資源簡介

4.3.3　全等三角形的判定定理(角邊角、角角邊)
第1課時(shí)
知識(shí)點(diǎn)　用“角邊角”判定三角形全等
1.如圖,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,則增加下列條件,可直接利用“角邊角”判定這兩個(gè)三角形全等的是 ( )
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如圖,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,∠B=∠E=∠ACF=60°,AB=CE,則與線段BC相等的線段是 ( )
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.(2024·株洲天元區(qū)期末)如圖,點(diǎn)D,E分別在線段AB,AC上,CD與BE相交于O點(diǎn),已知AB=AC,現(xiàn)添加以下哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD的是 ( )
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.AD=AE
4.如圖,已知AO=CO,若以“角邊角”為依據(jù)證明△AOB≌△COD,還要添加的條件是 .
5.如圖,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠A=∠D,若AB=DB=5,BE=3,則CD的長為 .
6.如圖,點(diǎn)B,F,E,C在一條直線上,AE∥DF,∠B=∠C,CE=BF.求證:△ABE≌△DCF.
7.如圖,∠A=∠B,∠1=∠2,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上.
(1)求證:△ACE≌△BDE;
(2)若∠BDE=68°,求∠1的度數(shù).
8.如圖,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于點(diǎn)P,已知△ABC的面積為5,則陰影部分的面積為 ( )
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
9.如圖,已知AB∥CF,E為DF的中點(diǎn).若AB=12 cm,CF=7 cm,則BD的長為 ( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.4.5 cm
10.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F在邊BC上,連接AE,AF,∠BAF=∠CAE,延長AF至點(diǎn)D,使AD=AC,連接CD.
(1)求證:△ABE≌△ACF;
(2)若∠ACF=30°,∠AEB=130°,求∠ADC的度數(shù).
11.(抽象能力、運(yùn)算能力)情境觀察:如圖①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D,E,CD與AE交于點(diǎn)F.
(1)寫出圖①中所有的全等三角形:________________________ ;
(2)線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是________.
問題探究:
如圖②,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點(diǎn)E.求證:AE=2CD.4.3.3　全等三角形的判定定理(角邊角、角角邊)
第2課時(shí)
知識(shí)點(diǎn)　用“角角邊”判定三角形全等
1.如圖,AB∥CD,且AB=CD,則△ABE≌△CDE的根據(jù) (D)
A.只能是角邊角
B.只能是邊角邊
C.只能是角角邊
D.可以是角邊角或角角邊
2.如圖,下列四個(gè)條件,可以確定△ABC與△A1B1C1全等的是(D)
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.(2024·長沙開福區(qū)質(zhì)檢)如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)A,E,B,D在同一條直線上,AC∥DF,AC=DF,只添加一個(gè)條件,不能判斷△ABC≌△DEF的是 (C)
A.AE=DB B.∠C=∠F
C.BC=EF D.∠ABC=∠DEF
4.如圖,C是AB的中點(diǎn),∠A=∠BCE,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,利用“角角邊”使△ACD≌△CBE,這個(gè)添加的條件可以是　∠D=∠E　.(不添加輔助線)
5.(2024·湘潭韶山市期末)如圖,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=55°,則∠ABE=　125°　.
6.已知:如圖,點(diǎn)A,D,C,F在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求證:AD=CF.
【證明】因?yàn)锳B∥DE,所以∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,,
所以△ABC≌△DEF(角角邊).所以AC=DF,
所以AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
7.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,點(diǎn)E,F分別在直線AB的兩側(cè),且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求證:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的長.
【解析】(1)在△ACE和△BDF中,
,
所以△ACE≌△BDF(角角邊);
(2)由(1)知△ACE≌△BDF,所以BD=AC=2,因?yàn)锳B=8,所以CD=AB-AC-BD=4,故CD的長為4.
8.如圖,點(diǎn)E,點(diǎn)F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一個(gè)條件,不能證明△ABF≌△DCE的是 (D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC D.AF=DE
9.如圖,∠1=∠2,∠B=∠D,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (B)
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
10.如圖,已知∠4=∠3,要說明△ABC≌△DCB,
(1)若以“邊角邊”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是　AC=DB　;
(2)若以“角角邊”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是　∠5=∠6　;
(3)若以“角邊角”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是　∠1=∠2　.
