資源簡介

22.3實際問題與二次函數 （利潤問題） 同步練習
2025-2026學年人教版數學九年級上冊
1. 端午節前夕，某超市從廠家分兩次購進 ， 兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變，第一次購進 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，總費用為 元；第二次購進 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，總費用為 元．
（1）求 ， 兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；
（2）當 品牌粽子銷售價為每袋 元時，每天可售出 袋，為了促銷，該超市決定對 品牌粽子進行降價銷售，經市場調研，若每袋的銷售價每降低 元，則每天的銷售量將增加 袋，當 品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出 品牌粽子所獲得的利潤最大 最大利潤是多少元
2. 某水果批發商以 元/千克的價格購進 千克的某種水果投放市場，受疫情影響，該水果批發商的水果出現滯銷，根據市場推測，每滯銷一天，該水果的價格將上漲 元/千克，且平均每天將有 千克的水果會品質下降，假設每天品質下降的水果都能以 元/千克的價格一次性出售完，該水果最多只能滯銷 天．設滯銷 天后，該水果批發商將該水果一次性出售完所得的利潤為 元，求 （元）與 （天）之間的函數表達式．
3. 已知某種商品每件的進價為 元，若每件按 元的價格銷售，則每月能賣出 件；若每件按 元的價格銷售，則每月能賣出 件．假定每月的銷售量 （件）是每件的銷售價格 （元）的一次函數．
（1）求 關于 的一次函數表達式；
（2）當每件的銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大 并求此最大利潤．
4. 某公司試銷一種成本單價為 元/件的新產品，規定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于 元/件，經試銷調查，發現銷售量 （件）與銷售單價 （元/件）可近似看作一次函數 的關系．（如圖所示）
（1）根據圖象，求一次函數 的解析式，并寫出自變量 的取值范圍；
（2）該公司要想每天獲得最大的利潤，應把銷售單價定為多少 最大利潤值為多少
5. 某汽車清洗店，清洗一輛汽車定價 元時每天能清洗 輛，定價 元時每天能清洗 輛，假設清洗汽車輛數 （輛）與定價 （元）（ 取整數）是一次函數關系（清洗每輛汽車成本忽略不計）．
（1）求 與 之間的函數關系式．
（2）若清洗一輛汽車定價不低于 元且不超過 元，且該汽車清洗店每天需支付電費、水費和員工工資共計 元，則定價為多少時，該汽車清洗店每天獲利最大 最大獲利是多少
6. 端午節前后，某商場推廣一種新式粽子出售，市場調查發現：在端午節前后各一周粽子的銷售情況如圖中折線 表示銷量 （個）與銷售時間第 天的函數關系．線段 表示每增加一天，銷量減少 個；
（1）第 天的銷量為 個
（2）直接寫出 與 的函數關系式，并寫出對應的 的取值范圍；
（3）若粽子的固定成本為 元/個，固定售價為 元/ 個；
①這些天的銷售中，日利潤是 元的出現在第幾天
②端午節過后的連續 天內，第 天捐款當天總利潤的 ，第 天捐款當天總利潤的 ，為保證捐款后這兩天的平均日利潤不低于 元，求 的最大值．
7. 某超市銷售一種牛奶，進價為每箱 元，規定售價不低于進價．現在的售價為每箱 元，每月可銷售 箱．市場調查發現：若這種牛奶的售價每降價 元，則每月的銷量將增加 箱．設每箱牛奶降價 元（ 為正整數），每月的銷量為 箱．
（1）寫出 與 之間的函數關系式和自變量 的取值范圍；
（2）超市如何定價，才能使每月銷售牛奶的利潤最大 最大利潤是多少元
8. 某超市經銷一種商品，每件成本為 元．經市場調研發現，當該商品每件的銷售價為 元時，每月可銷售 件，若每件的銷售價每增加 元，則每月的銷售量將減少 件．設該商品每件的銷售價為 元，每月的銷售量為 件．
（1）求 與 之間的函數解析式．
（2）當該商品每件的銷售價為多少元時，每月的銷售利潤最大 最大利潤是多少
