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第十二章　機械振動　機械波
第1講　機械振動
常設情境　①生活實踐類：共振篩、擺鐘、地震波、多普勒彩超等.
②學習探索類：簡諧運動的特征、單擺周期與擺長的定量關系、用單擺測量重力加速度、受迫振動的特點、共振的條件及其應用、波的干涉與衍射現象、多普勒效應.
素養目標　1.通過運動和力的關系，了解機械振動的平衡位置、回復力、簡諧運動，明確描述振動的振幅、周期和頻率等物理量.（物理觀念） 2.清楚受迫振動的固有頻率、阻尼振動、受迫振動和共振.（物理觀念） 3.運用能量的觀念，分析簡諧運動中動能和勢能的相互轉化以及總能量的守恒.（物理觀念） 4.彈簧振子和單擺是兩個理想化模型.（科學思維） 5.根據振動圖像分析簡諧運動.（科學思維）
A. 小球做簡諧運動
C. 兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為T
B
平衡位置　
回復力　
平衡位置　
平衡位置　
深化1　　簡諧運動的特征
受力特征 回復力F＝－kx，F（或a）的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大.在運動過程中，系統的動能和勢能相互轉化，機械能守恒
周期性
特征
對稱性特征 關于平衡位置O對稱的兩點，速度的大小、動能、勢能、相對平衡位置的位移大小相等，由對稱點向平衡位置O運動時用時相等
深化2　　分析簡諧運動的技巧
（1）分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁.位移增大時，振動質點的回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產生相反的變化.另外，各矢量均在其值為零時改變方向.
（2）位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向；由于周期性，運動時間也不確定.
（3）分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性.
A. 動能不斷增大，加速度不斷減小
B. 回復力不斷增大，系統機械能守恒
C. 彈性勢能不斷減小，加速度不斷增大
D. 彈性勢能不斷增大，加速度不斷減小
A
解析：做簡諧運動的小球，從C點運動到O點的過程中逐漸衡位置，速度方向指向平衡位置，彈簧彈力充當回復力，也指向平衡位置，故速度方向與受力方向相同，合外力做正功，動能不斷增大；同時由于偏離平衡位置的位移減小，由回復力公式F＝－kx可知，回復力逐漸減小，根據牛頓第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不斷減小，故A正確；由上述分析可知回復力不斷減小，整個系統只有彈簧彈力做功，故系統的機械能守恒，故B錯誤；在小球從C點運動到O點的過程中，彈簧形變量逐漸減小，故彈性勢能逐漸減小，同時由上述分析可知，加速度也逐漸減小，故C、D錯誤.
D
A. 1.0 s B. 2.4 s
C. 0.8 s D. 2.2 s
解析：若小球從O點開始向指向P點的方向振動，作出示意圖如圖甲所示
則小球的振動周期為T1＝（0.5＋0.1）×4 s＝2.4 s，則該小球再經過時間Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次經過P點；若小球從O點開始向背離P點的方向振動，作出示意圖如圖乙所示
C
A. 0.2 rad/s，1.0 m
B. 0.2 rad/s，1.25 m
C. 1.26 rad/s，1.0 m
D. 1.26 rad/s，1.25 m
解析：電動機的轉速n＝12 r/min＝0.2 r/s，則振動的圓頻率ω＝2πn＝1.26 rad/s，振動的振幅A＝0.1 m，周期T＝5 s，則12.5 s＝2.5T，光點在12.5 s內通過的路程s＝2.5×4A＝10A＝1.0 m，C正確.
D
A. t＝0時，彈簧彈力為0
B. t＝0.2 s時，手機位于平衡位置上方
C. 從t＝0至t＝0.2 s，手機的動能增大
D. a隨t變化的關系式為a＝4sin（2.5πt） m/s2
簡諧運動的公式和圖像
1. 表達式
－kx　
Asin（ωt＋φ0）　
初相位　
平衡位置　
最大位移　
深化1　　由圖像可獲取的信息
（1）振幅A、周期T（或頻率f）和初相位φ（如圖所示）.
（2）某時刻振動質點離開平衡位置的位移.
（3）某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定.
（4）某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同.
（5）某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況.
深化2　　簡諧運動的對稱性（如圖所示）
A. 質點做簡諧運動的振幅為10 cm
B. 質點做簡諧運動的周期為4 s
C. 在t＝4 s時質點的速度最大
D. 在t＝4 s時質點的位移最大
AC
AD
A. 甲、乙兩振子的振幅之比為2∶1
B. 甲、乙兩振子的頻率之比為1∶2
C. 前2 s內甲、乙兩振子的加速度均為正值
D. 第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大
解析：根據甲、乙兩個振子做簡諧運動的圖像可知，兩振子的振幅A甲＝2 cm，A乙＝1 cm，甲、乙兩振子的振幅之比為2∶1，選項A正確.甲振子的周期為4 s，頻率為0.25 Hz，乙振子的周期為8 s，頻率為0.125 Hz，甲、乙兩振子的頻率之比為2∶1，選項B錯誤.前2 s內，甲的加速度為負值，乙的加速度為正值，選項C錯誤.第2 s末甲通過平衡位置，速度最大；乙在最大位移處加速度最大，選項D正確.
A. 擺角變小，周期變大
B. 小球擺動周期約為2 s
D. 小球平衡時，A端拉力小于B端拉力
B
1. 如果細線的長度不可改變，細線的質量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置叫作單擺.（如圖所示）
2. 簡諧運動的條件：θ＜5°.
