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第五章　機械能
專題七　動力學和能量觀點的綜合應用
素養目標　1.會用功能關系解決傳送帶、滑塊一木板模型綜合問題.（科學思維） 2.會利用動力學和能量觀點分析多運動組合問題.（科學思維）
一、傳送帶模型綜合問題
一、傳送帶模型綜合問題
考題1　（2024·湖北卷）如圖所示，水平傳送帶以5 m/s的速度順時針勻速轉動，傳送帶左右兩端的距離為3.6 m.傳送帶右端的正上方有一懸點O，用長為0.3 m、不可伸長的輕繩懸掛一質量為0.2 kg的小球，小球與傳送帶上表面平齊但不接觸.在O點右側的P點固定一釘子，P點與O點等高.將質量為0.1 kg的小物塊無初速度輕放在傳送帶左端，小物塊運動到右端與小球正碰，碰撞時間極短，碰后瞬間小物塊的速度大小為1 m/s、方向水平向左.小球碰后繞O點做圓周運動，當輕繩被釘子擋住后，小球繼續繞P點向上運動.已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.5，重力加速度大小取g＝10 m/s2.
（1）求小物塊與小球碰撞前瞬間，小物塊的速度大?。?br/>答案：（1）5 m/s
解析：（1）假設小物塊在傳送帶上一直做勻加速直線運動，對小物塊受力分析，由牛頓第二定律得μmg＝ma
根據運動學規律有v2＝2ax
聯立解得v＝6 m/s＞5 m/s，假設不成立，則小物塊在傳送帶上的末速度為5 m/s
可知小物塊與傳送帶共速后勻速運動一段距離，然后與小球碰撞，碰前速度大小為v1＝5 m/s.
（2）求小物塊與小球碰撞過程中，兩者構成的系統損失的總動能；
答案：（2）0.3 J
（3）若小球運動到P點正上方，繩子不松弛，求P點到O點的最小距離.
答案：（3）0.2 m
深化1　　傳送帶問題的分析方法
（1）動力學角度：首先要正確分析物體的運動過程，做好受力分析，然后利用運動學公式結合牛頓第二定律求物體及傳送帶在相應時間內的位移，找出物體和傳送帶之間的位移關系.
（2）能量角度：求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動而產生的熱量、因放上物體而使電動機多消耗的電能等，常依據功能關系或能量守恒定律求解.
深化2　　功能關系分析
（1）傳送帶克服摩擦力做的功：W＝Ffx傳，也是電動機因傳送帶傳送物體而多做的功.
（2）系統產生的內能：Q＝Ffx相對.
（3）功能關系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. 其中ΔEk表示被傳送物體動能的增加量，ΔEp表示被傳送物體重力勢能的增加量.
BC
A. 摩擦力對貨物做的功為50 J
B. 貨物從A運動到B用時1.5 s
C. 由于摩擦而產生的熱量為20 J
D. 運送貨物過程中，電動機輸出的電能為60 J
答案：（1）2.5 m/s2
角度2　傾斜傳送帶模型
解析：（1）對小物塊，根據牛頓第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma
解得a＝2.5 m/s2.
（2）傳送帶對小物塊做了多少功？
答案：（2）255 J
解析：（3）電動機所做的功一方面使小物塊的機械能增加，另一方面由于小物塊與傳送帶之間有相對滑動而產生熱量，即W電＝W＋Q，其中Q＝μmgx相對cos 30°，x相對＝vt－x，v＝at，解得W電＝270 J.
（3）因傳送小物塊，電動機額外做了多少功？
答案：（3）270 J
二、滑塊—木板模型綜合問題
二、滑塊—木板模型綜合問題
考題2?。?024·浙江6月選考）一彈射游戲裝置豎直截面如圖所示，固定的光滑水平直軌道AB、半徑為R的光滑螺旋圓形軌道BCD、光滑水平直軌道DE平滑連接.長為L、質量為M的平板緊靠長為d的固定凹槽EFGH側壁EF放置，平板上表面與DEH齊平.將一質量為m的小滑塊從A端彈射，經過軌道BCD后滑上平板并帶動平板一起運動，平板到達HG即被鎖定.已知R＝0.5 m，d＝4.4 m，L＝1.8 m，M＝m＝0.1 kg，平板與滑塊間的動摩擦因數μ1＝0.6、與凹槽水平底面FG間的動摩擦因數為μ2.滑塊視為質點，不計空氣阻力，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2.
（1）滑塊恰好能通過圓形軌道最高點C時，求滑塊離開彈簧時速度v0的大?。?br/>答案：（1）5 m/s
（2）若μ2＝0，滑塊恰好過C點后，求平板加速至與滑塊共速時系統損耗的機械能；
答案：（2）0.625 J
（3）若μ2＝0.1，滑塊能到達H點，求其離開彈簧時的最大速度vm.
