資源簡介

28.3.1 圓心角
課題 圓心角 授課類型 新授課
授課人
教學(xué)內(nèi)容 課本P153--155
教學(xué)目標(biāo) 1.理解圓心角的概念,掌握圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系及推論. 2.學(xué)會運用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進(jìn)行簡單的計算和證明，
教學(xué)重難點 重點：理解并掌握圓心角、弧、弦之間關(guān)系并利用其解決相關(guān)問題. 難點：圓心角、弧、弦之間關(guān)系中的“在同圓或等圓”條件的理解及關(guān)系的證明.
教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件
教與學(xué)互動設(shè)計（教學(xué)過程） 設(shè)計意圖
1.創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)提問: 1.圓是不是中心對稱圖形 對稱中心是什么 答：圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。 2.將課前準(zhǔn)備的兩個圓形紙片重合在一起，繞圓心轉(zhuǎn)動其中一個圓，你發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象 答：把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形與原圖形重合，即圓有旋轉(zhuǎn)不變性。 【師生活動】學(xué)生動手操作， 思考回答，教師點評。 情境： 欣賞動畫：折扇的收攏和展開. 老師提問：觀察在這個過程中哪些弧重合 哪些弦重合 哪些角重合 在折扇的收攏和展開的過程中，這些弧、弦所對的角是圓心角，它與這些弧、弦之間有什么數(shù)量關(guān)系呢 這就是我們這節(jié)課要探索的內(nèi)容. 通過旋轉(zhuǎn)課前準(zhǔn)備的紙片，輕松獲得圓的旋轉(zhuǎn)不變性,為本節(jié)課的定理的證明做好鋪墊。 運用多媒體形象直觀地展現(xiàn)了折扇中蘊涵的圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，引入課題順理成章,動畫演示激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活。
2.實踐探究，學(xué)習(xí)新知 一、圓心角的定義 【師生互動】 老師提問：什么是圓心角呢？我們一起來歸納概念. 歸納概念: 問：觀察導(dǎo)入里折扇收攏過程中，這些重合的角有什么特征 【師生活動】教師引導(dǎo)圓心、半徑與角之間的關(guān)系，學(xué)生歸納出特征以后給出圓心角的概念. 【定義展示】 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角. 【思考】 1.如圖所示，哪些角是圓心角 哪些角不是圓心角 【師生互動】 老師：圓心角的定義是怎樣的？ 學(xué)生：頂點在圓心的角叫做圓心角. 老師追問：那么圓心角有什么特征呢？ 學(xué)生：頂點一定是在圓心上。 老師：請回答題目中的問題。 學(xué)生：(1)和(4)所示的∠AOB為⊙O的圓心角，(2)和(3)所示的∠APB不是⊙O的圓心角. 【針對訓(xùn)練】 1.如圖所示，圖中有幾個圓心角 分別是什么 答：有三個圓心角，分別是∠AOB,∠AOC,∠BOC. 追問：圖中的圓心角所對的弧、弦分別是什么 學(xué)生：…… 二、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系 通過觀察我們看到，圓的每個圓心角都對應(yīng)一條弦和一條弧.相等的兩個圓心角所對應(yīng)的兩條弦之間以及兩條弧之間具有怎樣的關(guān)系呢 【一起探究】 如圖所示，在⊙O中，∠A0B=∠COD. （1）猜想弦AB, CD以及弧AB，弧CD之間各具有有怎樣的關(guān)系？ （2）請用圖形的旋轉(zhuǎn)說明你的猜想. 【解題思路】 動手操作： 在課前準(zhǔn)備的圓形紙片上畫出∠AOB旋轉(zhuǎn)到∠COD的圖. 回答下列問題： 1.將∠A0B旋轉(zhuǎn)到∠COD的位置，它能否與∠A0B完全重合 2.如果能重合，你會發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系 3.你能證明這些結(jié)論嗎 4.在兩個等圓中，如果圓心角∠A0B=∠A' O'B'，如圖所示，你能否得到相同的結(jié)論 5.你能用語言敘述上面的命題嗎 【解答過程】 設(shè)∠AOC=α，將∠AOB順時針旋轉(zhuǎn)α，則AO與CO重合， BO與DO重合. ∴AB與CD重合，弧AB與弧CD重合. ∴AB=CD，弧AB=弧CD. 【定理】 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧也相等. 【大家談?wù)劇?問題展示： 1.在圓心角性質(zhì)定理中，為什么要說“在同圓或等圓中” 能不能去掉 2.在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，能得到什么結(jié)論 3.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等，能得到什么結(jié)論 4.在同圓或等圓中，兩個圓心角及所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，那么其他兩組量是否相等 【結(jié)論展示】 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等. 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等. 即：在同圓或等圓中，兩個圓心角及所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等. 【針對訓(xùn)練】 如圖所示，AB，CD是⊙O的兩條弦. （1）如果AB=CD，那么 ， . （2）如果弧AB=弧CD，那么 ， . （3）如果∠A0B= ∠COD，那么 ， . 【例題講解】 例1 已知：如圖28-3-3，AB為⊙O的直徑，點M，N分別在AO，BO上，CM⊥AB， DN⊥AB，分別交⊙O于點C，D，且弧AD=弧BC. 求證: CM=DN. 證明：如圖28-3-4，連接OC，OD. ∵弧AD=弧BC，即弧AC+弧CD=弧CD+弧BD， ∴弧AC=弧BD. ∴∠AOC=∠BOD. 在Rt△CMO和Rt△DNO中， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO=∠DNO= 90°. 又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO. ∴CM=DN. 【知識拓展】 [知識拓展] 1.圓心角、弦、弧之間的關(guān)系的結(jié)論必須是在同圓或等圓中才能成立. 2.利用同圓(或等圓)中圓心角、弦、弧之間的關(guān)系可以證明角、弦或弧相等. 3.