資源簡介

28.2 過三點的圓
課題 過三點的圓 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P150--152
教學目標 1.了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念. 2.理解“不在同一條直線上的三點確定一個圓”. 3.能熟練掌握應用尺規過不在同一條直線上的三點作圓的方法.
教學重難點 重點：“過不在同一條直線上的三點作圓”的方法. 難點：如何確定圓的思維過程.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 復習提問: 1.根據圓的定義，確定圓的兩個基本要素是什么 2.如何用尺規作圖作線段的垂直平分線 3.線段垂直平分線有什么性質 4.三角形三邊的垂直平分線的交點有幾個 交點與三角形三個頂點之間在距離上有什么關系 情境：一位考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時，發現一圓形瓷器碎片，你能幫助這位考古學家畫出這個碎片所在的整個圓嗎 通過提問，既復習了前面的知識，又使學生進入了狀態，為本節課的學習做好鋪墊.由生活實例導入新課，激發學生的求知欲望,讓每個學生都迅速進入積極思維的狀態。
2.實踐探究，學習新知 【師生互動】 老師提問：確定一條直線的條件是什么 學生回答：兩點確定一條直線. 老師：我們知道，兩點確定一條直線，那么，對于圓來講，是否也存在由幾點確定一個圓的問題呢 今天我們就一起來學習。 【問題思考】 動手操作，并思考回答: 1.作圓，使該圓經過已知點A，你能作出幾個這樣的圓 圓心和半徑的位置不定，可以作出無數個圓。 如圖所示，過平面內一點A，有無數多個圓，圓心的位置和半徑的大小不確定。 2.平面上有兩點A，B，過點A， B的圓有多少個 這些圓的圓心到點A, B的距離具有怎樣的關系 圓心是否在線段AB的垂直平分線上 過兩點A，B的圓有無數個，這些圓的圓心到點A，B的距離相等,它們的圓心在線段AB的垂直平分線上。 如圖所示，過平面內兩點A， B，有無數多個圓，這些圓的圓心到A， B兩點的距離相等，即圓心在線段AB的垂直平分線上。 【師生互動】 學生獨立思考、動手畫圖，小組合作交流，針對上面問題中教師的引導：圓上的點到圓心的距離相等，確定圓心的位置時，使它到點A, B的距離相等，圓心在線段AB的垂直平分線上，讓學生在黑板上作圖，教師進行點評. 【問題思考】 3.平面上三點A，B，C不在一條直線上，過點A，B，C的圓是否存在 如果存在，這樣的圓有多少個 你能確定經過A, B, C三點的圓的圓心及半徑嗎 存在，只有一個，分別作線段AB，BC的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，圓心到其中一點的距離就是半徑。 如圖所示，過平面內不共線的三點A，B，C，有且只有一個圓，圓心到A, B, C三點的距離相等，即圓心為線段AB，BC的垂直平分線的交點。 4.如果平面上三點A，B，C在一條直線上，經過A， B，C的圓是否存在 為什么 不存在，因為線段AB, BC的垂直平分線平行，沒有交點。 【師生互動】 學生獨立思考后小組合作交流，教師巡視中幫助有困難的學生，對有困難的學生引導分析，所求的圓要經過A， B， C三點，所以圓心到這三點的距離相等，因此這個點要在線段AB的垂直平分線上，又要在線段BC的垂直平分線上。 教師對學生的回答進行點評糾正，師生共同歸納結論，然后課件展示. 【總結】 我們發現：過兩點A, B的圓也有無數個，這些圓的圓心都在線段AB的垂直平分線上，過不在同一條直線上三點A, B, C的圓有且只有一個，這個圓的圓心為線段AB, BC的垂直平分線的交點，過在同一條直線上三點的圓不存在. 結論：不在同一條直線上的三點確定一個圓。 【做一做】如圖所示，過不在同一條直線上的三點A，B，C畫圓. 【師生互動】 教師給學生足夠的時間動手操作，然后小組交流答案，小組代表板書過程(或教師課件動畫展示畫圖過程)，并做出點評. 【解題過程】 作法：如圖所示. 1.分別連接AB，BC； 2.分別作出線段AB，BC的垂直平分線l1和l2，設它們的交點為O，則OA=OB=OC； 3.以點O為圓心，OA(或OB，OC)為半徑作圓，則⊙O即為所作的圓. 【例題講解】 例 用尺規作過三角形三個頂點的圓. 已知:如圖28-2-2，△ABC. 求作: ⊙O，使它過三點A，B，C. 作法：如圖28-2-3. (1)分別作線段AB和BC的垂直平分線l1和l2，設l1與l2相交于點O. (2)以點O為圓心，OA為半徑畫圓. ⊙O即為所求. 【外接圓與外心】 我們把經過三角形三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓(circumcircle)，外接圓的圓心叫做三角形的外心(circumcenter). 【知識拓展】 1.經過同一條直線上的三個點不能作圓，要注意“過三點的圓”中的“三點”不在同一直線上，故“過三點有且只有一個圓”這種說法是錯誤的. 2.“確定”一詞是指不僅能作出一個圓，而且只能作出一個圓，即“有且只有”的意思。 3.任意一個三角形都有且只有一個外接圓. 4.三角形的外心不僅是三角形外接圓的圓心,它還是三角形三條邊的垂直平分線的交點,它到三角形各個頂點的距離相等. 5.銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部。 通過動手操作、觀察思考、合作交流、歸納結論，體會數形結合思想在數學中的應用，培養學生的數學思維能力和歸納總結能力，同時掌握把實際問題抽象轉化為數學問題的重要思路。 通過動手操作, 引導學生進一步認識“過不在同一條直線上的三點只能畫出一個圓”這一事實,進一步體驗數學活動的探索與創造,感受數學的嚴謹性. 通過動手操作、思考交流,進一步體驗數學活動的探索與創造,感受數學的嚴謹性,讓學生經歷知識的形成過程,提高學生分析問題、解決問題的能力和數學思維.