11.如圖,點(diǎn)D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE,若∠1+∠2=115°,則∠ABC的大小是　65°　.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),連接AD.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為　3　.
13.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,過BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F.
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度數(shù).
【解析】(1)因?yàn)镈E⊥AB,DF⊥AC,
所以∠BED=∠CFD=90°,
因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),所以BD=CD,
在△BED與△CFD中,,
所以△BED≌△CFD(角角邊),
所以DE=DF;
(2)因?yàn)椤螧DE=40°,
所以∠B=50°,
所以∠C=50°,
所以∠BAC=80°.
14.(抽象能力、運(yùn)算能力)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分別是BC和AC邊上的高,AD與BE相交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周長.
【解析】(1)因?yàn)锳D,BE分別是BC和AC邊上的高,
所以AD⊥BC,BE⊥AC,
所以∠ADC=∠AEF=90°,
所以∠CAD+∠ACD=∠AFE+∠CAD=90°,
所以∠ACD=∠AFE,
因?yàn)椤螦FE=∠BFD,
所以∠ACD=∠BFD,
因?yàn)椤螦DB=90°,∠ABC=45°,所以∠ABD=∠BAD=45°,
所以BD=AD,
在△BDF與△ADC中,
,
所以△BDF≌△ADC(角角邊);
(2)由(1)知,△BDF≌△ADC,
所以FD=CD,BF=AC,
因?yàn)锽F=2EC,所以AC=2EC,所以AE=CE,
因?yàn)锽E⊥AC,
所以AF=FC,AB=BC,
所以△FDC的周長=FC+FD+CD=AF+FD+CD=AD+CD,
因?yàn)锳D+CD=BD+CD=BC=AB=10 cm,
所以△FDC的周長為10 cm.4.3.3　全等三角形的判定定理(角邊角、角角邊)
第2課時(shí)
知識(shí)點(diǎn)　用“角角邊”判定三角形全等
1.如圖,AB∥CD,且AB=CD,則△ABE≌△CDE的根據(jù) ( )
A.只能是角邊角
B.只能是邊角邊
C.只能是角角邊
D.可以是角邊角或角角邊
2.如圖,下列四個(gè)條件,可以確定△ABC與△A1B1C1全等的是( )
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.(2024·長沙開福區(qū)質(zhì)檢)如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)A,E,B,D在同一條直線上,AC∥DF,AC=DF,只添加一個(gè)條件,不能判斷△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AE=DB B.∠C=∠F
C.BC=EF D.∠ABC=∠DEF
4.如圖,C是AB的中點(diǎn),∠A=∠BCE,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,利用“角角邊”使△ACD≌△CBE,這個(gè)添加的條件可以是 .(不添加輔助線)
5.(2024·湘潭韶山市期末)如圖,AD=AB,∠C=∠E,∠CDE=55°,則∠ABE= .
6.已知:如圖,點(diǎn)A,D,C,F在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求證:AD=CF.
7.如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,點(diǎn)E,F分別在直線AB的兩側(cè),且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求證:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的長.
8.如圖,點(diǎn)E,點(diǎn)F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一個(gè)條件,不能證明△ABF≌△DCE的是 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC D.AF=DE
9.如圖,∠1=∠2,∠B=∠D,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
10.如圖,已知∠4=∠3,要說明△ABC≌△DCB,
(1)若以“邊角邊”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是 ;
(2)若以“角角邊”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是 ;
(3)若以“角邊角”為依據(jù),則需添加一個(gè)條件是 .
11.如圖,點(diǎn)D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE,若∠1+∠2=115°,則∠ABC的大小是 .
12.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),連接AD.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為 .
13.如圖,在△ABC中,∠B=∠C,過BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F.
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度數(shù).
