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2024-2025學年北京市西城區高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在復平面內，復數對應點的坐標為，則的共軛復數對應的點坐標為( )
A. B. C. D.
2.若，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，滿足，，則( )
A. B. C. D.
4.將曲線向右平移個單位長度后，得到的曲線關于原點中心對稱，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，，則( )
A. B. C. D.
6.在長方體中，，給出下列四個結論：
；；平面；平面．
其中正確的結論是( )
A. B. C. D.
7.函數的部分圖象如圖所示，則( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.已知菱形的邊長為，將菱形沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
9.函數，是( )
A. 奇函數，且存在最大值 B. 奇函數，且存在最小值
C. 偶函數，且存在最大值 D. 偶函數，且存在最小值
10.設，為平面向量，定義運算，已知向量，，滿足，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11.若復數滿足，則______．
12.在平面直角坐標系中，已知角，的終邊關于軸對稱，且，則，的一組取值可以為 ______； ______．
13.已知圓柱形水杯的底面半徑為，側面積為，則水杯的容積約為______精確到，水杯壁厚度忽略不計
14.如圖，在矩形中，，，點在邊上．
若，則______；
的取值范圍是______．
15.如圖，在正方體中，點在正方形及其內部運動給出下列四個結論：
存在無窮多個點，使得；
對任意點，與均為異面直線；
到直線和距離相等的點存在且唯一；
對任意點，平面與平面不可能垂直．
其中所有正確結論的序號是______．
三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小題分
如圖，在直三棱柱中，，，分別是，的中點
求證：平面；
求證：平面．
18.本小題分
在中，已知．
求；
再從條件、條件、條件這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在，求的面積．
條件：；條件：；條件：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第問得分．
19.本小題分
已知函數的一個零點為．
求；
當時，若的值域為，求的取值范圍．
20.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．
求證：；
求證：直線不可能與平面平行；
空間中是否存在球，使得四棱錐的頂點均在此球面上？若存在，確定球心的位置結論無需證明；若不存在，說明理由．
21.本小題分
已知函數的定義域為若存在周期均為的兩個不同的偶函數，，使得，則稱具有性質．
判斷，是否具有性質，并說明理由；
已知具有性質，且不恒為設證明：若為有限集，則中的元素個數為偶數．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 答案不唯一
13.
14.
15.
16.，，故，，
則；
由知，，
．
17.證明：因為在直三棱柱中，平面，
平面，所以，
又因為，，，平面，
所以平面．
取的中點，因為為的中點，連接，，
所以，且，
因為為的中點，，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
18.，
因為，所以，
故，
故；
因為，所以，
因為在上單調遞減，故，
但條件，不合要求，故不能選條件；
選、，由余弦定理得，即，
解得或舍去，
滿足，存在，
此時．
19.由題意得
，
，即，解得；
由得，
當時，可得，
若的值域為，則，
解得，即實數的取值范圍為．
20.證明：因為平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又因為，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
證明：過點作交于點，連接，如圖所示：
因為平面，且，
則平面，
又平面，所以，
即，
由可知平面，
又平面，
所以，
即，且
所以四邊形為直角梯形，，
與為腰，
所以的延長線與的延長線必交于一點，
又平面，
所以直線與平面相交，
即直線不可能與平面平行；
存在，球心位于的中點處，理由如下：
理由如下：將四棱錐的補成長方體，如圖所示：
根據長方體外接球的球心位于體對角線的交點上，
則四棱錐的外接球心位于長方體的體對角線的交點處，
該位置也是的中點處．
故存在，球心位于的中點處．
21.具有性質，不具有性質，理由如下：
令，，
顯然和是兩個周期均為的不同的偶函數，
且，
所以具有性質；
對于，假設其具有性質，
由性質的定義可得的周期為，
但，，
所以，與函數具有性質矛盾，
所以不具有性質；
證明：若，則，
所以，
又的周期為，即，
所以，
所以也是的周期，且，
所以，
假設，
則對任意，，
則
，
所以，即，
故對任意，成立，與不恒為矛盾，
所以，
故若為有限集，則中的元素個數為偶數．
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