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青島版2024·八年級上冊
1.3 幾何證明舉例
第一章
推理與證明
第1課時
互逆命題的推導(dǎo)與證明
章節(jié)導(dǎo)讀
1.1定義與證明
1.2證明
1.3幾何證明舉例
定義
命題
如何證明
互逆命題的推導(dǎo)與證明
推論的意義與運用
反證法的證明范式
合情推理到邏輯推理
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
能夠準(zhǔn)確識別原命題與逆命題的條件、結(jié)論的互換特征，并能夠規(guī)范書寫給定命題的逆命題
掌握運用基本事實與定理進(jìn)行演繹推理，證明互逆命題真假的方法
3
理解“原命題為真，逆命題未必成立”的核心邏輯，并會舉反例判斷逆命題的真假性
“若顧客不自己理發(fā)，則我為他理發(fā)”
情境導(dǎo)入
理發(fā)師的兩難困局：邏輯規(guī)則的自我吞噬
小鎮(zhèn)的理發(fā)師張貼新規(guī)：“我只給不自己理發(fā)的人理發(fā)”，某日，他正想給自己理發(fā)，卻看著標(biāo)識陷入了沉思…
“若我為他理發(fā)，則顧客自己不理發(fā)”
若理發(fā)，違反規(guī)則（只服務(wù)于“不理發(fā)的人”）
若不理發(fā)，屬于“不理發(fā)的人”，應(yīng)被服務(wù)
這個死循環(huán)的根源究竟是什么？
這個問題將在接下來互逆命題的學(xué)習(xí)中完美解決
情境導(dǎo)入
從生活悖論到幾何證明——初步認(rèn)識互逆關(guān)系
基本事實
性質(zhì)定理Ⅰ
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等
條件： 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等
結(jié)論： 那么這兩條直線平行
條件：兩條平行直線被第三條直線所截
結(jié)論：同位角相等
條件與結(jié)論完全相反，互逆關(guān)系
可證明
以上基本事實與性質(zhì)定理有何關(guān)系？
如何用它們證明平行線的其他性質(zhì)何判定定理？
新知探究
平行線的性質(zhì)定理Ⅱ：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等
（1）已知：如圖 ，直線 AB//CD，直線 EF 分別交 AB，CD 于點 O 和 P
求證：∠AOP = ∠OPD
證明：因為 AB//CD（已知）
所以∠OPD = ∠EOB（兩直線平行，同位角相等）
因為∠EOB = ∠AOP（對頂角相等）
所以∠AOP = ∠OPD（等量代換）
A
B
C
D
P
O
方法技巧
解決本題的關(guān)鍵在于將內(nèi)錯角轉(zhuǎn)化為已知相等的角，并會使用到平行線的性質(zhì)定理Ⅰ
E
F
新知探究
平行線的性質(zhì)定理Ⅲ：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
（2）已知：如圖，直線AB//CD，直線EF分別交AB、CD于點O和P。
求證：∠AOP + ∠OPC = 180°
因為AB//CD（已知）
所以∠AOP = ∠OPD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
因為∠OPD + ∠OPC = 180°（平角的定義）
所以∠AOP + ∠OPC = 180°（等量代換）
因此，∠AOP與∠OPC互補(bǔ)（互補(bǔ)的定義）
B
C
P
方法技巧
解決本題的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化思想”，通過同位角、對頂角等中間量，將未知的內(nèi)錯角轉(zhuǎn)化為已知的相等角
新知探究
判定定理Ⅰ：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行
（3）已知：如圖1.3-2，直線EF分別交AB、CD于點O、P，∠AOP=∠OPD（內(nèi)錯角相等）
求證：AB//CD
證明：因為∠EOB=∠AOP（對頂角相等）
又因為∠AOP=∠OPD（已知）
所以∠EOB=∠OPD（等量代換）
因此AB//CD（同位角相等，兩直線平行）
知識補(bǔ)充
容易發(fā)現(xiàn)，該判定定理與平行線的性質(zhì)定理是互逆關(guān)系.二者的因果關(guān)系相反。
性質(zhì)定理：用已知平行求角相等
判定定理：用已知角相等求平行
本條定理與平行線的性質(zhì)定理Ⅱ?qū)Ρ龋惺裁绰?lián)系？
新知探究
平行線的判定定理Ⅱ：兩條直線被第三條直線所截，若同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行
本條定理與平行線的性質(zhì)定理Ⅲ對比，條件與結(jié)論發(fā)生了什么變化？
（4）已知：直線截、于、，；
求證：AB//
證明：因為∠BOP+∠OPD=180°（已知）
又因為∠BOP+∠EOB=180°（鄰補(bǔ)角的定義）
所以∠EOB=∠OPD（等量代換）
所以AB//CD（同位角相等，兩直線平行）
知識補(bǔ)充
容易發(fā)現(xiàn)，該判定定理與平行線的性質(zhì)定理Ⅲ，條件和結(jié)論完全相反。
知識小結(jié)
互逆命題與逆定理——從觀察到定義的邏輯之旅
觀察上面的（1）和（3），（2）和（4）中的兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有什么關(guān)系？
第一個命題和第二個命題的結(jié)論和條件完全相反
概括與表達(dá)
互逆命題：
在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題
逆命題：
如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做逆命題
逆定理：
如果一個命題的逆命題也是真命題，那么這個逆命題叫做逆定理
原命題成立，逆命題一定成立嗎？
