資源簡介

28.5 弧長和扇形面積的計算
課題 弧長和扇形面積的計算 授課類型 新授課
授課人
教學內容 課本P167-169
教學目標 1.了解扇形、圓錐等有關概念. 2.經歷探索弧長、扇形面積公式的過程. 3.會計算弧長及扇形的面積. 4.知道圓錐的側面積和扇形面積之間的關系,會計算圓錐的側面積.
教學重難點 重點：1.弧長、扇形面積公式的推導及應用. 2.圓錐側面積與扇形面積之間的關系. 難點：探索弧長、扇形面積、圓錐側面積的計算公式的過程.
教學準備 多媒體課件、圓形紙片、直尺、圓規、量角器
教與學互動設計（教學過程） 設計意圖
1.創設情景，導入新課 【復習回顧】 1.圓的周長如何計算 2.圓的面積如何計算 3.圓周長所對的圓心角是多少度 通過復習和本節課有關的舊知識,為本節課探究弧長和扇形面積公式做好鋪墊.
2.實踐探究，學習新知 【探究】認識概念 扇形:一條弧和經過這條弧端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 如圖所示,在☉O中,由半徑OA,OB和所組成的圖形為一個扇形.由半徑OA,OB和所組成的圖形也是扇形. 思考：　 一個扇形對應幾個圓心角 一個圓心角對應幾個扇形 (在同一個圓中,一個扇形對應一個圓心角,反過來,一個圓心角對應一個扇形) 1.弧長和扇形面積公式 思考并回答下列問題： 圓的周長可以看成是多少度的圓心角所對的弧 預設答案：360° 在圓中每一個1°的圓心角所對的弧長之間有什么關系 預設答案：相等 （3）1°的圓心角所對的弧長是多少 預設答案：周長的 （4）2°的圓心角所對的弧長又是多少呢 預設答案： （5）你能算出n°的圓心角所對的弧長是多少嗎 預設答案： （6）已知一段弧所在圓的半徑為r,圓心角度數為n°,如何計算這段弧的長度 預設答案： 結論： 在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對的弧長為：l=. 思考：　 你能用探究弧長公式的方法探究扇形的面積嗎 結論: 在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對的扇形面積為：S=. 比較扇形面積公式S=和弧長公式l=,你能用弧長公式表示扇形的面積嗎 教師活動：引導觀察兩個公式的分子和分母,分子中的nπr2可以寫成nπr·r,分母中的360可以寫成180×2. 扇形的面積公式： S=lr(其中n為圓心角的度數,r為圓的半徑,l為扇形的弧長). 【例題】 例1 如圖所示,☉O的半徑為10 cm. (1)如果∠AOB=100°,求的長及扇形AOB的面積.(結果保留一位小數) (2)已知=25 cm,求∠BOC的度數.(結果精確到1°) 解:(1)r=10 cm,∠AOB=100°,由弧長和扇形面積公式,得: ≈≈17.4(cm)， S扇形AOB=≈≈87.2(cm2). 所以的長約為17.4 cm,扇形AOB的面積約為87.2 cm2. (2)r=10 cm,=25 cm,由弧長公式，得: n=≈≈143. 所以∠BOC約為143°. 追加提問: 1.弧長的大小由哪些量決定 扇形的面積由哪些量決定 2.已知半徑和圓心角,能不能求弧長、扇形面積 已知弧長和半徑(或扇形面積和半徑),能不能求弧所對的圓心角的度數 已知弧長和所對的圓心角(或扇形面積和圓心角),能不能求所在圓的半徑 教師活動:在弧長公式中,已知l,n,r其中的兩個量,就可以求出第三個量的值;在扇形面積公式中,已知S,n,r其中的兩個量,就可以求出第三個量的值. 2.圓錐的概念及其側面積的計算 思考： 1.什么是圓錐的母線、圓錐的高 2.圓錐的母線有幾條 圓錐的母線、高、半徑圍成什么圖形 3.將圓錐的側面展開,得到的平面圖形是什么 4.圓錐的側面展開圖的弧長、半徑與圓錐的底面、母線長有什么關系 5.若圓錐的底面半徑為r,母線長為l,你能求出圓錐的側面展開圖的面積嗎 預設答案： 1.圓錐的母線:圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線叫做圓錐的母線. 2.圓錐的高:圓錐的頂點與底面圓心之間的線段叫做圓錐的高. 如圖所示，PA為圓錐的一條母線，PO為圓錐的高. 將圓錐的側面沿母線PA展開成平面圖形,該圖形為一個扇形,扇形的半徑長等于圓錐的母線長.反過來,扇形也可以圍成一個圓錐. 做一做 已知扇形的圓心角為120°,弧長為20π cm.如果用這個扇形圍成一個圓錐,那么這個圓錐的側面積是多少 解:設圓錐的母線長為l cm,由弧長公式可得: 20π=,解得l=30, ∴圓錐的側面積S=×20π×30=300π(cm2). 拓展： 1.圓心角為1°的弧長等于圓周長的,所以圓心角是n°的弧長l=n·,其中n表示1°的圓心角的倍數，不帶單位. 2.在弧長公式l=中有三個量l，n，r，已知其中任意兩個量,可以求出第三個量. 3.圓錐看成是由一個直角三角形繞一條直角邊所在的直線旋轉而成的圖形,圓錐的母線長a,高h,底面半徑r恰好構成一個直角三角形,滿足r2+h2=a2,利用這一關系可以在已知任意兩個量的情況下求出第三個量. 引導學生由圓的周長和圓心角之間的關系,經歷由特殊到一般、由整體到部分的探究過程,體驗弧長公式是如何推導的,類比弧長公式的探究方法,讓學生由獨立思考、合作交流共同探究出扇形面積公式,同時觀察討論扇形面積和弧長公式之間的關系,得出用弧長表示扇形的面積公式,讓學生體會事物之間是相互聯系的.