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河南省信陽高級中學北湖校區
2024-2025學年高一下期期末測試
數學答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D B A B C ABD ABD ACD
12．或2
13．
14．
15．(1)，，
(2)
【分析】（1）根據空間向量的線性運算求解即可；
（2）利用空間向量的數量積定義計算，再根據空間向量數量積的運算分別求，，，根據向量夾角余弦公式求解，即可異面直線AC與所成角的余弦值，根據同角三角函數關系求正切值即可.
【詳解】（1），
，
；
（2）因為，
，
又，，
所以，
，
，
設異面直線AC與所成角為，
則，
所以，故，
所以異面直線AC與所成角的正切值為.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；
（2）數形結合，結合直線圖象可得出關于實數的不等式，解之即可；
（3）求得直線與坐標軸的交點，可得面積，進而利用二次函數的性質可得最值.
【詳解】（1）由，即，
則，解得，所以直線過定點.
（2）因為直線不過第四象限，結合圖形可知，直線的斜率存在，所以，
此時，直線的方程可化為，記點，則，

由圖可得，解得，因此，實數的取值范圍是.
（3）已知直線，且由題意知，

令，得，得，
令，得，得，
則，
所以當時，取最小值，
此時直線的方程為，即.
17．(1)0.008；平均數為，中位數；
(2).
【分析】（1）根據給定的頻率分布直方圖，利用小矩形面積和為1求出，再估算平均數和中位數.
（2）利用分層抽樣求出落在兩個區間內的人數，再利用列舉法求出古典概率.
【詳解】（1）依題意，，解得，
數學成績的平均數為
由頻率分布直方圖知，分數在區間、內的頻率分別為0.34，0.62，
所以該校數學成績的中位數，則，解得；
（2）抽取的5人中，分數在內的有（人），在內的有1人，
記在內的4人為a，b，c，d，在內的1人為A，
從5人中任取3人，，共10個，
選出的3人中恰有一人成績在中，有，共6種，
所以選出的3人中恰有一人成績在中的概率是.
18．(1)證明見解析
(2)
(3)線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為，且
【分析】（1）在平面圖形中證得，，取的中點，連接，利用線面垂直的判定性質推理得證.
（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（3）由（2）中信息，利用點到平面的距離的向量公式計算得解.
【詳解】（1）在圖1中，由，，得，則，
所以，由，得，即，
在圖2中，，取的中點，連接，由為的中點，
得，則，由，得，而，
平面，則平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直線兩兩垂直，
以為坐標原點，直線分別為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
設平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的法向量為，
則，
由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
（3）假設線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為，
在中，，所以，
因為三棱錐的體積為，設點到平面的距離為，
所以，所以，所以點到平面的距離為，
令，由（2）得，，
又平面的法向量為，
則點到平面的距離為，解得，
線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為，且.
19．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）對用平方差公式展開，再整理得到，把它代入公式（余弦定理形式）求，結合的范圍得出的值.
（2）（i）將寫成，展開.利用外心性質得到和的值.再根據已知條件和類似公式（余弦定理）求出關于的式子，進而得出.
（ii）由正弦定理相關式子得出外接圓半徑.根據角度關系和面積公式求出和，得到表達式.根據三角形是銳角三角形確定范圍，換元后得到關于的二次函數，根據二次函數性質求范圍.
【詳解】（1）由題意得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）（i）由，
因為O為外接圓圓心，即外心，所以，，
由余弦定理得，，
所以
（ii）設外接圓半徑為R，則，且，即，
因為，，所以，
，
所以，
由為銳角三角形知，，令，
則，
，，即為所求.河南省信陽高級中學北湖校區
2024-2025學年高一下期期末測試
數學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知，，是虛數單位，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，滿足，，且，則的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C．10 D．8
4．已知的內角，，的對邊分別為，，，且，，若有兩解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
A．事件互斥 B．事件與事件相互獨立
C． D．
6．下列選項中，正確的個數是（ ）
①數據$1、3、5、7、9、11、13$的第80百分位數為12，
②若且，則，為實數；
③若直線的方向向量，平面的法向量，則
④若樣本數據的方差為2才則的標準羞為8
⑤如果向量與任何向量不能構成空間向量的一個基底，那么一定共線。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在三棱錐中，M是平面內一點，且，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．已知、，若斜率存在的直線l經過點，且與線段AB有交點，則l的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選的得部分分，有選錯的得0分.
9．我國載人航天技術飛速發展，神舟十四號于年月日發射成功．某學校舉行了一次航天知識競賽活動，有名學生參加學校決賽，把他們的成績均為整數分成六組得到如下頻率分布直方圖．則下面結論正確的是（ ）
A．直方圖中的值為
B．在參加學校決賽的名學生中，成績落在區間內的有人
C．如果規定分以上學生為一等獎，估計有的學生獲得一等獎
D．根據此頻率分布直方圖可計算出這名學生成績的上四分位數為分
10．10．對于 $V A B C$ ，內角 $A, B, C$ 的對邊分別為 $a, b, c$ ，下列說港正確的有
A．若，則為等腰三角形
B．若，則為等腰三角形
C．命題＂若，則＂是真命題
D．＂為銳角三角形＂是＂＂的充分不必要條件
11．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點為側棱上的動點，為線段中點.則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得平面
B．周長的最小值為
C．三棱錐的外接球的體積為
D．平面與平面的夾角正弦值的最小值為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知直線與平行，則實數的取值是 .
13．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距 ．
14．已知正方體的棱長為3，動點在內，滿足，則點的軌跡長度為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（13分）在如圖所示的平行六面體中，，，，，，設，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求異面直線AC與所成角的正切值．
16．（15分）已知直線．
（1）求直線所過定點；
（2）若直線不經過第四象限，求實數的取值范圍；
（3）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程．
17．（15分）為了做好下一階段數學的復習重心，某中學研究本校高三學生在市聯考中的數學成績，隨機抽取了500位同學的數學成績作為樣本（成績均在內），將所得成績分成7組：，，，，，，，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示：
（1）求的值，并估計本次聯考該校數學成績的平均數和中位數；（同一組中的數據用該組數據的中間值作為代表，中位數精確到0.1）
（2）從樣本內數學分數在，的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出3人進行數學學習經驗的分享，求選出的3人中恰有一人成績在中的概率.
18．（17分）如圖1，在四邊形中，，，，如圖2，把沿折起，使點到達點處，且平面平面，為的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判斷線段上是否存在點，使得三棱錐的體積為．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
19．（17分）已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且，.
（1）求A；
（2）若為銳角三角形，其外接圓圓心為O.
（i）證明：.
（ii）記和的面積分別為，，求的取值范圍.

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