資源簡(jiǎn)介

28.4 垂徑定理
課題 垂徑定理 授課類型 新授課
授課人
教學(xué)內(nèi)容 課本P163-166
教學(xué)目標(biāo) 1.理解垂徑定理的證明過程，掌握垂徑定理及其推論. 2.會(huì)用垂徑定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算. 3.了解直徑、弦、弧之間的特殊關(guān)系
教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：垂徑定理及其應(yīng)用. 難點(diǎn)：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題.
教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件
教與學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)（教學(xué)過程） 設(shè)計(jì)意圖
1.創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 【復(fù)習(xí)回顧】 1.什么是軸對(duì)稱圖形 2.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么 你能找到多少條對(duì)稱軸 3.你是用什么方法解決上述問題的？ (教師引導(dǎo)折疊課前準(zhǔn)備的圓形紙片) 4.直徑是圓的對(duì)稱軸正確嗎 師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師點(diǎn)評(píng)，指出“直徑是圓的對(duì)稱軸”這個(gè)結(jié)論的錯(cuò)誤原因。師生共同歸納：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線(或直徑所在的直線) 通過生活實(shí)際問題導(dǎo)入新課，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活.通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)和創(chuàng)設(shè)動(dòng)手操作活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，探索圓的對(duì)稱性，引出本節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.
2.實(shí)踐探究，學(xué)習(xí)新知 【探究】 我們知道了圓是軸對(duì)稱圖形，利用圓的軸對(duì)稱性，我們還可以發(fā)現(xiàn)圓的一些性質(zhì). 1. 垂徑定理 教師活動(dòng)：1.動(dòng)手操作：將圖畫在課前準(zhǔn)備的圓形紙片上，將☉O沿CD所在的直線對(duì)折，哪些線段重合？哪些弧重合？ 2.由此你能得出什么結(jié)論？嘗試說出你的猜想. 通過探究，我們發(fā)現(xiàn)：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 3.你能證明你得到的結(jié)論嗎 師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下完成畫圖、折疊、觀察、歸納、猜想，學(xué)生獨(dú)立思考證明思路后，小組合作交流，小組代表板書證明過程，教師點(diǎn)評(píng)，規(guī)范書寫格式，師生共同回憶歸納結(jié)論. 下面我們對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明. 已知：如圖所示，在☉O中，CD為直徑，AB為弦，且CD⊥AB，垂足為E. 證明：如圖所示，連接OA，OB。 在△OAB中， ∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴. ∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴AE=BE，. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 幾何語言： ∵如上圖所示，在☉O中，CD為直徑，CD⊥AB， ∴AE=BE，. 2.垂徑定理的推論 如圖所示，在☉O中，直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E. 思考： (1)若AE=BE，能判斷CD與AB垂直嗎？與(或與)相等嗎？說明你的理由. (2)若(或)，能判斷CD與AB垂直嗎 AE與BE相等嗎？說明你的理由. 師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考，小組合作交流，獨(dú)立書寫解答過程，小組代表展示，教師對(duì)學(xué)生的展示點(diǎn)評(píng)，規(guī)范書寫格式. 解：(1)CD⊥AB，=(或=)。 理由是：連接OA，OB，如圖所示，則△OAB是等腰三角形， ∵AE=BE，∴CD⊥AB. 由垂徑定理可得，. (2)CD⊥AB，AE=BE. 理由是：連接OA，OB，如圖所示， ∵=，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE，∴△AEO≌△BEO， ∴∠AEO=∠BEO，AE=BE， ∴CD⊥AB. 追加思考： (1)垂徑定理中的條件和結(jié)論分別是什么 用語言敘述。 (2)上面思考(1)(2)中的條件和結(jié)論分別是什么 (3)如果不要求“弦不是直徑”上述結(jié)論還成立嗎 師生活動(dòng)：師生共同分析解答，通過追加思考，師生共同歸納結(jié)論. 可以知道只要滿足兩個(gè)條件①過圓心，②垂直于弦，就可以得到三個(gè)結(jié)論①平分弦，②平分弦所對(duì)的劣弧，③平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，這是定理的本質(zhì)內(nèi)容. 在☉O中，設(shè)直徑CD與弦AB(非直徑)相交于點(diǎn)E.若把AE=BE，CD⊥AB，中的一項(xiàng)作為條件，則可得到另外兩項(xiàng)結(jié)論. 【例題】 例1 如圖所示，已知CD為☉O的直徑，AB為弦，且AB⊥CD，垂足為E.若ED=2，AB=8，求直徑CD的長(zhǎng). 教師活動(dòng)：引導(dǎo)思考： 1.如何把圓的半徑轉(zhuǎn)化為三角形中的線段 連接半徑，構(gòu)造直角三角形. 2.構(gòu)造的直角三角形中三邊之間有什么特點(diǎn) 根據(jù)垂徑定理得三角形一邊是弦長(zhǎng)的一半，另兩邊的長(zhǎng)正好相差ED長(zhǎng). 3.直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關(guān)系，如何求另兩邊長(zhǎng) 設(shè)未知數(shù)，用勾股定理列方程求解. 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，師生共同完成思考分析，學(xué)生小組合作交流解題思路，書寫解題過程，小組代表板書，教師點(diǎn)評(píng)，規(guī)范解答格式. 解：如圖所示，連接OA. 設(shè)☉O的半徑為r. ∵CD為☉O的直徑，AB⊥CD， ∴AE=BE. ∵AB=8， ∴AE=BE=4. 在Rt△OAE中， OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即 r2=(r-2)2+42. 解得r=5，從而2r=10. 所以直徑CD的長(zhǎng)為10. 小結(jié)： 1.由垂徑定理可以得到以下結(jié)論： (1)若直徑垂直于弦，則直徑平分弦及其所對(duì)的兩條弧. (2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. (3)垂直且平分一條弦的弦是直徑. (4)連接弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的線段是直徑. 綜上所述，可以知道在①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所對(duì)的劣弧，⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧. 2.利用垂徑定理及其推論可以證明平分弧、平分弦，證明垂直，證明一條線段是直徑. 3.