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第二章 軸對稱　綜合評價卷
時間:60分鐘　滿分:100分
班級: 　學號: 　姓名: 　成績: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列四種圖案中,可以看作軸對稱圖形的是( )
A B C D
2.下列說法正確的是( )
A.等腰三角形的對稱軸是底邊的中線
B.等腰三角形頂角的平分線是它的一條對稱軸
C.等腰三角形任意兩個角相等
D.三角形的三條高所在的直線一定交于一點
3.將一張正方形紙片按如圖所示的步驟,通過折疊得到圖④,在CA,CB上各取一點連成虛線,沿該虛線剪去一個角,剩余部分展開鋪平后得到的圖形可能是( )
A B C D
4.四邊形ABCD的邊長如圖所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E為邊AD上一動點(不與A,D兩點重合),連接BE,將△ABE沿直線BE折疊,點A的對應點為點F,則點C與點F之間的距離不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.8
5.如圖所示,AD平分∠BAC,交BC于點D,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.若S△ABC=12,DF=2,AC=3,則AB的長是( )
A.2 B.4 C.7 D.9
6.在聯歡會上,有A,B,C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上,他們在玩搶凳子游戲,要求在他們中間放一個木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,則凳子應放的位置是△ABC的( )
A.三邊中線的交點處 B.三條角平分線的交點處
C.三邊垂直平分線的交點處 D.三邊上高所在直線的交點處
7.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分線,DE=4,
∠B=30°,則BC等于( )
A.12 B.10 C.8 D.6
8.如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根據尺規作圖的痕跡判斷,以下結論錯誤的是( )
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC D.AE=AC
9.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,ACA.3 B.4 C.5 D.6
10.如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,D為BC中點,直角∠MDN繞點D旋轉,DM,DN分別與邊AB,AC交于E,F兩點,有下列結論:
①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF.其中正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.等腰三角形的一個內角是120°,則它的底角是 .
12.小明在紙上畫了一個邊長為5 cm的等邊三角形ABC,并將一把寬為2 cm的直尺按如圖所示方式放在所畫的△ABC上,使得直尺一條邊與△ABC的邊BC在同一條直線上,另一條邊交邊AB于點E,則AE=
cm.
13.如圖所示,在△ABC中,以點A為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,交BC于點D,連接AD.若AB=5,則AD的長為 .
14.如圖所示,在△ABC中,AC的垂直平分線交BC于點D,交AC于點E,∠B=∠ADB.若AB=4,則DC的長是 .
15.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=10.以點B為圓心,任意長為半徑作弧,分別交BA,BC于點P,Q;再分別以P,Q為圓心,大于PQ的長為半徑作弧,兩弧在∠ABC內交于點M.連接BM并延長,交AD于點E,則DE的長為 .
16.如圖所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,S△ABC=24,l是△ABC的對稱軸,D是AB上一動點,在l上存在一點P,能使PB+PD的值最小,這個最小值為 .
17.如圖所示,∠AOB=30°,點M,N分別是射線OB,OA上的動點,點P為∠AOB內一點,且OP=4,則△PMN周長的最小值為 .
18.如圖所示,直線l為線段AB的垂直平分線,交AB于點M,在直線l上取一點C1,使得MC1=MB,且AC1⊥BC1,得到第一個三角形ABC1;在射線MC1上取一點C2,使得C1C2=BC1,得到第二個三角形ABC2;在射線MC1上取一點C3,使得C2C3=BC2,得到第三個三角形ABC3……依次這樣進行下去,則第2 024個三角形ABC2 024中,∠AC2 024B的度數為 .
三、解答題(共46分)
19.(6分)如圖所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.
試說明:點C在∠DAB的平分線上.
20.(8分)如圖所示的是由16個小正方形組成的正方形網格圖,現已將其中的兩個涂黑.請你用四種不同的方法分別在下圖中再涂黑三個空白的小正方形,使整個圖形成為軸對稱圖形.
21.(10分)如圖所示,已知在等邊三角形ABC中,D是AC的中點,E是BC延長線上的一點,且CE=CD,DM⊥BC,垂足為M,試說明:M是BE的
中點.
22.(10分)觀察發現:勞動人民在生產、生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法,正如木匠師傅的“木條畫直角法”.如圖①所示,他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角,具體作法如下:
①木條的兩端分別記為點M,N,先將木條的端點M與點A重合,任意擺放木條后,另一個端點N的位置記為點B,連接AB;
②木條的端點N固定在點B處,將木條繞點B順時針旋轉一定的角度,端點M的落點記為點C(點A,B,C不在同一條直線上);
③連接CB并延長,將木條沿點C到點B的方向平移,使得端點M與點B重合,端點N在CB延長線上的落點記為點D;
④用另一根足夠長的木條畫線,連接AD,AC,則畫出的∠DAC是直角.