答案：（3）6 m/s
（1）求摩擦力對滑塊做功時用滑塊對地的位移x滑；
（2）求摩擦力對木板做功時用木板對地的位移x板；
（3）求摩擦生熱時用相對位移Δx.
角度1　水平面上的“滑塊—木板”模型
C
A. P與Q開始相對靜止的速度是2.5 m/s
B. 長木板Q長度至少為3 m
C. P與Q之間產生的熱量和地面與Q之間產生的熱量之比為1∶1
D. P與Q之間產生的熱量和地面與Q之間產生的熱量之比為2∶1
角度2　傾斜面上的“滑塊—木板”模型
例4　如圖所示，一傾角為θ＝30°的足夠長光滑斜面固定在水平面上，斜面下端有一與斜面垂直的固定擋板，將一質量為m的木板放置在斜面上，木板的上端有一質量為m的小物塊（視為質點），物塊和木板間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力且大小恒為kmg（0.5＜k＜1），初始時木板下端與擋板的距離為L. 現由靜止同時釋放物塊和木板，物塊和木板沿斜面下滑，已知木板與擋板碰撞的時間極短，且碰撞后木板的速度大小不變，方向與碰撞前的速度方向相反，物塊恰好未滑離木板，重力加速度為g，求：
（1）木板第一次與擋板碰撞前瞬間，物塊的速度大小v1；
（2）從釋放到木板第二次與擋板碰撞前瞬間，物塊相對木板的位移大小Δx；
解析：（2）木板第一次與擋板碰撞后，木板的加速度大小為a1，則mgsin θ＋kmg＝ma1
解得a1＝0.5g＋kg，沿斜面向下，
物塊的加速度大小為a2，則kmg－mgsin θ＝ma2
解得a2＝kg－0.5g，沿斜面向上，
規定向下為正方向，木板第一次與擋板碰撞結束時到木板和物塊速度相同時，對木板有v共＝－v1＋a1t1
對物塊有v共＝v1－a2t1
（3）木板的長度x以及整個運動過程中系統因摩擦產生的熱量Q.
解析：（3）設板長為x，從釋放到長木板和物塊都靜止的過程中系統能量守恒，則mgLsin θ＋mg（L＋x）sin θ－kmgx＝0
0
三、用動力學和能量觀點分析綜合問題
三、用動力學和能量觀點分析綜合問題
考題3?。?024·江蘇卷）如圖所示，粗糙斜面的動摩擦因數為μ，傾角為θ，斜面長為L. 一個質量為m的物塊，在電動機作用下，從A點由靜止加速至B點時達到最大速度v，之后做勻速運動至C點，關閉電動機，從C點又恰好到達最高點D. 求：
（1）CD段長度x；
（2）BC段電動機的輸出功率P；
答案：（2）mgv（sin θ＋μcos θ）
解析：（2）物塊在BC段做勻速運動，電動機的牽引力為F＝mgsin θ＋μmgcos θ
由P＝Fv得P＝mgv（sin θ＋μcos θ）.
（3）全過程物塊增加的機械能E1和電動機消耗的總電能E2的比值.
解析：（3）全過程物塊增加的機械能為E1＝mgLsin θ，全過程由能量守恒定律得電動機消耗的總電能轉化為物塊增加的機械能和因摩擦產生的熱量，有E2＝E1＋μmgcos θ·L
深化1　　分析思路
（1）受力與運動分析：根據物體的運動過程分析物體的受力情況，以及不同運動過程中力的變化情況.
（2）做功分析：根據各種力做功的不同特點，分析各種力在不同運動過程中的做功情況.
（3）功能關系分析：運用動能定理、機械能守恒定律或能量守恒定律進行分析，選擇合適的規律求解.
深化2　　方法技巧
（1）“合”——整體上把握全過程，構建大致的運動情景.
（2）“分”——將全過程進行分解，分析每個子過程對應的基本規律.
（3）“合”——找出各子過程之間的聯系，以銜接點為突破口，尋求解題最優方案.
AD
A. 輕繩拉力大小一直增大
B. 物體P的加速度大小一直增大
（1）滑塊到達光滑圓弧底端B時對軌道的壓力大??；
答案：（1）6 N
解得N＝6 N
根據牛頓第三定律可知，滑塊到達光滑圓弧底端B時對軌道的壓力大小為6 N.
（2）滑塊與傳送帶間因摩擦產生的熱量；
答案：（2）0.3 J
（3）滑塊滑到F點后水平飛出，滑塊的落地點到O點的距離.
