資源簡介

(共20張PPT)
青島版2024·八年級上冊
1.3 幾何證明舉例
第一章
推理與證明
1.3.3 反證法的證明范式
章節導讀
1.1定義與證明
1.2證明
1.3幾何證明舉例
定義
命題
如何證明
互逆命題的推導與證明
推論的意義與運用
反證法的證明范式
合情推理到邏輯推理
學 習 目 標
1
2
能復述反證法三步驟：① 假設命題不成立 → ② 推導矛盾 → ③ 原命題成立
能辨別反證法使用場景（存在性、唯一性、無限性命題）
3
能用反證法完成經典證明
情境導入
第五公設：一場兩千年的幾何戰爭
阿
基
米
德
→
牛頓
全軍覆沒！
兩千年前，歐幾里得寫下第五公設——主要說明過一點有且只有一條直線與已知直線平行！一時之間，所有數學家都想證明這個又長又怪的公設
俄羅斯‘幾何狂人’羅巴切夫斯基： 既然證明不了，不如徹底造反！
假設過一點→兩條平行線！
然而若是該假設成立，竟會發現三角形的內角和小于180°
情境導入
反證法：在荒謬中炸出新宇宙

如此荒謬的假設，你會認同嗎？
不！他用反證法挖出了新宇宙 羅氏幾何！ 愛因斯坦用此推翻牛頓引力，重塑時空！
反證法究竟有何等威力 能把把‘不可能’變成新世界的基石？
接下來，讓我們走進課堂，了解什么是反證法！如何使用反證法！
新知探究
反證法——當直接證明“走不通”時的思維突圍

當一個命題從已知條件出發不易直接證得結論時，還有其他方法嗎？


思考與交流
1
2
∠1=∠2
你常用的直接證明方法是什么？
試試用“新方法”證明熟悉的定理

證明平行線的性質定理Ⅰ：
兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等
提示：
如果“假設同位角不相等”，會發生什么？
案例解析：用反證法證明平行線同位角相等
新知探究
已知：如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于點G、H。
求證：∠1=∠2。
【證明】
假設：∠1≠∠2（提出反面假設）
過點G作直線A'B'，使∠EGB'=∠2
所以A'B'∥CD（同位角相等，兩直線平行）
因為AB∥CD（已知）
所以過點G有兩條直線AB、A'B'均平行于CD
這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾
所以∠1≠∠2的假設不成立
所以∠1=∠2
A
C
B
D
E
F
G
H
A`
B`
1
2
方法技巧
反證法與直接證明的“區別”：
直接證明：從已知條件出發，正向推導到結論
反證法：從結論的反面出發，逆向推導到矛盾，從而間接證明結論

知識小結

反證法：從“假設反面”到“證明結論”的邏輯閉環
以上這種證明方法有怎樣的特點？它包括了哪幾個步驟？

反證法的核心特點
- **間接性**：不直接證明結論，而是通過“否定反面”間接驗證；
概括與表達
- **矛盾性**：核心是“推導矛盾”（與已知條件、定理沖突）
- **邏輯性**：嚴格遵循“假設→推導→結論”的閉環，無邏輯漏洞。
反證法的三步流程
① **否定結論**
假設命題的結論不成立
② **推出矛盾**
從假設出發，結合已知條件，推導出自相矛盾的結果
③ **肯定結論**
由矛盾判定假設不成立，從而證明原結論
**反證法**：提出與命題的結論相反的假設，再從假設出發推出矛盾，從而證明命題成立的方法
新知探究
情境一：“以有證無”，反證法破解否定性命題的核心邏輯

1.用反證法證明： 一個三角形中不可能有兩個直角
假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A=∠B=90°
因為∠A+∠B+∠C=180°（三角形內角和定理）
所以90°+90°+∠C=180°（等量代換）
所以∠C=0°（等式的性質）
但∠C=0°與三角形內角的定義矛盾（三角形的每個內角都大于0°）
因此，“△ABC中有兩個直角”的假設不成立
【證明】
原命題得證： 一個三角形中不可能有兩個直角
方法技巧
直接證明“不存在”“沒有”“不可能”非常困難（無法窮舉所有情況），但假設“存在”“有”，更容易導出矛盾。
新知探究

情景二：反證法破“至少/至多”題：從“全反假設”到“矛盾突破”
2.用反證法證明：在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°
已知：設直角三角形ABC中，∠C=90°
求證：∠A或∠B中至少有一個≤45°
【證明】假設∠A>45°，∠B>45°
因為∠A+∠B+∠C=180°（三角形的內角和定理）
且∠C=90°（已知）
所以∠A+∠B=90°（等量代換，等式的性質）
因為∠A>45°且∠B>45°（已知）
所以∠A+∠B>45°+45°=90°
這與∠A+∠B=90°矛盾
所以假設不成立，原命題得證
方法技巧
（1）“至少一個”的反面是“全不”（如“至少有一個銳角≤45°”的反面是“所有銳角都>45°”）；
（2）“至多一個”的反面是“至少兩個”（如“至多有一個直角”的反面是“有兩個或更多直角”）
新知探究
情景三：反證法破“唯一性”命題，用“多”的假設，證“一”的必然