14.(抽象能力、運(yùn)算能力)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分別是BC和AC邊上的高,AD與BE相交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周長.4.3.3　全等三角形的判定定理(角邊角、角角邊)
第1課時(shí)
知識(shí)點(diǎn)　用“角邊角”判定三角形全等
1.如圖,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,則增加下列條件,可直接利用“角邊角”判定這兩個(gè)三角形全等的是 (C)
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如圖,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,∠B=∠E=∠ACF=60°,AB=CE,則與線段BC相等的線段是 (D)
A.AC B.AF C.CF D.EF
3.(2024·株洲天元區(qū)期末)如圖,點(diǎn)D,E分別在線段AB,AC上,CD與BE相交于O點(diǎn),已知AB=AC,現(xiàn)添加以下哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD的是 (B)
A.∠B=∠C B.BE=CD
C.BD=CE D.AD=AE
4.如圖,已知AO=CO,若以“角邊角”為依據(jù)證明△AOB≌△COD,還要添加的條件是　∠A=∠C(答案不唯一)　.
5.如圖,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠A=∠D,若AB=DB=5,BE=3,則CD的長為　2　.
6.如圖,點(diǎn)B,F,E,C在一條直線上,AE∥DF,∠B=∠C,CE=BF.求證:△ABE≌△DCF.
【證明】因?yàn)锳E∥DF,所以∠AEB=∠DFC.
因?yàn)镃E=BF,所以CE+EF=BF+EF,即CF=BE.所以BE=CF.
在△ABE和△DCF中,,
所以△ABE≌△DCF(角邊角).
7.如圖,∠A=∠B,∠1=∠2,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上.
(1)求證:△ACE≌△BDE;
(2)若∠BDE=68°,求∠1的度數(shù).
【解析】(1)因?yàn)椤?=∠2,所以∠1+∠AED=∠2+∠AED,
所以∠AEC=∠BED,
在△ACE和△BDE中,,
所以△ACE≌△BDE(角邊角).
(2)因?yàn)椤鰽CE≌△BDE,所以CE=DE,∠BDE=∠C=68°,
所以∠C=∠CDE=68°,
所以∠1=∠2=180°-∠CDE-∠C=44°.
8.如圖,在△ABC中,CP平分∠ACB,AP⊥CP于點(diǎn)P,已知△ABC的面積為5,則陰影部分的面積為 (C)
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
9.如圖,已知AB∥CF,E為DF的中點(diǎn).若AB=12 cm,CF=7 cm,則BD的長為 (A)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.4.5 cm
10.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F在邊BC上,連接AE,AF,∠BAF=∠CAE,延長AF至點(diǎn)D,使AD=AC,連接CD.
(1)求證:△ABE≌△ACF;
(2)若∠ACF=30°,∠AEB=130°,求∠ADC的度數(shù).
【解析】(1)因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠ACF,
因?yàn)椤螧AF=∠CAE,
所以∠BAF-∠EAF=∠CAE-∠EAF,
所以∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,,
所以△ABE≌△ACF(角邊角);
(2)因?yàn)锽=∠ACF=30°,∠AEB=130°,
所以∠BAE=180°-130°-30°=20°,
因?yàn)椤鰽BE≌△ACF,所以∠CAF=∠BAE=20°,因?yàn)锳D=AC,所以∠ADC=∠ACD,
所以∠ADC==80°.
11.(抽象能力、運(yùn)算能力)情境觀察:如圖①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D,E,CD與AE交于點(diǎn)F.
(1)寫出圖①中所有的全等三角形:________________________　;
(2)線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是________.
問題探究:
如圖②,在△ABC中,AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點(diǎn)E.求證:AE=2CD.
【解析】情境觀察:(1)△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB.
(2)AF=2CE.
問題探究:延長AB,CD交于點(diǎn)G.
因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠CAD=∠GAD.因?yàn)锳D⊥CD,所以∠ADC=∠ADG=90°.
所以CD=GD,即CG=2CD.
因?yàn)椤螧AC=∠BCA=45°,所以∠ABC=90°,所以∠CBG=90°,所以∠G+∠BCG=90°.因?yàn)椤螱+∠BAE=90°,所以∠BAE=∠BCG.在△ABE和△CBG中,
所以△ABE≌△CBG(角邊角),
所以AE=CG,所以AE=2CD.

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