限時跟蹤檢測
A級·基礎對點練
題組一　傳送帶模型綜合問題
A. 行李箱受到的摩擦力保持不變
B. 行李箱與傳送帶間的動摩擦因數μ＞tan θ
C. 傳送帶電機對外做的功大于行李箱機械能的增加量
D. 摩擦力對傳送帶做功的值等于行李箱機械能的增加量
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A. 阻力對水桶做功是160 J
B. 水桶滑到軌道末端時重力的瞬時功率是400 W
C. 水桶損失的機械能是160 J
D. 重力的沖量是40 N·s
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題組二　滑塊—木板模型綜合問題
A. 圖線a為物塊動能的變化圖線，圖線b為物塊機械能的變化圖線
B. 物塊的質量為m＝0.5 kg
D. 物塊的初速度為v0＝15 m/s
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A. 長木板加速運動的加速度大小是3 m/s2
B. 物塊與長木板之間動摩擦因數為0.2
C. 長木板長度至少為8 m
D. 物塊與長木板系統損失的機械能為36 J
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A. 鋼球的機械能損失0.9 J
B. 鋼球的平均速度大小為0.25 m/s
C. 重力對鋼球做的功等于鋼球動能的變化量
D. 合外力對鋼球做的功等于鋼球機械能的變化量
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7. （2025·湖北重點高中聯考）如圖所示為固定在豎直平面內半徑為R＝1 m的半圓形粗糙軌道，A為最低點，B為圓心等高處，C為最高點.一質量為m＝1 kg的遙控小車（可視為質點）從A點水平向右以v0＝8 m/s無動力進入軌道，上升高度為H＝1.8 m時脫離軌道，重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻力.求：（可保留根號或π的形式，或對應結果保留1位小數）
（1）小車脫離軌道時的速度大??；
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（2）小車從A至脫離過程克服摩擦力所做的功；
答案：（2）10 J
解得W克f＝10 J.
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（3）開啟動力后，小車以v0＝8 m/s勻速率沿著軌道運動，若小車所受的摩擦阻力為小車對軌道壓力的k＝0.25倍，求小車從A到C過程中電動機做的功.
答案：（3）（20＋16π） J
解得W電＝（20＋16π） J.
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B級·能力提升練
8. （2025·石家莊教學質量檢測）如圖所示，長為L2＝1.5 m的水平傳送帶左右兩端與水平軌道平滑連接，傳送帶以v0＝4.0 m/s的速度逆時針勻速轉動，左側粗糙軌道RQ的長為L1＝3.25 m，左端R點固定有彈性擋板；右側光滑軌道PN的長為L3＝3.5 m，其右端與半徑大于100 m的光滑圓弧軌道的一小段相切（N點為圓弧軌道的最低點）.現將一可視為質點的小物塊從圓弧軌道上某位置由靜止釋放，物塊向左運動至擋板處與擋板發生彈性碰撞后向右剛好能運動到P點.已知小物塊與傳送帶以及左側軌道的動摩擦因數均為μ＝0.1，重力加速度取g＝10 m/s2，π2＝10，不計物塊與擋板的碰撞時間.
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（1）求物塊第一次到達Q點時的速度大??；
答案：（1）4 m/s
解得物塊第一次到達Q點時的速度大小為vQ＝4 m/s.
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（2）為滿足上述運動，求物塊從圓弧軌道上釋放高度的范圍；
答案：（2）0.65 m≤h≤0.95 m
解得h2＝0.95 m
物塊從圓弧軌道上釋放高度的范圍為
0.65 m≤h≤0.95 m.
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（3）當物塊從圓弧軌道上高度為0.8 m的位置由靜止釋放后，發現該物塊在圓弧軌道上運動的時間與從N點運動至第二次到達P點的時間相等，求圓弧軌道的半徑.
答案：（3）110.25 m
解得R＝110.25 m.
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9. （2025·遵義高三第一次適應性考試）如圖所示為一種自動卸貨裝置的簡化圖，AB為傾斜直軌道，BC為水平傳送帶，CD為水平直軌道，傳送帶與AB、CD在B、C兩點平滑相接，在水平軌道右端固定一輕彈簧.O為AB上一點，AO間距離l1＝1.8 m，OB間的距離l2＝4 m，AB與水平面的夾角θ＝37°，BC間距離l3＝10 m，傳送帶始終以v＝6 m/s的速率順時針轉動.將質量m0＝16 kg的貨物裝入一個質量為M的貨箱中，從O點由靜止釋放，貨物在貨箱中始終與貨箱保持相對靜止，彈簧被貨箱壓縮到最短時立即被鎖定，工人取走貨物后解除彈簧的鎖定，貨箱被彈回.貨箱與AB間動摩擦因數μ1＝0.5，與傳送帶間的動摩擦因數μ2＝0.4，CD段可視為光滑，貨箱和貨物均可視為質點，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
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答案：（1）4 m/s
（1）貨箱和貨物一起下滑到B點時的速度大小v0；
解得v0＝4 m/s.
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（2）貨箱和貨物一起通過BC段所用的時間t；
答案：（2）1.75 s
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（3）若貨物質量不變，要使貨箱能回到O點且不從A點滑出，貨箱質量范圍是多少（結果保留3位有效數字）.
答案：（3）3.60 kg≤M≤4.65 kg
解得Mmin＝3.60 kg
則貨箱質量范圍為3.60 kg≤M≤4.65 kg.
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