3.平行公理——過直線外一點只有一條直線與已知直線平行
已知：直線l，點P在l外；
求證：過P只有一條直線與l平行
證明：假設過P有兩條直線 、都平行于l（ ）
因為 //l， //l,且 （已知）
所以 （平行線的傳遞性）
因為 、都過點P（已知）
所以 ，即二者重合（兩點確定一條直線的基本事實）
這與假設矛盾，假設不成立，原命題得證。
P
l
方法技巧
直接證明“只有一個”需要排除所有其他可能，而假設“有兩個或更多”，更容易通過邏輯推導矛盾（如與定義、定理沖突）。
知識小結

反證法的適用情境歸納
核心邏輯
反證法的本質是 “否定反面→推導矛盾→肯定原結論”，適用于直接證明困難的命題
四大適用情境
1. 否定性命題
特點：證明“不存在”“不可能”“沒有”
2. 唯一性命題
特點：證明“唯一”“只有一個”“有且僅有”
3. “至少/至多”類命題
特點：證明“至少有一個”“至多有一個”
4. 難以直接構造的命題
特點：無法通過直接舉例或正向推導證明

證明的方法主要有兩種：直接證明與間接證明，而“反證法”就是間接證明的典型方法
課堂練習
1.下列關于反證法證明平行公理的步驟， 順序正確 的是（ ）
① 兩條直線都過P且平行，必重合；
② 假設過P有兩條不同直線與l平行；
③ 假設不成立，原命題得證；
④ 由平行傳遞性得兩條直線平行。
A. ②→④→①→③
B. ①→②→③→④
C. ③→②→①→④
D. ②→①→④→③
導出矛盾
假設反面
得出結論
推導過程
答案解析：假設推導矛盾是反證法解答的一般過程，故選A
方法技巧
反證法的核心流程是“假設→推導→矛盾→結論”
課堂練習
2. 用反證法證明“三角形中不可能有兩個鈍角”時， 推導過程中導出的矛盾 是（ ）
A.與“三角形內角和為180°”矛盾
B. 與“鈍角的定義（大于90°）”矛盾
C. 與“平行線性質”矛盾
D. 與“線段中點的定義”矛盾
否定性命題
【解】
否定性命題，該將“不可能”假設為“必然”
假設三角形中有兩個鈍角（設為∠A>90°，∠B>90°），則∠A+∠B>180°
加上第三個角∠C>0°，三角形內角和∠A+∠B+∠C>180°
與“三角形內角和為180°”的定理矛盾，故選擇A。
方法技巧
解題關鍵：
能夠對要進行的命題進行假設，根據假設的內容推導出與之相對應的矛盾
課堂練習
3.下列命題中，最適合用反證法證明的是：（ ）
三角形的內角和為180° B. 是無理數
C. 二次函數的圖像是拋物線 D. 直角三角形的勾股定理
性質定理
無法正向推導的命題
性質定理
性質定理
【解】
在以上四個選項中，性質定理都可以通過正向推理得出，但“ 是無理數 ”是難以正向推導的命題，故選B
方法技巧
解答關鍵：
能清楚的了解“反證法使用的四大場景”
1.否定性命題
2.唯一性命題
3.“至多/至少”類命題
4.無法正向推導的命題
課堂練習
用反證法證明：三角形的三個內角中，至少有一個內角大于或等于60°
已知：△ABC是任意三角形；
求證：∠A,∠B,∠C中至少有一個≥60°
證明：假設△ABC的三個內角都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°
因為∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°（三角形內角和定理）
所以∠A+∠B+∠C<180°與三角形內角和定理（∠A+∠B+∠C=180°）矛盾
所以，“三個內角都小于60°”的假設不成立，原結論得證
本題核心邏輯：
假設反面（都<60°）→推導（和<180°）
→矛盾（與內角和定理沖突）
→肯定原結論（至少一個≥60°）
方法技巧
課堂練習
用反證法證明：
已知：a+b>0
求證：a，b中至少有一個大于零。
假設a，b都不大于零，即a≤0且b≤0
所以a+b≤0+0=0（不等式加法性質）
因為a+b≤0與已知條件a+b>0矛盾
所以“a，b都不大于零”的假設不成立
原結論得證： a。b中至少有一個大于零
證明：
經過以上的練習，你對推理與證明的過程與方法是否完全熟悉了？
現在我們已經掌握了證明題的證明步驟，也對證明的方法和過程進行了深入的學習，那么證明題的完整邏輯流程是什么呢？
知識小結

證明題的邏輯流程
準備階段
- 核心命題
- 隱含條件
策略選擇
- 直接法
- 反證法
審題拆解
(構建基礎)
執行階段
(邏輯鏈條構建)
已知條件
↓
↓
↓
公理/定義引用
定理/推論銜接推導
過渡結論生成

循環逼近結論
收尾階段
(閉環驗證)
結論匹配
- 覆蓋命題
- 邊界檢驗
表述規范
- 符號標準化
復盤校驗
- 特例反代
課堂總結
1.反證法本質：
通過“否定結論→推導矛盾→肯定原結論”的間接證明方法
2. 三步驟流程（邏輯閉環）
步驟 關鍵操作
① 否定結論 假設命題結論不成立
② 推出矛盾 結合已知條件，推導出矛盾
③ 肯定結論 因假設不成立，原命題得證
3. 四大適用場景
1. 否定性命題
2. 唯一性命題
3.“至少/至多”類命題
4. 難以直接構造的命題
感謝聆聽!

展開更多......

收起↑