資源簡介

25.6 相似三角形的應用
課題 第1課時 利用相似三角形測內徑和高度 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P88-90
教學目標 1.在測量旗桿、電視塔等的具體情境中進一步理解相似三角形的概念及性質； 2.積累數學操作活動經驗，培養學生的問題意識，提高分析問題和解決問題的能力； 3.在解決實際問題的過程中，感受到數學活動充滿著探索與創造的樂趣.
教學重難點 重點：能靈活應用相似三角形的性質解決有關實際問題. 難點：如何把實際問題轉化為數學模型.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 【復習回顧】 教師活動：相似三角形有哪些性質？ 學生活動1：相似三角形的對應角相等、對應邊成比例. 學生活動2：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比. 學生活動3：相似三角形周長的比等于相似比. 學生活動4：相似三角形面積的比等于相似比的平方. 教師活動：相似三角形的這些性質有哪些應用呢？這節課繼續研究. 教師拋出問題，激發學生思考，從而調動學生學習的積極性，為下面的學習奠定基礎.
2.實踐探究，學習新知 【探究1】利用相似三角形的性質測內徑 學生活動：利用所學知識，設計測量空心圓柱形機械零件的內徑的方案，并說明方案的可行性. 例1 這是一個零件的剖面圖，外徑為a,內徑AB不能直接量出，求它的壁厚x,需要用交叉卡鉗去量，如果OC:OA=OD:OB=1:m ,CD=b,請計算這個零件的壁厚x.(用含a,b,m的代數式表示) 解：∵，∠OCD=∠AOB， ∴△CDO~△ABO. ∴. 又∵CD=b， ∴AB=mb，x=. 即這個零件的內徑為mb，壁厚為. 師生活動：小組合作探究，教師巡視，適當給予提示，小組展評. 【探究2】利用相似三角形的性質測量旗桿的高度 教師活動：提出問題:我們操場上飄揚的紅旗，你想知道旗桿的高度嗎？例1的做法給我們什么啟發？ 學生活動：測量旗桿的高度幾種代表性的做法如下： 方法一的操作步驟及其對應圖形如下： 測量工具：皮尺、1米竿. ①先分別測量出同一時刻旗桿AB與1米竿CD的影長BM與DN； ②再利用△ABM∽△CDN即可求得旗桿的高度. 計算步驟如下： ∵△ABM∽△CDN， 方法二的操作步驟及其對應圖形如下： 測量工具：皮尺、長竿. ①將長竿立于旗桿與人之間； ②觀察長竿與旗桿的頂端A，C，使人的眼睛E與A，C在同一直線上； ③利用△ANE∽△CME可求得旗桿的高度. 計算步驟如下： 先根據△ANE∽△CME可求出AN的長度； 再根據AB=AN+NB計算即可. 方法三的操作步驟及其對應圖形如下： 測量工具：皮尺、鏡子. ①將鏡面朝上置于地面C處； ②觀察鏡子中旗桿頂端A′，使人的眼睛E與C， A′在同一直線上； ③利用△A′BC∽△EFC求出A′B的長度； ④利用△ABC≌△A′BC求出旗桿的長度. 方法四的操作步驟及其對應圖形如下： 測量工具：皮尺、測角器. ①通過測角器觀察旗桿頂端A，使測角器的示數為60°； (條件允許可以是45°，30°) ②利用AB=AM+BM=ME+EF，即可求得旗桿的高度. 師生活動：讓學生先獨立思考，然后同組學生把自己的方法匯集歸納，研究方法的合理性．教師巡回指導并參與個別小組的探究后，最后再找幾個小組代表展示成功做法(畫圖像并寫出設計原理)，其他不同方法的小組補充完善，教師對表現好的提出鼓勵和表揚． 【方法歸納】 測量高度的方法 測量較高的物體(很難到達頂部的物體)的高度，通常用“在同一時刻物體高與影長成正比例”的原理解決. 讓學生動腦、動手，先設計方案，然后實施方案，真正讓學生動起來，在活動的過程中培養學生的建模能力，在合作的過程中，培養學生的合作交流意識，積累數學活動經驗. 讓學生通過“審題→畫示意圖→明確數量關系→解決問題”的數學建模過程，學會運用兩個三角形相似的知識解決實際問題，培養學生的抽象概括能力，鍛煉學生能把生活中的實際問題轉化為數學問題的能力. 總結測量較高物體高度的方法，培養學生的總結概括能力和語言表達能力.
