資源簡介

28.3.2 圓周角
課題 圓周角 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P155--159
教學目標 1.了解圓周角的定義,會在具體情景中辨別圓周角. 2.掌握圓周角定理及推論，并能靈活運用這些知識進行簡單的計算和證明.
教學重難點 重點：圓周角的概念以及圓周角定理和推論. 難點：圓周角定理的證明中采用的分類思想及由一般到特殊的數學思想方法.
教學準備 多媒體課件
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 復習提問: 1.圓心角是如何定義的 答：頂點在圓心的角叫做圓心角。 2.圓心角與其所對的弦、弧的關系是什么 答：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧也相等. 在同圓或等圓中，兩個圓心角及所對應的兩條弦和所對應的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等. 3.如圖，∠DAB與∠DCB是不是圓心角 它們有什么特點 答：∠DAB與∠DCB不是圓心角。它們的頂點在圓上，角的兩邊都與圓相交。 這些頂點在圓周，兩邊和圓相交的角就是我們這節課要學習的圓周角，讓我們一起探究這些角與圓心角之間的關系吧! 通過從具體生活情境出發, 使學生意識到數學與生活密不可分,激發學生學習興趣,在實際問題中畫出圖形,建立數學模型,通過觀察、歸納題目中角的特征，很自然地導出圓周角的概念.
2.實踐探究，學習新知 一、圓周角的概念 【定義】 頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。 【針對練習】 觀察下列圖形中的角都是圓周角嗎 解答：圖(1)中∠APB是圓周角，圖(2)和圖(3)中∠AQB,∠ARB不是圓周角，圖(4)中的∠ASB是圓周角，而∠ASC不是圓周角。 【要點提示】強調圓周角必須滿足兩個條件： 一是頂點在圓上，二是兩邊都與圓相交，二者缺一不可. 二、圓周角定理 1.通過圓周角的概念和度量的方法回答下列問題（出示小黑板）： （1）一條弧所對的圓周角的個數有多少個？ （2）同弧所對的圓周角的度數是否發生變化？ （3）同弧所對的圓周角與圓心角有什么關系？ 【答案】（1）一條弧所對的圓周角的個數有無數個。 （2）通過度量，我們可以發現：同弧所對的圓周角是沒有變化的。 （3）通過度量，我們可以發現，同弧上的圓周角是圓心角的一半。 2. 畫一畫 請同學們動手畫出⊙O中BC所對的圓周角．觀察BC所對的圓周角與圓心O有幾種位置關系？ 學生動手在紙上操作，得出結論。 圓周角與圓心的位置關系：⑴圓心在角的一邊上；⑵圓心在角的內部；⑶圓心在角的外部。 3. 分類討論，驗證猜想 對于有限次的測量得到的結論，必須通過其論證，怎么證明呢？能否考慮從特殊情況入手試一下。 圓周角一邊經過圓心． 由下圖可知，顯然∠APB＝∠AOB，結論成立． （1）已知：如上圖，⊙O中，所對的圓周角是∠APB，圓心角是∠AOB． 求證：∠APB＝∠AOB． 證明：∵∠AOB是△APO的外角， ∴∠AOB＝∠APB＋∠PAO． ∵OA＝OP，∴∠APB=∠PAO． ∴∠AOB＝2∠APB． 即∠APB＝∠AOB． （2）如果∠ABC的兩邊都不經過圓心(如下圖)，那么結果怎樣？特殊情況會給我們什么啟發嗎？你能將下圖中的兩種情況分別轉化成上圖中的情況去解決嗎？ 【解答】如圖1，點O在∠APB內部時，只要作出直徑PD，將這個角轉化為上述情況的兩個角的和即可證出．由剛才的結論可知： ∵∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD， ∴∠APD＋∠BPD＝(∠AOD＋∠BOD)， 即∠APB＝∠AOB． 在圖2中，當點O在∠APB外部時，仍然是作出直徑PD，將這個角轉化成上述情形的兩個角的差即可． 由前面的結果，有∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD． ∴∠BPD－∠APD＝(∠BOD－∠AOD)， 即∠APB＝∠AOB． 【歸納結論】 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 【歸納】同弧（等弧）所對的圓周角相等 重視：同弧說明是“同一個圓”； 等弧說明是“在同圓或等圓中”． 問題： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所對的圓周角一定相等嗎？（學生通過交流獲得知識） 三、例題講解 【例題講解】 例2 如圖，點A，B，C均在⊙O上，∠OAB=46°，求∠ACB的度數。 解：如圖，連接OB. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠OAB=46°， ∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°. ∴∠ACB=∠AOB=44°. 【變式訓練】如圖，A、B、C、D四點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑,且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD,求弦AC的長. 解：如圖，連接DC, 則∠ADC=∠ABC=∠CAD，故AC=CD. ∵AD是直徑，∴∠ACD=90°， ∴AC2+CD2=AD2, 即2AC2=36，AC2=18，AC=3. 四、圓周角定理的推論 【問題展示】 1.直徑所對的圓周角是多少度 請說明理由. 答：直徑所對的圓心角是180°。根據圓周角定理可得,直徑所對的圓周角是所對的圓心角180°的一半，即直徑所對的圓周角是90°。 2.90°的圓周角所對的弦是直徑嗎 請說明理由. 答：根據圓周角定理可得，90°的圓周角所對的弧所對的圓心角是180°，即90°的圓周角所對的弦是直徑。 【結論】 直徑所對的圓周角是直角. 