資源簡介

(共20張PPT)
青島版2024·八年級上冊
1.2. 證明
第二課時
如何證明
第一章
推理與證明
章節(jié)導(dǎo)讀
1.1定義與證明
1.2證明
1.3幾何證明舉例
定義
命題
合情推理到邏輯推理
如何證明
代數(shù)推理
幾何證明
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
理解“證明”的基本含義，體驗邏輯推理的鏈條性與因果關(guān)系能模仿幾何證明的標(biāo)準(zhǔn)書寫格式進(jìn)行簡單推理；
能模仿幾何證明的標(biāo)準(zhǔn)書寫格式，根據(jù)一些幾何基本事實進(jìn)行簡單推理。
情境導(dǎo)入
故事啟航——遇見《幾何原本》
萬歷年間，幾個金發(fā)碧眼的意大利人抵達(dá)北京。其中利瑪竇神甫的行李里，藏著一本歐幾里得的《幾何原本》。
當(dāng)他把“三角形內(nèi)角和等于兩個直角”的定理展示給翰林院學(xué)士時，滿堂嘩然！
但年輕的徐光啟卻被迷住了，它發(fā)現(xiàn)其中證明，環(huán)環(huán)相扣，如鎖鏈難摧。
他執(zhí)意與利瑪竇合譯此書， 并定名為《幾何原本》
而這場幾何之風(fēng)，悄然吹動了東方思維之錨。
情境導(dǎo)入
故事啟航——遇見《幾何原本》
上一節(jié)課中，我們所接觸的邏輯推理基本都是有關(guān)代數(shù)的。那么幾何中的推理又該怎樣進(jìn)行呢？我們該依據(jù)什么來進(jìn)行呢？
五條公理
五條公設(shè)
23個基本定義
推導(dǎo)
467個幾何命題
早在兩千三百多年前，數(shù)學(xué)大師歐幾里得在《幾何原本》中，他僅僅用了：
如今我們所學(xué)習(xí)的很多定理定義其實都與《幾何原本》有關(guān)，而這本書，也啟發(fā)了我們
幾何中的推理要依據(jù)定義、基本事實等
新知探究
幾何推理的依據(jù)——基本事實
.
.
1.兩點確定一條直線
2.兩點之間線段最短
在幾何命題中，我們學(xué)過了哪些基本事實呢？
.
垂直
3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
.
平行
4.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
1
2
∠1=∠2
5.兩條直線被第三條直線所截，如果同位∠相等，那么這兩條直線平行
新知探究
邏輯推理的過程——證明
以上五條基本事實，就像數(shù)學(xué)大廈的基石一樣，是無需加以論證的“起點”命題，雖然簡單，卻是接下來進(jìn)行復(fù)雜推理的堅實依據(jù)。
但當(dāng)我們遇見新的、不顯而易見的數(shù)學(xué)問題時，該怎么辦呢？
這時候就需要證明，什么是證明呢？
定義、基本事實為依據(jù)
邏輯推理
新結(jié)論、命題
證明
新知探究
開啟證明之旅：幾何推理的探索與實踐
以上我們知道了何為證明，那么如何證明？我們以證明“對頂角相等”為例。
分析：首先我們要先明確該命題的條件和結(jié)論。
條件：如果兩個角是對頂角
結(jié)論：那么這兩個角相等
同時為了推理過程更加精確、簡約，便于論證，
文字語言的條件和結(jié)論
圖形語言和符號語言
如圖，如果AB， CD交于點O，∠AOC與∠BOD是對頂∠，那么∠AOC=∠BOD
該命題是否正確呢？
新知探究
開啟證明之旅：幾何推理的探索與實踐
例1：如圖，已知AB， CD交于點O，∠AOC與∠BOD是對頂角。
求證：∠AOC=∠BOD
證明：因為直線AB，CD相交于點O
（已知）
所以∠AOC + ∠AOD = 180°，∠BOD + ∠AOD = 180°
（平角的定義）
所以∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD
（等量代換）
所以∠AOC = ∠BOD
（等式的基本性質(zhì)）
巧用“等量代換”，架起等式橋梁是解決本題的關(guān)鍵，，要想精確且簡明的表示出這一步來，圖像是必不可少的
方法技巧
新知探究
1.定理的定義與屬性
開啟證明之旅：幾何推理的探索與實踐
2.幾何證明步驟（概括與表達(dá)）
定義
我們把推理證實過的真命題叫做定理
例如
對頂角相等
屬性
定理和基本事實一樣，也可以作為證明的依據(jù)
一
二
三
根據(jù)題意，畫出圖形
結(jié)合圖形，寫出“已知”“求證”
寫出“證明”
根據(jù)以上的證明過程，我們可以得出以下結(jié)論：
下面我們試試將剛剛總結(jié)的步驟運用于實際證明中
新知探究
證明：等角的余角相等
已知： ∠α = ∠β，∠1 是∠α 的余角，∠2 是∠β 的余角。
求證：∠1 = ∠2。
證明：因為∠1 是∠α 的余角，∠2 是∠β 的余角
（已知）
所以∠1 + ∠α = 90°，∠2 + ∠β = 90°
（余角的定義）
所以∠1 + ∠α = ∠2 + ∠β
（等量代換）
因為∠α = ∠β
（已知）
所以∠1 = ∠2
（等式的基本性質(zhì)）
方法技巧
解決本題的核心是用“余角定義”搭建數(shù)量關(guān)系，用“等量代換+等式性質(zhì)”完成邏輯推導(dǎo)
即時訓(xùn)練
1.閱讀證明過程，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)。
