資源簡介

(共20張PPT)
青島版2024·八年級上冊
1.3 幾何證明舉例
第一章
推理與證明
1.3.2 推論的意義與運用
章節導讀
1.1定義與證明
1.2證明
1.3幾何證明舉例
定義
命題
如何證明
互逆命題的推導與證明
推論的意義與運用
反證法的證明范式
合情推理到邏輯推理
學 習 目 標
1
2
明確區分定理與推論的邏輯關系
掌握“由定理直接推出推論”的演繹方法
3
能夠運用推論簡化證明過程，遷移推理方法解決新問題
情境導入
希帕索斯的“無理”之死——推論的不可反駁性
畢達哥拉斯學派奉行“萬物皆整數比”的理念
認為一切數都可以表示成整數或兩個整數之比。
但學生希帕索斯從勾股定理（）得出這樣一個推論:
邊長為1的正方形對角線（）無法表示為整數比
這個由勾股定理推出來的“”，讓學派內的所有信徒和學生都沒辦法推翻它是無理數的事實
情境導入
希帕索斯的“無理”之死——推論的不可反駁性
但“”是無理數這一推論卻始終無法反駁，由此引發了“第一次數學危機”
這激怒了畢達哥拉斯學派，他們以“背叛”罪名判處希帕索斯死刑
那么數學推論到底是什么？它有什么意義和用途？
今天我們將從“三角形的內角和”定理出發
看它會誕生出何種“危險推論”，同時探索推論的意義。
新知探究
“三角形內角和”定理的證明

【回顧】上學期，我們從基本事實（如平角定義、平行線性質）出發，說明了“三角形的內角和等于180°”的正確性。

怎樣嚴格證明“三角形的內角和等于180°”呢？
【思考與交流】
證明：三角形的內角和等于180°。
已知：如圖，∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角。
求證：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
提示：
（1）通過“剪拼法”可將三個角拼為平角（上學期實驗方法）；

（2）類似地，我們可以通過“作平行線”（輔助線），將角“轉移”到同一頂點，利用平行線性質實現證明。

A
B
C
新知探究
“三角形內角和”定理的證明
【證明步驟】
A
C
B
作輔助線：延長BC至D，過點C作CE∥AB
所以∠B = ∠ECD（兩直線平行，同位角相等）
∠A = ∠ACE（兩直線平行，內錯角相等）
∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定義）
∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代換）
D
E
【定理結論】 △內角和定理：三角形的內角和等于180°
方法技巧
輔助線：為證明需要，在原圖上添加的線（通常畫成虛線）

你還能想到其他添加輔助線的方法嗎？
例：過點A作BC的平行線，或過點B作AC的平行線

新知探究
三角形外角的性質與推論


觀察下圖，三角形的一個外角∠ACD與它不相鄰的兩個內角∠A、∠B之間有怎樣的數量關系？

由以上證明可知： ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD
= ∠A + ∠B（兩直線平行，內錯角/同位角相等）
∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B（不等式性質）
概括與表達
三角形內角和的推論：
推論一：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和
推論二：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角
知識補充
由基本事實或定理直接推出的真命題叫作推論；
推論可以作為定理使用。
新知探究
直角三角形的性質與推論

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A與∠B有什么數量關系？
證明：在RT△ABC中
因為∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形內角和定理）
所以∠A + ∠B = 180° - ∠C（等式性質）
所以∠C = 90°（已知直角）
所以∠A + ∠B = 90°（代入計算）
同樣，也可以證明以上條件與結論反過來也成立

概括與表達
直角三角形的推論：
推論一：直角三角形的性質定理： 直角三角形的兩個銳角互余
推論二：直角三角形的判定定理： 有兩個角互余的三角形是直角三角形
B
知識補充
Rt△ABC的含義：
即直角三角形，其中某個角為直角
知識小結
推論的辨析

知識總結：推論與定理的區別
維度 定理（如三角形內角和定理） 推論（如外角性質/直角互余）
定義
依賴關系
推導過程
地位作用
經嚴格證明的核心真命題
由定理/基本事實直接推出的真命題
不依賴其他定理（依賴公理/基本事實）
必須依賴已有定理（如內角和定理）
復雜（多步輔助線/公理組合，如作平行線證內角和）
簡單（1-2步推導，如外角=180°-內角和）
數學體系的“地基”，可推導多個推論
定理的“延伸應用”，直接服務解題

推論是定理的邏輯延伸，推理是連接“已知”與“未知”的橋梁。 無論是定理還是推論，都是數學嚴謹性的體現！
新知探究
推論的實際運用

已知：在△ABC中，∠B=∠C，D是BC邊上一點；過點D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、D。
求證：∠FDE=∠C。
A
B
C
D
E
F
證明：
因為DE⊥AB，DF⊥BC（已知）
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°（垂直的定義）
因為∠EDC是△EBD的外角（外角定義）
所以∠EDC=∠B+∠DEB（三角形的外角=不相鄰兩內角和）
因為∠EDC=∠FDE+∠FDC（已知）
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB（等量代換）
所以∠FDE+90°=∠B+90°（等量代換）
因為∠B=∠C（已知）
所以∠FDE=∠C（等量代換）
本題中，我們使用了三角形內角和的推論，想想要是不用詞條推論，會多多少條步驟 你能總結推論的意義嗎
知識小結

