資源簡介

(共20張PPT)
青島版2024·八年級上冊
1.2. 證明
第一課時
從合情推理到邏輯推理
第一章
推理與證明
章節導讀
1.1定義與證明
1.2證明
1.3幾何證明舉例
定義
命題
合情推理到邏輯推理
如何證明
代數推理
幾何證明
學 習 目 標
1
2
通過實驗反例質疑觀察、歸納等合情推理的可靠性，理解邏輯推理的必要性；
掌握推理的基本依據（定義、基本事實、運算法則），能進行簡單代數推理。
情境導入
不可能的圖形——彭羅斯三角
在圖片中，你所看到的是一個完整的封閉圖形
當你看到這個圖形之后，你是否會懷疑其存在的合理性？
我們不妨換個角度來看看該圖形
我們通過眼睛觀察，就定義了它是一個完整的封閉圖形，但事實卻并非如此
情境導入
以上的情境中，我們僅僅通過觀察得出了該圖形是封閉，但事實上視覺卻欺騙了我們,但在數學中，這樣的方法卻常常在使用。
觀察、
實驗、
類比、
歸納，
是我們發現規律，獲取一般結論的重要方法。
但是這些方法一定正確嗎？
新知探究
1.觀察該圖中的兩條黑色直線，它們是直線嗎？
2.用度量或拼剪的方法發現一個或幾個三角形的內角和都是180°，由此猜想任意一個三角形的內角和都是180°。這種通過實驗獲得的結論一定正確嗎？
兩個正數的和大于每一個加數
兩個正數的和大于每一個加數
類比
3.由類比得到的結論正確嗎？
歸納
新知探究
當n=1，2，3，4，5時，代數式的值都是質數
當n為正整數時，代數式的值一定是質數
這種由歸納得到的結論正確嗎？
在數學中，僅憑觀察、實驗類比、歸納等方法得出的命題，只是一種猜想，并不一定正確。若要確定命題是真命題，還需要經過嚴密的邏輯推理加以證實。
觀察、實驗、類比、歸納等方法皆是合情推理
．
既然合情推理不一定能得到準確的結論，那該依據什么來進行嚴密的邏輯推理呢？我們一起來看看下面這個例子。
如果a=b，b=c，那么a=c
如果a>b，b=c，那么a>c
仔細觀察你會發現，在這兩個命題的推理中，都用到如下規律：
一個量可以用的等量來替換，也就是
等量代換
像等量代換這樣公認的真命題，即為
基本事實
提分筆記
在代數推理中，可以依據定義、運算法則、運算律、公式、等式（不等式）的基本性質進行運算和推理
即時訓練
1.下列敘述中，屬于幾何基本事實的是（ ）
A.三角形三個內角的和等于180°
B. 三角形兩邊之和大于第三邊
C. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）
D. 等腰三角形兩底角相等
三角形內角和定理
三角形存在性的基本事實
全等三角形的判定定理
等腰三角形的性質定理
答案解析：B
提分筆記
定理：
經過嚴格的邏輯推理，而被確認為真實的命題
定理與基本事實
題型一
即時訓練
2.下列命題中，可直接作為推理依據的基本事實是（ ）。
A.兩直線平行，同位角相等
B. 兩點之間，線段最短
C. 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
D. 直角三角形的兩個銳角互余
三角形內角和定理
幾何基本事實
三角形外角定理
直角三角形的性質定理
方法技巧
能夠區分定理與基本事實，是解決該類題目的關鍵，定理一般都是可證明的
定理與基本事實
題型一
等式的基本性質（其一）
等式的兩邊同時加上或減去同一個整式，結果仍是等式
例題講解
【例】說明下列命題是真命題：
（1）如果ab=a（a是有理數，且a），那么b=1；
等式
結果
【解】因為ab=a（a是有理數，且a）
（已知）
所以
（等式的基本性質）
所以
（除法的運算結果）
提分筆記
例題講解
（2）如果a，b都是奇數，那么a+b是是偶數。
【解】因為a，b都是奇數
（已知）
設a=2m+1，b=2n+1，其中m，n都是整數
（奇數的定義）
所以a+b=2m+1+2n+1=2（m+n+1）
（乘法分配律）
因為m，n是整數
（已知）
所以m+n+1是整數
（整數的基本性質）
所以2（m+n+1）是偶數
（偶數的定義）
所以a+b是偶數
（等量代換）
學習提示
在學習推理的初始階段，要在推理過程每一步的后面，用括號注明推理的依據
即時訓練