如圖，B，C 是線段 AD 上的兩點，且 AB = CD。求證：AC = BD。
證明：因為 AB = CD
所以 AB + BC = CD + BC
所以 AC = BD
已知
等式的基本性質(zhì)
線段的和的定義
提分筆記
這道題滲透了“從已知條件出發(fā)，結(jié)合基本性質(zhì)與圖形定義推導(dǎo)結(jié)論”的幾何證明思維，，這種“條件→性質(zhì)→結(jié)論”的邏輯鏈會反復(fù)用到
（ ）
（ ）
（ ）
即時訓(xùn)練
2.如圖，∠ABC = ∠A'B'C'，BD 和 B'D' 分別是∠ABC 和∠A'B'C'的平分線。
求證：∠ABD = ∠A'B'D'。
證明：因為 BD 是∠ABC 的平分線
（已知）
所以∠ABD =∠ABC
（角平分線的定義）
同理，B'D' 是∠A'B'C' 的平分線
（已知）
所以∠A'B'D' = ∠A'B'C'
（角平分線的定義）
又因為∠ABC = ∠A'B'C'
（已知）
所以 ∠ABC = ∠A'B'C'
（等式的基本性質(zhì)）
所以∠ABD = ∠A'B'D'
（等量代換）
“等量代換”是幾何證明的“橋梁工具”，當(dāng)直接證兩個量相等困難時，找“中間共同量”串聯(lián)邏輯。
課堂小結(jié)
幾何證明的三步法：思維轉(zhuǎn)化的完整鏈條
畫圖
寫已知求證
證明
以上證明過程并非機械流程，而是體現(xiàn)
直觀
抽象
邏輯
特別是在證明這一步時，一般使用的演繹推理（如三段論）串聯(lián)論據(jù)，構(gòu)建“前提”的邏輯鏈
如在“等角的余角相等”的證明中，就用了使用了這樣的邏輯鏈
余角定義
等量代換
等式的性質(zhì)
課堂練習(xí)
能力提升
1.如圖，直線AB，CD相交于點O，其中∠AOC是直角。
求證：∠BOC，∠BOD，∠AOD都是直角。
證明：因為AB是一條直線
（已知）
所以∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 90° = 90°
（等式的性質(zhì)）
所以∠BOC是直角
所以∠AOC + ∠BOC = 180°
（鄰補角性質(zhì)）
（直角定義）
因為∠BOD與∠AOC是對頂角
（對頂角的定義）
所以∠BOD=∠AOC=90°
（對頂角的性質(zhì)）
同理∠AOD是直角
所以∠BOD是直角
（直角定義）
（對頂角的定義與性質(zhì)）
在數(shù)學(xué)證明中，“同理” 是一種常用的表達(dá)方式，但它是一把雙刃劍——用得恰當(dāng)可以精簡證明，避免重復(fù)用得不恰當(dāng)則會導(dǎo)致邏輯漏洞、表述不清，甚至完全錯誤；
課堂練習(xí)
2.參考等角的余角相等的過程，證明：等角的補角相等
已知： ∠α = ∠β，∠1 是∠α 的補角，∠2 是∠β 的補角。
求證：∠1 = ∠2。
證明：因為∠1 是∠α 的補角，∠2 是∠β 的補角
（已知）
所以∠1 + ∠α = 180°，∠2 + ∠β = 180°
（補角的定義）
所以∠1 + ∠α = ∠2 + ∠β
（等量代換）
因為∠α = ∠β
（已知）
所以∠1 = ∠2
（等式的基本性質(zhì)）
條件：如果兩個角相等 結(jié)論：那么它們的補角相等
方法技巧
類比“等角的余角相等”這一命題的證明，發(fā)現(xiàn)兩個題都用到了等量代換，和等式的性質(zhì)
能力提升
課堂練習(xí)
3.說明“如果一個三位數(shù)的三個數(shù)位上的數(shù)字的和能被3整除，那么這個三位數(shù)能被3整除”是真命題
證明：設(shè)該三位數(shù)的百位數(shù)字為 ，十位數(shù)字為 ，個位數(shù)字為 =3k（k為整數(shù)，a,b,c均為0-9的整數(shù)）
這個三位數(shù)可以表示為
（已知）
（三位數(shù)的數(shù)值展開式）
（加法結(jié)合律）
因為9和99是3的倍數(shù)
（3的倍數(shù)的定義）
所以99a+9b=3（33a+3b）,其中（33a+3b）是整數(shù)
（整數(shù)的定義）
=3[（33a+3b）+k]
（乘法分配律）
所以這三位數(shù)能被3整除
解題的關(guān)鍵：
拆分法：將一個數(shù)拆分為兩個或多個數(shù)的和，如 100a=99a+a
10b=9b+b
拓展延伸
課堂練習(xí)
變式訓(xùn)練
4.，OC是∠AOB內(nèi)部可繞點轉(zhuǎn)動的射線，平分，平分。
求證
因為 平分 ，OE 平分 （已知）
所以 ，（角平分線的定義）
因為（角的和的定義）
所以（等量代換）
=（∠AOC+∠BOC）（乘法分配律）
=∠AOB（等量代換）
=α（等量代換）
角平分線的“雙向性”：
角平分線既是“拆分工具”（將大角拆為兩個相等的小角），也是“合成工具”（兩個相等小角的和等于大角）。證明中常作為“等量代換”的依據(jù)。
課堂總結(jié)
1.什么是證明？
以定義、基本事實為依據(jù)，通過邏輯推理的方式得到新命題與結(jié)論的過程，叫做證明
2.幾何證明步驟
根據(jù)題意，畫出圖形
結(jié)合圖形，寫出“已知”“求證”
寫出“證明”
感謝聆聽!

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