資源簡介

27.3 反比例函數的應用
課題 反比例函數的應用 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P138-141
教學目標 1.能夠根據具體實際問題情景確定變量之間的反比例關系,并求出反比例函數的解析式. 2.能靈活運用反比例函數的圖像和性質解決相關的實際問題. 3.能綜合運用幾何、方程、不等式、反比例函數知識解決相關的實際問題.
教學重難點 重點：從實際問題中建立反比例函數模型,運用反比例函數的圖像和性質解決生活實際問題和跨學科問題. 難點：根據具體實際問題情景建立反比例函數的模型.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 【復習回顧】 1.我們學習了反比例函數的定義、圖像和性質,完成下列填空: (1)反比例函數的定義是　. (2)反比例函數的圖像是　　　　　　　　,當k>0時,　　　　　　　　;當k<0時,　　　　　　　　. (3)待定系數法求反比例函數表達式的步驟:　　　　　 　；_____________；　　　　　__　；________________. 2.前面學習了一次函數的應用,類比前面的學習過程,我們將繼續探究什么 基本方法有哪些 3.在實際問題中建立函數模型,求解函數表達式的關鍵是什么 【情景導入】 你吃過拉面嗎 知道在做拉面的過程中滲透著數學知識嗎 (1)體積為20 cm3的面團做成拉面,面條的長度y與面條的粗細(橫截面積S)有怎樣的函數關系 (2)某家面館的師傅手藝精湛,她拉的面條粗1 mm2,如果面團的體積為10 cm3,那么面條總長是多少 通過復習反比例函數的概念、圖像和性質及實際問題中找等量關系列函數表達式,為本節課的學習做鋪墊,由學生熟悉的行程問題導入新課,讓學生體會數學與實際問題之間的關系,很自然地構建出新知識,激發學生的興趣和求知欲望.
2.實踐探究，學習新知 【探究】 反比例函數在實際問題中的應用 問題：在一段長為45 km的高速公路上，規定汽車行駛的速度最低為60 km/h，最高為110 km/h. （1）在這段高速公路上，設汽車行駛的速度為v(km/h)，時間為t(h)，寫出v與t之間的函數關系式； （2）某司機開車用了25 min勻速通過了這段高速公路，請你判斷這輛汽車是否超速，并說明理由. （3）某天，由于天氣原因，汽車通過這段高速公路時，要求行駛速度不得超過75 km/h.此時，汽車通過該路段最少要用多長時間？ 師生活動：教師提出下列問題,學生思考回答,逐步解決. (1)在上述問題中有哪些量 哪些量是常量 哪些量是自變量和因變量 (2)在行程問題中,路程、速度和時間三者之間的等量關系是什么 (3)自變量和因變量的乘積是不是常數 兩者之間是不是存在著反比例函數關系 (4)你能否寫出v與t之間的函數關系式 (5)你能根據實際問題求出自變量的取值范圍嗎 (6)已知自變量t的值,怎樣求因變量v的值 (7)已知因變量v的值,如何求自變量t的值 (8)在該反比例函數關系中,已知自變量的取值范圍,怎樣求因變量的取值范圍 解:(1)v=. (2)當t=時,v=108,∵v<110,∴沒有超速. (3)當v=75時,75=,解得t=0.6, ∵45>0,∴v隨著t的增大而減小, ∴當t≥0.6時,v≤75, ∴通過該路段最少要用36 min. 【例題】 例1 氣體的密度是指單位體積(m3)內所含氣體的質量(kg).現有某種氣體7 kg. (1)某儲氣罐的容積為V(m3),將這7 kg的氣體注入該容器后,該氣體的密度為ρ(kg/m3),寫出用V表示ρ的函數表達式. (2)當把這些氣體裝入容積為4 m3的儲氣罐中時,它的密度為多大 (3)要使氣體的密度ρ=2 kg/m3,需把這些氣體裝入容積是多少立方米的容器中 (4)在下圖所示的直角坐標系中,畫出這個函數的圖像,并根據圖像回答: ①當這些氣體的體積增大時,它的密度將怎樣變化 ②把這些氣體裝入容積不超過2 m3的容器中,氣體的密度ρ在什么范圍內 分析： (1)在物理學中,物體的密度ρ(kg/m3)、體積V(m3)、質量m(kg)之間的等量關系是什么 (2)你能根據上邊的等量關系寫出物體的密度ρ(kg/m3)與體積V(m3)之間的函數表達式嗎 (3)在函數表達式中已知自變量如何求對應的函數值 已知函數值如何求對應的自變量 (4)根據反比例函數圖像,密度ρ(kg/m3)隨著體積V(m3)的增大怎樣變化 (5)當體積V(m3)取最大值時,對應的函數值ρ(kg/m3)是最小值還是最大值 (6)根據已知,自變量V的取值范圍是什么 對應的函數值ρ的取值范圍是什么 追問: 你能歸納建立反比例函數模型解決跨學科實際問題的一般思路嗎 【歸納】 根據物理學知識公式找到實際問題中的等量關系,建立反比例函數模型,列出函數表達式,已知自變量的值(函數值)代入函數表達式,解方程可得對應的函數值(自變量的值),根據函數表達式描點法畫函數圖像,利用數形結合思想可解關于函數值的不等式. 做一做 廚師將一定質量的面團做成粗細一致的拉面時,面條的總長度y(m)是面條橫截面面積S(mm2)的反比例函數,其圖像經過A(4,32),B(m,80)兩點(如圖所示). (1)寫出y與S的函數關系式. (2)求出m的值,并解釋m的實際意義. (3)如果廚師做出的面條最細時的橫截面面積能達到3.2 mm2,那么面條總長度不超過多少米 解:(1)y=，S>0. (2)m=1.6,當面條的總長度是80 m時,面條的橫截面面積是1.6 mm2. (3)當S=3.2時，y=40. ∵k=128>0， ∴y隨S的增大而減小, ∴當S最小為3.2 mm2時,面條的長度不超過40 m. 通過教師引導,給學生提供解決此類問題的思路,讓學生在問題解決的過程中體會反比例函數與實際問題的關系.解決實際問題首先建立函數模型,從兩個變量的相依關系和變化規律,借助函數的圖像,利用函數意義或性質解決問題,體會數學建模思想和數形結合思想的應用,培養學生的應用意識. 通過物理學科中已學過的密度公式,建立公式與反比例函數之間的聯系,用反比例函數知識解決跨學科問題,感受數學在現實生活中的應用,激發學生學習數學的興趣,提高學生應用數學解決問題的能力. 通過學生運用反比例函數獨立完成生活實際問題,既與導入二做到首尾呼應,又進一步訓練學生建立反比例函數模型的能力,鼓勵學生從函數圖像、不等式、方程等多角度思考問題,進而把函數、方程、不等式聯系起來,培養學生不同角度看問題,體會數學知識之間的聯系,提高用不同方法解決問題的能力.