深化1　　單擺的受力特征
（1）向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ.
（2）兩點說明
D
A. 單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10 sin（2πt） cm
B. 單擺的擺長約為10 cm
C. 從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受的回復力逐漸增大
D. 從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受繩子拉力逐漸增大
得單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10sin（πt） cm，A錯誤；由單擺的周期公
的過程中，擺球從最大位移處向平衡位置運動，所以加速度在減小，回復力在減小，
擺球的速度在增大，設繩子與豎直方向的夾角為θ，則繩子的拉力FT＝mgcos θ＋
CD
A. t＝2 s時，甲單擺的擺線拉力為0，乙的速度為0
B. 增大乙的擺球質量，乙的周期有可能與甲相等
C. 甲擺球和乙擺球永遠不可能同時均處于動能最小的狀態
四、受迫振動和共振
AD
A. 針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同
B. 隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度一定增大
C. 打擊桿對不同粗細樹干打擊結束后，樹干的振動頻率相同
D. 穩定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同
解析：打擊桿和振動器兩種裝置，都利用了共振，由于不同樹木固有頻率可能不同，故落果效果最好的振動頻率可能不同，A正確；若振動器頻率大于樹木固有頻率，隨著振動器頻率的增加，與樹木固有頻率差值增大，樹干振動的幅度反而減小，B錯誤；打擊桿對不同粗細樹干打擊結束后，樹干不再做受迫振動，其振動頻率為固有頻率，故可能不同，C錯誤；由于樹干做受迫振動，故穩定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同，D正確.
受迫振動和共振
深化1　　自由振動、受迫振動和共振的比較
項目 自由振動 受迫振動 共振
受力情況 僅受回復力 受驅動力 受驅動力
振動周期或頻率　 由系統本身的性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 振動物體的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺（θ≤5°） 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
深化2　　對共振的理解
（1）共振曲線：如圖所示，橫坐標為驅動力的頻率f，縱坐標為振幅A. 它直觀地反映了驅動力的頻率對某固有頻率為f0的振動系統做受迫振動時振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當f＝f0時，振幅A最大.
（2）受迫振動中系統能量的轉化：做受迫振動的系統的機械能不守恒，系統與外界時刻進行能量交換.
D
A. 甲的振幅較大，且振動頻率為75 Hz
B. 甲的振幅較大，且振動頻率為20 Hz
C. 乙的振幅較大，且振動頻率為18 Hz
D. 乙的振幅較大，且振動頻率為20 Hz
解析：支架在受到豎直方向且頻率為20 Hz的驅動力作用下做受迫振動時，頻率越接近固有頻率振幅越大，所以乙的振幅較大，受迫振動的頻率取決于驅動力的頻率，故甲、乙的振動頻率均為20 Hz，A，B、C錯誤，D正確.故選D.
AD
A. 此單擺的固有周期為2 s
B. 此單擺的擺長約為2 m
C. 若僅擺長增大，單擺的固有頻率增大
D. 若僅擺長增大，共振曲線的峰將向左移
限時跟蹤檢測
A級·基礎對點練
題組一　簡諧運動的基本特征
A. 1.8 s B. 1 s
C. 0.4 s
C
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A. 頻率越高的聲音越容易發生明顯的衍射現象
B. 小提琴和大提琴發出的聲波會產生明顯的干涉現象
C. 音樂廳中的聲音傳進墻面上的吸音材料后頻率會改變
D. 小提琴某根琴弦的某次振動函數表達式為y＝0.005cos（500πt） m
D
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A. 頻率、振幅都不變
B. 頻率、振幅都改變
C. 頻率不變，振幅改變
D. 頻率改變，振幅不變
C
題組三　單擺及其周期公式
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A. 此單擺的固有周期約為0.5 s
B. 此單擺的擺長約為1 m
C. 若擺長減小，單擺固有頻率減小
D. 若擺長減小，共振曲線的峰將向左移動
B
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C
A. 小球振動的固有頻率是4 Hz
B. 小球做受迫振動時周期一定是4 s
C. 圓盤轉動周期在4 s附近時，小球振幅顯著增大
D. 圓盤轉動周期在4 s附近時，小球振幅顯著減小
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B級·能力提升練
A
A. a、b、c單擺的固有周期關系為Ta＝Tc＜Tb
B. b、c擺振動達到穩定時，b擺的振幅較大
C. 由圖乙可知，此時b擺的周期大于t0
D. 由圖乙可知，此時b擺的周期小于t0
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C
A. 小球運動的周期為0.2π s
B. 光滑球面的半徑為0.1 m
C. 小球的質量為0.05 kg
D. 小球的最大速度約為0.10 m/s
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8. 如圖所示為一彈簧振子的振動圖像，試完成以下問題：
（1）寫出該振子做簡諧運動的表達式；
答案：見解析
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（2）在第2 s末到第3 s末這段時間內，彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的？
解析：（2）由題圖可知，在t＝2 s時，振子恰好通過平衡位置，此時加速度為零，隨著時間的延續，位移不斷變大，加速度也變大，速度不斷變小，動能不斷減小，彈性勢能逐漸增大，當t＝3 s時，加速度達到最大值，速度等于零，動能等于零，彈性勢能達到最大值.
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（3）該振子在前100 s的總位移是多少？路程是多少？
解析：（3）振子經過一個周期位移為零，路程為4×5 cm＝20 cm，前100 s剛好經過了25個周期，所以前100 s振子的總位移x＝0，路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m.
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