資源簡介

4.3.5　全等三角形的應用
1.小明在學習了全等三角形的相關知識后,發現了一種測量距離的方法,如圖,小明直立在河岸邊的O處,他壓低帽子帽沿,使視線通過帽沿,恰好落在河對岸的A處,然后轉過身,保持和剛才完全一樣的姿勢,這時視線落在水平地面的B處(A,O,B三點在同一水平直線上),小明通過測量O,B之間的距離,即得到O,A之間的距離.小明這種方法的原理是(C)
A.邊邊邊 B.邊角邊 C.角邊角 D.角角邊
2.(2025·長沙望城區期末)小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊(即圖中標有1,2,3,4的四塊),你認為將其中的哪一塊帶去,就能配一塊與原來一樣大小的三角形 應該帶第 　4　塊.
3.如圖,小明與小紅玩蹺蹺板游戲,如果蹺蹺板的支點O(即蹺蹺板的中點)至地面的距離是50 cm,當小紅從水平位置CD下降30 cm時,求小明離地面的高度.
【解析】在△OCF與△ODG中,
所以△OCF≌△ODG(角角邊),
所以CF=DG=30(cm),
所以小明離地面的高度是50+30=80(cm).
4.如圖,點D為碼頭,A,B兩個燈塔與碼頭的距離相等,DA,DB為海岸線.一輪船離開碼頭,計劃沿∠ADB的平分線航行,在航行途中C點處,測得輪船與燈塔A和燈塔B的距離相等.試問:輪船航行是否偏離指定航線 請說明理由.
【解析】輪船航行沒有偏離指定航線.
理由:由題意知:DA=DB,AC=BC,
在△ADC和△BDC中,,
所以△ADC≌△BDC(邊邊邊),
所以∠ADC=∠BDC,
即DC為∠ADB的平分線,所以輪船航行沒有偏離指定航線.
5. (2025·長沙寧鄉市期末)如圖,書架兩側擺放了若干本相同的書籍,左右兩摞書中豎直放入一個等腰直角三角板,其直角頂點C在書架底部DE上,當頂點A落在右側書籍的上方邊沿時,頂點B恰好落在左側書籍的上方邊沿.已知每本書長20 cm,厚度為2 cm,則兩摞書之間的距離DE為 (A)
A.24 cm B.23 cm C.22 cm D.21 cm
6.沛沛沿一段筆直的人行道行走,邊走邊欣賞風景,在由C走到D的過程中,通過隔離帶的空隙P,剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語,具體信息如下:如圖,AB∥PM∥CD,相鄰兩平行線間的距離相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD垂足為D.已知CD=16米.請根據上述信息求標語AB的長度為　16　米.
7.(2025·長沙質檢)小強為了測量一幢高樓高AB,在旗桿CD與樓之間選定一點P.如圖,CD⊥DB,AB⊥DB,測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°,測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°,且CD=PB.
(1)證明:△CPD≌△PAB;
(2)CD=10米,DB=36米,求大樓AB的高.
【解析】(1)因為∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
所以∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中,
,
所以△CPD≌△PAB(角邊角);
(2)因為△CPD≌△PAB,
所以DP=AB,
因為DB=36米,PB=10米,
所以AB=DP=36-10=26(米),
故大樓AB的高是26米.
8.小明在物理課上學習了發聲物體的振動實驗后,對其作了進一步地探究.在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動,如圖,OA表示小球靜止時的位置,當小明用發聲物體靠近小球時,小球從OA擺到OB位置,此時過點B作BD⊥OA于點D,且測得點B到OA的距離為8 cm;當小球擺到OC位置時,OB與OC恰好垂直(圖中的A,B,O,C在同一平面上),過點C作CE⊥OA于點E,測得點C到OA的距離為14 cm.
(1)判斷CE與OD的數量關系,并證明;
(2)求兩次擺動中點B和點C的高度差DE的長.
【解析】(1)CE=OD.證明如下:因為OB⊥OC,所以∠BOD+∠COE=90°,
因為BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠ODB=∠CEO=90°,所以∠BOD+∠OBD=90°,所以∠OBD=∠COE.
在△COE和△OBD中,,
所以△COE≌△OBD(角角邊),所以CE=OD;
(2)因為點B到OA的距離為8 cm,點C到OA的距離為14 cm,所以CE=14 cm,AB=8 cm,
因為△COE≌△OBD,所以OE=BD=8 cm,CE=OD=14 cm,所以DE=OD-OE=14-8=6(cm),所以兩次擺動中點B和點C的高度差DE的長為6 cm.