3.學以致用，應用新知 考點1 反比例函數在實際生活中的應用 練習1 如圖所示，墻MN長為12 m，要利用這面墻圍一個矩形小院，面積為60 m2，現有建材能建圍墻總長至多26 m，設AB=x m，BC=y m. (1)寫出y與x之間的函數解析式； (2)要求x和y都取整數，且小院的長寬比盡可能的小，x應取何值？ 解：(1)y=. (2)∵y=，x，y都是整數，且2x＋y≤26，0＜y≤12. ∴＋y≤26，且0＜y≤12. ∴y的值只能取6，10，12，對應的x的值依次是10，6，5. 則符合條件的建設方案只有BC=6 cm，AB=10 cm； BC=10 cm，AB=6 cm；BC=12 cm，DC=5 cm. ∵＜＜，∴x=10. 變式訓練1 某廠現有500噸煤，這些煤能燒的天數y與平均每天燒的噸數x之間的函數關系是( ) B. C.y=500x(x≥0) D.y=500x(x>0) 答案：A 變式訓練2 甲、乙兩地相距100 km，如果一輛汽車從甲地到乙地所用時間為x(h)，汽車行駛的平均速度為y(km/h)，那么y與x之間的函數關系式為 (不要求寫出自變量的取值范圍). 答案： 鞏固用反比例函數解決實際問題的方法，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.一臺印刷機每年可印刷的書本數量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關系，當x=2時，y=20，則y與x的函數圖象大致是( ) 答案：B 2.某家庭用購電卡購買了2 000度電，若此家庭平均每天的用電量為x(單位：度)，這2 000度電能夠使用的天數為y(單位：天)，則y與x的函數解析式為y= . 答案：A 3.在某河治理工程施工過程中，某工程隊接受一項開挖水渠的工程，所需天數y(天)與每天完成的工程量x(m/天)的函數關系圖象如圖所示． (1)請根據題意，求y與x之間的函數表達式； (2)若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠15米，問該工程隊需用多少天才能完成此項任務？ (3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個月內(按30天計算)完成任務，那么每天至少要完成多少米？ 解：(1)設y＝.∵點(24，50)在其圖象上，∴k＝24×50＝1200，所求函數表達式為y＝； (2)由圖象可知共需開挖水渠24×50＝1200(m)，2臺挖掘機需要工作1200÷(2×15)＝40(天)； (3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m. 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 1.建立反比例函數模型,解決跨學科問題的一般步驟: (1)審題:弄清題意,分析問題中的等量關系; (2)建模:根據等量關系,將實際問題轉化為數學問題,利用反比例函數知識建立數學模型; (3)解模:根據反比例函數的圖像和性質解決問題. 2.在解決實際問題中,根據題意寫出函數表達式是解決的關鍵. 3.綜合運用函數、方程、不等式及數形結合思想解復雜的實際問題. 通過學生自我反思、小組交流、引導學生自主完成對本節重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業 課本P140習題A組，P141習題B組. 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 27.3　反比例函數的應用 1.反比例函數解決實際問題： 例題： 2.反比例函數解決跨學科問題： 例題： 解決跨學科問題的一般步驟: 提綱掣領，重點突出.
教后反思 本節課是用函數的觀點處理實際問題，關鍵在于分析實際情境，建立函數模型，并進一步明確數學問題，將實際問題置于已有的知識背景之中，用數學知識重新解釋這是什么，可以是什么，從而逐步形成考察實際問題的能力.在解決問題時，不僅要充分利用函數的圖象，滲透數形結合的思想，也要注意函數不等式、方程之間的聯系． 學生已經有了反比例函數的概念及其圖象與性質這些知識作為基礎，并且上學期已經學習了正比例函數、一次函數，學生已經有了一定的知識準備.因此，本節課教師可從身邊事物入手，使學生真正體會到數學知識來源于生活，有一種親切感.在學習中要讓學生經歷實踐、思考、表達與交流的過程，給學生留下充足的時間來進行交流活動，不斷引導學生利用數學知識 來解決實際問題. 反思，更進一步提升.

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