9. 某汽車銷售公司 月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每輛汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅銷售 輛汽車，則該輛汽車的進價為 萬元；每多銷售 輛，所有銷售的汽車的進價均降低 萬元/輛．
（1）若該公司當月銷售 輛汽車，則每輛汽車的進價為 萬元．
（2）在指定范圍內，如果汽車的售價為 萬元/輛．
①寫出該公司當月盈利 （萬元）與汽車銷售量 （輛）之間的函數表達式；
②若該公司當月盈利 萬元，求汽車的銷售數量．
10. 某網店正在熱銷一款電子產品，其成本為 元/件，銷售中發現，該商品每天的銷售量 （件）與銷售單價 （元/件）之間存在如圖所示的關系．
（1）請求出 與 之間的函數表達式．
（2）該款電子產品的銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大 最大利潤是多少元
11. 某公司的化工產品成本為 元/千克．銷售部門規定：一次性銷售 千克以內時，以 元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于 千克時，每增加 千克降價 元．考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于 千克時，均以某一固定價格銷售．一次性銷售利潤 （元）與一次性銷售量 （千克）的函數關系如圖所示．
（1）當一次性銷售 千克時利潤為多少元
（2）求一次性銷售量在 千克之間時的最大利潤；
（3）當一次性銷售多少千克時利潤為 元
12. 某工廠計劃從現在開始，在每個生產周期內生產并銷售完某型號設備，該設備的生產成本為 萬元/件．設第 個生產周期設備的售價為 萬元/件，售價 與 之間的函數表達式是 ，其中 是正整數，當 時，；當 時，．
（1）求 ， 的值．
（2）設第 個生產周期生產并銷售完設備的數量為 件，且 與 滿足關系式 ．
①當 時，工廠第幾個生產周期獲得的利潤最大 最大利潤是多少萬元
②當 時，若有且只有 個生產周期的利潤不小于 萬元，求實數 的取值范圍．
13. 為了振興鄉村經濟，增加村民收入，某村委會干部帶領村民在網上直播推銷農產品，在試銷售的 天中，第 天（，且 為整數）的售價 （元/千克）與 之間的函數表達式為 ，銷量 （千克）與 之間的函數表達式為 ，已知第 天的售價為 元/千克，第 天的售價為 元/千克，設第 天的銷售額為 元．
（1） 的值為 ， 的值為 ；
（2）求第 天的銷售額 元與 之間的函數表達式；
（3）在試銷售的 天中，銷售額超過 元的共有多少天
14. 某商店銷售一種進價為 元/雙的手套，經調查發現，該種手套每天的銷售量 （雙）與銷售單價 （元）滿足 ，設銷售這種手套每天的利潤為 （元）
（1）求 與 之間的函數關系式；
（2）當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大 最大利潤是多少
15. 我市某超市銷售一種文具，進價為 元/件．售價為 元/件時，當天的銷售量為 件．在銷售過程中發現：售價每上漲 元，當天的銷售量就減少 件．設當天銷售單價統一為 元/件（，且 按 元的倍數上漲），當天銷售利潤為 元．
（1）求 與 的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）要使當天銷售利潤不低于 元，求當天銷售單價所在的范圍；
（3）若每件文具的利潤不超過 ，要想當天獲得利潤最大，每件文具售價為多少元 并求出最大利潤．
16. 某工廠計劃在每個生產周期內生產并銷售完某型設備，設備的生產成本為 萬元/件．
（1）如圖，設第 （）個生產周期設備售價 萬元/件， 與 之間的關系用圖中的函數圖象表示．求 關于 的函數解析式（寫出 的范圍）．
（2）設第 個生產周期生產并銷售的設備為 件， 與 滿足關系式 （）．在（）的條件下，工廠第幾個生產周期創造的利潤最大 最大為多少萬元 （利潤 收入 成本）
答案
一 解答題
1. （1） 種品牌粽子每袋的進價是 元， 種品牌粽子每袋的進價是 元，
根據題意得，
解得
答： 種品牌粽子每袋的進價是 元， 種品牌粽子每袋的進價是 元；
（2） 設 品牌粽子每袋的銷售價降低 元時，每天售出 品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為 元，根據題意得，