9.(抽象能力、應用意識)八年級數學興趣小組開展了測量學校教學樓高度AB的實踐活動,測量方案如表:
課題 測量學校教學樓高度AB
測量工具 測角儀、皮尺等
測量方 案示意圖 (理想狀態:地面水平,AB垂直于地面,點B,C,D在水平地面上)
測量 步驟 (1)在教學樓外水平地面上,選定一點C; (2)測量教學樓頂點A視線CA與水平地面所成的角∠ACB; (3)測量BC的長度; (4)放置一根與BC長度相同的標桿DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三點共線); (5)測量標桿頂部E視線CE與水平地面所成的角∠ECD,再測量CD的長度.
測量 數據 ∠ACB=78.2°,∠ECD=11.8°,BC=DE=2.5 m,CD=12 m.
請你根據興趣小組測量方案及數據,計算教學樓高度AB.
【解析】由題意得:AB⊥BC,DE⊥BC,所以∠ABC=∠CDE=90°.
因為∠ACB=78.2°,所以∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°.
又因為∠ECD=11.8°,所以∠BAC=∠DCE.
因為BC=DE,所以△ABC≌△CDE(角角邊),所以AB=CD,
因為CD=12 m,所以AB=12 m.
答:教學樓高度AB為12 m.4.3.5　全等三角形的應用
1.小明在學習了全等三角形的相關知識后,發現了一種測量距離的方法,如圖,小明直立在河岸邊的O處,他壓低帽子帽沿,使視線通過帽沿,恰好落在河對岸的A處,然后轉過身,保持和剛才完全一樣的姿勢,這時視線落在水平地面的B處(A,O,B三點在同一水平直線上),小明通過測量O,B之間的距離,即得到O,A之間的距離.小明這種方法的原理是( )
A.邊邊邊 B.邊角邊 C.角邊角 D.角角邊
2.(2025·長沙望城區期末)小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊(即圖中標有1,2,3,4的四塊),你認為將其中的哪一塊帶去,就能配一塊與原來一樣大小的三角形 應該帶第 塊.
3.如圖,小明與小紅玩蹺蹺板游戲,如果蹺蹺板的支點O(即蹺蹺板的中點)至地面的距離是50 cm,當小紅從水平位置CD下降30 cm時,求小明離地面的高度.
4.如圖,點D為碼頭,A,B兩個燈塔與碼頭的距離相等,DA,DB為海岸線.一輪船離開碼頭,計劃沿∠ADB的平分線航行,在航行途中C點處,測得輪船與燈塔A和燈塔B的距離相等.試問:輪船航行是否偏離指定航線 請說明理由.
5. (2025·長沙寧鄉市期末)如圖,書架兩側擺放了若干本相同的書籍,左右兩摞書中豎直放入一個等腰直角三角板,其直角頂點C在書架底部DE上,當頂點A落在右側書籍的上方邊沿時,頂點B恰好落在左側書籍的上方邊沿.已知每本書長20 cm,厚度為2 cm,則兩摞書之間的距離DE為 ( )
A.24 cm B.23 cm C.22 cm D.21 cm
6.沛沛沿一段筆直的人行道行走,邊走邊欣賞風景,在由C走到D的過程中,通過隔離帶的空隙P,剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語,具體信息如下:如圖,AB∥PM∥CD,相鄰兩平行線間的距離相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD垂足為D.已知CD=16米.請根據上述信息求標語AB的長度為 米.
7.(2025·長沙質檢)小強為了測量一幢高樓高AB,在旗桿CD與樓之間選定一點P.如圖,CD⊥DB,AB⊥DB,測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°,測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°,且CD=PB.
(1)證明:△CPD≌△PAB;
(2)CD=10米,DB=36米,求大樓AB的高.
8.小明在物理課上學習了發聲物體的振動實驗后,對其作了進一步地探究.在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動,如圖,OA表示小球靜止時的位置,當小明用發聲物體靠近小球時,小球從OA擺到OB位置,此時過點B作BD⊥OA于點D,且測得點B到OA的距離為8 cm;當小球擺到OC位置時,OB與OC恰好垂直(圖中的A,B,O,C在同一平面上),過點C作CE⊥OA于點E,測得點C到OA的距離為14 cm.
(1)判斷CE與OD的數量關系,并證明;
(2)求兩次擺動中點B和點C的高度差DE的長.
9.(抽象能力、應用意識)八年級數學興趣小組開展了測量學校教學樓高度AB的實踐活動,測量方案如表:
課題 測量學校教學樓高度AB
測量工具 測角儀、皮尺等
測量方 案示意圖 (理想狀態:地面水平,AB垂直于地面,點B,C,D在水平地面上)
測量 步驟 (1)在教學樓外水平地面上,選定一點C; (2)測量教學樓頂點A視線CA與水平地面所成的角∠ACB; (3)測量BC的長度; (4)放置一根與BC長度相同的標桿DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三點共線); (5)測量標桿頂部E視線CE與水平地面所成的角∠ECD,再測量CD的長度.
測量 數據 ∠ACB=78.2°,∠ECD=11.8°,BC=DE=2.5 m,CD=12 m.
請你根據興趣小組測量方案及數據,計算教學樓高度AB.

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