90°的圓周角所對的弦是直徑. 【知識拓展】 1.定理中的圓周角與圓心角是通過它們所對的同一條弧聯系在一起的，故不能把“同一條弧”這一前提條件省略. 2.計算圓周角時，常轉化為計算同弧所對的圓心角解決. 3.根據直徑所對的圓周角是直角，構造直角三角形，利用直角三角形的性質解決有關問題. 根據角的特點歸納圓周角的概念,通過搶答判斷圖中的角是不是圓周角，活躍課堂氣氛,加深對圓周角概念的理解和掌握. 動手、猜想和預見是學生的天性，抓住學生這個心理采取，“先猜后證”的教學設計，有效地激發學生的積極性，喚起他們在課堂上主動探索，構建知識. 通過讓學生親自畫出圓周角，試著找出圓心與圓周角的三種位置關系。 由實驗、觀察等方法得出的猜想，其正確性需要進一步驗證，讓學生體驗數學的嚴謹性。學生發言，鍛煉了學生的語言表達能力和說理能力. “同弧”能否改成“同弦”呢？這一問題的設置培養了學生思維的嚴密性及對圓周角概念的進一步理解。 例題的目的是讓學生通過自己的思維活動得到解題思路的探索過程，由學生自己完成證明，使學生切實從應用上加深對圓周角的理解． 【變式訓練】鞏固圓周角定理及其推論，通過講解讓學生明白在解圓的有關問題時，有時需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角。 學生獨立思考后小組交流結果，并在小組內解決自己未解決的問題，教師及時幫助有困難的學生，學生展示后，教師點評，師生共同歸納結論. 通過問題形式探究圓周角定理的推論，感受類比思想,體會知識的內在聯系,同時讓學生體會運用定理解決特殊性問題，提高學生分析問題和解決問題的能力。
3.學以致用，應用新知 考點1 圓周角定理 練習1 如圖，點A，B，C在⊙O上，△AOB為等邊三角形.求∠ACB的度數. 解：由圖可知，∠AOB和∠ACB分別是弧AB所對的圓心角和圓周角。 由圓周角定理可知，∠ACB=∠AOB. 而△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=30°. 考點2 圓周角定理的推論 練習2 如圖，指出哪個圖形中的線段AB是圓的直徑，并說明理由. 解：根據圓周角的推論可知：90°的圓周角所對的弦是直徑. 觀察上面三圖，∠ACB都是直角，也就是說，∠ACB=90°， 只需∠ACB是圓周角，即可說明線段AB是圓的直徑. 三個圖中，只有圖（1）中，∠ACB是圓周角， 所以，圖（1）中的線段AB是圓的直徑，其他兩個都不是. 鞏固圓周角定理及其推論，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1．如圖，是的外接圓，若，則的度數是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如圖，內接于，為的直徑．若，則的度數為（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．如圖，是的直徑，弦交于點，連接．若，則（ ） A． B． C． D． 答案：B 4．如圖，四邊形內接于，，，，C為的中點，則的長為（ ） A． B． C．4 D． 答案：D 5．如圖，是的直徑，弦交于點，連接、．若，則 °． 答案：50 6．如圖，為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上兩點，且，若，則的度數為 ． 答案：40° 7．如圖，內接于⊙O，已知，，則的半徑為 ． 答案： 5 解析：如圖，連接，， ∵，∴， ∵，∴， 在中，， ∴， ∴的半徑為5. 8．如圖，在平面直角坐標系中，經過點O，與y軸交于點，與x軸交于點，則的長為 ． 答案：5 解析：如圖，連接， 為直角，且點都在圓上， 為直徑，圓心P在上， ， ，，， ，. 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 1.圓周角的概念. 2.圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 3.推論:直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑. 4.本節課數學思想方法:分類思想、化歸思想、由特殊到一般的數學方法. 通過學生自我反思、小組交流、引導學生自主完成對本節重要知識技能和思想方法的小結.
6.布置作業 課本P158--159習題A組，B組 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 28.3　圓心角 1.頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角. 2.圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 3.直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑. 提綱掣領，重點突出.
教后反思 本節課我設計了問題情境——自學探究——拓展應用的課堂教學模式，以學生自學探究為主，教師引導點播為輔的方式教學．在教學過程中，教師將問題式教學法，啟發式教學法，探究式教學法，情境式教學法，互動式教學法等多種教學方法融為一體，注重教學與生活的聯系，創設富有挑戰性的問題情境，引導學生用數學的眼光看問題，發現規律，驗證猜想．教學中注重學生的個體差異，讓不同層次的學生充分參與到數學思維活動中來，充分發揮學生的主體作用．運用適度的激勵，幫助學生認識自我，建立自信，不僅“學會”，而且“會學”,“樂學”．引導學生采用動手實踐，自主探究，合作交流的學習方法進行學習，使學生在觀察、實踐、問題轉化等數學活動中充分體驗探索的快樂，發現新知，發展能力．與此同時，教師通過適時的點撥、精講，使觀察、猜想、實踐、歸納、推理、驗證貫穿于整個學習過程之中． 反思，更進一步提升.

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