推理論證:(1)如圖①所示,小亮嘗試揭示此操作的數學原理,請你補全橫線上的依據:
因為AB=BC=BD,
所以△ABC與△ABD是等腰三角形.
所以∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依據1)
所以∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC.
因為∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依據2)
所以2∠DAC=180°.
所以∠DAC=90°.
依據1: ;依據2: .
拓展探究:(2)小亮進一步研究發現,用這種方法作直角存在一定的誤差,用平時學習的尺規作圖的方法可以減少誤差.如圖②所示,點O在直線l上,請用無刻度的直尺和圓規在圖②中作出一個以O為頂點的直角,記作∠POQ,使得直角邊OP在直線l上,P在O左側,Q在直線l上方.(保留作圖痕跡,不寫作法)
①
②
23.(12分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,∠BAC的平分線分別交BC,CD于點E,F.
(1)試說明:△CEF是等腰三角形;
(2)若點E恰好在線段AB的垂直平分線上,猜想線段AC與線段AB的數量關系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若CE=2,AC=2.5,求△ABE的面積.
=第二章 軸對稱　綜合評價卷
時間:60分鐘　滿分:100分
班級:　　　　　　學號:　　　　　　姓名:　　　　　　成績:　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列四種圖案中,可以看作軸對稱圖形的是(C)
A B C D
2.下列說法正確的是(D)
A.等腰三角形的對稱軸是底邊的中線
B.等腰三角形頂角的平分線是它的一條對稱軸
C.等腰三角形任意兩個角相等
D.三角形的三條高所在的直線一定交于一點
3.將一張正方形紙片按如圖所示的步驟,通過折疊得到圖④,在CA,CB上各取一點連成虛線,沿該虛線剪去一個角,剩余部分展開鋪平后得到的圖形可能是(B)
A B C D
4.四邊形ABCD的邊長如圖所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E為邊AD上一動點(不與A,D兩點重合),連接BE,將△ABE沿直線BE折疊,點A的對應點為點F,則點C與點F之間的距離不可能是(D)
A.3 B.4 C.5 D.8
5.如圖所示,AD平分∠BAC,交BC于點D,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.若S△ABC=12,DF=2,AC=3,則AB的長是(D)
A.2 B.4 C.7 D.9
6.在聯歡會上,有A,B,C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上,他們在玩搶凳子游戲,要求在他們中間放一個木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,則凳子應放的位置是△ABC的(C)
A.三邊中線的交點處 B.三條角平分線的交點處
C.三邊垂直平分線的交點處 D.三邊上高所在直線的交點處
7.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分線,DE=4,
∠B=30°,則BC等于(A)
A.12 B.10 C.8 D.6
8.如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根據尺規作圖的痕跡判斷,以下結論錯誤的是(B)
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC D.AE=AC
9.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,ACA.3 B.4 C.5 D.6
10.如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,D為BC中點,直角∠MDN繞點D旋轉,DM,DN分別與邊AB,AC交于E,F兩點,有下列結論:
①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF.其中正確結論的個數是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題(每小題3分,共24分)
11.等腰三角形的一個內角是120°,則它的底角是　30°　.
12.小明在紙上畫了一個邊長為5 cm的等邊三角形ABC,并將一把寬為2 cm的直尺按如圖所示方式放在所畫的△ABC上,使得直尺一條邊與△ABC的邊BC在同一條直線上,另一條邊交邊AB于點E,則AE=
　1　cm.
13.如圖所示,在△ABC中,以點A為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,交BC于點D,連接AD.若AB=5,則AD的長為　5　.
14.如圖所示,在△ABC中,AC的垂直平分線交BC于點D,交AC于點E,∠B=∠ADB.若AB=4,則DC的長是　4　.
15.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=10.以點B為圓心,任意長為半徑作弧,分別交BA,BC于點P,Q;再分別以P,Q為圓心,大于PQ的長為半徑作弧,兩弧在∠ABC內交于點M.連接BM并延長,交AD于點E,則DE的長為　4　.
16.如圖所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,S△ABC=24,l是△ABC的對稱軸,D是AB上一動點,在l上存在一點P,能使PB+PD的值最小,這個最小值為　　.
17.如圖所示,∠AOB=30°,點M,N分別是射線OB,OA上的動點,點P為∠AOB內一點,且OP=4,則△PMN周長的最小值為　4　.
