖線切線斜率的絕對值表示電場強度的大小，則x＝1處對應的切線的
斜率為0，電勢最高，D正確.
A
A. 將在ad之間做周期性運動
B. 在d點的電勢能大于a點的電勢能
C. 在b點與c點所受電場力方向相同
D. 將沿x軸負方向運動，可以到達O點
解析：由題圖可知，a、d兩點電勢相等，根據Ep＝qφ可知粒子在d點的電勢能等于a點的電勢能，故B錯誤；φ－x圖像斜率表示電場強度，由題圖可知，b點與c點的電場強度方向相反，根據F＝qE可知在b點與c點所受電場力方向相反，故C錯誤；根據沿著電場線方向電勢降低可知在d點電場方向為x軸負方向，粒子帶正電，則粒子受到沿著x軸負方向的電場力，即粒子將沿x軸負方向運動，該過程中僅有電場力對粒子做功，則粒子的動能和電勢能之和恒定，根據B選項分析可知粒子在d點的電勢能等于a點的電勢能，則粒子在d點的動能等于a點的動能均為0，即粒子將在ad之間做周期性運動，不能到達O點，故A正確，D錯誤.故選A.
（3）根據v－t圖像分析帶電粒子做加速運動還是減速運動，結合帶電粒子的電性分析電場強度的方向.
（4）由電場強度的大小和方向分析電場的其他性質，如電場線、等勢面的分布及電勢的變化等.
深化1　　電場中的v－t圖像
（1）由v－t圖像中圖線的斜率變化分析帶電粒子的加速度a的大小變化.
深化2　　電場中的φ－x圖像
（1）電場強度的大小等于φ－x圖線的切線斜率的絕對值，如果圖線是曲線，電場為非勻強電場；如果圖線是傾斜的直線，電場為勻強電場（如圖所示）.切線的斜率為零時沿x軸方向電場強度為零.
（2）在φ－x圖像中可以直接判斷各點電勢的高低，并可根據電勢大小關系確定電場強度的方向，進而可以判斷電荷在電場中的受力方向（如圖所示）.
（3）電場中常見的φ－x圖像
①點電荷的φ－x圖像（取無限遠處電勢為零），如圖所示.
②兩個等量異種點電荷連線上的φ－x圖像，如圖所示.
③兩個等量同種點電荷的φ－x圖像，如圖所示.
深化3　　電場中的E－x圖像
（1）反映了電場強度隨位移變化的規律.
（2）判定電場強度E的方向：E＞0表示電場強度沿正方向；E＜0表示電場強度沿負方向.
（3）圖線與x軸圍成的“面積”表示兩點間電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定.
（4）電場中常見的E－x圖像
①點電荷的E－x圖像
正點電荷及負點電荷的電場強度E隨坐標x變化關系的圖像大致如圖所示.
②兩個等量異種點電荷的E－x圖像，如圖所示.
③兩個等量正點電荷的E－x圖像，如圖所示.
深化4　　電場中的Ep－x圖像、Ek－x圖像
（1）Ep－x圖像
（2）Ek－x圖像
角度1　電場中的v－t圖像
AC
A. A、B兩點的電勢關系為φA＞φB
B. A點附近的等勢面要比B點附近的等勢面稀疏
C. A、B兩點的電場強度大小關系為EA＞EB
D. 粒子從A點到B點的過程中，可能兩次經過同一個等勢面
解析：根據速度由v1變為v2，速度減小，可知靜電力對粒子做負功，電勢能增加，根據帶電粒子在電場中的運動規律可知，負電荷高勢低能，則φA＞φB，故A正確；電場線密集的位置等勢面密集，電場強度更大，則帶電粒子受到的靜電力更大，加速度大，在v－t圖像中斜率的絕對值更大，A處斜率的絕對值大于B處斜率的絕對值，則電場強度的關系EA＞EB，A點附近的等勢面要比B點附近的等勢面密集，故B錯誤，C正確；粒子從A點到B點的過程中，速度一直減小，則靜電力一直做負功，電勢能一直增大，故不可能兩次經過同一個等勢面，故D錯誤.
C
角度2　電場中的φ－x圖像
C
角度3　電場中的E－x圖像
A. 釋放后粒子的加速度先不變后減小
C. 粒子經過的位置中O點電勢一定最大
D. 粒子在x1和x3處速度達到最大值
解析：O～x1間，電場強度沿x軸正方向且大小不變，又粒子帶正電，故粒子沿x軸正方向做勻加速直線運動；x1～x2間，電場強度沿x軸正方向，且大小逐漸減小，故粒子沿x軸正方向做加速度減小的加速運動；x2～x3間，電場強度沿x軸負方向，且大小逐漸增大，故粒子沿x軸正方向做加速度增大的減速運動，故A、D錯誤；x1～x3間的圖線關于x2點中心對稱，則x1～x2間電場力對粒子做的正功數值上等于x2～x3間電場力對粒子做的負功，粒子到達x3時的動能等于粒子到達x1時的動能，即Ek＝qdE0，故B錯誤；由題意知x2點的電勢為0，有φx1＝－φx3，φx1＜φO，可知O點的電勢最大，故C正確.
