資源簡介

25.1 比例線段
課題 比例線段 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P58-61
教學目標 1.掌握比例線段、比例中項的概念及比例的基本性質. 2.會求兩條線段的比及判斷四條線段是否成比例. 3.知道黃金分割的意義及其中的文化價值.
教學重難點 重點：理解線段的比與成比例線段的概念及求解. 難點：應用比例的基本性質進行比例變形.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 你能在下面圖形中找出形狀相同的圖形嗎？ 教師活動：對于上面我們給出的幾組圖形，形狀相同的圖形有什么不同嗎？ 學生活動：大小不同. 教師活動：大小不同的兩個圖形我們應該怎樣得到呢？ 學生活動：通過圖形之間的放大或者縮小得到另一個圖形. 教師活動：圖形上相應的線段關系又如何呢？ 學生活動：放大或縮小的同時圖形上相應的線段也被放大或縮小. 教師活動：這樣對于形狀相同而大小不同的兩個圖形，我們可以用相應線段長度的比來描述圖形的大小關系. 通過生活中常見的實物圖片和圖形，引發學生進行對比和思考，這樣能激發學生學習的興趣，從而開始愉快的一節課.
2.實踐探究，學習新知 1.線段的比 【觀察與思考】 觀察下圖所示的三個長方形，你認為哪兩個長方形的大小不同但形狀相同 理由是什么 通過以上的觀察思考，兩個長方形的形狀是否相同，與它們的長、寬比是否相等有關.為此，需要研究線段的比和成比例線段. 我們知道，選定一個長度單位，如米、厘米等，可以量出一條線段的長度，如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b=m：n，或寫成=． 注意： （1）和數的比一樣，兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項； （2）兩條線段的比就是其長度的比，它是一個數，它沒有單位.比值總是正的； （3）兩條線段的比是有順序的； （4）兩條線段的比與所選的長度單位無關； （5）求兩條線段的比時，如果單位不同，那么必須先化成同一單位，再求它們的比. 【探究】 圖1 回答下列問題： （1）求線段AB，AD，EF，EH的長度. （2）分別計算，，，的值，你發現了什么？ 學生活動：獨立完成第1小題，然后小組討論第2小題，讓小組代表發表本小組的見解. 學生活動：通過計算得到，. 教師活動：這樣的線段有什么專有名稱？ 學生活動：這樣的線段我們把它叫做成比例線段. 教師活動：在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，我們就把這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段. 由此可知AB，EF，AD，EH是成比例線段，AB，AD，EF，EH也是成比例線段. 注意：四條線段成比例與這四條線段的排列順序有關. 2.比例的基本性質 教師活動：如果線段a，b，c，d成比例，即，那么ad＝bc 嗎？ 學生活動：由等式的基本性質，在兩邊同乘以bd，得ad＝bc. 教師活動：反之，如果線段a，b，c，d滿足ad＝bc，那么這四條線段成比例嗎？ 學生活動：成比例. 由教師補充，由等積式得到比例式時要注意a，b，c，d都不等于0. 教師活動： 比例的基本性質：（1）如果，那么ad＝bc； （2）如果ad＝bc，那么（b，d≠0）. 如果＝，即b2＝ac，那么b叫做a，c的比例中項． 【一起探究】 3.等比性質 (1)如果＝＝，那么＝________. (2)如果＝＝，那么＝成立嗎？ (3)如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝成立嗎？ 探究得： 事實上若設＝＝…＝=k則有a＝kb，c＝kd，···，m＝kn. 所以a＋c＋···＋m＝kb＋kd＋···kn＋＝k(b＋d＋···＋n). 因為b＋d＋···＋n≠0，所以(b＋d＋…＋n≠0)， ＝k ， ＝. 我們把這條性質叫做比例的等比性質. 師生活動：學生分析題意，并寫出證明過程，教師巡回指導，讓學生學會“舉一反三”，靈活運用相關的知識，查看學生的自學能力． 4.黃金分割 問題： 如圖2所示，已知線段AB=a，點C在AB上. 圖2 當時，線段AC的長是多少 解：設AC＝x，則BC＝a-x. ∵ ，∴ ， ∴ 建立關于x的方程x2+ax-a2=0， 解得x=. ∵ AC的長為正數，∴ AC＝.618a. 總結：在線段AB上有一點C，如果點C把AB分成的兩條線段AC和BC滿足 ，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C稱為線段AB的黃金分割點，稱為黃金比. 每條線段上的黃金分割點都有兩個. 通過問題讓學生理解線段的比的概念，這樣大大降低了學習難度，學生能較容易地接受新知識. 通過圖形各邊的比引出比例線段的定義. 以問題的形式引導學生思考,加深對比例的基本性質的理解和掌握. 本環節難度層層加大，目的是讓學生加強對新知的理解，同時介紹一種方法——引入比值k，利用這種方法，可以將比例的大部分性質加以證明. 黃金分割