1. 通過畫圖，小亮發現三角形的三條中線都在三角形的內部，三角形的三條角平分線也都在三角形的內部，于是推斷三角形的三條高都在三角形的內部。小亮的結論正確嗎？為什么？
【解】小亮的結論 不正確。
因為三角形的高是“從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段”
（三角形高的定義）
而鈍角三角形中，兩個銳角所對邊上的高需延長對邊才能作垂線，這兩條高在三角形外部
（三角形高的位置特征）
所以“三角形的三條高都在內部”僅對銳角三角形成立，小亮結論錯誤
（反例法：鈍角三角形存在高在外部）
解題的關鍵：清楚的知道三角形的高的概念，并會畫不同三角形的高，同時對三角形的分類由清晰的認識
邏輯推理的具體過程
題型二
即時訓練
2. 說明下列命題是真命題：
（1）如果 a + b = 0，那么 a = -b；
（2）如果 a 是奇數，b 是偶數，那么 a + b 是奇數；
（3）三個連續整數的和是3的倍數。
解（1）因為 a + b = 0
（已知）
所以 (a + b) - b = 0 - b
（等式的基本性質）
即 a + b - b = -b
（去括號法則）
所以 a = -b
（合并同類項法則）
提分筆記
去括號法則：
若括號前是“+”號，去掉括號后括號內的每一項不變號；
若括號前是“-”號，去掉括號后括號內的每一項變為原來的相反數
即時訓練
（2）解：因為 a 是奇數， b 是偶數
（已知）
所以設 a = 2m + 1，設 b = 2n（m，n是整數）
（奇數與偶數的定義）
所以 a + b = (2m + 1) + 2n
（等量代換）
整理得 a + b = 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1
（加法結合律、乘法分配律）
因為 m, n 是整數
（已知）
所以 m + n 是整數
（整數的基本性質）
令 k = m + n（k是整數），則 a + b = 2k + 1
（等量代換）
所以 a + b 是奇數
（奇數的定義）
根據奇數與偶數的定義：
我們常將奇數表示為2n+1，
將偶數表現為2n，
其中n為整數
（3）解：設三個連續整數分別為 n，n + 1，n + 2（n 是整數）
（相鄰整數相差1）
它們的和為 n + (n + 1) + (n + 2)
（已知）
整理的3n + 3
（去括號與合并同類項法則）
因為 n 是整數，所以 n + 1 是整數
（整數的基本性質）
因為 3n+3=3（n+1）
（乘法分配律）
所以3（n+1）是整數
（3的倍數的定義）
所以3個連續的整數的和是3的倍數
（等量代換）
熟悉已經學過的定義、運算法則、運算律以及各類公式在進行代數推理時才能做到邏輯縝密，過程嚴謹
課堂練習
1.說明下列命題是真命題；
（1）如果b=2a （2）如果ab=1,那么b=
【解】（1）因為
所以
（分式有意義的條件）
左右兩邊同時乘a得
（等式的基本性質）
所以b=2a
（等式變形的結果）
（已知）
（2）因為ab=1
（已知）
假設a=0，則ab=0但ab=1，所以a
（反證法）
左右兩邊同時除a得ab
（等式的基本性質）
所以b=
所以該命題是真命題
所以該命題是真命題
（等式變形的結果）
課堂練習
證明：因為∠ABE與∠DBC互為余角( )，
所以∠ABE + ∠DBC = 90°( )。
因為點B在直線AC上( )，
所以∠ABE + ∠EBD + ∠DBC = 180°( )。
所以90°+ ∠EBD = 180°( )。
所以∠EBD = 90°( )。
所以BE ⊥BD ( )。
已知
余角的定義
已知
平角的定義
等量代換
等式的基本性質
垂直的定義
2. 閱讀證明過程，并在括號內填寫推理依據。
如圖，點B在直線AC上，∠ABE與∠DBC互為余角。求證：BE ⊥BD。
課堂總結
合情推理
邏輯推理
觀察
實驗
類比
歸納
在信息不完全或不確定的情況下做出最佳判斷或預測
依據
定義
基本事實
依據定義或基本事實進行嚴格推導
感謝聆聽!

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