因為 ，
所以當 品牌粽子每袋的銷售價降低 元時，每天售出 品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是 元．
2. 由題意，可得滯銷 天后，水果的價格為 元/千克，品質下降的水果有 千克，
．
（元）與 （天）之間的函數表達式為 ．
3. （1） （）．
（2） 設每月所獲的利潤為 元，
當 時， 有最大值，最大利潤為 元．
4. （1） 由函數的圖象得：
解得：
；
（2） 設每天獲得的利潤為 元，
由（1）得：
，
當 時，，
即該公司要想每天獲得最大利潤，應把銷售單價定為 元/件，最大利潤為 元．
5. （1） 設 與 之間的函數關系式為 ．
由題意可知 解得
與 之間的函數關系式為 ．
（2） 設汽車清洗店每天獲利 元．
由題意，得 ．
，且 為整數，
當 時， 取得最大值，最大值為 ．
答：定價為 元或 元時，該汽車清洗店每天獲利最大，最大獲利是 元．
6. （1） 略
（2） 略
（3） 略
7. （1） ，，且 為整數．
（2） 設利潤為 元，由題意得，
整理得，
且 ，
當 時， 有最大值 ，
售價為 （元/箱），
答：當定價為 元/箱時，每月牛奶銷售利潤最大，最大利潤是 元．
8. （1） 根據題意，得 ，
與 之間的函數解析式為 ．
（2） 設每月的銷售利潤為 元，由（），知
當該商品每件的銷售價為 元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是 元．
9. （1）
（2） ①每輛汽車的利潤為 ．
當月盈利 （萬元）與汽車銷售量 （輛）之間的函數表達式為 ．
②當 時，．
解這個方程，得 （不合題意，舍去），，
即汽車的銷售數量為 輛．
10. （1） ．
（2） 銷售單價定為 元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為 元．
11. （1） 根據題意，
當 時，，
當一次性銷售 千克時利潤為 元．
（2） 設一次性銷售量在 千克之間時，每千克銷售利潤為 ，
，，
當 時， 有最大值，最大值為 ，
一次性銷售量在 千克之間時的最大利潤為 元．
（3） ①當一次性銷售量在 千克之間時，利潤為 元，
，解得 ，．
②當一次性銷售不低于 千克時，均以某一固定價格銷售，
設此時函數表達式為 ，由（）知，
當 時，，
．
把點 的坐標代入 得 ，解得 ，
當一次性銷售不低于 千克時函數表達式為 ，
當 時，則 ，解得 ．
綜上所述，當一次性銷售 千克或 千克或 千克時利潤為 元．
12. （1） 把 時，； 時， 代入 ，
得 解得
（2） ①設第 個生產周期獲得的利潤為 萬元，由（）知，
當 時，，
，，
當 時， 取得最大值，最大值為 ，
工廠第 個生產周期獲得的利潤最大，最大利潤是 萬元．
②當 時，，
．
．則 與 的函數圖象如圖所示．
由圖象可知，若有且只有 個生產周期的利潤不小于 萬元，
當 時 ，
當 時，．
的取值范圍 ．
13. （1） ；
（2） 當 時，；
當 時，．
．
（3） 當 時，，此時當 時， 有最大值 ，即當 時，；
當 時，令 ，得 ，此時整數 可取 ，，，，，，．
銷售額超過 元的共有 天
14. （1） ．
（2） 當銷售單價定為每雙 元時，每天的利潤最大，最大利潤為 元．
15. （1） ，
與 的函數關系式為 ．
（2） 要使當天銷售利潤不低于 元，則 ，
令 ．
解得 ，．
，
拋物線的開口向下，
當天銷售單價所在的范圍是 ．
（3） 每件文具利潤不超過 ，
，解得 ，
文具的銷售單價范圍為 ．
由（）得 ，
對稱軸為直線 ，
在對稱軸的左側，且 隨著 的增大而增大．
當 時，取得最大值，此時 ，
即每件文具售價為 元時獲得最大利潤，最大利潤為 元．
16. （1） 由圖可知，當 時，；
當 時， 是關于 的一次函數，設 ，
則 解得
所以 ．
所以 關于 的函數解析式為 ．
（2） 設第 個生產周期工廠創造的利潤為 萬元，
①當 時，，
所以由一次函數的性質可知，當 時，（萬元）；
②當 時，，
因為 ，
所以當 時，（萬元）．
綜上所述，工廠在第 個生產周期創造的利潤最大，最大是 萬元．

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