教師的追問,讓學生加深對公式的理解和靈活運用. 通過解決和弧長、扇形面積有關的計算,加深學生對弧長、扇形面積公式的理解和認識,培養學生解決問題的能力. 通過解決和弧長、扇形面積有關的計算,加深學生對弧長、扇形面積公式的理解和認識,培養學生解決問題的能力. 學生在小學已經初步認識圓錐,通過自主學習和小組合作交流,對圓錐的有關概念加深理解.在教師問題的引導下,學生觀察、分析、比較展開扇形和圓錐之間的關系,讓學生經歷探索圓錐側面積公式的過程,提高分析問題能力. 通過做一做,讓學生加深對圓錐的側面積的理解和掌握,在應用公式解決問題時,培養學生靈活運用公式計算的能力.
3.學以致用，應用新知 考點1 弧長公式 練習1 如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，連接AC，BC，若半圓O的半徑為5，∠B=58°，則的長為（　　） A. B. C. D. 解析：如圖，連接OC， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B=58°， ∴∠BOC=180°-58°×2=64°， ∴的長為 答案：D 變式訓練1 如圖，扇形古錢幣的圓心角∠AOB=120°，OA=3 cm，則該扇形古錢幣的弧長為__________cm（結果保留）． 答案：2 考點2 扇形面積公式 練習2 已知某扇形弧長為3，圓心角為60°，則扇形面積為（ ） A. B. C. D. 答案：D 變式訓練2 一個扇形的面積是24 cm2，圓心角是60°，則此扇形的半徑是______cm. 答案：12 考點3 圓錐的側面展開圖、母線與高 練習3 如圖，將一個圓錐展開后，其側面是一個圓心角為120°，半徑為6 cm的扇形，求該圓錐的高. 解：圓錐的側面積展開圖的弧長為：， ∴圓錐的底面半徑為4÷2=2， ∴該圓錐的高為：. 變式訓練3 如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12 cm，側面展開圖為半圓形，則它的母線長為________． 答案：24 cm 鞏固用計算器求三角函數值的方法，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力．
4.隨堂訓練，鞏固新知 1.已知一個扇形的弧長為3π，所含的圓心角為120°，則半徑為（　　） A．9 B．3 C． D． 答案：C 2.如圖：已知扇形的半徑之間的關系是，則的長是長的（　　） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 答案：C 3.如圖，在紙上剪一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑，扇形的圓心角等于，則圍成的圓錐的母線長R的值為（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 答案：C 4.如果一個扇形的半徑是2，弧長是，則此扇形的圓心角的度數為（ ） A． B． C． D． 答案：B 5.如圖，一張扇形紙片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，將這張扇形紙片折疊，使點A與點O重合，折痕為CD，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為（　　） A.9 B.12 C.18 D.6 答案：A 6.如圖，從一塊半徑是2的圓形貼片上剪出一個圓心角為的扇形，那么這個扇形的面積為 . 答案：2 知識的綜合運用，通過本環節的學習，讓學生鞏固所學知識．
5.課堂小結，自我完善 本節課所學知識： 1.扇形定義:一條弧和經過這條弧端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 2.弧長和扇形面積公式:l=,S=lr. 3.弧長和扇形面積的應用:已知公式中的兩個量,可以求另外一個量. 4.圓錐母線、高的定義:圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線叫做圓錐的母線.圓錐的頂點與底面圓心之間的線段叫做圓錐的高. 5.圓錐的側面積:圓錐的側面積等于圓錐側面展開圖的扇形的面積,扇形的弧長為圓錐底面周長,扇形的半徑為圓錐的母線. 通過小結，幫助學生梳理本節課所學內容，強化記憶，課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
6.布置作業 課本P169習題A組，B組 課后練習鞏固，讓所學知識得以運用，提高計算能力和做題效率.
板書設計 28.5　弧長和扇形面積的計算 1.扇形定義： 2.扇形面積公式： 練習 3.弧長的公式： 練習 4.圓錐的定義及相關概念： 練習 提綱掣領，重點突出.
教后反思 教學過程中，強調學生應熟記相關公式并靈活運用，特別是求陰影部分的面積時，要靈活割補法、轉換法等. 反思，更進一步提升.

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