A. 電場強度方向沿x軸正方向
B. 電場強度大小為2.5 N/C
C. x＝5 m處的電勢為0
D. 電子從原點O運動到x＝4 m處的過程中，動能增加了8 eV
角度4　電場中的Ep－x圖像，Ek－x圖像
CD
解析：根據電場力做功與電勢能的變化關系可知，帶負電粒子僅在電場力作用下沿x
軸正方向運動，電勢能減小，則電場力做正功，因此電場強度方向沿x軸負方向，故
A錯誤；由題圖可知，電勢能的變化率不變，所以負電荷受到的電場力不變，則知該
故B錯誤；由圖可知，x＝5 m處的電勢能Ep為零，根據公式Ep＝qφ可知，x＝5 m處的
功，電勢能減小了8 eV，則動能增加了8 eV，故D正確.
CD
A. 帶電粒子與場源電荷帶異種電荷
B. a點電勢比b點電勢高
C. a點場強比b點場強大
D. 帶電粒子在a點的電勢能比在b點的電勢能大
解析：粒子從a點向b點運動，Ek－x圖像的切線斜率減小，根據動能定理，則有qEx＝Ek，電場強度減小，因此a點更靠近場源電荷，則a點場強比b點場強大，若場源電荷是正電荷，則粒子帶正電，若場源電荷是負電荷，則粒子帶負電，它們帶同種電荷，故A錯誤，C正確；由于不能確定場源電荷的性質，所以也不能確定電場線的方向，不能確定a點電勢與b點電勢的高低，故B錯誤；帶電粒子僅在靜電力作用下從a點運動到b點，靜電力做正功，電勢能減小，所以帶電粒子在a點的電勢能大于在b點的電勢能，故D正確.
限時跟蹤檢測
A級·基礎對點練
題組一　電場中的功能關系
A. 小球一定帶負電
B. 小球在做勻加速直線運動
C. 小球的電勢能減小
D. 小球的機械能增加
A
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解析：小球做直線運動，則小球所受的合力一定與小球的初速度共線，所受力與速度方向關系如圖所示，小球所受電場力水平向右，小球帶負電，電場力與重力的合力與小球的初速度方向相反，所以小球做勻減速直線運動，故A正確，B錯誤.小球所受電場力水平向右，位移斜向左上方，可知電場力做負功，故小球的電勢能增加，根據能量守恒，小球的電勢能增加，則小球的機械能減小，故C、D錯誤.
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A. 粒子帶負電
B. 帶電粒子在Q點的電勢能為qU
D
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3. （2025·景德鎮質檢）高大建筑物的頂端都裝有避雷針來預防雷擊.老師給同學們在實驗室模擬尖端放電現象，原理如圖所示.假設一電子在圖中H點從靜止開始只在電場力的作用下沿著電場線做直線運動.設電子在該電場中的運動時間為t，位移為x，速度為v，受到的電場力為F，電勢能為Ep，運動經過的各點電勢為φ，則下列四個圖像可能合理的是（　　 ）
題組二　電場中的圖像問題
A
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A. 2.5 V/m B. 250 V/m
C. 3.5 V/m D. 350 V/m
B
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B級·能力提升練
A. O～x1段電勢逐漸升高
B. O～x1段微粒做加速度逐漸減小的加速運動
C. x1～x2段電場強度為零
D. x2～x3段的電勢沿x軸均勻降低
ACD
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解析：電勢能Ep＝φq，由于微粒帶正電，O～x1段電勢能變大，所以電勢升高，A正確；根據ΔEp＝FΔx，圖線斜率反映電場力，O～x1段圖線斜率變小，電場力減小，加速度逐漸減小，由于電勢能增加，電場力做負功，則微粒做減速運動，即微粒做加速度減小的減速運動，B錯誤；x1～x2段斜率為零，不受電場力，即電場強度為零，C正確；x2～x3段電勢能均勻減小，微粒帶正電，所以電勢沿x軸均勻降低，D正確.
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6. （2025·湖北荊門調考）如圖所示，傾角θ＝37°的絕緣斜面底端與粗糙程度相同的絕緣水平面平滑連接.整個裝置處于場強大小為E、方向水平向右的勻強電場之中.今讓一個可視為質點的帶電金屬塊，從斜面頂端由靜止開始下滑，已知在金屬塊下滑到斜面底端的過程中動能增加了ΔEk＝6 J，金屬塊克服摩擦力做功Wf＝14 J，重力做功WG＝24 J，設在整個運動過程中金屬塊的帶電荷量保持不變.（取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）求：
（1）在上述過程中電場力所做的功W電；
答案：（1）－4 J
解析：（1）金屬塊從斜面頂端下滑到斜面
底端的過程中，由動能定理：WG－Wf＋W電＝ΔEk
解得：W電＝－4 J
電場力做負功，說明金屬塊帶正電.
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（2）金屬塊與斜面之間的動摩擦因數μ；
答案：（2）0.4
解析：（2）設斜面長度為L1，金屬塊從斜面頂端下滑到斜面底端的過程中受力如圖所示
其中重力做功WG＝mgL1sin 37°＝24 J
克服摩擦力做功
Wf＝μ（mgcos 37°＋Eqsin 37°）L1＝14 J
電場力做功W電＝－EqL1cos 37°＝－4 J
聯立解得：μ＝0.4.
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答案：（3）2 m
解析：（3）金屬塊從斜面底端向左滑行的過程中，
有：－（μmg＋Eq）L2＝－ΔEk
由（2）中等式可解得：mg＝8Eq
聯立解得：L2＝2 m.
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