3.學以致用，應用新知 考點1 線段的比 練習1 在比例尺為1:10 000 000的地圖上，A，B 兩城市之間的距離為5 cm，則這兩城市之間的實際距離為（　　） A.0.5 cm B.5 km C.50 km D.500 km 答案：D 變式訓練1 根據下列條件，求a∶b的值. （1）4a=5b；（2） . 解：（1）∵ 4a=5b，∴. （2）∵，∴ 8a＝7b，∴. 考點2 成比例線段 練習2 判斷下列線段a，b，c，d是否為成比例線段. （1）a=4，b=6，c=5，d=10； （2）a=2，b=，c=2，d=5. 解：（1）∵，， ∴， ∴ 線段a，b，c，d不是成比例線段. ∵， ∴， ∴線段a，b，c，d是成比例線段. 變式訓練2 已知線段a，b，c，d成比例，且a=3b，c=12 cm，則線段d的長為（ ） A.4 cm B.6 cm C.9 cm D.36 cm 答案：A 考點3 比例的性質 練習3 在△ABC與△DEF中，已知，且△ABC的周長為18，求△DEF的周長. 解：∵， ∴ ， ∴ 4（AB+BC+CA）＝3（DE+EF+FD）， 即DE+EF+FD＝（AB+BC+CA）. 又∵△ABC的周長為18，即AB+BC+CA＝18， ∴ DE+EF+FD＝（AB+BC+CA）＝24， ∴ △DEF的周長為24. 變式訓練3 已知，則的值是______． 答案： 考點4 黃金分割 練習4 符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD=BC，且C、D兩點都是AB的黃金分割點，若CD=2，求AB的長. 解：∵C、D兩點都是AB的黃金分割點， ∴AC=，BD=AB， ∴AC+BD=(-1)AB， 即AB+CD=(-1)AB, ∵CD=2， ∴AB=2. 變式訓練4 C是AB的黃金分割點，AC>BC，若AB=10 cm，則AC=________cm.（結果精確到0.1） 答案:6.2 鞏固求比例線段的方法，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.若兩地的實際距離為300 km，圖上距離為3 cm，則這張地圖的比例尺為(　　) A.1 000 000：1 B.10 000 000：1 C.1：1 000 000 D.1：10 000 000 答案：D 2.下列四條線段中，不能成比例的是(　　) A.a＝3，b＝6，c＝4，d＝8 B.a＝1，b＝，c＝2，d＝ C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D.a＝2，b＝，c＝，d＝2 答案：C 3.已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞CB，則下列等式中成立的是(　　) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2BC·AB 答案：C 4.（1）已知 ，那么______，＝______. （2）如果，那么＝______. （3）如果，那么______. 答案： 5.如果求m的值. 解：①當x＋y＋z＝0時， y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z， ∴ m為其中任何一個比值，即m＝＝-1. ②當x＋y＋z≠0時， m＝＝＝2. ∴ m＝2或－1. 6.已知線段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm. (1)求線段a與線段b的比； (2)如果線段a，b，c，d成比例，求線段d的長. 解：(1)∵ a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm， ∴ a∶b＝30∶60＝1∶2. (2)∵線段a，b，c，d成比例， ∴ . ∵ c＝12 dm＝120 cm， ∴ ，∴d＝240 cm. 7.已知a，b，c是△ABC的三邊，滿足，且a＋b＋c＝12，請你探索△ABC的形狀. 解：設=k可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8， 代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3， 則a＝5，b＝3，c＝4，∴b2＋c2＝a2，即△ABC為直角三角形. 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 本節課所學知識：一元二次方程的應用—增長率的問題. 通過學生自我反思、小組交流、引導學生自主完成對本節重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業 課本P61習題A組，B組 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 25.1　比例線段 成比例線段：在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，我們就把這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段. 比例的基本性質：（1）如果，那么ad＝bc； （2）如果ad＝bc，那么（b，d≠0）. 比例的等比性質：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. 提綱掣領，重點突出.
教后反思 在教學中，不僅要求學生掌握抽象的數學結論，更應注重學生的“發現”意識，引導學生參與探討知識的形成過程．盡量挖掘學生的潛能，能讓學生通過努力，自己解決問題，這一教學過程，讓學生通過計算、觀察、發現、自學的方式，使學生在自己探索中學習知識，發現知識，并通過討論，說出判斷兩個比能否組成比例的依據，促進了學生學習的順利進行． 反思，更進一步提升.

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