18.如圖所示,直線l為線段AB的垂直平分線,交AB于點M,在直線l上取一點C1,使得MC1=MB,且AC1⊥BC1,得到第一個三角形ABC1;在射線MC1上取一點C2,使得C1C2=BC1,得到第二個三角形ABC2;在射線MC1上取一點C3,使得C2C3=BC2,得到第三個三角形ABC3……依次這樣進行下去,則第2 024個三角形ABC2 024中,∠AC2 024B的度數為　　.
三、解答題(共46分)
19.(6分)如圖所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.
試說明:點C在∠DAB的平分線上.
解:如圖所示,過點C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分別為E,F,
所以∠BEC=∠DFC=90°.
因為∠ADC+∠ABC=180°,
∠ADC+∠CDF=180°,
所以∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,
所以△CBE≌△CDF(AAS),所以FC=EC,
所以點C在∠DAB的平分線上.
20.(8分)如圖所示的是由16個小正方形組成的正方形網格圖,現已將其中的兩個涂黑.請你用四種不同的方法分別在下圖中再涂黑三個空白的小正方形,使整個圖形成為軸對稱圖形.
解:如圖所示,答案不唯一,合理即可.
21.(10分)如圖所示,已知在等邊三角形ABC中,D是AC的中點,E是BC延長線上的一點,且CE=CD,DM⊥BC,垂足為M,試說明:M是BE的
中點.
解:連接BD,如圖所示.
因為在等邊三角形ABC,D是AC的中點,
所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∠ACB=60°.
因為CE=CD,
所以∠CDE=∠E.
因為∠ACB=180°-∠ACE=∠CDE+∠E,
所以∠E=30°,
所以∠DBC=∠E=30°,
所以BD=ED.
又因為DM⊥BC,
所以M是BE的中點.
22.(10分)觀察發現:勞動人民在生產、生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法,正如木匠師傅的“木條畫直角法”.如圖①所示,他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角,具體作法如下:
①木條的兩端分別記為點M,N,先將木條的端點M與點A重合,任意擺放木條后,另一個端點N的位置記為點B,連接AB;
②木條的端點N固定在點B處,將木條繞點B順時針旋轉一定的角度,端點M的落點記為點C(點A,B,C不在同一條直線上);
③連接CB并延長,將木條沿點C到點B的方向平移,使得端點M與點B重合,端點N在CB延長線上的落點記為點D;
④用另一根足夠長的木條畫線,連接AD,AC,則畫出的∠DAC是直角.
推理論證:(1)如圖①所示,小亮嘗試揭示此操作的數學原理,請你補全橫線上的依據:
因為AB=BC=BD,
所以△ABC與△ABD是等腰三角形.
所以∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依據1)
所以∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC.
因為∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依據2)
所以2∠DAC=180°.
所以∠DAC=90°.
依據1:　　　　　　　　　　　;依據2:　 .
拓展探究:(2)小亮進一步研究發現,用這種方法作直角存在一定的誤差,用平時學習的尺規作圖的方法可以減少誤差.如圖②所示,點O在直線l上,請用無刻度的直尺和圓規在圖②中作出一個以O為頂點的直角,記作∠POQ,使得直角邊OP在直線l上,P在O左側,Q在直線l上方.(保留作圖痕跡,不寫作法)
①
②
解:(1)等邊對等角　三角形內角和定理
(2)如圖所示.
23.(12分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,∠BAC的平分線分別交BC,CD于點E,F.
(1)試說明:△CEF是等腰三角形;
(2)若點E恰好在線段AB的垂直平分線上,猜想線段AC與線段AB的數量關系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若CE=2,AC=2.5,求△ABE的面積.
解:(1)因為CD⊥AB,
所以∠CDB=90°,
所以∠B+∠BCD=90°.
因為∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCD=90°,
所以∠ACD=∠B.
因為AE平分∠BAC,
所以∠CAE=∠BAE.
因為∠ACD+∠CAE=180°-∠AFC=∠CFE,
∠B+∠BAE=180°-∠AEB=∠CEF,
所以∠CFE=∠CEF,
所以CF=CE,
即△CEF是等腰三角形.
(2)AB=2AC.
理由如下:
因為點E在線段AB的垂直平分線上,
所以AE=BE,
所以∠BAE=∠B.
因為∠CAE=∠BAE,∠ACB=90°,
所以易得3∠B=90°,
所以∠B=30°,
所以在Rt△ABC中,AB=2AC.
(3)過點E作EM⊥AB于點M(圖略).
因為AC=2.5,
所以AB=2AC=5.
因為AE平分∠CAB,∠ACB=90°,CE=2,
所以EM=CE=2,
所以△ABE的面積=AB·EM=×5×2=5.

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