利用垂徑定理的推論可以確定圓心的位置：在圓中找兩條不平行的弦，分別作兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即是圓心. 4.由于垂直于弦的直徑平分弦，因此可以在圓中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦長(zhǎng)(或半徑). 5.圓心到弦的距離叫做弦心距. 通過探究1和探究2讓學(xué)生熟悉用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值的按鍵步驟及方法. 通過學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、分析、交流，教師引導(dǎo)歸納出垂直于弦的直徑的性質(zhì)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和歸納概括能力，提高分析問題、解決問題的能力，同時(shí)感受圓的對(duì)稱美. 通過教師提出的問題，學(xué)生合作交流，共同分析解答，提高學(xué)生合作意識(shí)，加深對(duì)垂徑定理的理解和記憶，通過追加思考，師生共同分析得出垂徑定理中五個(gè)條件：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧中，以其中兩個(gè)為條件，可以得到其他三個(gè)結(jié)論. 以問題的形式，教師引導(dǎo)，師生共同分析解決，降低了例題的難度，體會(huì)方程思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，同時(shí)掌握一類題型的解題方法，應(yīng)用垂徑定理計(jì)算時(shí)，常作輔助線構(gòu)造直角三角形，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題的能力.
3.學(xué)以致用，應(yīng)用新知 考點(diǎn)1 垂徑定理 練習(xí)1 如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)P，則CP的長(zhǎng)等于(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．4 答案：A 變式訓(xùn)練1 如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D.若AE＝8，DB＝2，則⊙O的半徑為(　　) A.6 B.5 C．4 D．4 答案：B 考點(diǎn)2 垂徑定理的應(yīng)用 練習(xí)2 趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1 400年的歷史，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶。它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4 m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2 m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位) 解：如圖所示，用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R. 經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點(diǎn)C，連接OA. 根據(jù)垂徑定理知D為AB的中點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，CD就是拱高. 由題設(shè)可知，AB=37.4 m，CD=7.2 m， 所以AD=AB=×37.4=18.7(m)， OD=OC-CD=R-7.2(m). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2， 即 R2=18.72+(R-7.2)2. 解得R≈27.9(m). 因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.9 m. 【思考】 1.在圓中解決有關(guān)弦的問題，常作什么輔助線 2.在圓中解決有關(guān)弦的問題，常用什么方法 總結(jié)：在圓中解決有關(guān)弦的問題時(shí)，常常過圓心作弦的垂線段(弦心距)，通過作輔助線，把垂徑定理和勾股定理結(jié)合，得到圓的半徑r、弦心距d、弦長(zhǎng)a的一半之間列成等式. 變式訓(xùn)練2 如圖是一個(gè)高速公路的隧道的橫截面，它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，如果D是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，AB＝24，CD＝18，則此圓的半徑OA的長(zhǎng)為________． 答案：13 在實(shí)際問題中畫出符合題意的幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程求解所在圓的半徑，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活中，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中達(dá)到首尾呼應(yīng)，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí).
4.隨堂訓(xùn)練，鞏固新知 1.如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(　　) A．∠BOC＝2∠BAD B．BE＝EO C．∠OCE＝50° D．CE＝DE 　　　 答案：B 2.紹興市是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，橋拱半徑OC＝5 m，則水面寬AB為________m. 答案：8 3.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5，水面寬AB＝8，則截面圓心O到水面的距離OC是(　　) A.3 　　 B.4 　 　 C.3　　 D.6 答案：A 4.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若OE＝3，CD＝8.求⊙O的半徑． 解：連接OC， ∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4. 在Rt△COE中， 由勾股定理，得 OC＝＝＝5. ∴⊙O的半徑為5. 知識(shí)的綜合運(yùn)用，通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)．
5.課堂小結(jié)，自我完善 本節(jié)課所學(xué)知識(shí)： 1.垂徑定理和推論及它們的應(yīng)用. 2.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，將圓的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題. 3.圓中常作輔助線連半徑、過圓心作弦的垂線. 通過學(xué)生自我反思、小組交流、引導(dǎo)學(xué)生自主完成對(duì)本節(jié)重要知識(shí)技能和思想方法的小結(jié).
6.布置作業(yè) 課本P165習(xí)題A組，P166習(xí)題B組 課后練習(xí)鞏固，讓所學(xué)知識(shí)得以運(yùn)用，提高計(jì)算能力和做題效率.
板書設(shè)計(jì) 28.4　垂徑定理 1.垂徑定理 例題： 2.垂徑定理的推論 例題 提綱掣領(lǐng)，重點(diǎn)突出.
教后反思 教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)垂徑定理的得出跟圓的軸對(duì)稱密切相關(guān)．在圓中求有關(guān)線段長(zhǎng)時(shí)，可考慮垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的探索和證明是選學(xué)內(nèi)容，但垂徑定理的應(yīng)用是重點(diǎn)也是難點(diǎn). 反思，更進(jìn)一步提升.

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