資源簡介

26.4 解直角三角形的應用
課題 第2課時 與坡度、坡角有關的實際問題 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P118-120
教學目標 1.使學生進一步掌握解直角三角形 2.能夠運用計算器輔助解決含三角函數值計算的實際問題，提高用現代工具解決實際問題的能力.
教學重難點 重點：會用計算器由已知銳角求它的銳角三角函數值. 難點：提高用現代工具解決實際問題的能力.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 【復習回顧】 直角三角形的邊角之間的關系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==. 回顧復習三角函數值，為學習新課打下基礎.
2.實踐探究，學習新知 【探究】 問題：什么叫做坡度？ 預設答案：坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或坡比）；坡面與水平面所成的夾角叫做坡角. 顯然，可得坡度與坡角之間的關系：. 注意： 坡度不是一個度數，而是一個比值，是坡角的正切值.坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越緩.坡角α越大，tan α越大，坡度i越大. 【例題】 例1 如圖所示，鐵路路基的橫斷面為四邊形ABCD，其中，BC∥AD，∠A=∠D，根據圖中標出的數據計算路基下底的寬和坡角（結果精確到1′） 師生活動：教師展示上面的問題，學生獨立思考后小組內進行合作探究和交流，在學生解決問題的過程中，教師可通過以下問題進行引導： (1)進行和坡度有關的計算，常作輔助線構造直角三角形，根據解直角三角形的知識求坡角. (2)根據坡度概念及梯形的高，可以求出AE，DF的長. (3)由矩形的性質可得EF與BC的數量關系，求出EF的長，從而求出底AD的長. (4)在Rt△ABE中，由坡角和坡度之間的關系可求出坡角. 解:如圖所示，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F. 在四邊形BEFC中， ∵BC∥AD，∠AEB=∠DFC=90°， ∴四邊形BEFC為矩形. ∴BC=EF，BE=CF. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∵∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，BE=CF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴AE=DF. 在Rt△ABE中，，BE=4， ∴ α≈38°39'，AE=5. ∴ AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20. 即路基下底的寬為20 m，坡角約為38°39'. 【歸納總結】 前邊我們已經整理了用解直角三角形的知識解決實際問題的解題一般過程，那在解決與坡度、坡角有關的實際問題時還應注意什么？ 解決與坡度、坡角有關的實際問題： 利用解直角三角形的知識解決與坡度、坡角有關的實際問題，特別是與梯形有關的實際問題，懂得通過添加輔助線把梯形問題轉化為直角三角形來解決. 得出坡度、坡角的定義，為下面解決相關問題打下基礎. 總結出坡度、坡角的注意事項，有利于后續的解題. 通過分析典型例題，讓學生學習、熟悉如何用解直角三角形知識解決有關坡度、坡角的實際問題，提高學生解決問題的能力. 總結概括如何解決與坡度、坡角有關的實際問題，培養并提高學生的總結概括能力.
3.學以致用，應用新知 考點1 與坡度、坡角有關的實際問題 練習1 水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6 m，壩高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精確到 1°)； (2) 壩底AD與斜坡AB的長度 (精確到0.1 m). 解：（1）斜坡CD的坡度i＝tan α＝1∶2.5＝0.4， 由計算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 為22°. （2）分別過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E，F，由題意可知BE＝CF＝23 m，EF＝BC＝6 m. 在Rt△ABE中，AE＝3BE＝69 m. 在Rt△DCF中，同理可得FD＝2.5CF＝57.5 m， ∴AD＝AE+EF+FD＝69+6+57.5＝132.5(m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 AB＝≈72.7(m)， 故壩底AD的長度為132.5 m，斜坡AB的長度約為72.7 m. 變式訓練1 如圖，燕尾槽的橫斷面是四邊形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口寬AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口寬BC的值(精確到1 mm) 解：如下圖，過點D作垂線，交BC于F點， 垂足為F點，則有 AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm. 在Rt△ABE中， BE= = ≈49.01(mm)， ∴BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278(mm). 答：燕尾槽的里口寬為278 mm. 鞏固解決與坡度、坡角有關的實際問題，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.某人上坡沿直線走了50 m，他升高了 m，則此坡的坡度為(　　) A.30° B.45° C.1∶1 D.1∶ 答案：C 2.小明沿著坡比為1∶2的山坡向上走了1 000 m，則他升高了(　　) A. m　 　　 B.500 m　 C. m　 　　 D.m 答案：A 3.如圖所示，某地下車庫的入口處有斜坡AB，其坡比i＝1∶1.5，則AB＝ m. 答案： 4.如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°.求路基下底的寬.（精確到0.1米） 解：如圖，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E，F. 由題意可知DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）. 在Rt△ADE中，∵ i＝＝tan 32°， ∴ AE＝（米）. 同理可得，在Rt△BCF中， （米）， ∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1（米）. 答：路基下底的寬約為27.1米 5.自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖所示的坡路進行改造.如圖所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度為1∶.將斜坡AB的高度AE降低20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1∶4.求斜坡CD的長.（結果保留根號） 改造前 改造后 解：∵ ∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度為1∶， ∴ tan∠ABE＝，∴ ∠ABE＝30°， ∴ AE＝AB＝100米. ∵ AC＝20米，∴ CE＝80米. ∵ ∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為1∶4， ∴ ，即，解得ED＝320米， ∴ CD＝＝(米). 答：斜坡CD的長是米. 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 思維導圖的形式呈現本節課的主要內容： 通過小結給出本節課的知識結構，讓學生進一步熟悉本節課所學的知識.
6.布置作業 課本P120習題A組第2題，習題B組第2題 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 26.4　解直角三角形的應用 第2課時 與坡度、坡角有關的實際問題 1.坡度：坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比. 2.坡角：坡面與水平面所成的夾角. 3.坡度與坡角之間的關系：. 有關坡度與坡角的基本圖形 提綱掣領，重點突出.
教后反思 本課時主要培養學生分析問題、解決問題的能力；滲透數形結合的數學思想和方法．進一步感知坡度、坡角與實際生活的密切聯系，認識將知識應用于實踐的意義． 反思，更進一步提升.

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