3.學以致用，應用新知 考點1 外心的性質 練習1 三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等嗎？為什么 解：∵三角形的外心是三角形的三邊的垂直平分線的交點，
∴三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等． 考點2 外心的位置與三角形形狀之間的關系 練習2 請分別畫出下面三個三角形的外接圓，并說明外心的位置與三角形的形狀之間具有怎樣的關系。 解：分別作每個三角形兩邊的垂直平分線，兩條垂直平分線交點即為三角形外心，以外心為圓心，外心到一個頂點的距離為半徑作圓即為三角形外接圓，如圖： 根據圖形可知，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形外心是斜邊的中點，鈍角三角形外心在三角形外部． 鞏固外接圓與外心的性質，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1．三角形的外心是（　　） A．三邊上的高線的交點 B．三邊中線的交點 C．三邊垂直平分線的交點 D．三個內角平分線的交點 答案：C 2．如圖，點A，B，C均在直線l上，點P在直線l外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．如圖，點O是△ABC的外接圓的圓心，若∠A＝80°，則∠BOC為（　　） A．100° B．160° C．150° D．130° 答案：B 解析：∵點O是△ABC的外接圓的圓心， ∴∠A、∠BOC同對著. ∵∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°， 4．如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C．D、E、F在小正方形的頂點上，則△ABC的外心是（　　） A．點D B．點E C．點F D．點G 答案：A 5．如圖，O是△ABC的外心，則∠1+∠2+∠3＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 答案：C 解析：如圖，∵OA＝OB，∴∠3＝∠4， 同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6. ∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°. 6．如圖，圓內接正三角形ABC的半徑是5，則它的邊長是（　　） A．5 B． C．7.5 D． 答案：D 解析：如圖，過O作OD⊥AC于D，連接OA，OC， ∴AD＝DC，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴∠OAD＝×（180°﹣∠AOC）＝30°. 在Rt△AOD中，AO＝5，∴OD＝， 由勾股定理得AD＝＝，∴AC＝5. 7．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別是點A（﹣3，0）、點B（﹣1，2）、點C（3，2），則△ABC的外心的坐標為 　 　． 答案：（1，﹣2） 解析：如圖，根據網格作AB，BC的垂直平分線，兩條線交于點D， ∴點D（1，﹣2）是△ABC的外心， ∴△ABC的外心的坐標為（1，﹣2）. 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 1.過平面內一點有無數多個圓. 2.過平面內兩點有無數多個圓,圓心在線段的垂直平分線上. 3.作三角形的外接圓. 4.不在同一條直線上的三點確定一個圓. 通過學生自我反思、小組交流、引導學生自主完成對本節重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業 課本P152習題A組，B組 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 28.2　三角形的外接圓 1.過平面內一點有無數多個圓. 2.過平面內兩點有無數多個圓,圓心在線段的垂直平分線上. 3.作三角形的外接圓. 4.不在同一條直線上的三點確定一個圓. 提綱掣領，重點突出.
教后反思 本節課的重點是探索過不在同一條直線上的三點確定一個圓及如何過給定的兩點和三點作圓，通過復習舊知識，直接導入本節課的學習,在教學設計中主要通過一系列動手操作、觀察、思考、歸納等探究活動，體會分類思想和數形結合思想，經歷知識的形成過程,達到在數學課堂上培養分析問題、解決問題的能力,所以在教學設計.上多多設計學生活動交流展示的環節,把難點以問題的形式提出來,降低難度，讓學生分析解決,真正達到能力的提升. 反思，更進一步提升.

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