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2024-2025學(xué)年天津市河西區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共9小題，每小題3分，共27分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.命題：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，則，，的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
4.用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查某校高中生的性別與愛好數(shù)學(xué)是否相關(guān)，通過隨機(jī)調(diào)查名高中生，并利用列聯(lián)表，計(jì)算可得，參照臨界值表：
下列敘述正確的是( )
A. 某學(xué)生是該校女生，那么她有的可能愛好數(shù)學(xué)
B. 某學(xué)生是該校男生，那么他有的可能愛好數(shù)學(xué)
C. 在犯錯(cuò)概率不超過的前提下，認(rèn)為“該校學(xué)生愛好數(shù)學(xué)與性別無關(guān)”
D. 在犯錯(cuò)概率不超過的前提下，認(rèn)為“該校學(xué)生愛好數(shù)學(xué)與性別有關(guān)”
5.函數(shù)的大致圖象是( )
A. B.
C. D.
6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，則( )
A. B. C. D.
7.對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論不正確的是( )
A. 圖、圖兩組數(shù)據(jù)都具有線性相關(guān)關(guān)系 B. 圖數(shù)據(jù)正相關(guān)，圖數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)
C. 圖相關(guān)系數(shù)小于圖相關(guān)系數(shù) D. 圖相關(guān)系數(shù)和圖相關(guān)系數(shù)之和小于
8.已知隨機(jī)事件，發(fā)生的概率分別為，，且，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
9.已知是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期為，設(shè)，若在區(qū)間內(nèi)共有個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
10.一元二次不等式的解集為______．
11.設(shè)隨機(jī)變量，則 ______．
12.若函數(shù)，且是偶函數(shù)，且，則 ______．
13.已知變量和的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表
若，線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則______．
14.若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則的最小值為______．
15.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
三、解答題：本題共5小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
已知關(guān)于的不等式．
若，求不等式的解集；
Ⅱ若不等式的解集為，
求實(shí)數(shù)，的值；
討論關(guān)于的不等式的解集．
17.本小題分
端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，在年度第五屆天津市中小學(xué)勞動(dòng)技能大賽包粽子項(xiàng)目比賽中，李明分鐘內(nèi)包了個(gè)粽子，其中豆沙粽個(gè)，紅棗粽個(gè)，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取個(gè)，設(shè)表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)求
的分布列；
Ⅱ的期望；
Ⅲ求至少取到一個(gè)豆沙粽的概率．
18.本小題分
已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值．
求，的值；
Ⅱ若存在，使對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19.本小題分
已知函數(shù)．
求在處的切線方程；
Ⅱ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
Ⅲ在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
20.本小題分
某自助餐廳為了吸引顧客，鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有折、折的獎(jiǎng)券各張，折、折的獎(jiǎng)券各張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算．
若該自助餐廳有，兩個(gè)餐廳，顧客甲第一次隨機(jī)地選擇一個(gè)餐廳用餐，如果第一次去餐廳，那么第二次去餐廳的概率為；如果第一次去餐廳，那么第二次去餐廳的概率為，求顧客甲第二次去餐廳用餐的概率；
求一位顧客抽到的張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；
若自助餐的原價(jià)為元位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考答案
1.
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5.
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9.
10.
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14.
15.
16.當(dāng)時(shí)，不等式為，
即，解得或，
所以不等式的解集為．
Ⅱ已知解集為，即的解集為，
說明二次函數(shù)的開口向下，且方程的根為和，
所以，，聯(lián)立解得，．
由，，得，不等式化為，即，
因?yàn)榉匠痰母鶠楹停?br/>所以當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式為，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為．
17.【答案】根據(jù)題意可得，
所以的分布列為：，，，；
Ⅱ由及超幾何分布的期望的結(jié)論可得的期望為；
Ⅲ由可知由至少取到一個(gè)豆沙粽的概率為．
18.函數(shù)，對(duì)稱軸為．
因，函數(shù)圖象開口向上，故在單調(diào)遞增．
時(shí)，，又最小值為，則，得．
時(shí)，，代入，最大值為，即，得．
由得，在單調(diào)遞增，．
存在使對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，
等價(jià)于對(duì)任意成立．
令，，則．
，解得．
，解得．
故．
19.因?yàn)椋?br/>所以，
所以又．
所以切線方程為即．
Ⅱ因?yàn)椋?br/>由，得，由，得或，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
Ⅲ由Ⅱ可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，，
所以在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)解，
可得，
即的取值范圍為：．
20.設(shè)“第次去餐廳用餐”，“第次去餐廳用餐”．
根據(jù)題意得，，，
則，
故顧客甲第二次去餐廳用餐的概率為．
從張獎(jiǎng)券中任選張有種方法，
取到的折扣均不相同的取法有種，
所以一位顧客抽到的張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為．
由題意，的所有可能取值為，，，，
，
，
，
，
所以的分布列為


所以 ．
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