3.學以致用，應用新知 考點1 利用相似三角形測內徑 練習1 圖1是裝滿紅酒的高腳杯示意圖，裝酒的杯體可看作一個三角形，液面寬度為6cm，其它數據如圖所示，喝掉一部分后的數據如圖2所示，求此時液面寬度． 解：如圖，過點O作OM⊥CD,垂足為M， 過點O′作O′N⊥AB，垂足為N， ∵AB∥CD， ∴△CDO~△ABO′， ∴， ∵OM=15-7=8 cm，O′N=11-7=4 cm， ∴， 解得：AB=3. 變式訓練1 如圖，用一個卡尺（AD=BC ，）測量氣缸的內孔直徑AB，量得CD的長為8 cm，則內孔直徑AB的長為（ ） A. cm B. cm C.28 cm D.20 cm 答案：D 考點2 利用標桿或陽光下的影子測高度 練習1 如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF，兩標桿相隔52米，并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內.從標桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物項端A、標桿頂端C在同一條直線上；從標桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一直線上，求建筑物的高度. 解：設高為x米，根據題意易得△CDG∽△ABG， ∴. ∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x. 再由△EFH∽△ABH可得，即， ∴BH＝2x， 即BD+DF+FH＝2x，即x－2+52+4＝2x， 解得x＝54. 答：建筑物的高度為54米. 變式訓練2 如圖，某學生利用標桿測量一棵大樹的高度，如果標桿EC的高為2 m，并測得BC＝3 m，CA＝1 m，那么樹DB的高度是（　　） A．6m B．8m C．32m D．0.125m 答案：B 鞏固利用相似三角形測內徑的方法，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力． 通過典型例題的分析，加深、鞏固測量物體高度方法的使用，以及提高學生的解決問題的能力.
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.某校數學興趣小組為測量學校旗桿AC的高度，在點F處豎立一根長為1.5米的標桿DF，如圖(1)所示，量出DF的影子EF的長度為1米，再量出旗桿AC的影子BC的長度為6米，那么旗桿AC的高度為________米. 答案：9 2．如圖，上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C，D的位置時，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲、乙同學相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，則甲的影長是________米. 答案：6 3．如圖，小明在A時測得某樹的影長為2 m，B時又測得該樹的影長為8 m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為________m. 答案：4 4.一個圓柱形空心零件的上面有個孔，截面圖如圖所示，若OA:OD=OB:OC=，且量得AB=a，則厚度x可表示為（ ）
A. B. C. D. 答案：D 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 本節課所學知識： （1）測量物體的內徑（無法直接測量的內徑）： 利用相似三角形對應邊的比相等可測量物體的內徑； （2）測高度： 在同一時刻物體高與影長成正比例； 通過學生自我反思，引導學生自主完成對本節重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業 課本P89練習，P90習題 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 25.6 相似三角形的應用 第1課時 利用相似三角形測內徑和高度 1.利用相似三角形測內徑； 例題： 2.利用標桿或陽光下的影子測高度； 例題： 提綱掣領，重點突出.
教后反思 通過本節知識的學習,可以使學生綜合運用三角形相似的判定和性質解決問題,發展學生的應用意識,加深學生對相似三角形的理解和認識.基本達到了預期的教學目標,大部分學生都學會了建立數學模型,利用相似的判定和性質來解決實際問題. 反思，更進一步提升.

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