資源簡介

24.4 一元二次方程的應用
課題 第2課時平均變化率問題 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P49-51
教學目標 1.會根據具體問題,找到增長率問題中的等量關系,列出一元二次方程并求解. 2.能根據問題的實際意義,檢驗所得結果是否合理. 3.進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵. 4.經歷將實際問題抽象為方程問題的過程,探索問題中的數量關系,進一步體會數學中的建模思想. 5.培養(yǎng)學生應用數學的意識,提高學生分析問題、解決問題的能力.
教學重難點 重點：掌握建立數學模型以解決增長率與降低率問題. 難點：正確分析問題中數量關系并建立一元二次方程模型.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創(chuàng)設情景，導入新課 隨著我國汽車產業(yè)的快速發(fā)展以及人們經濟收入的不斷提高，汽車已越來越多地進入普通家庭 .據某市交通部門統(tǒng)計，2010年底，該市汽車保有量為15萬輛，截至2012年底，汽車保有量已達21. 6萬輛. 若該市這兩年 汽車保有量增長率相同，求這個增長率. 師生活動：教師提問,學生回答． 列舉和生活息息相關的案例，用增長率有關的一元二次方程引入新課,為本節(jié)課建立一元二次方程的數學模型解決增長率的實際問題打下基礎,降低了本節(jié)課知識的難度,學生易于理解和掌握,激發(fā)學生學習興趣.
2.實踐探究，學習新知 【探究】 試著解決課程導入的問題. 設年增長率為x，請你思考并解決下面的問題： (1) 2011年底比2010年底增加了______萬輛汽車，達到了______萬輛. (2) 2012年底比2011年底增加了______萬輛汽車，達到了______萬輛. (3)根據題意，列出的方程是______. (4)解方程，回答原問題，并與同學交流解題的思路和過程. 預設答案：(1) 15x ，15x+15 ； (2) (15x+15)x，(15x+15)+(15x+15)x； (3) 15(x+1)2=21.6 (4)設年增長率為x,根據題意得:15(1+x)2=21.6, 解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合題意舍去). 答:這個增長率為20%. 師生活動：學生獨立思考后小組合作交流,完成解答過程后交流答案,學生板書展示結果,教師點評并規(guī)范答題格式. 【歸納總結】 如果增長率中的基數為a，平均增長率為x，則 第一次增長后的數量為a(1＋x)， 第二次增長后的數量為a(1＋x)2， … … 第n次增長后的數量為a(1＋x)n. 師生活動：學生在教師的啟發(fā)下歸納發(fā)言，教師在學生概括的基礎上進行歸納. 例1 某鎮(zhèn)2016年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2018年達到82.8公頃． (1)求該鎮(zhèn)2016年至2018年綠地面積的年平均增長率； (2)若年平均增長率保持不變，則2019年該鎮(zhèn)的綠地面積能否達到100公頃？ 解：(1)設該鎮(zhèn)2016年至2018年綠地面積的年平均增長率為x， 則57.5(1＋x)2＝82.8. 解得x1＝-2.2(舍去)，x2＝0.2. ∴該鎮(zhèn)2016年至2018年綠地面積的年平均增長率為20%. (2)2019年的綠地面積為82.8×(1＋0.2)＝99.36(公頃)，99.36＜100. ∴2019年該鎮(zhèn)的綠地面積不能達到100公頃． 師生活動：學生在教師的引導下思考回答,獨立完成解答過程,教師幫助有困難的學生,并展示答案,同時規(guī)范做題格式. 【歸納總結】 列一元二次方程解應用題的一般步驟可歸結為六個字：審、設、列、解、驗、答． 一般情況下， “審”不寫出來，但它是關鍵的一步，只有審清題意，才能準確列出方程． 師生活動：學生歸納發(fā)言，教師在學生概括的基礎上進行歸納. 例2 建大棚種植蔬菜是農民致富的一條好途徑. 經過市場調查發(fā)現：搭建 一個面積為x(公頃)的大棚，所需建設費用(萬元)與x＋2成正比例， 比例系數為0.6；內部設備費用(萬元)與x2成正比例，比例系數為2. 某農戶新建了一個大棚，投人的總費用為4. 8萬元.請計算該農戶新建的這個大棚的面積. (總費用=建設費用+內部設備費用) 解：依題意得：0. 6(x＋2)＋2x2＝4. 8. 整理，得10x＋3x－18＝0. 解方程，得：x1＝1.2，x2＝－1.5(不合題意，舍去). 答：該農戶新建的這個大棚的面積為1.2公頃. 師生活動：教師引導學生分析題意,學生獨立完成解答過程,教師點評. 【做一做】 某工廠工業(yè)廢氣年排放量為300萬立方米.為改善城市環(huán)境質量,決定在兩年內使廢氣年排放量減少到144萬立方米.