即時小練
類型一：互逆命題的判斷
1：下列各組命題中，互為逆命題的是（ ）
A. ① 如果a>0，那么a >0；② 如果a >0，那么a<0
B. ① 兩直線平行，同位角相等；② 同位角相等，兩直線平行
C. ① 如果x=3，那么x =9；② 如果x ≠9，那么x≠3
D. ① 對頂角相等；② 相等的角是對頂角
條件
結(jié)論
條件
結(jié)論
并非互逆關(guān)系
條件
互逆關(guān)系
條件：如果兩個角是對頂角
結(jié)論：那么它們相等
結(jié)論：那么它們是對頂角
條件：如果兩個角相等
并非互逆關(guān)系
方法技巧
互逆命題的唯一判斷依據(jù)：兩個命題的“條件”和“結(jié)論”是否互換（不涉及真假）
原命題：若（條件），則（結(jié)論）
逆命題：若（原命題的結(jié)論），則（原命題的條件）
即時小練
類型二：逆命題的改寫與真假判斷
2.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是真命題還是假命題。
（1）對頂角相等；
（2）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有公共點，那么這兩條直線平行。
方法技巧
改寫逆命題的步驟：
①找出原命題的條件和結(jié)論
②將條件與結(jié)論互換位置
③調(diào)整語句表訴，使其通順
解：（1）逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；
真假判斷：假命題
（2）逆命題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線平行，那么這兩條直線沒有公共點；
真假判斷：真命題
即時小練
類型三：逆命題的證明
3.已知∠1=∠2求證：∠3+∠4=180°
變式：已知∠3+∠4=180° 求證： ∠1=∠2
結(jié)論
條件
證明：因為∠1=∠2（已知）
與變式互為逆命題
與原題互為逆命題
證明：因為∠3+∠4=180°（已知）
所以AB//CD（同位角相等，兩直線平行）
所以AB//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
所以∠3+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
1
2
3
4
知識小結(jié)
原命題與逆命題的邏輯關(guān)系——原命題成立，逆命題不一定成立
理發(fā)師錯誤的認(rèn)為原命題成立，逆命題就一定成立，因此陷入了邏輯困境
類型一與類型二中的題目
原命題成立，逆命題不一定成立
類型三的題目與變式
原命題與逆命題的真假性需要獨立證明
回顧情境，你能理解理發(fā)師的邏輯困境了嗎？
概括與表達(dá)
逆命題的正確性需獨立判斷，不能默認(rèn)與原命題一致
課堂練習(xí)
1.命題“如果兩個角是直角，那么它們相等”的逆命題是（ ）
A.如果兩個角相等，那么它們是直角
B. 如果兩個角不是直角，那么它們不相等
C. 如果兩個角不相等，那么它們不是直角
D. 兩個相等的角是直角
基礎(chǔ)鞏固
條件
結(jié)論
逆命題：如果（結(jié)論），那么（條件）
綜上，答案選A
方法技巧
找逆命題的核心操作就是：
嚴(yán)格交換“條件(p)”和“結(jié)論(q)”，且條件和結(jié)論在交換后不能發(fā)生實際意義上的變化
課堂練習(xí)
基礎(chǔ)鞏固
2.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題的真假
（1）如果兩個角相等，那么這兩個角的補(bǔ)角相等；
（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內(nèi)錯角相等。
解：（1）逆命題：如果兩個角的補(bǔ)角相等，那么這兩個角相等；
真假判斷：真命題
（2）逆命題：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么同位角相等；
真假判斷：真命題
方法技巧
逆命題的真假需要獨立判斷，本題兩個逆命題都為真，但并非所有逆命題都為真
課堂練習(xí)
基礎(chǔ)鞏固
3. 閱讀證明過程，并在括號內(nèi)填寫推理的依據(jù)
證明：
因為AB∥CD（ ）
所以∠EPB=∠PQD（ ）
因為AB⊥EF（ ）
所以∠EPB=90 （ ）
所以∠PQD=90 （ ）
所以CD⊥EF（ ）
已知
Q
兩直線平行，同位角相等
已知
方法技巧
邏輯鏈：
已知平行
→同位角相等
→已知垂直
→夾角90°
→等量代換
→結(jié)論垂直
垂直的定義
等量代換
垂直的定義
課堂練習(xí)
基礎(chǔ)鞏固
4.寫出命題“等角的余角相等”的逆命題，并指出它的逆命題是真命題還是假命題。如果是真命題，請加以證明；如果是假命題，請舉出反例。
解：逆命題為余角相等的兩個角相等。逆命題是真命題，證明如下：
已知：∠1與∠3互為余角（∠1 + ∠3 = 90°），∠2與∠4互為余角（∠2 + ∠4 = 90°），且∠3 = ∠4。
求證：∠1 = ∠2。
因為∠1與∠3互為余角（已知）
所以∠1 = 90° - ∠3（余角的定義)
因為∠2與∠4互為余角（已知）
所以∠2 = 90° - ∠4（余角的定義）
因為∠3 = ∠4（已知）
所以90° - ∠3 = 90° - ∠4（等式的性質(zhì))
所以∠1 = ∠2（等量代換）
1
2
3
4
課堂練習(xí)
生活邏輯
幾何證明
思路整理
互逆命題
真命題：逆定理（需證明）
假命題：舉反例
核心概念 關(guān)鍵結(jié)論 典型案例
互逆命題定義 條件與結(jié)論互換生成新命題 平行線性質(zhì)定理 vs 判定定理
逆命題的改寫規(guī)則 嚴(yán)格交換條件與結(jié)論，語句通順 “對頂角相等” → “相等的角是對頂角”
逆命題的真假獨立性 原命題為真，逆命題未必為真（需獨立證明） 理發(fā)師悖論的反例剖析
知識結(jié)構(gòu)化
感謝聆聽!

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