圓心角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)相等. 通過動手操作、觀察思考、合作交流、歸納結(jié)論，體會數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和歸納總結(jié)能力，同時掌握把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的重要思路。 讓學(xué)生通過動手操作、觀察、猜想、證明、歸納得出圓心角、弦、弧之間的關(guān)系的定理,讓學(xué)生親自經(jīng)歷定理的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及歸納總結(jié)能力. 學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí),用類比的方法得到圓心角定理的推論,培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力及合作精神.通過填空,及時運用所學(xué)知識解決問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力,同時讓學(xué)生體會把數(shù)學(xué)語言向幾何語言的轉(zhuǎn)化. 通過例題分析,讓學(xué)生掌握并能靈活運用所學(xué)知識點解決問題，培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)知識的能力,增強(qiáng)應(yīng)用意識，同時規(guī)范學(xué)生書寫格式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,達(dá)到鞏固知識的目的.
3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知 考點1 圓心角定理的應(yīng)用 練習(xí)1 已知：如圖，在⊙O中，弧AB=弧CD.求證：AC=BD. 證明：∵弧AB=弧CD， ∴弧AB+弧BC=弧CD+弧BC， 即弧AC=弧BD， ∴AC=BD. 練習(xí)2 已知：如圖，在⊙O中，AD=BC.求證：AB=CD. 證明：∵AD=BC，∴弧AD=弧BC， ∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC， 即弧CD=弧AB， ∴CD=AB. 鞏固圓心角定理及其推論，加深對所學(xué)知識的理解，提高學(xué)生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知 1．下列說法中，正確的是（　　） A．等弦所對的弧相等 B．等弧所對的弦相等 C．相等的圓心角所對的弦也相等 D．相等的弦所對的圓心角也相等 答案：B 2．如圖，在⊙O中，AB是直徑，，∠AOE＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 答案：B 3．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠BOC＝30°，則∠COD的度數(shù)是（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 答案：D 解析：∵，∠BOC＝30°， ∴∠AOD＝∠BOC＝30°， ∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 4．如圖，在⊙O中，，∠AOB＝35°，則∠COD的度數(shù)是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 答案：D 5．如圖，已知在⊙O中，BC是直徑，AB＝DC，則下列結(jié)論不一定成立的是（　　） A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD C． D．O到AB、CD的距離相等 答案：A 6．如圖，在⊙O中，＝＝，則∠BOC的度數(shù)為（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 答案：C 7．如圖，在⊙O中，若弧AB＝2弧CD，則AB與CD的大小關(guān)系為（　　） A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．無法確定 答案： B 解析：如圖，取的中點E，連接AE、BE，則＝， ∴AE＝BE. ∵＝2，∴＝，∴AE＝CD，∴AE+BE＝2CD， ∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD. 8．如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是 　 　（填序號）． 答案：①②③④ 知識的綜合運用，通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識．
5.課堂小結(jié)，自我完善 1.圓心角概念:頂點在圓心的角. 2.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系:在同圓或等圓中,兩個圓心角及所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中,只要有一組量相等,其他兩組量就分別相等. 3.利用同圓或等圓中圓心角、弦、弧之間的關(guān)系可以證明角、弦或弧相等. 通過學(xué)生自我反思、小組交流、引導(dǎo)學(xué)生自主完成對本節(jié)重要知識技能和思想方法的小結(jié).
6.布置作業(yè) 課本P155習(xí)題A組，B組 課后練習(xí)鞏固，讓所學(xué)知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設(shè)計 28.3　圓心角 1.頂點在圓心的角是圓心角. 2.在同圓或等圓中,兩個圓心角及所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中,只要有一組量相等,其他兩組量就分別相等. 提綱掣領(lǐng)，重點突出.
教后反思 本節(jié)課的弧、弦、圓心角之間的關(guān)系是論證同圓或等圓中弧、角、線段相等的主要依據(jù),因而在教學(xué)設(shè)計時要注重數(shù)形結(jié)合,圖形、文字、幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化.在教學(xué)設(shè)計中,重視學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,設(shè)計動手操作、思考、合作交流、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)活動, 給學(xué)生充足的時間和空間,讓課堂成為展示他們才華的舞臺,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，讓學(xué)生的能力得到更大的發(fā)展. 反思，更進(jìn)一步提升.

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