如果第二年廢氣減少的百分率是第一年廢氣減少的百分率的2倍,那么每年廢氣減少的百分率各是多少 師生活動：教師展示問題，學生先獨立思考，然后同桌之間進行交流，教師在巡視過程中，如果發(fā)現學生存在困難，可追問. 教師活動1：題目中的已知量和未知量分別是什么 未知量之間的數量關系是什么 教師活動2：如何設未知數 題目中的等量關系是什么 師生活動：根據追問，學生進一步思考，進行解答，發(fā)表意見. 解：設第一年廢氣減少的百分率為x,則第二年廢氣減少的百分率為2 由題意得， 300（1-x）（1-2x）＝144. 解得x1=1.3（舍去），x2=0.2. ∴ 2x＝0.4. 把分析問題的過程設置成小問題的形式,通過教師的引導或者小組合作交流,學生層層遞進的方式分析并解決問題,降低了學習難度,進一步培養(yǎng)學生分析問題的能力. 通過歸納總結，使學生掌握和增長率有關的一元二次方程應用題中量的關系，為解決此類問題打下堅實基礎. 根據上面增長率有關的歸納總結，師生共同找題中的已知量與未知量之間的等量關系,列出方程解決問題,提高學生的讀題、審題能力,培養(yǎng)學生深入思考、分析問題的能力. 通過歸納總結，使學生掌握一元二次方程解應用題的一般步驟. 教師引導學生分析題意,難點是用代數式正確表示等量關系中的兩種費用,通過對實際問題的理解,進一步體會建立方程模型的過程,提高學生的應用意識. 在教師設計的問題的引導下,通過小組活動,讓學生親身經歷建立數學模型的過程,感受數學在實際生活中的應用,同時提高學生分析問題、解決問題的能力.
3.學以致用，應用新知 考點1 一元二次方程的應用——平均變化率問題 練習1 AI技術的崛起正在改變著我們的生活和工作方式，讓我們的生活更加智能、高效、便捷．某機器人月份的銷售額為30000元，經過兩個月的連續(xù)增長，月份銷售額達到了76800元，求該AI機器人這兩個月銷售額的月平均增長率． 解：設該AI機器人這兩個月銷售額的月平均增長率為x. 根據題意，得 30000(1+x)2=76800， 解得x1=-2.6(舍去)，x2=0.6=60%. 答：該AI機器人這兩個月銷售額的月平均增長率為60%. 變式訓練1 為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由200元降為162元，求平均每次降價的百分率，設平均每次降價的百分率為x，則可列方程為___________． 答案：200(1-x)2=162 鞏固求平均變化率問題的方法，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.某工廠工業(yè)廢氣年排放量為300萬立方米. 為改善城市環(huán)境質量，決定在兩年內使廢氣年排放量減少到144萬立方米. 如果第二年廢氣減少的百分 率是第一年廢氣減少的百分率的2倍，那么每年廢氣減少的百分率各是多少？ 解：第一年減少的百分率是x，第二年減少的百分率是2x. 由題意得：300（1-x）(1-2x)=144 整理化簡得：50x2-75x+13=0. 解得：x1=0.2, x2=1.3(不符合題意，舍去) 故x=0.2. 答：第一年減少的百分率是20%，第二年減少的百分率是40%. 2.某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是(　　) A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315 答案：B 3.某公司今年銷售一種產品，一月份獲得利潤10萬元，由于產品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同，設2，3月份利潤的月增長率為x，那么x滿足的方程為(　　) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4 答案：D 知識的綜合運用，通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 本節(jié)課所學知識：一元二次方程的應用—平均變化率的問題. 通過學生自我反思、小組交流、引導學生自主完成對本節(jié)重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業(yè) 課本P50習題A組，P51習題B組 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 24.4　一元二次方程的應用 第2課時　平均變化率問題 【歸納】 如果增長率中的基數為a，平均增長（或降低）率為x，則 第一次增長（降低）后的數量為a(1±x)， 第二次增長（降低）后的數量為a(1±x)2， … … 第n次增長（降低）后的數量為a(1±x)n. 提綱掣領，重點突出.
教后反思 教學過程中，強調解決有關增長率問題時，應考慮實際，對方程的根進行取舍. 反思，更進一步提升.

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