推論的意義
概括與表達
推論的意義：

1.**知識延伸的捷徑**：從定理“生長”出新結論，避免重復證明
（如外角性質直接用內角和推導）

2.**解題效率的提升**：推論作為“半成品工具”，簡化復雜問題
（如用互余性質快速求直角三角形銳角）

3.**邏輯思維的訓練**：體會“定理→推論”的嚴謹鏈條，培養“言必有據”的推理習慣
通過情境中希帕索斯的故事我們可以知道，推論還具有不可反駁性，下面就讓我們體會合理運用定理與推論是如何簡化證明過程的
即時訓練
合理使用定理簡化證明過程
1.證明：四邊形四個內角的和等于360°。
已知：如圖，∠A、∠B、∠C，∠D是四邊形ABCD的四個內角。
求證：∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=360°
證明：連接AC，可得△ ABC與△ ACD
B
所以∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°（三角形內角和定理）
因為∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠BCD=∠BCA+∠DCA（角的和的定義）
所以∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=180°+180°=360°（等量代換）
知識補充
使用三角形的內角和定理使得本題的證明過程大大減少，同樣的，可以證明出多邊形內角和為：
（n-2）180°
即時訓練
合理使用推論簡化證明過程
2. 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB，垂足為點D
求證：∠1=∠B
1
證明：因為∠ACB=90°（已知）
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形兩銳角互余）
因為CD⊥AB（已知）
所以∠ADC=90°（垂直定義）
所以∠A + ∠1 = 90°（直角三角形兩銳角互余）
所以∠1 = ∠B（同角的余角相等）
本題證明合理的使用了直角三角形的推論，讓證明過程得到簡化；同時還用到相關的定理，使得本題證明過程更加嚴謹。
方法技巧
即時訓練
合理使用推論簡化證明過程
3. 已知：如圖，D是△ABC內一點，連接DB、DC。
求證：∠BDC>∠A
E
證明：延長BD交AC于E（構造外角）
因為∠BDC是△CDE的外角（外角定義）
所以∠BDC > ∠DEC（三角形外角大于不相鄰內角）
因為∠DEC是△ABE的外角（外角定義）
所以∠DEC > ∠A（三角形外角大于不相鄰內角）
所以∠BDC > ∠A（不等式傳遞性）
方法技巧
此題的證明邏輯鏈如下：
構造輔助線→用外角定理建立不等關系→通過中間角傳遞不等
在這個過程中，容易發現，使用三角形內角和的推論極大的簡化了證明過程，也使得證明過程更加嚴謹
課堂練習
一、填空
第2題證明“∠1=∠B”時，兩次用到“直角三角形兩銳角互余”，該結論是由“______________________”（填定理名稱）直接推出的，因此它是該定理的________（填“定理”或“推論”）。
第3題證明“∠BDC>∠A”的關鍵依據是“三角形的外角大于任何一個不相鄰的內角”，該結論是“________________”（填定理名稱）的推論，其作用是__________________________（填推論的意義，如“簡化角的大小關系證明”）。
三角形內角和定理
推論
三角形內角和定理
直接建立不相鄰角的大小關系
方法技巧
推論不是孤立的結論，而是定理的“快捷應用工具”，其核心意義在于簡化推理過程，提升解題效率。
課堂練習
2.（即時訓練變式）在第2題圖中，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，若∠A=40°，僅用“直角三角形兩銳角互余”這一推論，求∠1和∠B的度數，并說明推論如何簡化計算。
提示：在前面證明∠1=∠B時，不僅僅用到了“直角三角形的兩銳角互余”這一推論，還用到了“等角的余角相等”這一定理
解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=50°（直角三角形兩銳角互余推論）
在Rt△ACD中，∠1=90°-∠A=50°（直角三角形兩銳角互余推論）
簡化意義：直接用推論得出結果，無需重新計算三角形內角和。
方法技巧
通用結論：在Rt△ABC中，CD⊥AB（雙垂直模型），則： ① ∠1=∠B，∠2=∠A（每組銳角對應相等，均由“同角的余角相等”推導）
課堂練習
已知： ① ∠ACE是△ABC的外角； ② BD平分∠ABC，CD平分∠ACE。
求證： ∠D = ∠A。
E
F
因為 BD平分∠ABC（已知）
所以 ∠DBC = ∠ABC，同理∠DCE = ∠ACE（角平分線定義）
因為 ∠ACE是△ABC的外角（已知）
所以 ∠D = ∠DCE - ∠DBC（等式變形）
= ∠ACE - ∠ABC
= (∠A + ∠ABC - ∠ABC) （等量代換）
所以 ∠ACE = ∠A + ∠ABC，同理∠DCE = ∠DBC + ∠D（三角形的外角和定理）
= ∠A（化簡）
方法技巧
運用兩次外角和推論，是連接已知與未知的橋梁，極大的簡化了證明過程
課堂總結
1. 推論是什么？
由已知定理直接推出的真命題，但依賴于已有的定理（無需重新證明）
2. 推論的意義
簡化證明流程
建立“已知”與“未知”的橋梁
3.推論的運用邏輯
優先用推論：如看到三角形外角，立即想到“外角定理”（不用內角和重新推導）
進行代數化簡：如用推論結果消去中間角，快速得結論。
可結合其他定理：如將分角轉化為原角的一半，便于代入
感謝聆聽!

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